scarica quaderno - Dipartimenti - Università Cattolica del Sacro Cuore

UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE
ISTITUTO DI STATISTICA
Umberto Magagnoli
Paola M. Chiodini
Indici di capacità di processo in presenza di situazioni
che si allontanano dalla legge normale
Serie E.P. N. 106 - Ottobre 2001
Finito di stampare nel mese di ottobre 2001
da MULTISERVER – Romentino (NO)
Indici di capacità di processo in presenza di situazioni
che si allontanano dalla legge normale
Capability Indices for Situations that Differ from the Normal Law
Paola M. Chiodini, Umberto Magagnoli (•)
Istituto di Statistica
Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
1. Introduzione
L'esigenza di disporre di strumenti manageriali che si caratterizzino per facilità
operativa e di comprensione e che nel contempo abbiano un elevato grado di sensibilità
alle modifiche che intervengono nel sistema produttivo ed organizzativo, è uno degli
elementi propulsori per la ricerca applicata nell'ambito della valutazione della qualità di
un sistema sia di produzione di beni sia di erogazione di servizi.
Nell’attuale visione della Qualità Totale (TQM - Total Quality Management)
anche gli aspetti riguardanti la qualità, più vicini al processo di produzione, assumono
una rilevanza particolare che va al di là di quanto era tradizionalmente inteso e che
sinteticamente si può indicare come Controllo Statistico di Processo (SPC - Statistical
Process Control).
L’analisi della capacità del processo che, da strumento tipicamente ad elevato
contenuto tecnico, è diventata strumento di valutazione specifica e globale della qualità
del sistema nei suoi aspetti manageriali richiede un apparato di metodi di sintesi e di
confronto alla cui semplicità e immediatezza d’uso corrispondano basi sia
probabilistiche sia statistiche che permettano di valutare le conseguenze delle decisioni
operative, prese sulla base di informazioni parziali, quali sono quelle campionarie.
E' questa certamente una delle finalità che ha portato all'introduzione di una
serie di “indici di capacità di processo” (PCI - Process Capability Indices) che ha avuto
in questo ultimo quarto di secolo un continuo sviluppo, dall'iniziale proposta che si può
far risalire a Juran et alii (1974). La larga diffusione di tali strumenti, in particolare
nell'industria americana e giapponese oltre che europea, è stata favorita anche dalla loro
utilizzazione sistematica da parte di alcune importanti industrie di livello internazionale
in campo automobilistico, quali Ford, General Motors e Chrysler. L’impiego di tali
procedure per la valutazione della qualità ha svolto anche un'azione di diffusione diretta
e indiretta in altri ambiti produttivi influendo sulle aziende fornitrici di tali industrie
(•)
Il presente lavoro costituisce, in forma estesa, il contributo presentato alla XL Riunione Scientifica
della Società Italiana di Statistica, Firenze 2000. L’impostazione generale della ricerca è condivisa dagli
autori; in particolare, a P.M. Chiodini si deve la stesura dei paragrafi 2, 5 e a U. Magagnoli si deve la
stesura dei paragrafi 3, 4.
1
leader. L'attuale momento caratterizzato, in Europa ed in particolare, in Italia
dall'introduzione della Certificazione della Qualità ha esteso l'impiego di tali strumenti a
settori merceologici differenti e ad aziende di medie e piccole dimensioni.
L'interesse nei riguardi dei PCI, similmente a quanto è avvenuto per altri
strumenti procedurali aventi rilevanti basi ed implicazioni statistiche, quali sono ad
esempio le carte di controllo di Shewhart, ha prodotto una notevole letteratura
scientifica che ha portato all'introduzione di specifici indici, sia per superare eventuali
limiti di quelli già presenti sia per rispondere a particolari nuove esigenze operative o
metodologiche; di tali indici sono state studiate le proprietà inferenziali degli stimatori
proposti e le procedure di verifica d'ipotesi ad essi collegabili (v. Kotz, Johnson (1993)
e Kotz, Lovelace (1998)).
Inoltre l’impiego di indicatori sintetici, quali i PCI, ha avuto, dai secondi Anni
’70 al momento attuale, una continua evoluzione che ha portato sia all’allargamento
della classe di indici: dalle proposte iniziali (indice Cp) alla serie di indici quali gli
indici Cpk, Cpm fino a quelli detti di terza generazione (ad esempio Cpmk e la classe di
indici Cp(u, v) che comporta una struttura unificante dei precedenti indici) sia alla
formulazione di altri indici, in grado di tenere conto dell’allontanamento dalle usuali
assunzioni riguardanti la normalità della distribuzione della caratteristica in oggetto,
quale l’indice Cs proposto da Wright e gli indici Cs(h) e C s* (h) che ne costituiscono una
generalizzazione e che saranno oggetto di particolare interesse in questo lavoro.
2. I principali indici di capacità di processo
L’esigenza di disporre di una misura immediata e di facile comprensione che
evidenzi la capacità di un processo a rispettare i limiti di specificazione o di tolleranza
imposti in fase di progetto e che si presenti in una forma adimensionale, propria di un
indice (con valori positivi che possono essere maggiori o minori dell’unità in relazione
ad una capacità di processo soddisfacente oppure non soddisfacente) è stata da sempre
sentita nell’ambito dei sistemi organizzativi SPC.
Indicata con X la caratteristica oggetto d’indagine, che per semplicità è
considerata in questo lavoro unidimensionale, la situazione più ricorrente vede
l’assegnazione di un “valore di riferimento” T (Target) ed anche di due valori “limiti di
specificazione” U e L, rispettivamente superiore ed inferiore, nella letteratura indicati
generalmente con USL (Upper Specification Limit) e LSL (Lower Specification Limit).
Conoscendo la distribuzione di X è possibile valutare da un lato la proporzione o
probabilità di unità prodotte dal processo θ che sono non conformi alle specifiche
θ = 1 − Pr{L≤ X ≤U}=θL + θU = Pr{X <L} + Pr{X >U} = FX(L) + [1−FX(U)]
(1)
dove FX(•) è la funzione ripartizione della caratteristica X.
Un altro parametro di interesse, per la valutazione della capacità del processo, è
dato dalla perdita media o “rischio” R, collegato alla non corrispondenza del valore
della caratteristica delle unità prodotte al valore T:
R = E{l(X; T)}
(2)
2
dove E{•} è l’operatore media aritmetica e l(x; T)≥ 0 è una funzione di perdita che è
scelta opportunamente a seconda delle conseguenze economiche che la non
corrispondenza del valore x di una unità prodotta rispetto a T ha sul produttore o, più in
generale, sul sistema economico (fornitore – acquirente). In linea con le metodologie
che si richiamano ai contributi di Taguchi riguardanti la progettazione “robusta” del
TMQ, come funzione di perdita si ricorre spesso ad una semplice espressione quadratica
l(x; T) = a (x−T)2 che comporta una funzione di rischio proporzionale a E{(X-T)2},
potendosi porre senza perdita di generalità:
R = τ2 = E{(X-T)2} = E{(X-µ)2} + (µ−T)2 = σ2 + (µ−T)2
(3)
essendo µ e σ2 rispettivamente il valore medio e la varianza della caratteristica X
oggetto di interesse.
Da quanto detto si richiede che i PCI siano legati in maniera inversa alla
probabilità di non conformità θ ed al rischio R e di conseguenza allo scarto quadratico
medio σ che misura la dispersione di X. L’esigenza di sintesi che è alla base
dell’introduzione dei PCI, può essere offuscata o comunque attenuata da altri elementi
che influiscono sulla proporzione di elementi non conformi e sull’entità della funzione
di perdita, quali:
− legge di distribuzione della X, in termini di forma (simmetria o non, normalità o
non), con esistenza di parametri propri, legati o non legati, a quello di locazione µ ed
a quello di dispersione σ ;
− valori di specificazione diversi: presenza di un solo limite di specificazione,
superiore o inferiore invece di due, intervallo di specificazione simmetrico o
asimmetrico rispetto al valore di riferimento T, cioè T = M oppure T ≠ M, dove con
M = (U+L)/2 si è indicato il punto centrale dell’intervallo di specificazione.
2.1 Struttura generale di un indice di capacità
La tipica struttura di un indice PCI è quella di un rapporto C tra due intervalli,
espressi nell’unità di misura della grandezza di interesse X, rispettivamente indicati con
IN ed ID:
C=
IN
ID
(4)
in cui l’intervallo IN che è al numeratore è più direttamente legato ai valori di specifica
richiesti per il prodotto, mentre l’intervallo ID è più direttamente legato alle modalità
distributive della caratteristica oggetto di interesse X in termini di dispersione, di forma
della legge di distribuzione, di distorsione del valore medio rispetto al valore di target,
ecc..
3
2.2
L’indice Cp
Alla struttura esposta in (4) per gli indici PCI risponde l’indice Cp che è stato
proposto per primo (Kotz S., Lovelace C.R. (1998) e Kotz S., Johnson N.L. (1993)):
Cp =
d
(U − L)
=
3σ
6σ
(5)
E’ l’indice che presenta la forma più semplice, ed è impiegato tradizionalmente
come misura della capacità reale del sistema produttivo a soddisfare il livello di qualità
richiesto dalle specifiche di produzione.
Tale indice, infatti, mette a confronto l’ampiezza dell’intervallo di specificazione
del processo considerato, quantità a numeratore, con quella di un intervallo entro cui
effettivamente si presenta il processo, quantità al denominatore. Quanto più è elevato il
valore di Cp e tanto più ridotta è la variabilità della caratteristica del processo. Si osservi
che, data la struttura dell’indice, qualora si verifichi una sola traslazione della legge di
distribuzione che descrive il processo, il valore dell’indice Cp rimane invariato. Il valore
di Cp fornisce una misura della “potenzialità” della capacità di un processo a produrre
unità accettabili (v. Kotz, Lovelace (1998), pp. 34-35), non tenendo conto del valore su
cui il processo è centrato rispetto al valore di target.
E’ possibile mettere in relazione l’indice Cp e la frazione di elementi non
conformi in un modo di immediata comprensione solo se valgono le seguenti
condizioni: i) la variabile casuale X che descrive il processo si distribuisce secondo la
legge normale; ii) la media µ della variabile X coincide con il valore di riferimento
definito dalle specifiche T (pari anche al valore centrale dell’intervallo di specificazione
M), situazione corrispondente ad un processo in controllo in media.
Data la struttura dell’indice Cp e alla luce di quanto detto sopra, appare ovvio
che la proporzione θ di elementi non conformi sotto le condizioni citate sia pari a:
θ = Φ(
L−µ
U −µ
) + [1−Φ(
)]
σ
σ
(6)
essendo Φ(•) la funzione di ripartizione della variabile casuale normale standardizzata.
Poiché l’indice Cp non tiene conto della media del processo non fornisce una
misura diretta di θ , ma piuttosto un estremo inferiore:
θ ≥ Φ(−3Cp) + [1−Φ(3Cp)] = 2 Φ(−3Cp)
(7)
L’eguaglianza si avrà solo quando il processo è completamente centrato nell’intervallo
di specificazione, ovvero quando µ = M.
2.3
L’indice Cpk e l’indice Cpm
Mentre l’indice Cp non richiede conoscenze sul valore della media di processo µ,
si è osservato che il valore di µ influenza la probabilità di elementi non conformi θ ed è
stato, pertanto, introdotto l’indice Cpk che tiene conto di tale influenza.
4
L’indice Cpk è definito:
Cpk =
min(U − µ , µ − L)
d− | µ − M |
|µ −M |
=
= [1−
] Cp
3σ
d
3σ
(8)
dove, a differenza di Cp, il termine a numeratore è dato dalla minor distanza dalla media
di X dagli estremi di specificazione. Risulta così Cpk ≤ Cp, con l’uguaglianza solo se
µ = M. Kane (1986) ha definito un indice analogo a Cpk dove nella (8) al posto di M è
introdotto il valore di target T.
Se la legge di distribuzione della caratteristica X è normale la (6), permette di
determinare θ per casi particolari in cui µ ≠ M.
L’indice Cpm, è definito:
Cpm =
(U − L)
d
=
2
6τ
3[σ + ( µ − T ) 2 ]1/ 2
(9)
dove τ2 è l’errore quadratico medio della caratteristica X rispetto al valore di target T
dato dalla (3), che, sfruttando la teoria introdotta da Taguchi relativa alla funzione di
perdita quadratica, permette di modellare un indice che non solo tiene conto della
variabilità del processo ma anche di quanto la media del processo si discosta dal valore
di target.
Così per massimizzare Cpm è sufficiente minimizzare τ, tramite una diminuzione
della variabilità del processo oppure cercando di avvicinare la media del processo al
valore di target o agendo in entrambi i modi contemporaneamente (v. Kotz, Lovelace
(1998), pp. 77-83).
Anche per l’indice Cpm è possibile determinare la frazione di elementi non
conformi θ mediante la (6).
2.4
L’indice Cpmk e l’indice Cp(u, v)
I PCI sono stati introdotti in Giappone alla metà degli Anni ’70. La prima
generazione, Cp e Cpk, costituisce uno strumento di base per descrivere la dispersione.
Alla metà degli Anni ’80 con il contributo degli statistici sono stati messi in luce i limiti
di tale approccio, in particolare, è stato evidenziato come l’impiego di tali indici non
contribuisse in alcuni casi al miglioramento della qualità del processo. E’ stato pertanto
introdotto l’indice Cpm assieme ad altri ad esso collegati che hanno come riferimento la
variabilità rispetto al valore di target. Tuttavia il miglioramento così ottenuto non è
risultato sufficiente. Una possibile strada sembra quella di proporre indici che
riuniscano le proprietà dei diversi indici già esistenti. Un esempio ci è dato dall’indice
Cpmk, proposto da Pearn et al. (1992), che è una combinazione degli indici Cpk e Cpm:
Cpmk =
min(U − µ , µ − L)
d− µ−M
|µ −M |
=
= [1 −
] Cpm
2
2 1/ 2
3τ
3[σ + ( µ − T ) ]
d
(10)
Dal confronto di tale indice con gli altri emerge che esso è più selettivo rispetto
5
a deviazioni del processo dal valore di target.
In modo del tutto analogo a quanto si è visto per gli altri indici si può ottenere la
frazione di elementi non conformi θ, mediante la (6).
Una classificazione, infine, in ordine di rango per evidenziare la sensitività a
differenze tra media del processo e valore di target pone i diversi indici in ordine
decrescente: Cpmk, Cpm, Cpk e Cp (Pearn, Kotz (1994)).
Un ulteriore indice che viene qui presentato, proposto da Vännman (1995), è
l’indice Cp(u, v), che ha la seguente definizione:
d − u| µ − M |
3[σ 2 + v ( µ − T ) 2 ]1/ 2
C p (u, v) =
(11)
dove u e v sono una coppia di parametri non negativi, che costituisce una classe di
indici diversi in relazione a valori assegnati a u e v.
Ponendo alternativamente il valore di u e v pari a 0 e 1 si possono ottenere gli
indici precedentemente illustrati, infatti:
Cp(0, 0) = Cp;
Cp(1, 0) = Cpk;
Cp(0, 1) = Cpm;
Cp(1, 1) = Cpmk.
(12)
Le ragioni che hanno portato ad introdurre l’indice Cp(u, v), u>0 e v>0, vanno
ricercate nell’esigenza di disporre di indici che fossero più sensibili allo spostamento
della media del processo rispetto al valore di target. In particolare, si osserva che
l’indice Cp(u, v) presenta la sopraddetta proprietà quando u e v assumono valori elevati,
infatti, all’aumentare del valore di questi due parametri aumenta la sensibilità
dell’indice.
Le restanti principali proprietà di Cp(u, v) sono sostanzialmente le medesime
degli altri indici esposti precedentemente ad esempio, per la frazione di elementi non
conformi si ha la relazione, analoga alle precedenti, θ ≤ 2Φ(−3Cp(u, v)) per u>0 e v>0.
3. Indici di capacità di processo in presenza di distribuzioni
asimmetriche
Capostipite di una nuova generazione di indici che tengono conto della
asimmetria della caratteristica di interesse, è l’indice Cs, introdotto da Wright (1995),
definito nel seguente modo:
Cs =
min (U − µ ; µ − L)
3 σ + (µ − T ) + µ 3 / σ
2
2
=
d − µ−M
3σ 1 + [( µ − T ) / σ ] + γ 1
2
(13)
dove al denominatore si tiene conto dell’asimmetria della caratteristica X mediante il
valore assoluto dell’indice di asimmetria, γ 1 di Fisher, essendo µ 3 = γ 1σ 3 il momento
centrale terzo della caratteristica X.
Questo indice risulta essere particolarmente interessante in quanto, quale
generalizzazione dell’indice Cpmk, consente di valutare situazioni in cui la legge di
6
distribuzione della caratteristica oggetto dell’indagine sia non simmetrica.
E’ da osservare che l’indice Cs sarà sempre minore al più uguale all’indice Cpmk
e l’uguaglianza si avrà solo nel caso in cui la legge di distribuzione della caratteristica X
sia simmetrica.
La critica fondamentale che si può muovere all’indice Cs consta nel fatto che
non esistono relazioni funzionali esplicite o maggiorazioni tra l’indice e la frazione di
elementi non conformi θ , come si verifica invece per gli altri indici, problema che è
argomento di questo lavoro.
3.1
L’indice Cs(h) e l’indice C*s (h)
Si è ritenuto interessante studiare l’andamento dell’indice Cs al variare della
frazione di elementi non conformi θ e per facilitare una tale analisi si è proposta una
formulazione più generale dell’indice indicato nella (13), come è presentata da Chen e Kotz
(1996), ovvero:
C s ( h) =
min (U − µ ; µ − L)
3 σ 2 + (µ − T ) 2 + h µ 3 / σ
=
d − µ−M
3σ 1 + [( µ − T ) / σ ] + h γ 1
2
,
(14)
dove h è un parametro definito positivo che enfatizzando la componente dell’indice Cs
legata all’indice di asimmetria γ 1 consente di ricercare un andamento tra l’indice C s (h) e
θ similare a quello che si ha nel caso di distribuzione normale per la variabile X.
Di interesse è anche lo studio dell’indice C*s (h) che, può intendersi come una
generalizzazione dell’indice Cpm e risulta essere definito nel seguente modo:
C s* (h) =
d
=
3 σ + (µ − T ) + h µ 3 / σ
2
2
d
3σ 1 + [( µ − T ) / σ ] + h γ 1
2
(15)
dove il numeratore viene a coincidere con quello dell’indice Cpm mentre il denominatore
coincide con quello dell’indice Cs(h) ottenendo così un indice che risulta essere
insensibile a slittamenti della media del processo rispetto a M, valore centrale
dell’intervallo di specificazione, mentre è sensibile agli scostamenti della media del
processo produttivo dal valore di target T ed al grado di asimmetria della legge di
distribuzione di X.
In questo contesto diviene interessante osservare che per h=0 l’indice Cs(h)
coincide con l’indice Cpmk mentre l’indice C*s (h) viene a coincidere con l’indice Cpm.
D’altro canto per h=1 l’indice Cs(h) coincide con l’indice Cs proposto da Wright.
L’influenza dell’entità della asimmetria presente nella distribuzione della
caratteristica X, in termini dell’indice di forma γ1 e del parametro h presenti nelle
equazioni (14) e (15), sui valori dei PCI Cs(h) e C*s (h), rispettivamente, è data in
Figura 1. In tale figura, al fine di evidenziare il contributo del solo parametro h e di γ1 si
è considerato che la caratteristica X presenti una media µ centrata su M, assunto
quest’ultimo coincidente con T ossia µ ≡ µ0 con µ0 = M ≡ T e che lo scarto quadratico
medio σ sia pari a 1/6 dell’intervallo di specificazione (U-L), σ ≡ σ0 con σ0 = d/3; in tali
7
condizioni gli indici Cs(h) e C*s (h) coincidono e sono espressi dalla relazione seguente:
1
C s (h) ≡ C s* (h) =
che comporta per h = 0 o γ1 = 0 il valore unitario degli
1+ hγ1
indici PCI considerati. Dal grafico si può osservare, ad esempio, che la presenza di un
valore di |γ1| = 1 comporta valori dei PCI considerati pari a 0,84 per h = 0,5 e pari a 0,71
per h = 1, mentre per |γ1| = 2 si hanno valori dei PCI pari a 0,71 e 0,58 rispettivamente
per i medesimi due valori di h considerati.
1.1
h
1
0
0.9
0.2
Cs(h)
0.8
0.4
0.6
0.7
0.8
1
0.6
1.2
0.5
0
0.5
1
1.5
2
γ1
Figura 1: Influenza di h e di γ1 sugli indici Cs(h) e C*s (h) nel caso in cui la media µ=µ0
e lo scarto quadratico medio σ=σ0
4. Ricerca del valore da assegnare al parametro h presente negli indici
Cs(h) e C*s(h)
Negli indici Cs(h) e C*s (h) definiti nel paragrafo precedente è presente un
parametro h che influisce sulla componente legata alla simmetria della distribuzione
della caratteristica X espressa in termini dell’indice γ1. In questo paragrafo si vuole
indicare una procedura che permetta di individuare l’opportuno valore da assegnare ad h
così da tenere nel giusto conto la natura asimmetrica presente nella distribuzione della
caratteristica X.
E’ sembrato logico nello stabilire un criterio per l’individuazione del valore di h
mettere a confronto l’andamento degli indici Cs(h), C*s (h) e quello della frazione di
elementi non conformi θ in presenza di una caratteristica X distribuita con legge
gaussiana rispetto a quello che si verifica in presenza di una caratteristica X distribuita
con una specifica legge asimmetrica, considerando i parametri di locazione (media) e di
dispersione (varianza) identici tra le due distribuzioni.
Come leggi di distribuzioni asimmetriche si sono prese in considerazione, per il
loro largo impiego operativo oltre che per proprietà e semplicità formali, quelle
rispondenti alla legge di Gamma a due parametri e la legge Weibull a due parametri,
8
rispettivamente indicate con Gam(ξ, α) e Wei(ζ, β).
Entrambe rappresentano variabili casuali continue che assumono soltanto valori
non negativi, in cui i parametri α e β, rispettivamente, costituiscono degli indicatori di
forma, a cui il corrispondente indice di asimmetria γ1 è strettamente legato mediante una
relazione biunivoca. Nelle Appendici A1 e A2 si sono riportate le funzioni di densità e
di ripartizione, i principali momenti e gli indici di forma rispettivamente per la
distribuzione Gamma e di Weibull.
Per ciascun indice PCI considerato, Cs(h) o C*s (h), e per ciascuna delle due leggi
di distribuzione ipotizzate per la caratteristica oggetto di studio X si è proceduto
all’individuazione del valore da assegnare ad h secondo i passi qui indicati, in modo che
le relazioni tra gli indici PCI e la frazione di elementi non conformi sia la più prossima
a quella che si verifica nella situazione di distribuzione normale per la caratteristica X.
Questo faciliterebbe anche l’operatore che, sulla base dell’esperienza d’impiego degli
indici Cpmk e Cpm, in presenza di caratteristiche X distribuite normalmente, sarebbe in
grado di valutare indirettamente la frazione θ di elementi non conformi e di dare così un
equivalente significato ai corrispondenti indici Cs(h) o C*s (h) in presenza di distribuzioni
asimmetriche.
i)
ii)
iii)
iv)
Stabilito un valore del parametro di forma per la legge di distribuzione
nell’ambito dei valori di interesse applicativo (α>0 per la distribuzione Gamma
o β>0 per la distribuzione di Weibull) e un valore medio di riferimento µ0,
assunto unitario, senza perdita di generalità, si è considerata una successione di
m distribuzioni individuate dai valori medi µi>µ0 per i=1,2,…,m
opportunamente assegnata.
Mediante le relazioni delle appendici A1 e A2 sono ottenibili per la
successione di distribuzioni i parametri di scala (ξi oppure ζ i per i=0,1,…,m) e
di dispersione σi per i=0,1,…..m aventi lo stesso parametro di forma (α o β) e
quindi le funzioni di ripartizione Fi(•).
Con i valori µ0 e σ0 relativi alla situazione distributiva di riferimento vengono
individuate le grandezze di specificazione degli indici PCI considerati e
precisamente:
• valore di target T: T = µ0
• valore centrale dell’intervallo di specificazione M: M =µ0
• ampiezza dell’intervallo di specificazione: 2d=6σ0 da cui d=3σ0
• estremi inferiore e superiore dell’intervallo di specificazione (L,U): L=µ0-d,
U=µ0+d.
Mediante la funzione di ripartizione Fi(•) propria della legge di distribuzione
considerata in corrispondenza della successione di variabili casuali Xi è
possibile ottenere la frazione di unità prodotte non conformi data da:
θi=Fi(L)-[1-Fi(U)]
v)
per i=0,1,…,m.
(16)
In corrispondenza di ciascun valore θi si determina la frazione di unità non
conformi considerando la caratteristica, distribuita secondo la legge normale,
con media pari a µi e varianza σ2i ossia gli stessi valori dei parametri della
variabile casuale Xi asimmetrica considerata:
9
 L − µi
θ Ni = Φ
 σi
 
 U − µi
 + 1 − Φ
 
 σi



per i=0,1,…,m.
(17)
vi)
Stabilita una serie H di r valori per il parametro h presente nella espressione
dell’indice PCI considerato (Cs(h) oppure C*s (h)), h∈{0;0,1;0,2;…;1;…} si
determinano i valori per le m+1 situazioni di distribuzione asimmetriche,
aventi tutte il parametro di forma (α o β), Ci(h) per i=0,…,m e h∈H; si può
graficamente evidenziare la relazione tra i valori di Ci(h) e le frazioni di
elementi non conformi θi in un grafico(1)
gh ≡ {zi=Φ-1(θi)+3, Ci(h), i=0,1,…,m}
per ogni valore di h∈H.
vii) Un grafico analogo ai precedenti è ottenuto per la situazione di confronto in cui
si considera la variabile casuale X distribuita normalmente
gN ≡ {zNi=Φ-1(θNi)+3, CNi(h), i=0,1,…,m}.
I valori CNi sono gli stessi determinati per i Ci(h) per h=0, e quindi CNi=Ci(0). Il
grafico gN rappresenta pertanto la relazione tra la frazione degli elementi non
conformi e l’indice PCI considerato nell’ipotesi di legge di distribuzione
simmetrica e specificatamente normale che costituisce l’assunzione considerata
come base nelle applicazioni.
viii) Mediante interpolazione o estrapolazione lineare del grafico gN si determinano
~
i valori C i dell’indice PCI in corrispondenza della frazione degli elementi non
~
conformi propria della distribuzione asimmetrica considerata. I valori C i sono
ix)
ottenuti in corrispondenza del valore di ascissa zi=Φ-1(θi)+3 per i=0,1,…,m sul
grafico gN. Un esempio della procedura descritta è dato in Figura 2.
La scelta dell’opportuno valore da assegnare al parametro h∈H si riconduce
alla minimizzazione di una funzione degli scostamenti tra i valori Ci(h) ed i
~
~
corrispondenti valori di riferimento C i : ∆i(h)=|Ci(h)- C i | per i=0,1,…,m ed
x)
h∈H.
Come criterio di accostamento si sono considerati:
a) criterio “min-max”: si ricerca il valore di h tale che min Q(h) = Q(h ) con
h∈H
Q(h)=max ∆i(h) per i=0,1,…,m.
=
=
b) criterio “min-quadrati”: si ricerca il valore h tale che min S (h) = S (h) con
h∈H
m
S (h) = ∑ ∆2i (h) .
i =0
(1 )
Per facilitare la rappresentazione grafica del legame funzionale tra θi e Ci(h) si è utilizzato al posto di
θi la trasformazione “probit” zi=Φ-1(θi)+3, che si dimostra utile nel caso in questione in quanto linearizza
il grafico ottenuto facilitando l’interpolazione richiesta al successivo passo vii).
10
{z (θ i ), Ci (h)}
1,0
∆ i (h )
~
Ci
0,9
0,8
{z (θ Ni , Ci (h = 0)}
0,7
0,6
z i = z (θ i )
0,5
0,4
0,00
0,20
0,40
0.0
0,60
0.6
0,80
1,00
1,20
1,40
Norm.
~
Figura 2: Grafico degli scostamenti ∆i(h) tra i valori Ci(h) ed i valori di riferimento C i .
=
I valori h e h in generale possono essere diversi tra loro e dipendono da
molteplici elementi i principali sono
• legge di distribuzione asimmetrica considerata per la variabile casuale X (per
esempio: Gamma e Weibull);
• valore del parametro di forma (α o β) e quindi dell’indice di asimmetria γ1
considerato;
• successione degli m valori medi presi in considerazione (µ0, µ1,…,µm);
• ampiezza e risoluzione dei valori per h considerati in H.
Un’analisi di sensibilità completa richiederebbe l’impiego di strumenti analitici
=
piuttosto complessi per verificare la “robustezza” di h e h e quindi l’insensibilità del
parametro h ottenuto nelle diverse condizioni studiate. Si è ritenuto pertanto opportuno
svolgere un’analisi preliminare in linea con la procedura precedentemente descritta, i
cui risultati sono riportati nel seguente paragrafo.
5. Risultati di un’analisi comparata per la scelta del parametro h
presente negli indici Cs(h) e C*s(h)
Impiegando la procedura di ricerca ottimale del parametro h presente negli indici
PCI Cs(h) e C*s (h) descritta nel paragrafo 4, una prima analisi comparativa è stata
condotta considerando che la caratteristica X si distribuisca con legge di Weibull
definita da un parametro di forma β=0,25 oppure che si distribuisca con legge Gamma
di uguale coefficiente di variazione cv=0,428 che comporta un parametro di forma
α=5,461, come risulta nell’Appendice A3.
11
La successione dei valori medi considerati per la variabile casuale X ed i
principali parametri delle distribuzioni Gamma e di Weibull sono riportati nella
Tabella 1, nella quale sono indicati i valori di specificazione degli indici PCI ottenuti
sulla base dei valori µ0 e σ0 di riferimento, in particolare, i valori medi µi sono ottenuti
dai valori di riferimento µ0 e σ0 mediante il parametro di scostamento δi a cui si sono
assegnati i valori da 0,1 a 0,8 utilizzando la relazione µi= µ0+ δiσ0 per i=1,2,…,8.
Tabella 1: Parametri delle distribuzioni di X - Weibull e Gamma –
adottate per il confronto e valori di specificazione
Valori di specificazione Distrib. Weibull (1) Distrib. Gamma (2)
α = 5,461
M = T = µ 0 = 1,00;
β = 2,50
cv = 0,428
cv = 0,428
d = 3σ 0 = 1,284;
U = 2,284; L = −0,284
γ 1 = 0,3586
γ 1 = 0,8558
i
µi
σi
ζi
ξi
δi
0
0 1,000 0,428
1,127
0,183
1
0,1 1,042 0,446
1,175
0,191
2
0,2 1,086 0,465
1224
0,199
3
0,3 1,128 0,483
1,272
0,207
4
0,4 1,171 0,501
1,320
0,214
5
0,5 1,214 0,520
1,368
0,222
6
0,6 1,257 0,538
1,416
0,230
7
0,7 1,300 0,556
1,465
0,238
8
0,8 1,342 0,574
1,513
0,246
(1)
(2)
Essendo β e ζ rispettivamente il parametro di forma e quello di scala della
distribuzione di Weibull (v. Appendice A2).
Essendo α e ξ rispettivamente il parametro di forma e quello di scala della
distribuzione Gamma (v. Appendice A1)
Relativamente all’indice Cs(h) nelle Tabelle 2a e 2b, rispettivamente per la
distribuzione di Weibull e Gamma si sono riportati i valori, indicati per semplicità con
Ci(h), per ogni distribuzione della caratteristica X ipotizzata in Tabella 1, e quindi per
i=0,1,…m, facendo variare h da 0 a 1,2 con passo pari a 0,1. Nelle tabelle sono indicati
anche la corrispondente frazione degli elementi non conformi θi, la frazione degli
elementi non conformi nell’ipotesi di distribuzione non normale θNi e il valore
~
corrispondente Ci , ottenuto mediante interpolazione lineare come è stato indicato nel
passo viii) della procedura riportata nel paragrafo 4.
Nelle due tabelle si sono specificatamente riportati i valori Ci(h) per h=0 e h=1
ed inoltre quelli vicini ai parametri h e h ottenuti con la procedura di paragrafo 4. I
valori di h e h risultano uguali tra loro e pari a 0,6 per la distribuzione di Weibull
(Tabella 2a) e a 0,7 per la distribuzione Gamma (Tabella 2b), rispettivamente.
12
Tabella 2a: Valori di Ci(h) ≡ Cs(h) per i =0, 1 …, m=8 e per diversi valori di h
Distribuzione di Weibull
~
I
θi
θNi
Ci
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0029
0,0052
0,0086
0,0133
0,0195
0,0273
0,0369
0,0480
0,0608
h=
0,0013
0,0027
0,0050
0,0084
0,0132
0,0197
0,0281
0,0384
0,0506
0,6
h = 0,6
Indice PC: Cs(h) ≡ Ci(h); Ci(h) per i =0, 1 …, m=8
h=0,0 … h=0,5 h=0,6 h=0,7 … h=1,0
0,915 1,000
0,839 0,923
0,767 0,846
0,699 0,771
0,637 0,700
0,579 0,635
0,527 0,575
0,490 0,519
0,434 0,469
Q(h) 0,0855
S(h) 0,0648
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,921 0,907 0,894
0,850 0,838 0,826
0,781 0,769 0,758
0,713 0,703 0,694
0,650 0,641 0,633
0,591 0,583 0,576
0,537 0,530 0,523
0,487 0,481 0,475
0,441 0,436 0,431
0,0140 0,0073 0,0204
0,0108 0,0038 0,0092
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,847
0,782
0,719
0,659
0,602
0,549
0,500
0,455
0,413
0,0565
0,0339
Tabella 2b: Valori di Ci(h) ≡ Cs(h) per i =0, 1 …, m=8 e per diversi valori di h
Distribuzione Gamma
i
θi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0089
0,0126
0,0172
0,0227
0,0294
0,0371
0,0460
0,0559
0,0670
h=
θNi
0,0013
0,0027
0,0050
0,0084
0,0132
0,0197
0,0281
0,0384
0,0506
0,7
h = 0,7
~
Ci
Indice PC: Cs(h) ≡ Ci(h); Ci(h) per i =0, 1 …, m=8
h=0,0 … h=0,6 h=0,7 h=0,8 … h=1,0
0,761 1,000
0,708 0,923
0,658 0,846
0,611 0,771
0,567 0,700
0,525 0,635
0,487 0,575
0,451 0,519
0,416 0,469
Q(h) 0,2391
S(h) 0,1524
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,813 0,791 0,771
0,751 0,731 0,713
0,691 0,673 0,656
0,634 0,617 0,602
0,580 0,565 0,551
0,529 0,516 0,504
0,482 0,471 0,460
0,439 0,429 0,420
0,400 0,391 0,375
0,0519 0,0299 0,0331
0,0274 0,0186 0,0201
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,734
0,679
0,625
0,575
0,527
0,482
0,441
0,403
0,367
0,0565
0,0339
Analogamente, nelle Tabelle 3a e 3b sono stati riportati i risultati riguardanti
l’indice C*s (h). Si osservi che i valori di ottimi h ottenuti, secondo la procedura di
paragrafo 4, sono rispettivamente h = h pari a 0,3 per la distribuzione di Weibull
(Tabella 3a) e pari a 0,4 per la distribuzione Gamma (Tabella 3b), rispettivamente.
13
Tabella 3a: Valori di Ci(h) ≡ C*s (h) per i =0, 1 …, m=8 e per diversi valori di h
Distribuzione di Weibull
~
i
θi
θNi
Ci
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0029
0,0052
0,0086
0,0133
0,0195
0,0273
0,0369
0,0480
0,0608
h=
0,0013
0,0027
0,0050
0,0084
0,0132
0,0197
0,0281
0,0384
0,0506
0,3
h = 0,3
Indice PC: C*s (h) ≡ Ci(h); Ci(h) per i =0, 1 …, m=8
h=0,0 … h=0,2 h=0,3 h=0,4 … h=1,0
0,949 1,000
0,902 0,955
0,854 0,906
0,807 0,857
0,763 0,808
0,721 0,761
0,683 0,718
0,647 0,678
0,614 0,640
Q(h) 0,0528
S(h) 0,0434
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,966 0,950 0,935
0,938 0,907 0,893
0,876 0,862 0,849
0,829 0,816 0,804
0,783 0,772 0,761
0,739 0,729 0,719
0,698 0,689 0,680
0,659 0,651 0,643
0,623 0,616 0,609
0,0221 0,0091 0,0142
0,0178 0,0063 0,0065
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,858
0,820
0,781
0,741
0,703
0,666
0,632
0,599
0,569
0,0914
0,0653
Tabella 3b: Valori di C i(h) ≡ C*s (h) per i =0, 1 …, m=8 e per diversi valori di h
Distribuzione Gamma
i
θi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0089
0,0126
0,0172
0,0227
0,0294
0,0371
0,0460
0,0559
0,0670
h=
θNi
0,0013
0,0027
0,0050
0,0084
0,0132
0,0197
0,0281
0,0384
0,0506
0,4
h = 0,4
~
Ci
Indice PC: C*s (h) ≡ C i(h); C i(h) per i =0, 1 …, m=8
h=0,0 … h=0,2 h=0,3 h=0,4 … h=1,0
0,850 1,000
0,813 0,955
0,778 0,906
0,744 0,857
0,712 0,808
0,682 0,762
0,652 0,718
0,626 0,678
0,600 0,640
Q(h) 0,1503
S(h) 0,1030
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,813 0,791 0,771
0,751 0,731 0,713
0,691 0,673 0,656
0,634 0,617 0,602
0,580 0,565 0,551
0,529 0,516 0,504
0,482 0,471 0,460
0,439 0,429 0,420
0,400 0,391 0,375
0,0424 0,0280 0,0418
0,0248 0,0145 0,0280
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,734
0,702
0,670
0,639
0,608
0,579
0,551
0,525
0,501
0,1156
0,1056
Data l’importanza che riveste l’indice di forma delle due distribuzioni α e β
sull’opportuna scelta del valore da assegnare a h nelle espressioni che individuano
rispettivamente gli indici Cs(h) e C*s (h) è stata effettuata un’analisi, condotta con la
stessa procedura esposta nel paragrafo 4, considerando una successione di valori di α e
β nell’intervallo di interesse applicativo. I risultati relativi ai valori di h e h sono
riportati in Tabella 4a, per la distribuzione di Weibull, e in Tabella 4b per quella
Gamma.
14
Tabella 4a: Valori ottimi di h, h e h , al variare del parametro
di forma β della distribuzione di Weibull
Distribuzione di Weibull
Indice PC: Cs(h) Indice PC: C s* (h)
β
cv
γ1
h
1
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
1,000
0,679
0,523
0,428
0,363
0,317
2,000
1,072
0,631
0,359
0,168
0,025
0,4
0,6
0,7
0,6
0,2
0,0
h
0,4
0,6
0,7
0,6
0,3
0,0
h
0,2
0,3
0,4
0,3
0,1
0,0
h
0,2
0,3
0,4
0,3
0,0
0,0
Tabella 4b: Valori ottimi di h, h e h , al variare del parametro
di forma α della distribuzione Gamma
Distribuzione Gamma
Indice PC: C s(h) Indice PC: C s* (h)
α
cv
γ1
h
1
3,0
6,0
9,0
12,0
15,0
1,000
0,577
0,408
0,333
0,289
0,258
2,000
1,155
0,816
0,667
0,577
0,516
0,4
0,6
0,8
0,8
0,8
0,8
h
0,4
0,6
0,8
0,8
0,8
0,8
h
0,2
0,3
0,4
0,4
0,4
0,4
h
0,2
0,3
0,4
0,4
0,4
0,4
Si osservi che i valori di α = β = 1 comportano l’individuazione della medesima
distribuzione esponenziale negativa che è stata riportata nelle Tabelle 4a e 4b, per
confronto.
Si riscontra che la diversità tra i corrispondenti valori di h, definiti mediante i
due criteri di accostamento considerati, è molto trascurabile; il ché avvalora la
correttezza dei risultati ottenuti.
I valori di h e h tendono a dimezzarsi nel passare dall’indice Cs(h) al
corrispondente indice C*s (h); mentre per la distribuzione Gamma al variare di α i valori
h e h sono tendenzialmente crescenti, stabilizzandosi attorno a 0,8 e 0,4,
rispettivamente per l’indice Cs(h) e C*s (h); per la distribuzione di Weibull, invece, al
variare di β, h e h hanno un andamento prima crescente e poi decrescente e
quest’ultimo andamento è giustificato dall’approssimazione a zero dell’indice di
asimmetria γ1, raggiungendo un valore massimo attorno a 0,7 e 0,4, rispettivamente per
gli indici Cs(h) e C*s (h).
6. Conclusioni
Nel presente lavoro sono stati analizzati i comportamenti di due indicatori di
capacità di processo che possono essere impiegati qualora la caratteristica d’interesse
15
presenti una distribuzione asimmetrica. Tali indici C s (h) e C*s (h) si possono intendere
come una generalizzazione dell’indice Cs proposto da Wright (1995), il quale tiene
conto dell’asimmetria della distribuzione mediante l’indice di forma γ1, in cui il
parametro h dà una rilevanza differente al grado di asimmetria della distribuzione.
E’ stata proposta una procedura che permette l’individuazione del valore da
assegnare ad h in modo tale che sia conforme al criterio di corrispondenza tra indici di
capacità e frazioni di unità non conformi alle specifiche, qualora la caratteristica sia
distribuita con legge normale. In particolare, l’analisi è stata condotta considerando due
specifiche distribuzioni di interesse operativo: con legge di Weibull e con legge Gamma
entrambe a due parametri, determinando il campo degli opportuni valori da assegnare al
parametro h presente negli indici considerati.
Le indicazioni emerse porterebbero a suggerire, qualora non si conosca l’esatta
distribuzione della caratteristica di interesse, per h il valore 0,6, relativamente all’indice
C s (h) , il che fa sì che tale indice sia in una posizione intermedia tra l’indice Cpmk e
l’indice Cs di Wright; mentre il valore h=0,3 potrebbe essere impiegato per l’indice C*s
(h).
Lo studio dopo aver condotto una comparazione tra due possibili distribuzioni
asimmetriche della caratteristica, quella Gamma e quella di Weibull; riporta i risultati
ottenuti che confermano l’indicazione sopraindicata.
In questo lavoro ci si è limitati a presentare solo il modello adatto alla
definizione di un indice di capacità di processo sensibile all’asimmetria della
distribuzione della caratteristica del processo, mentre ci si propone di approfondire in
seguito anche gli aspetti inferenziali che sono legati ad elementi campionari, in
particolare la stima puntuale ed intervallare degli indici proposti, le proprietà
distributive e asintotiche dei corrispondenti stimatori, conducendo uno studio su
ulteriori distribuzioni, quali quella “lognormale” e “beta”, anch’esse d’interesse
applicativo.
Appendici
Appendice A1. Distribuzione Gamma a due parametri
Una variabile casuale continua U si distribuisce con legge di distribuzione
Gamma a due parametri, U∼Gam(ξ,α), se presenta la seguente funzione di densità:
ξ u
 
f G (u; ξ ,α ) =
Γ(α )  ξ 
α −1
e −u / ξ
per 0≤u<∞
(A1)
La corrispondente funzione di ripartizione risulta data da:
 1 u 

I  ,α 
FG (u; ξ , α ) =  Γ(α )  ξ 
0

per 0 ≤ u < ∞
per u < 0
16
(A2)
u
dove I(u; α) è la funzione Gamma incompleta, definita come: I (u;α ) = ∫ t α −1e −t dt .
0
La distribuzione Gamma è individuata da due parametri, rispettivamente:
• ξ: parametro di scala, con ξ>0;
• α: parametro di forma, con α>0.
La funzione di densità presenta un grafico campanulare per valori di α maggiori
di 1, mentre per α=1 coincide con la legge di distribuzione esponenziale.
I momenti dall’origine della variabile casuale U∼Gam(ξ,α) risultano (v.
Johnson, Kotz (1970)):
µ k = E{U k } = α (α + 1)...(α + k − 1)ξ k = (α + k − 1)ξµ k −1
per k=1, 2, …
e, in particolare, si ha il valor medio µ e la media dei quadrati µ2 pari a
µ = αξ ;
µ2 = α(α +1) ξ 2
(A3)
Pertanto, i principali momenti centrali saranno
µ 2 = αξ 2 = σ 2 , varianza;
µ 3 = 2αξ 3 ;
µ 4 = 3α (α + 2)ξ 4
Lo scarto quadratico medio σ e l’indice di forma di Fisher γ1, che misura
l’asimmetria della distribuzione, risultano:
σ = αξ ;
µ
µ
2
2

γ 1 = 33 =
; γ 2 = 44 = 31 +  .
σ
σ
α
 α
(A4)
(A5)
In Figura A1 vengono riportati gli andamenti delle funzione di densità della
variabile casuale Gamma, per alcuni valori di α, in forma standardizzata (U-µ)/σ, messi
a confronto con la distribuzione normale standardizzata: variabile casuale Z∼N(0, 1).
Trattandosi di una variabile casuale non negativa, il coefficiente di variazione cv
costituisce un parametro di particolare interesse sia dal punto di vista descrittivo sia da
quello inferenziale come è evidenziato dal legame con α, avendosi infatti:
1
σ
=
(A6)
µ
α
L’indice di asimmetria γ1, dato dall’equazione (A5), risulta sempre positivo ed è
anch’esso funzione solo del parametro di forma α e tende a zero al divergere di α:
cv =
γ1 =
2
α
= 2c v
(A7)
17
α=1
Norm.
α=2
α=4
α=6
α=8
α=10
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z
Figura A1: Funzioni di densità della variabile casuale Gamma in forma
standardizzata, per alcuni valori di α, messi a confronto con la distribuzione della
normale.
Il grafico di Figura A2 riporta l’andamento di cv e γ1 al variare di α.
Qualora siano noti il coefficiente di variazione e la media della variabile casuale
U ∼ Gam(ξ, α) si ottengono i parametri ξ e α mediante le equazioni (A3) e (A4):
α=
1
cv
(A8)
2
ξ = µ ⋅ cv
2
(A9)
dalle quali è possibile, mediante le relazioni precedenti, determinare gli altri parametri
di interesse, quali:
2
ƒ
µ
varianza: σ = 
 cv
ƒ
indice di asimmetria: γ 1 =
2

 ;

2
.
cv
18
γ1
Cv
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
α
Figura A2: Distribuzione Gamma. Coefficiente di variazione e indice di forma γ1 al
variare di α.
Appendice A2. Distribuzione di Weibull a due parametri
Una variabile casuale continua V si distribuisce con legge di Weibull a due
parametri, V∼Wei(ζ, β), se presenta la seguente funzione di densità:
β
f W (v; ζ , β ) =
ζ
v
 
ζ 
β −1
  v β 
exp −   
  ζ  
per 0≤v<∞
(A10)
La corrispondente funzione di ripartizione risulta data da:

  v β
1 − exp −  
FW (v; ζ , β ) = 
 ζ 


0




per 0 ≤ v < ∞
(A11)
per v < 0
La distribuzione di Weibull è evidenziata da due parametri, rispettivamente:
• ζ: parametro di scala, con ζ>0;
• β: parametro di forma, con β>0.
La funzione di densità presenta un grafico campanulare per valori di β maggiori
di uno, mentre per β=1 coincide con la legge di distribuzione esponenziale.
I momenti dall’origine della variabile casuale V∼Wei(ζ, β) risultano (v. Johnson,
Kotz (1970))
19
µ k = g k (β )ζ k
per k=1,2,…
dove

k
g k (β ) = Γ1 + 
 β
e, in particolare, abbiamo il valor medio µ e la media quadratica µ2 pari a:


1
2
µ = g 1 (β )ζ = Γ1 + ζ ; µ 2 = g 2 (β )ζ 2 = Γ1 + ζ 2
 β
 β
(A12)
I principali momenti centrali risultano
µ 2 = [ g 2 ( β ) − g12 ( β )]ζ 2 = k 2 ( β )ζ 2 = σ 2
µ 3 = [ g 3 ( β ) − 3 g 2 ( β ) g1 ( β ) + 2 g13 ( β )]ζ 3 = k 3 ( β )ζ 3
µ 4 = [ g 4 ( β ) − 4 g 3 ( β ) g 1 ( β ) + 6 g 2 ( β ) g 12 ( β ) − 3 g 14 ( β )]ζ 4 = k 4 ( β )ζ 4
Lo scarto quadratico medio σ e l’indice di forma di Fisher γ1, che misura
l’asimmetria della distribuzione, risultano:
1/ 2
 

2
2 
σ = k 2 ( β )ζ = Γ1 +  − Γ 2 1 +  ζ
 β 
  β
(A13)
µ3
k 3 (β )
µ
k (β )
=
; γ 2 = 44 = 4
3
3/ 2
σ
σ
[k 2 (β )]
[k 2 (β )]2
(A14)
γ1 =
espressioni in cui il parametro di forma β è presente tramite particolari funzioni gamma
gk(β)=Γ(1+k/β).
In Figura A3 vengono riportati gli andamenti delle funzione di densità della
variabile casuale di Weibull, per alcuni valori di β, in forma standardizzata (V-µ)/σ,
messi a confronto con la distribuzione normale standardizzata: variabile casuale
Z∼N(0,1).
Similmente a quanto evidenziato nell’appendice A1 per la distribuzione Gamma,
il coefficiente di variazione cv = µ/σ risulta legato al solo parametro di forma β,
seppure con una relazione di maggior complessità rispetto a quella data dall’equazione
(A4), che lega il cv al parametro α della distribuzione Gamma:
σ [k 2 (β )]
=
µ
k1 ( β )
1/ 2
cv =
 
 Γ1 +
= 
 
 Γ1 +
 


− 1
1 
 
β  
2

β 
1/ 2
20
(A16)
Norm.
β=1
β=1,5
β=2
β=2,5
β=3
β=4
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z
Figura A3: Funzioni di densità della variabile casuale di Weibull in forma
standardizzata, per alcuni valori di β, messi a confronto con la distribuzione della
normale.
L’indice di asimmetria γ1, dato dall’equazione (A14) presenta valori negativi per
β>3,6, mentre è positivo qualora β sia inferiore a 3,6.
Per rendere più agevole la comparazione tra la distribuzione Gamma e quella di
Weibull i valori di β sono stati limitati ai casi in cui la distribuzione risulta asimmetrica
positiva, vale a dire per β<3,6 e, più specificatamente, per valori di β nell’intervallo
[1; 3,5].
Il grafico di Figura A4 riporta l’andamento di cv e di γ1 al variare di β.
Qualora siano assegnati i valori del coefficiente di variazione cv e della media cv
della variabile casuale V∼Wei(ζ, β) è possibile, per via numerica, ottenere il valore del
parametro di forma β in funzione di cv e, mediante l’equazione (A12), ricavare il
parametro di scala ζ. Essendo così noti i valori di ζ e β, utilizzando le relazioni
corrispondenti date in precedenza si possono ottenere gli altri parametri di interesse.
21
Cv
γ1
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
-0.5
β
Figura A4: Distribuzione di Weibull. Coefficiente di variazione e indice di forma γ1 al
variare di β.
Appendice A3. Relazioni tra i parametri della distribuzione Gamma e di Weibull,
aventi lo stesso coefficiente di variazione e la stessa media
Siano U e V due variabili casuali distribuite rispettivamente come Gamma e
come Weibull a due parametri: U ∼ Gam(ξ, α) e V ∼ Wei(ζ, β). Fissato come valore β
(1<β<3,6) il parametro di forma della distribuzione di Weibull, si può ottenere il
coefficiente di variazione cv, mediante l’equazione (A16). Attribuito un valore alla
media µ, mediante l’equazione (A12), si individua il parametro di scala ζ, risultando
così completamente definita la distribuzione di Weibull e, in particolare, utilizzando
l’equazione (A14), si ottiene l’indice di asimmetria γ1 in funzione del valore assegnato a
β, indicato come γ1(W).
Assumendo per la distribuzione Gamma la stessa media µ e lo stesso
coefficiente di variazione cv , in precedenza assunti per la distribuzione di Weibull,
mediante l’equazione (A8) si determina il parametro di forma α della distribuzione
Gamma e mediante l’equazione (A9) si ottiene il valore del parametro di scala ξ della
stessa distribuzione.
Il valore di α così ottenuto, legato in modo univoco al valore assegnato a β,
permette utilizzado l’equazione (A7) di ottenere l’indice di asimmetria γ1 per la
distribuzione Gamma, indicato come γ1(G), che risulta diverso da quello della
corrispondente distribuzione di Weibull: γ1(W).
22
Ad esempio, posto, senza perdita di generalità, µ=1 e considerato β=2,5, si
ottiene, il coefficiente di variazione:
 g (β ) 
cv =  22
− 1
 g1 ( β ) 
1/ 2
= 0,4979
e, quindi, il parametro di scala ζ della distribuzione di Weibull è:
ζ =
µ
= 1,1271
g1 ( β )
mentre l’indice di asimmetria γ1(W) risulta essere
γ 1(W) =
k3 (β )
= 0,3586
[k 2 ( β )]3 / 2
Il parametro di forma α per la corrispondente distribuzione Gamma è dato da:
α=
1
cv
2
= 5,4615
e, quindi, il parametro di scala ξ della distribuzione Gamma è:
ξ=
µ
= 0,1831
α
mentre l’indice di asimmetria γ1(G) risulta
γ 1 ( G ) = 2 ⋅ cv = 0,8558
Tale valore è sensibilmente diverso dal corrispondente indice di asimmetria per
la distribuzione di Weibull considerata ( γ 1 ( W ) = 0,3586 )
Quale ulteriore considerazione si può osservare che qualora si desideri che le
due variabili casuali U e V abbiano la stessa media, ed invece dello stesso coefficiente
di variazione abbiano lo stesso indice di asimmetria γ1, per β pari a 2,5, che corrisponde
a γ1(W)=0,3586, il valore del parametro di forma α della variabile Gamma considerata
2
2
2
diviene, per l’eq. (A7): α =   = (5,5772) = 31,1 . Da ciò abbiamo il valore
γ1 
ξ=µ/α =0,0322 come parametro di scala e un coefficiente di variazione
γ
cv ( G ) = 1 = 0,1793 che differisce in modo sensibile da quello della distribuzione
2
corrispondente di Weibull dato che esso è pari a 0,4279.
23
Riferimenti bibliografici
BOYLES R.A. (1991), “The Taguchi capability index”, Journal of Quality Technology,
23, 17-26.
CHAN L.K., CHENG S.W., SPIRING F.A. (1988), “A new measure of process
capability Cpm”, Journal of Quality Technology, 20, 160-175.
CHAN L.K., CHENG S.W., SPIRING F.A. (1988), “The robustness of process
capability index Cp to departure from normality”, Statistical Theory and Data
Analysis, II (K. Matusita, ed.), North-Holland, Amsterdam, 223-229.
CHEN H., KOTZ S. (1996), “An asymptotic distribution of Wright’s process capability
index sensitive to skewness”, Journal of Statistical Computation & Simulation, 55,
147-158.
CHEN S-M, HSU N-F (1995), “The asymptotic distribution of the process capability
index Cpmk”, Communications in Statistics - Theory and Methods, 24, 12791291.
CHIODINI P.M., MAGAGNOLI U. (2000), “Indici di capacità di processo. Modelli e
procedure inferenziali: una rassegna e qualche comparazione statistica”, in
Valutazione della qualità e customer satisfaction: il ruolo della statistica, Vita e
Pensiero, Milano, 147-167.
CHOU Y.M., OWEN D.B. (1989), “On the distributions of the estimated process
capability indices”, Communications in Statistics - Theory and Methods, 18(12),
4549-4560.
CLEMENTS J.A. (1989), “Process capability calculations for non-normal
distributions”, Quality Progress, September, 95-100.
FINLEY J.C. (1992), “What is capability? Or what is Cp and Cpk”, ASQC Quality
Control Transaction, Nashville, 186-191.
INTRIERI G. (1997), “Process Capability e sua valutazione statistica”, Atti XIX
Convegno Nazionale AICQ, Assago (MI), Vol. E, 89-103.
JOHNSON N.L., KOTZ S., (1970), Distributions in statistics: continuous univariate
distributions, Houghton Mifflin Co., Boston.
JURAN J.M., GRYNA F.M., BINGHAM R.S. jr (1974), Quality Control Handbook,
McGraw-Hill, New York.
KANE V.E. (1986), “Process capability indices”, Journal of Quality Technology, 18,
41-52.
KOCHERLAKOTA S., KOCHERLAKOTA K., KIRMANI S.N.U.A. (1992), “Process
capability indices under non-normality”, Int. J. Math. Satatist., 1.
KOTZ S., JOHNSON N.L. (1993), Process Capability Indices, Chapman & Hall,
London.
KOTZ S., LOVELACE C.R. (1998), Process Capability Indices in Theory and
Practice, Arnold, London.
MAGAGNOLI U. (1996), “Gli strumenti statistici nell’approccio della qualità totale”,
Atti della XXXVIII Riunione Scientifica SIS, Maggioli Editore, Rimini, Volume
1, 249-260.
MONTGOMERY D.C. (1996), Introduction to Statistical Quality Control, 3rd ed., J.
Wiley & Sons, New York.
24
PEARN W.L., CHANG C.S. (1997), “The Performance of Process Capability Index Cs on
Skewed distributions”, Communications in Statistics – Simulation and
Computation, 26, 1361-1377.
PEARN W.L., KOTZ S. (1994), “Application of Clements’ method for calculating
second and third generation process capability indices for non-normal
Pearsonian population”, Quality Engineering, 7.
PEARN W.L., KOTZ S., JOHNSON N.L. (1992), “Distributional and Inferential
Properties of Process Capability Indices”, Journal of Quality Technology, 24, 216231
VÄNNMAN K. (1995), “A unified approach to capability indices”, Statistica Sinica, 6,
pp.805-820.
VÄNNMAN K., KOTZ S. (1995), “A superstructure of capability indices distributional properties and implication”, Scand. J. Statist., 22, 477-491.
WRIGHT P. A. (1998), “The probability density function of process capability index
Cpmk”, Commun. Statist. - Theory Meth., 27(7), 1781-1789.
WRIGHT P.A. (1995) A Process Capability Index sensitive to skewness, Journal of
Statistical Computation & Simulation, 52, 195-203.
ZANELLA A. (1995), “The Quality Management and the role of Statistics”,
Proceedings of the first World Congress “Total Quality Management”,
Chapman & Hall, London, 137-145.
ZANELLA A., CASCINI E. (1997), “Presentazione degli atti e qualche riflessione
introduttiva”, Atti XIX Convegno Nazionale AICQ, Assago (MI), Vol. E, 1-12.
Summary
Indici di capacità di processo in presenza di situazioni che si allontanano dalla legge
normale
Capability Indices for Situations that Differ from the Normal Law
This work want to evaluate the problems related to the departure from the normal law
for the process capability indices. A study is made for the Cs index, introduced by Wright
(1995), where a new parameter is introduced in order to obtain a more sensible index and to
try to relate the index to the fraction of non conform items. The aim has been obtained
studying the two indeces C s (h) and C*s (h), with a comparison between the Gamma and
the Weibull distributions for the random variable. The risults are reported.
Parole chiave: Process Capcability Indices, Skewed distributions, Weibull distribution,
Gamma distribution.
25