elementi di teoria dei giochi e modelli di oligopolio

ELEMENTI DI TEORIA DEI GIOCHI E MODELLI DI OLIGOPOLIO
ANTONIO ACCONCIA
Università di Napoli Federico II
Facoltà di Economia
Dipartimento di Teoria e Storia dell’Economia Pubblica
via Cintia (Monte S. Angelo)
80126 Napoli
(Novembre, 2001)
1.
Introduzione
2.
Gli elementi di un gioco
Parte I – DECISIONI SIMULTANEE
3.
Giochi statici
4.
Competizione tra imprese ed equilibrio di Nash: esempi
5.
Duopolio con informazione asimmetrica
Parte II – DECISIONI S EQUENZIALI
6.
Giochi dinamici e credibilità: equilibrio di Nash perfetto
7.
Competizione tra imprese e induzione all’indietro
8.
Barriere all’entrata e limitazione della concorrenza
Parte III – DECISIONI RIPETUTE NEL TEMPO
9.
Giochi ripetuti: tentazione, punizione e reputazione
10.
Un esempio di collusione: l’analisi dell’AGCM del mercato dei supporti fonografici
1. I NTRODUZIONE
Molti settori produttivi sono caratterizzati da un numero relativamente ridotto
di imprese con potere di mercato. In tali settori le imprese sono consapevoli
che, per valutare in maniera corretta gli effetti di una loro decisione, devono
tenere conto della reazione delle altre imprese. Difatti, la decisione di una
singola impresa contribuisce a determinare il profitto per se stessa così come
per le imprese concorrenti. Per valutare gli effetti di differenti alternative,
ogni impresa ha quindi la necessità di prevedere il comportamento delle imprese
rivali. Ad esempio, per individuare il prezzo o la quantità che massimizza il
profitto è indispensabile per un'impresa valutare quali potrebbero essere i
prezzi o le quantità praticati dalle imprese concorrenti. Alternativamente, è
ragionevole assumere che la decisione di un imprenditore circa l'ingresso in un
mercato, in cui altre imprese sono attive da tempo, deve essere valutata tenendo
conto delle possibili reazioni di queste ultime, le quali hanno interesse ad
evitare l’ingresso di ulteriori concorrenti. In entrambi i casi l’elemento
distintivo è che due o più imprese devono prendere delle decisioni nella
consapevolezza che queste siano interdipendenti. Per analizzare tali situazioni,
si modellerà l'interdipendenza in termini di un gioco e si farà uso del concetto
di equilibrio nell’accezione fornita da Nash. Come vedremo, l'equilibrio di Nash
si rivelerà utile in molte circostanze, in quanto suggerisce una previsione
plausibile circa le scelte degli agenti economici, o almeno consente di spiegare
il persistere di particolari situazioni che si osservano nella realtà, piuttosto
che di altre che sembrerebbero, a prima vista, più ovvie.
2. G LI ELEMENTI DI UN GIOCO
In generale, i giochi a carattere economico possono essere di tipo cooperativo o
non cooperativo. Nel primo caso ai giocatori si consente di definire accordi
relativamente alla condotta del gioco e tali accordi sono impugnabili davanti a
un giudice. Al contrario, un gioco è definito non cooperativo se gli accordi non
sono consentiti. In questa sede ci occuperemo unicamente dei giochi non
cooperativi. Distingueremo, inoltre, tra giochi statici e giochi dinamici a
seconda della rilevanza o meno della variabile tempo. In generale, analizzeremo
semplici giochi in cui è necessario determinare la strategia ottimale per un
giocatore, cioè quella che massimizza il profitto, data la previsione circa il
comportamento degli avversari.
Un gioco (o gioco di strategia) è descritto da almeno quattro elementi:
a) il numero di giocatori;
b) lo spazio di azioni di ogni giocatore;
c) l’utilità (o profitto) che ogni giocatore consegue in tutti i possibili esiti
del gioco;
d) le informazioni a disposizione di ciascun giocatore.
Definizione. Lo spazio di azioni associato ad un giocatore si compone di tutte
le azioni di cui il giocatore dispone per giocare, ogni volta che è chiamato a
giocare.
Ad esempio, un'impresa che deve decidere il prezzo di vendita per il bene che
produce ha come spazio di azioni l'insieme dei prezzi (teoricamente) adottabili.
Un'impresa che sta valutando l'opportunità di entrare in un nuovo mercato
dispone di due azioni: entrare o non entrare. In generale, si assumerà sempre
che all'istante in cui è chiamato a giocare, un giocatore sceglierà, tra le
azioni a propria disposizione, quella che massimizza il profitto.
Connesso al concetto di azione è quello di strategia.
Definizione. Una strategia è un piano di azioni, formulato all’inizio del gioco,
che individua l'azione da giocare per ogni eventuale circostanza in cui si può
essere chiamati a giocare.
2
Per chiarire il concetto di strategia si consideri un gioco in cui le scelte di
due giocatori si susseguono nel tempo. Si assuma, ad esempio, che il giocatore
G1 giochi al tempo t = 1 ed il giocatore G2 giochi al tempo t = 2 , dopo aver
osservato la scelta di G1. Quando G2 sarà chiamato a giocare, quindi a scegliere
la propria azione, egli potrà trovarsi in una o altra circostanza, a seconda che
l’avversario abbia messo in atto una certa azione piuttosto che un'altra. Si
assuma, allora, che prima che il gioco abbia inizio G2, non potendo partecipare
alla competizione, decida di farsi sostituire da un amico. Per essere certo che
questi giocherà proprio come egli avrebbe fatto, G2 redige un piano di
istruzioni nel quale stabilisce l'azione che dovrà essere intrapresa, per ognuna
delle circostanze che potrebbero verificarsi nel corso del gioco, cioè come
risposta ad ogni possibile scelta di G1. Tale piano costituisce una strategia.
Una strategia stabilisce, quindi, quale azione sarà scelta ogniqualvolta un
giocatore deve operare una decisione, per ogni circostanza in cui ci si potrebbe
trovare al momento della scelta. L'insieme di tutte le strategie a disposizione
di un giocatore individua il suo spazio di strategie. Si consideri il giocatore
G1. Poiché questi non ha circostanze rispetto alle quali condizionare la propria
scelta, in quanto precedentemente alla sua decisione nulla è accaduto, il suo
spazio di strategie coincide con lo spazio di azioni. Si noti, infine, che se G2
dovesse scegliere senza poter osservare l’azione giocata da G1, non avrebbe più
la possibilità di condizionare la propria scelta a quella di G1. In tal caso
anche lo spazio di strategie di G2 coincide con lo spazio di azioni.
In base alle informazioni a disposizione dei giocatori nel corso del
gioco, possiamo distinguere tra giochi ad informazione perfetta e giochi ad
informazione imperfetta. Un gioco ad informazione imperfetta si ha quando un
giocatore si trova a dover decidere cosa fare, senza conoscere quali siano state
tutte le scelte effettuate da chi lo ha preceduto nella sequenza di decisioni.
Di contro, è ad informazione perfetta un gioco in cui ogni giocatore, quando è
chiamato a giocare, conosce in pieno tutte le scelte fatte in precedenza, ossia
conosce perfettamente la storia del gioco. Possiamo distinguere, inoltre, tra
giochi ad informazione completa e giochi ad informazione incompleta. L’insieme
informativo di un giocatore è incompleto quando egli non dispone di tutte le
informazioni che determinano le scelte degli avversari. Ad esempio, un
imprenditore potrebbe non essere in grado di calcolare il profitto che
conseguirebbe l’imprenditore concorrente, poiché non conosce la funzione di
costo dell’impresa concorrente.
Di seguito prenderemo in esame giochi semplici per i quali si assumerà che
tutti i giocatori sono razionali, ogni giocatore sa con quanti concorrenti deve
competere ed ognuno conosce sia il proprio spazio di azioni che quello dei
concorrenti. Inoltre, quasi sempre si assumerà informazione simmetrica rispetto
agli altri elementi del gioco, tale che ciascun giocatore è in grado di
calcolare i profitti che ognuno conseguirebbe in ogni possibile esito del gioco.
Più precisamente, prenderemo in considerazione solo giochi per i quali gli
elementi caratterizzanti così come la razionalità dei giocatori sono conoscenza
comune. Quest'ultima implica che, data un’ipotesi, ad esempio che i giocatori
sono razionali, ogni giocatore sa che gli altri sono razionali, sa che gli altri
sanno che egli è a conoscenza di ciò e così via.
Una volta rappresentata una situazione strategica come un gioco, il passo
successivo consiste nell’individuare quali scelte i giocatori faranno per
partecipare al gioco, così da prevederne l’esito. A tal fine, l’ipotesi che
adotteremo è che l’esito di un gioco, o almeno l’esito più probabile, è
associato ad una posizione di equilibrio, intesa come una situazione che ciascun
giocatore, singolarmente preso, non avrebbe incentivo a modificare. Segue che,
laddove l’esito di un gioco individua le scelte strategiche adottate da ogni
partecipante, un equilibrio è da intendersi come una situazione in cui nessun
giocatore ha incentivo a modificare la propria scelta strategica, se gli
avversari non modificano le proprie. Una proprietà importante dell’equilibrio,
che discende direttamente dalla definizione adottata, è che una situazione di
equilibrio può perdurare nel tempo indefinitamente. Se, ad esempio, un dato
gioco si ripete un certo numero di volte e la prima volta ha avuto come esito un
risultato di equilibrio è plausibile ipotizzare che lo stesso risultato sarà
conseguito nel corso delle ripetizioni in quanto nessun giocatore avrà incentivo
3
a modificare la scelta strategica iniziale, ritenendo che tutti gli avversari
non modificheranno le loro scelte.
Parte I – DECISIONI SIMULTANEE
3. G IOCHI STATICI
Definiamo gioco statico un contesto strategico che i giocatori affrontano una
sola volta ed in cui le scelte dei giocatori sono simultanee ed indipendenti.
Premesso che, per ipotesi, l'obiettivo di ogni partecipante al gioco è ottenere
il massimo profitto, il problema principale che ciascun giocatore deve risolvere
nell’analizzare un gioco è: come fare ad individuare la strategia con cui
giocare? In alcuni casi ciò è abbastanza semplice. Difatti, per alcuni giochi
ciascun giocatore si rende immediatamente conto che, tra le strategie a propria
disposizione, una in particolare consente un profitto sistematicamente maggiore
delle altre, rispetto a tutte le possibili scelte dei propri avversari. Tale
strategia è definita strettamente dominante. In altri casi, i giocatori
realizzano che lo spazio di strategie a disposizione può essere ridotto, così da
semplificare il problema decisionale, in quanto alcune strategie non devono
essere prese in considerazione, poiché implicano profitti sistematicamente
inferiori rispetto alle altre disponibili. Tali strategie sono definite
strettamente dominate. Infine, per un’ampia classe di giochi i giocatori
prendono atto che una scelta è ottimale solo se l'avversario mette in atto una
certa strategia piuttosto che un'altra. L’analisi di un gioco avente tali
caratteristiche conduce al concetto di equilibrio di Nash.
3.1 Soluzione 1: strategie dominanti e Dilemma del Prigioniero
La figura 1 mostra la cosiddetta forma strategica, o a matrice, di un gioco in
cui due giocatori, denominati G1 e G2, devono decidere quale tra due possibili
azioni o strategie scegliere. In particolare, il giocatore G1 ha a disposizione
le strategie A e B mentre il giocatore G2 le strategie S e D. I due giocatori
devono
scegliere
la
strategia
con
cui
giocare
simultaneamente
e
indipendentemente o, più in generale, senza informazioni circa la scelta del
proprio avversario. I numeri all'interno della matrice indicano i profitti che i
due giocatori otterrebbero, per ognuna delle quattro possibili coppie di
strategie che possono verificarsi. Il primo numero indica il profitto del
giocatore G1, mentre il secondo quello del giocatore G2. L’obiettivo di entrambi
è massimizzare il profitto.
G2
Figura 1
G1
S
2,2
0,6
A
B
D
6,0
4,4
Cerchiamo di individuare quale potrebbe essere l’esito del gioco. Se G1
scegliesse la strategia B e G2 scegliesse la strategia D entrambi otterrebbero
un profitto pari a 4; se G1 scegliesse A e G2 scegliesse S entrambi otterrebbero
un profitto pari a 2. Negli altri due possibili casi uno dei due giocatori
otterrebbe un profitto pari a 0. Un primo esame della matrice rivela che l’esito
(B;D) non è plausibile. Difatti, se il giocatore G1 dovesse prevedere che G2
giochi D, si renderebbe immediatamente conto che la scelta migliore per se è
giocare A piuttosto che B. Difatti, giocando A come risposta a D, G1
guadagnerebbe un profitto pari a 6, laddove l’alternativa sarebbe profitto pari
a 4 se avesse risposto con la strategia B. Un ragionamento analogo, inoltre, può
farlo G2; giocando S come risposta a D, G2 otterrebbe un profitto pari a 6
invece che 4. Entrambi i giocatori hanno, quindi, incentivo unilaterale a
deviare dalla coppia di strategie (B;D); quest'ultima, in altre parole, non
sembra una previsione plausibile dell'esito del gioco. Più in generale,
qualunque sia la previsione circa la strategia che metterà in atto G2 (G1), il
giocatore G1 (G2) massimizzerà il proprio profitto giocando A (S). Infatti, se
G2 giocasse S, G1 guadagnerebbe un profitto pari a 2 giocando A e un profitto
pari a 0 giocando B. Allo stesso tempo, se G2 dovesse giocare D, G1 otterrebbe
4
un profitto pari a 6 giocando A e un profitto pari a 4 nel caso in cui giocasse
B. Indipendentemente dalla scelta di G2, al giocatore G1 converrà, quindi,
giocare A. Un ragionamento analogo porta a concludere che, qualunque sia la
scelta di G1, al giocatore G2 converrà sempre giocare S. L'esito del gioco
dovrebbe quindi essere (A;S); quest'ultima è detta soluzione in strategie
dominanti.1
Definizione. Dato un insieme di strategie S a disposizione di un giocatore G,
una strategia s appartenente ad S è detta strettamente dominante rispetto alle
altre che costituiscono S se, per ogni strategia adottabile dall'avversario, ad
s è associato il profitto maggiore per G.
La situazione appena descritta appartiene alla classe di giochi denominata
Dilemma del Prigioniero. Il nome deriva da una storia simile alla seguente. Due
persone sono fermate dalla polizia in quanto indiziate per aver partecipato ad
un crimine. Benché sia certo che i due abbiano partecipato all’azione criminale,
la polizia non ha a disposizione prove sufficienti per stabilire qual è stato il
loro ruolo effettivo; se nessuno dei due confesserà, entrambi saranno condannati
ad un pena lieve pari a 2 anni di reclusione. Nel tentativo di fare piena luce
sulla vicenda, la polizia decide di interrogare separatamente i due indiziati.
In caso di confessione da parte di entrambi, i due saranno condannati a 4 anni
di reclusione, che costituisce la giusta condanna per quanto hanno commesso. Ad
ognuno dei due viene però prospettata una pena maggiore (6 anni di reclusione)
qualora fosse l’unico a negare e viene assicurata la libertà in caso di
confessione, qualora l’altro neghi. Il gioco è rappresentato in figura 2 ; i
valori negativi indicano gli anni di reclusione.
G2
Figura 2: Il Dilemma del Prigioniero
G1
Nego
-2,-2
0,-6
Nego
Confesso
Confesso
-6,0
-4,-4
Il
Dilemma
del
Prigioniero
costituisce
un
riferimento
importante
nell’ambito della teoria dei giochi, poiché offre una semplice rappresentazione
di molte situazioni reali. Ad esempio, il gioco potrebbe descrivere il problema
decisionale di due imprese che competono nello stesso mercato e che devono
decidere se fissare una strategia di prezzo alto o prezzo basso (Figura 3).2
G2
Figura 3: Competizione sui Prezzi
G1
Prezzo Basso
5,5
3,18
Prezzo Basso
Prezzo Alto
Prezzo Alto
18,3
10,10
Se entrambe le imprese fissassero un prezzo alto, entrambe guadagnerebbero
profitti considerevoli, ad esempio pari a 10. Assumendo che i due beni siano
sostituti, entrambe le imprese però avrebbero incentivo ad abbassare il prezzo,
se l’altra adottasse una strategia di prezzo alto. Adottando, infatti, un prezzo
basso contro un’impresa che sta adottando un prezzo alto, si incrementerebbe la
propria quota di mercato a discapito dell’impresa rivale. L’impresa che ha
adottato un prezzo basso otterrebbe così un profitto molto alto, ad esempio pari
a 18, determinando invece un profitto molto basso per l’impresa rivale. Del
resto, se il proprio avversario sta adottando una strategia di prezzo basso, si
è costretti ad adottare un prezzo basso. La soluzione prevede, quindi, un prezzo
1
Si noti che, in corrispondenza della soluzione in strategie dominanti, entrambi i giocatori
guadagnano un profitto strettamente inferiore a quello associato alla coppia di strategie (B;D).
2
Di seguito indicheremo come dilemma del prigioniero ogni gioco che presenta una struttura analoga a
quella rappresentata in figura 2. In tal senso, sia la figura 1 che la figura 3 rappresentano un
dilemma del prigioniero.
5
basso per entrambe le imprese ed un profitto inferiore di quello che si sarebbe
ottenuto nel caso in cui entrambe avessero adottato un prezzo alto.3
3.2 Soluzione 2: eliminazione iterata delle strategie dominate
Nel caso in cui una soluzione in strategie dominanti non è individuabile ci si
deve accontentare di un obiettivo più modesto. Ad esempio, avendo appurato che
non esiste una strategia dominante, un giocatore potrebbe verificare se tra le
strategie a propria disposizione qualcuna è dominata, cioè consente di ottenere
un profitto inferiore rispetto a qualche altra strategia, per ogni possibile
strategia giocata dall’avversario. La figura 4a offre un esempio in tal senso.
G2
Figura 4a
S
2,2
1,1
0,1
A
C
B
G1
D
1,1
2,0
0,3
Il punto di partenza per la soluzione del gioco è sempre l’ipotesi che i
giocatori sono razionali e, quindi, scelgono azioni che massimizzano il proprio
profitto. In base all’ipotesi di razionalità dei giocatori, possiamo concludere
che G1 non prenderà mai in considerazione di giocare la strategia B, essendo
dominata da entrambe le altre strategie disponibili. Se G1 giocasse la strategia
B otterrebbe, infatti, un profitto inferiore che se giocasse una delle altre due
strategie, indipendentemente da quale strategia G2 giochi. Ciò implica che, dal
punto di vista di G1, il gioco si riduce alle sole prime due righe della
matrice. La sola ipotesi di razionalità dei due giocatori non sarebbe però
sufficiente perché G2 giunga alle stesse conclusioni. Difatti, pur essendo
razionale, se G2 non sapesse che anche G1 è razionale non potrebbe concludere
che la strategia B sicuramente non sarà presa in considerazione. Affinché anche
dal punto di vista di G2 il gioco si riduca alle prime due righe, è necessaria
l’ipotesi che G2 sappia che G1 è razionale.4 In tal caso è come se si stesse
giocando il gioco seguente:
G2
Figura 4b
S
2,2
1,1
A
C
G1
D
1,1
2,0
A questo punto è evidente che per G2 la strategia D è dominata dalla strategia
S, per cui il giocatore G2 non ha alcun incentivo a scegliere D. Per ridurre
ulteriormente il gioco è necessaria però anche l’ipotesi che G1 sappia che G2 è
razionale.
G2
S
2,2
1,1
Figura 4c
G1
A
C
Dall’esame della figura 4c è evidente che la scelta ottima per G1 è giocare la
strategia A. La coppia di strategie (A;S) individua la soluzione del gioco
ottenuta mediante eliminazione iterata delle strategie dominate. In situazioni
più complesse in termini di numero di strategie a disposizione di ogni
3
Una situazione analoga è riscontrabile in contesti in cui il risultato conseguibile da un gruppo di
persone, del quale tutti beneficeranno, dipende dall’operato di ognuno, sebbene il contributo di
ciascuno, preso singolarmente, non è determinante. In tal caso, ognuno avrebbe incentivo a non
partecipare così da ottenere i benefici senza sopportarne i costi. Ma se tutti ragionassero in tal
senso il risultato non sarebbe conseguito e tutti ne sarebbero danneggiati.
4
Si noti che per risolvere il Dilemma del Prigioniero è sufficiente l’ipotesi di razionalità dei
giocatori.
6
giocatore, ulteriori
ulteriori ipotesi.
riduzioni
del
gioco,
laddove
possibili,
richiederebbero
3.3 Soluzione 3: equilibrio di Nash
I due criteri di soluzione presentati in precedenza non sono sempre in grado di
fornire una previsione circa l’esito di un gioco. In molti casi, infatti,
mettendo a confronto due strategie perseguibili da un giocatore, ci si rende
conto che l'una è preferibile all'altra solo se l'avversario giochi una certa
strategia piuttosto che un’altra. In altre parole, la scelta ottima per un
giocatore dipende dalla scelta dell'altro giocatore; se quest'ultima non è
osservabile, la strategia ottima dipenderà dalla previsione che un giocatore
avrà fatto in merito alla strategia giocata dell'altro. E' necessario, quindi,
introdurre un ulteriore criterio di risoluzione dei giochi da adottare laddove
non fosse possibile una soluzione in strategie dominanti o mediante eliminazione
iterata delle strategie dominate. A tal fine faremo riferimento al concetto di
equilibrio di Nash.
Definizione. Dati K giocatori, un insieme (o profilo) di K strategie, una per
giocatore, costituisce un equilibrio di Nash se ognuna delle K strategie
rappresenta una risposta ottima alle altre
K-1
strategie
dell'insieme
considerato.
Per comprendere il significato dell'equilibrio di Nash può essere utile
confrontarne la definizione con quella di insieme di strategie dominanti. Dato
un gioco, se un insieme di strategie D (una per ciascun giocatore) costituisce
la soluzione in strategie dominanti del gioco, ciò implica che per ogni
giocatore i la strategia d i ∈ D rappresenta la strategia migliore (tra quelle
perseguibili, ossia tra quelle che costituiscono il proprio spazio di
strategie), sia rispetto alle strategie degli avversari contenute in D, che
rispetto a tutte le altre strategie a disposizione degli avversari. Tale
requisito vale per tutti i giocatori. Di contro, se un insieme di strategie N
costituisce un equilibrio di Nash, ogni singola strategia n i ∈ N rappresenta una
strategia ottima, tra le strategie a disposizione di i, rispetto alle strategie
degli avversari contenute in N, cioè dato che gli altri giocatori giochino
proprio le strategie contenute nell'insieme in esame. L'equilibrio di Nash
richiede quindi che, dato un insieme di strategie:
§ ciascuna strategia costituisca, per il giocatore che la mette in atto, una
risposta che massimizza il profitto rispetto alle strategie che egli prevede
giochino gli avversari;
§ la previsione di ciascun giocatore sia corretta.
Dato un profilo di strategie, poiché per ogni giocatore una strategia (che è
parte del profilo) è ottima nel caso in cui gli altri giocatori giocassero le
strategie che costituiscono l'equilibrio di Nash, ciò implica che ogni singolo
giocatore deve formulare una previsione circa le strategie degli altri e tale
previsione dovrà rivelarsi corretta. In altre parole, affinché un profilo sia un
equilibrio di Nash, una volta note tutte le strategie che costituiscono il
profilo, ognuno deve constatare di aver correttamente previsto le strategie
degli altri e quindi di aver fatto la scelta ottima. Nessuno dovrà pentirsi
della strategia giocata, una volta che saranno note le strategie di tutti i
giocatori.
Perché la nozione di equilibrio di Nash può essere utile ai giocatori che
devono decidere quale strategia adottare, nonché ad un osservatore che tenta di
prevedere l'esito di un gioco? E' la nozione di equilibrio di Nash sempre utile
per formulare una previsione circa l'esito di un gioco? Come vedremo in seguito,
la risposta a quest'ultima domanda è negativa; nonostante ciò però, sottoporre
un profilo di strategie al test di equilibrio di Nash è utile poiché
quest'ultimo può essere inteso, in molti casi, come una condizione necessaria
affinché un profilo di strategie costituisca una previsione plausibile circa
l’esito di un gioco. Difatti, gli equilibri di Nash forniscono previsioni
coerenti, nel senso che se si formulasse una previsione che non corrispondesse
ad un equilibrio di Nash, allora staremmo prevedendo che almeno un giocatore
compia un errore, nel prevedere le scelte degli altri o nel decidere la propria
7
strategia ottima. Allo stesso tempo, se un gioco presenta un unico (profilo di
strategie che costituisce un) equilibrio di Nash, nessuno dei giocatori avrà
incentivo a giocare una strategia diversa da quella propria dell'equilibrio di
Nash, se tutti i giocatori prevedono che l’equilibrio di Nash sarà l’esito del
gioco. In tal caso, l'equilibrio di Nash identifica previsioni coerenti circa le
modalità con cui il gioco sarà giocato (Fudenberg e Tirole, 1991).
G2
Figura 5
G1
S
1,4
0,0
A
B
D
3,3
2,1
Il gioco rappresentato in figura 5 non presenta strategie dominanti per il
giocatore G2; per G2, infatti, la strategia ottima dipende da cosa farà
l'avversario. Proviamo allora a risolverlo applicando la nozione di equilibrio
di Nash.5 Trattandosi di un gioco con due giocatori ognuno dei quali ha due
strategie a disposizione per giocare, esistono quattro differenti coppie di
strategie
possibili:
(A;S),
(A;D),
(B;S)
e
(B;D).
Le
quattro
coppie
costituiscono i profili di strategie da analizzare per valutare se il gioco in
esame è caratterizzato da equilibri di Nash. Per ogni singolo profilo dobbiamo
verificare se ognuna delle due strategie rappresenti una risposta ottima
rispetto all'altra strategia. E' facilmente verificabile che (A;S) rappresenta
un equilibrio di Nash. Difatti, se G1 giocasse A, la miglior risposta per G2,
tra le due alternative a disposizione S e D, è chiaramente S, che consente un
profitto pari a 4. Alla strategia D come risposta ad A è associato, infatti, un
profitto pari a 3. Di contro, se G2 giocasse S, la miglior risposta per G1 è la
strategia A che consente un profitto pari a 1; difatti, rispondendo con la
strategia B G1 otterrebbe un profitto pari a 0. In definitiva, se G1 giocasse A
la miglior risposta per G2 sarebbe S, se G2 giocasse S la miglior risposta per
G1 sarebbe A, per cui la coppia (A;S) è un equilibrio di Nash. Ragionando in
maniera analoga, possiamo verificare che nessuna delle altre tre coppie di
strategie costituisce un equilibrio di Nash. Consideriamo, ad esempio, il
profilo (B;D). Se G1 giocasse B, la miglior risposta per G2 sarebbe D, che è
parte del profilo che stiamo analizzando. Se però G2 giocasse D, la risposta
ottima di G1 sarebbe A e non B, per cui (B;D) non è un equilibrio di Nash. Un
ragionamento analogo vale per le altre due coppie di strategie. In conclusione,
il gioco in esame è caratterizzato da un unico equilibrio di Nash.6
Fidanzata
Figura 6: La Battaglia dei Sessi
Fidanzato
Stadio
2,1
0,0
Stadio
Shopping
Shopping
0,0
1,2
La figura 6 descrive un altro gioco molto noto in letteratura, denominato
Battaglia dei Sessi. Due fidanzati devono decidere, simultaneamente ed
indipendentemente, come trascorrere il pomeriggio; le due alternative possibili
sono andare allo stadio o fare shopping. Ognuno dei due ha una propria
preferenza; in particolare, il fidanzato preferisce lo stadio mentre la
fidanzata fare shopping. Se i due andranno insieme allo stadio, il fidanzato
riceverà un guadagno in termini di utilità maggiore della fidanzata; viceversa,
5
Il gioco potrebbe essere risolto anche mediante il criterio di eliminazione iterata delle strategie
dominate.
6
Si noti che in base all’ipotesi di razionalità, se G1 ritenesse che G2 giochi S egli concluderebbe
di dover giocare A. Qualora la previsione di G1 risulterà corretta, la strategia A sarà ottima. In
effetti, la previsione risulterà corretta se G2 prevedesse che G1 giochi A; difatti, la strategia S
è la miglior risposta alla strategia A. Assumendo che G1 sappia che G2 è razionale, lo stesso G1
conclude che G2 giocherà S come risposta ad A. A questo punto, ci si dovrebbe chiedere: ha motivo G2
di ritenere che G1 pensi che G2 giochi S e che quindi sia ottimale giocare A? Se G2 sa che G1 è
razionale prevederà che G1 scelga A come risposta a S. Inoltre, se G1 sa che G2 sa che G1 è
razionale, G1 concluderà che è corretto ritenere che G2 ha previsto che egli giochi A. E così via.
Tale ragionamento conduce al concetto di “conoscenza comune”.
8
se i due andranno a fare shopping sarà la fidanzata ad ottenere un beneficio
maggiore.
Inoltre,
poiché
entrambi
preferiscono
trascorrere
insieme
il
pomeriggio, piuttosto che uscire da soli, se si dovesse verificare quest’ultima
circostanza otterrebbero un beneficio pari a 0. L’analisi della matrice mostra
che esistono due equilibri di Nash: (Stadio; Stadio) e (Shopping; Shopping). Non
essendoci altri elementi su cui basare la previsione circa l’esito del gioco, ci
troviamo di fronte ad una situazione di indeterminatezza.
Prima di proseguire è utile confrontare il gioco rappresentato in figura 5
con un dilemma del prigioniero. E’ immediato verificare che la soluzione di un
dilemma del prigioniero è un equilibrio di Nash. Tale conclusione può essere
generalizzata affermando che, se un gioco ha una soluzione in strategie
dominanti, tale soluzione è sempre un equilibrio di Nash. Il gioco rappresentato
in figura 5 mostra che il contrario non è vero in generale: un equilibrio di
Nash non sempre corrisponde ad una soluzione in strategie dominanti.
L'equilibrio di Nash è, quindi, un criterio di soluzione che richiede vincoli
meno stringenti del criterio di soluzione in strategie dominanti.
3.4 La collusione: un esito non di equilibrio
Ritorniamo a considerare il gioco rappresentato in Figura 1. Come verificato in
precedenza, l’esito in strategie dominanti (A;S), che è anche un equilibrio di
Nash, consente ad entrambi i giocatori di guadagnare un profitto strettamente
inferiore rispetto a quello relativo all’esito (B;D). Quest’ultimo può
interpretarsi come l’esito di collusione del gioco. Difatti, se ai due giocatori
fosse consentito definire di comune accordo quali strategie mettere in atto, è
plausibile ipotizzare che si coordinerebbero per ottenere l’esito (B;D). Il
limite di questa soluzione è che, relativamente almeno ai problemi di
organizzazione industriale di cui ci occuperemo, accordi collusivi o cooperativi
tra le parti (cioè tra imprese) sono illegali. Ciò implica che, se una delle due
parti in gioco non rispettasse l’accordo, l’altra non potrebbe impugnare il
contratto di cooperazione davanti ad un giudice. Eventuali accordi collusivi non
sono vincolanti. Si assuma allora che i due giocatori hanno raggiunto un accordo
al fine di determinare l’esito (B;D). Poiché ciascuno dei due sa che non si può
essere puniti per il mancato rispetto dell’accordo, ognuno inizierà a valutare
la possibilità di agire in maniera diversa da quanto prescritto dall’accordo
stesso. Ad esempio, ciascuno dei due giocatori si renderà immediatamente conto
che, se dovesse ritenere che l’avversario si atterrà ai patti, converrà non
rispettare l’accordo, poiché ciò consente un profitto maggiore. Ognuno dei due
sarà, quindi, incentivato a non rispettare l’impegno preso con il proprio
avversario. Del resto, se uno dei due dovesse ritenere che l’altro non
rispetterà l’accordo, ugualmente sarà incentivato a non rispettarlo, poiché in
caso contrario guadagnerebbe un profitto pari a 0. E’ chiaro, quindi, che la
collusione, almeno per la classe di giochi appena esaminata, non è un esito di
equilibrio.
4 COMPETIZIONE TRA IMPRESE ED EQUILIBRIO DI NASH: ESEMPI
4.1 Il modello di Cournot
Il modello di Cournot descrive il problema che affrontano due (o più) imprese
che, operando nello stesso mercato, devono decidere quanto produrre. Lo spazio
di strategie a disposizione di una generica impresa i si compone di tutti i
livelli di produzione q i teoricamente possibili, q i ∈ [ 0, ∞ ) . La decisione di
ciascuna impresa è presa senza conoscere la scelta dell’altra, ma nella
consapevolezza che avrà impatto sul profitto di entrambe. Analogamente a quanto
visto in precedenza, l’obiettivo di entrambe le imprese è individuare la
strategia, cioè la quantità da produrre, che massimizza il profitto:
H1
max π = Ricavo Totale − Costo Totale
La seconda ipotesi del modello è che ogni impresa, consapevole del fatto che la
quantità che essa offre sul mercato ha un impatto rilevante sul prezzo di
vendita, venda quanto prodotto al prezzo di equilibrio tra domanda e offerta
aggregata. In tal caso, assumendo per semplicità che le imprese in questione
9
producano un bene omogeneo e indicando con
domanda del mercato, avremo:
p = p (Q D )
la
funzione
inversa
di
Q D = Q S ≡ q1 + q 2 → p = p ( q1 + q2 )
dove q 1 e q 2 indicano, rispettivamente, le quantità prodotte (e vendute) dalle
imprese 1 e 2. Assumendo che le imprese conoscano la funzione inversa di domanda
del mercato per il bene in questione, la precedente ipotesi, unita alla H1,
implica che il problema di una singola impresa può scriversi come:
max π i = p ( q1 + q 2 )q i − C ( q i ) .
i = 1,2
H2
qi
dove C ( q i ) indica il costo totale per produrre la quantità q i . Si noti che il
profitto dell'impresa i dipende unicamente dalle quantità delle due imprese e
che la scelta di una generica impresa influenza il profitto dell’altra
attraverso il prezzo di vendita che entrambe concorrono a determinare. La
precedente espressione evidenzia, inoltre, che nel massimizzare il profitto ogni
impresa deve stabilire quale sarà l'impatto che una variazione della propria
quantità ha sulla quantità scelta dalle altre imprese. Difatti nel calcolare le
condizioni del primo ordine per la massimizzazione ci imbatteremo in termini del
tipo ∂q j / ∂qi . Veniamo così alla terza ipotesi del modello: le congetture alla
Cournot. Ciascuna impresa formula una previsione circa la quantità prodotta
dall’altra impresa e assume che tale quantità non dipenda da quanto essa decide
di produrre. L'ipotesi implica, quindi, che:
H3
∂ q1 / ∂ q 2 = 0
∂q 2 / ∂q 1 = 0
Si consideri, allora, il caso di due imprese che producono un bene
omogeneo a costi medi costanti pari a 3 per entrambe. Si assuma, inoltre, che le
imprese conoscano la funzione di domanda del mercato per il bene, che assumiamo
di tipo lineare pari a Q = 21− p e che vendano quanto prodotto al prezzo che
eguaglia domanda e offerta aggregata. Ogni impresa sceglie quanto produrre
avendo come obiettivo il massimo profitto. Il problema delle due imprese è
quindi:
max π1 (q 1 , q 2 ) = [ 21 − ( q1 + q 2 )]q 1 − 3q1
q1
per l'impresa 1 e
max π 2 (q 1 , q 2 ) = [ 21 − (q 1 + q 2 )] q 2 − 3 q 2
q2
per l'impresa 2.
Si noti che, coerentemente con l'ipotesi H2, al posto del prezzo abbiamo
sostituito l'espressione della funzione inversa di domanda, assumendo che la
quantità domandata è uguale alla quantità totale offerta dalle due imprese. Per
ogni impresa la quantità che massimizza il profitto richiede l'eguaglianza tra
ricavo marginale e costo marginale:
∂ π1 / ∂ q1 = 0 → 21 − 2q 1 − q 2 = 3
(1)
per l'impresa 1 e
∂ π 2 / ∂ q 2 = 0 → 21 − q1 − 2 q 2 = 3
(2)
per l'impresa 2.
Chiaramente nel massimizzare la funzione di profitto abbiamo utilizzato
l'ipotesi H3, per cui abbiamo posto pari a 0 le derivate incrociate delle
quantità. L'equilibrio del modello di Cournot consiste in una coppia di quantità
( q 1c ; q 2c )
tali che entrambe le condizioni di massimo profitto siano verificate,
ossia tali che entrambe le imprese stiano massimizzando il proprio profitto. Ciò
implica che l'equilibrio consiste nella soluzione del sistema costituito dalle
due condizioni del primo ordine:
 21 − 2 q c − q c = 3
1
2
.

c
c
21
−
q
−
2
q

1
2 =3
Risolvendo il sistema si ottiene
( q1c = 6; q c2 = 6 ) . Sostituendo tali quantità nelle
funzioni di profitto delle due imprese si ottiene che π 1 = π 2 = 36 . Il prezzo a
cui le due imprese vendono il bene è pari a 9. Il modello di Cournot prevede,
10
quindi, che le due imprese, sebbene vendano un bene omogeneo, otterranno
profitti positivi. Tale conclusione è chiaramente differente da quella che si
sarebbe ottenuta assumendo concorrenza perfetta, nel qual caso in equilibrio di
lungo periodo le imprese non fanno profitti. La differenza tra le due forme di
mercato è che nel duopolio alla Cournot il prezzo di vendita è maggiore del
costo medio unitario, con un mark-up nel caso in esame pari a 2/3.
A questo punto verifichiamo che l'equilibrio del modello di Cournot è un
equilibrio di Nash. Verifichiamo cioè che, se le due imprese decidessero di
produrre una quantità pari a 6, per entrambe la quantità scelta sarebbe la
migliore risposta rispetto alla quantità dell’altra impresa. Sottoponiamo a
verifica, quindi, il profilo di strategie ( q1 = 6; q 2 = 6 ) . A tale scopo, sostituiamo
nella funzione di profitto dell’impresa 1 la quantità relativa all’impresa 2 e
calcoliamo la miglior risposta per l’impresa 1 a tale quantità. Ciò richiede la
soluzione del seguente problema:
max π1 (q 1 ) = [ 21 − (q 1 + 6 )]q 1 − 3q 1 .
q1
Si noti che, avendo sostituito al posto di q 2 la quantità che è parte del
profilo di strategie che sottoponiamo a verifica, la funzione di profitto
dell'impresa 1 dipende unicamente da q 1 . E’ immediato verificare che la quantità
che massimizza il profitto per l’impresa 1 è q 1 = 6 , ossia quella che è parte del
profilo di strategie sottoposto a verifica.7 Analogamente possiamo verificare
che q 2 = 6 è la quantità che massimizza il profitto dell’impresa 2, nel caso in
cui assumessimo che q 1 = 6 . Concludendo, poiché ciascuna delle due quantità di
equilibrio del duopolio alla Cournot costituisce la miglior risposta all’altra
quantità, ossia la risposta che massimizza il profitto, la coppia di strategie
( q1 = 6; q 2 = 6 ) è un equilibrio di Nash.8
4.1.1 L'equilibrio di Nash e le funzioni di reazione.
Per derivare le quantità di equilibrio del modello di Cournot abbiamo posto a
sistema le equazioni (1) e (2), cioè le due condizioni del primo ordine relative
al problema di massimizzazione del profitto. Ciascuna equazione, singolarmente
presa, consentirebbe di calcolare la quantità che massimizza il profitto, se si
conoscesse la quantità prodotta dall’altra impresa. Ad esempio, se l’impresa 1
sapesse che l’impresa 2 ha prodotto una quantità nulla, in base alla (1)
concluderebbe di dovere produrre una quantità pari a 9. In generale, per un
generico livello di produzione q 2 la quantità ottima dell’impresa 1, in base
alla (1), sarebbe:
18 − q 2
q1 =
(1b)
2
mentre per un generico livello di produzione q 2 la quantità ottima dell’impresa
2, in base alla (2), sarebbe:
18 − q1
q2 =
.
(2b)
2
La (1b) e la (2b) rappresentano le funzioni di reazione delle due imprese.
Ciascuna costituisce la regola con cui un’impresa deve calcolare la quantità da
produrre per massimizzare il profitto, data la previsione della quantità
prodotta
dall’altra
impresa.9
Per
ogni
possibile
strategia
(quantità)
dell'impresa 2, la (1b) offre all'impresa 1 la miglior risposta, ossia la
7
La massimizzazione del profitto dell’impresa 1 implica ∂q 2 / ∂q1 = 0 essendo q2 = 6 una costante,
proprio come richiedeva l’ipotesi H3. In equilibrio l’ipotesi è, quindi, verificata.
8
Il modello di Cournot è stato presentato come un modello che descrive una competizione in cui le
imprese scelgono il livello di quantità da produrre. Potrebbe sembrare, quindi, che l'equilibrio
ricavato sia strettamente dipendente da tale circostanza. In realtà, saremmo giunti alle stesse
conclusioni se avessimo ipotizzato che le imprese scegliessero il prezzo del bene, purché si fosse
mantenuta l'ipotesi di congetture alla Cournot. Si veda in proposito Kreps (1990).
9
Si ricordi che la condizione del primo ordine esprime quasi sempre una condizione necessaria, e a
volte anche sufficiente, per massimizzare una funzione.
11
strategia (quantità) che rende massimo il proprio profitto.10 Un ragionamento
analogo vale per la (2b). La figura 7 mostra le due funzioni di reazione nel
piano ( q1 , q 2 ) .11
Qualora l’impresa 1 preveda che l'impresa 2 produrrà una quantità pari a
q 2 , allora per massimizzare il profitto dovrebbe produrre la quantità
q 1 = (18 − q 2 ) / 2 . Chiaramente la scelta dell’impresa 1, una volta note le quantità
prodotte, sarà ottimale solo se la previsione si rivelerà corretta, ossia se
q 2 = q 2 . Ad esempio, in base alla (1b) se q 2 = 4 ,5 l'impresa 1 dovrebbe produrre
q 1 = 6 ,75 .
La
coppia
di
strategie
( 6, 75;4 ,5)
non
è
però
un
equilibrio
Infatti, in base alla (2b) l’impresa 2 sarebbe indotta a produrre
di
q 2 = 4 ,5
Nash.
solo
se prevedesse q 1 = 9 , mentre se dovesse prevedere q 1 = 6 ,75 sceglierebbe q 2 = 5, 625 .
Neanche la coppia ( 6, 75;5,625 ) è però un equilibrio di Nash. Difatti, q 1 = 6 ,75 non è
più una scelta ottima per l'impresa 1, essendo basata su q 2 = 4 ,5 ; osservando una
quantità per l’impresa 2 pari a q 2 = 5, 625 l’impresa 1 si pentirebbe della scelta
q 1 = 6 ,75 . Andando avanti in questo ragionamento concluderemo che l’unica coppia
di equilibrio è ( 6;6 ) . E' evidente, a questo punto, l'analogia con quanto detto
in precedenza allorché abbiamo introdotto il concetto di equilibrio di Nash.
Possiamo, quindi, guardare all'equilibrio del modello di Cournot come ad una
situazione in cui ogni impresa fa una previsione circa la quantità prodotta
dall'altra impresa, sceglie la propria quantità in base alla funzione di
reazione e vale il requisito che le previsioni siano corrette. Quest'ultima
circostanza garantisce che la quantità scelta dalle due imprese in base alla
funzione di reazione sia effettivamente quella ottima, poiché basata su una
previsione
circa
la
quantità
dell'altra
impresa
che
risulta
corretta.
Graficamente, l’equilibrio corrisponde al punto d’intersezione delle due curve.
Figura 6: Funzioni di reazione ed equilibrio Nash-Cournot
q1
18
Funzione di reazione impresa 2:
q 2 = (18 − q1 ) / 2
Equilibrio: q 1 = q 2 = 6
9
6
Funzione di reazione impresa 1:
q 1 = (18 − q 2 ) / 2
•
q2
6
9
18
4.2 Il modello di Cournot con asimmetrie di costo.
10
Si noti l’analogia con i giochi analizzati in precedenza, laddove per individuare un equilibrio di
Nash si determinava la miglior risposta di un giocatore alla strategia giocata dall’altro.
11
Nel piano ( q1, q 2 ) la funzione di reazione dell’impresa 2 è espressa come q1 = 18 − 2q 2 .
12
Nell'esempio precedente si è ipotizzato che le imprese fossero simmetriche,
ossia adottassero la stessa tecnologia. Rimuoviamo ora tale ipotesi ed assumiamo
che l'impresa 1 è in grado di utilizzare una tecnologia più efficiente di quella
dell'impresa 2. In particolare, il costo medio unitario di produzione è c1 per
l'impresa 1 e c 2 per l'impresa 2, con c1 < c 2 . La funzione di domanda è la stessa
dell'esempio precedente. Il problema delle due imprese è quindi:
max π i ( q1 , q 2 ) = p (q 1 + q 2 ) q i − c i q i = [ 21 − (q 1 + q 2 )] q i − c i q i
i = 1,2 i ≠ j .
qi
Le condizioni del primo ordine necessarie per un massimo sono:
∂ π1 / ∂ q1 = 0
→
21 − 2q 1 − q 2 = c1
(3)
∂π 2 / ∂q2 = 0
→
21 − q 1 − 2 q 2 = c2 .
(4)
Risolvendo il sistema costituito dalla (3) e dalla (4), si ottengono le quantità

21 − 2 c1 + c2
21 − 2c 2 + c1  12
di equilibrio:  q1 =
;q2 =
 .
E’ immediato verificare che tale
3
3


coppia costituisce un equilibrio di Nash. A tale scopo, sostituiamo nella
funzione di profitto dell’impresa 1 la quantità relativa all’impresa 2 e
calcoliamo la miglior risposta per l’impresa 1:

21 − 2c 2 + c1 
π 1 =  21 − q 1 −
q1 − c1 q1 .
3
q1


Risolvendo il problema di massimizzazione del profitto si ottiene che la
quantità ottima per l’impresa 1 è proprio q 1 = ( 21 − 2c1 + c 2 ) / 3 , ossia la quantità
che è parte del profilo di strategie sottoposto a verifica. Analogamente
possiamo verificare che q 2 = ( 21 − 2 c 2 + c1 ) / 3 è la quantità che massimizza il
max
profitto dell’impresa 2, nel caso in cui assumessimo che q 1 = ( A − 2c1 + c 2 ) / 3 .
Concludendo, poiché ciascuna delle due quantità di equilibrio del duopolio alla
Cournot
costituisce
la
miglior
risposta
all’altra
quantità,
la
coppia
( q1 = ( A − 2 c1 + c 2 ) / 3; q 2 = ( A − 2 c 2 + c1 ) / 3) è un equilibrio di Nash.
Avendo introdotto la possibilità di costi differenti possiamo calcolare
l'effetto di una variazione infinitesimale del costo medio di un’impresa sulle
quantità di equilibrio di entrambe. Ad esempio, un aumento del costo medio
dell’impresa 1, indurrebbe una riduzione della quantità di tale impresa ed un
aumento della quantità dell’impresa 2; difatti, ∂ q1 / ∂c1 = −2 / 3 e ∂ q 2 / ∂c1 = 1 / 3 . Per
intuire il perché di tale risultato può essere utile riesaminare le condizioni
del primo ordine e la definizione di equilibrio. Come abbiamo visto in
precedenza, le quantità di Cournot consistono nella soluzione del sistema
composto dalle equazioni (3) e (4). Queste ultime indicano che il profitto
marginale delle due imprese deve essere pari a zero. Se aumentasse il costo
marginale dell'impresa 1, si verificherebbe che alle vecchie quantità di
equilibrio il ricavo marginale dell'impresa 1 sarebbe inferiore al costo
marginale, per cui l'impresa 1 non starebbe ottimizzando.13 Poiché il ricavo
marginale è inversamente proporzionale alla quantità prodotta ( ∂ Rm1 / ∂ q1 = −2 ),
per riportarsi nell'ottimo l'impresa 1 deve reagire all'incremento del costo
marginale riducendo la propria quantità. A questo punto però il ricavo marginale
dell'impresa 2, che dalla (4) si nota essere inversamente proporzionale alla
quantità dell'impresa 1 (∂ Rm 2 / ∂ q1 = −1 ), eccede il costo marginale. L'impresa 2
reagisce espandendo la quantità finché il ricavo marginale non sia nuovamente
uguale al proprio costo marginale.
4.3 Il modello di Bertrand.
Il modello di Bertrand descrive un contesto strategico di competizione tra
imprese, ognuna delle quali ha il problema di scegliere il prezzo a cui vendere
il bene che produce. Lo spazio di strategie di ogni impresa si compone, quindi,
12
Si noti che la differenza nelle quantità prodotte dipende dalla differenza nei costi marginali di
produzione. Assumendo c1 = 1
e
c2 = 3
si ottiene q1 = 7 ,3 , q 2 = 5,3 , π1 = 53,7 e π 2 = 28,4 .
13
Si noti che, al contrario, la condizione di ottimo dell'impresa 2 è preservata poiché non dipende
dai costi dell'impresa 1.
13
dei livelli di prezzo a cui offre il bene che produce. Assumendo che nessuna
impresa ha incentivo a vendere al di sotto del costo medio, poiché incorre in
una perdita, o al di sopra del prezzo di monopolio, poiché riducendo il prezzo
incrementerebbe il profitto, possiamo assumere che lo spazio di strategie per
ogni impresa consiste nei livelli di prezzo compresi in tale intervallo.
Analogamente al modello di Cournot, la decisione di ciascuna impresa è presa
senza conoscere la scelta dell’altra.
La prima ipotesi del modello è che entrambe le imprese scelgono il prezzo
di vendita con l'obiettivo di massimizzare il profitto:
max π i = p i q i − C ( q i ) .
H1
i = 1,2
pi
La seconda ipotesi richiede che, in base ai prezzi fissati dalle due imprese,
ciascuna produca e venda la quantità richiesta dal mercato; in tal caso, ci sarà
equilibrio tra domanda ed offerta.14 La terza ipotesi prevede che ogni impresa
assuma che l’impresa rivale non condizioni la propria scelta di prezzo sulla
base del prezzo da essa fissato (congetture alla Bertrand). Analiticamente ciò
implica che per l’impresa 1 ∂ p 2 / ∂p1 = 0 e per l’impresa 2 ∂ p1 / ∂p 2 = 0 .
Si consideri allora il caso, analizzato in precedenza, di due imprese che
vendono un bene omogeneo in un mercato la cui funzione di domanda è Q = 21− p .
Ogni impresa produce il bene a costi medi pari a 3. In tal caso, lo spazio di
strategie delle due imprese consiste dell’insieme di prezzi p i ∈ [3,12 ] . In base
alle ipotesi del modello si evince che una coppia di prezzi ( p1 ; p 2 ) con p 1 ≠ p 2
non può costituire un equilibrio di Nash. Per verificare tale conclusione, si
consideri la generica coppia ( p1 ; p 2 ) = ( p1 ; p 2 ) con p 1 < p 2 . In tale circostanza
l'impresa 1 sarebbe la sola a vendere il bene in quanto, data l'ipotesi di
omogeneità, nessun consumatore avrebbe interesse ad acquistarlo dall'impresa 2
ad un prezzo più alto di quello praticato dall'impresa 1. Il profitto
dell'impresa 2 sarebbe, quindi, pari a 0. Tale situazione è facilmente
migliorabile da parte dell'impresa 2. In particolare, dato il prezzo p1 ,
l'impresa 2 otterrebbe un profitto positivo fissando un prezzo
p 2 = p1 e
massimizzerebbe il profitto fissando un prezzo di poco inferiore a quello
dell’impresa 1,
p 2 = p1 − ε . La coppia ( p1 ; p 2 )
non costituisce, quindi, un
equilibrio di Nash del modello; più in generale, prezzi differenti non possono
costituire un equilibrio. Consideriamo allora la possibilità di prezzi uguali
compresi nell'intervallo [3,12] , assumendo sempre che laddove le imprese fissino
lo stesso prezzo si ripartiscano il mercato in parti uguali. Assumendo p1 = p 2 = p
il profitto di ogni impresa sarebbe:
21 − p
π=
( p − 3) .
2
Se p > 3 il profitto di entrambe le imprese è positivo. Ogni impresa avrebbe però
incentivo a ridurre di un ε il prezzo, così da vendere tutta la quantità
richiesta dal mercato ad un prezzo di poco inferiore al precedente. In tal caso,
infatti, otterrebbe un profitto pari a [ 21 − ( p − ε)][( p − ε) − 3] , che è maggiore del
precedente. Tutte le coppie costituite da prezzi uguali e superiori al costo
medio di produzione non costituiscono, quindi, un equilibrio. L'unico caso in
cui non c'è incentivo a modificare il prezzo è con riferimento alla coppia
( p1 = 3; p 2 = 3) , nel qual caso i profitti delle due imprese sono nulli. Difatti, un
prezzo maggiore di 3, dato che l'altra impresa fissa un prezzo pari a 3,
implicherebbe ugualmente profitti nulli e, quindi, nessun miglioramento che
giustifichi una deviazione; allo stesso tempo, una riduzione del prezzo al di
sotto del costo unitario di produzione comporterebbe una perdita, che è un
risultato inferiore rispetto a conseguire profitti nulli. In definitiva, la
14
Una precisazione è necessaria. Se le imprese producono un bene omogeneo e fissano lo stesso
prezzo, possiamo determinare solo la quantità totale domandata dal mercato ma non la domanda
relativa alla singola impresa. In tal caso, si assumerà che le imprese si ripartiscono il mercato in
parti uguali. Si noti, inoltre, che stiamo implicitamente assumendo che non esistano vincoli alla
capacità produttiva delle imprese, almeno relativamente alla massima quantità che il mercato
potrebbe richiedere.
14
coppia di prezzi ( p1 ; p 2 ) = (3;3) individua l’equilibrio di Nash; solo in tale
circostanza ciascuna impresa, una volta osservato il prezzo fissato dall'altra,
non si pentirà della scelta fatta.
In generale, nel caso in cui due imprese competono alla Bertrand
producendo un bene omogeneo con costi medi costanti uguali, l'equilibrio di Nash
prevede prezzi uguali al costo medio e profitti nulli. Quest'ultima conclusione
è in netto contrasto con quanto osservato per il modello di Cournot.
Sostituendo, quindi, l'ipotesi di concorrenza sulle quantità con quella di
concorrenza sui prezzi si ottengono risultati radicalmente differenti. In
particolare, il modello di Bertrand prevede un prezzo di vendita uguale a quello
che prevarrebbe in un equilibrio di concorrenza perfetta, nonostante che il
mercato sia composto, dal lato dell'offerta, di sole due imprese.
4.4 Il modello di Bertrand con differenziazione del prodotto.
Nell’esempio precedente si è ipotizzato che il bene prodotto dalle imprese fosse
omogeneo. Si assuma ora invece che i consumatori ritengano che le due imprese
vendano beni analoghi ma non perfettamente uguali. Dal punto di vista dei
consumatori, i due beni sono valutati diversamente o per effetto di campagne
pubblicitarie, che inducono a ritenerli tali sebbene identici nella sostanza, o
grazie ad alcune caratteristiche distintive. In entrambi i casi possiamo
definire una curva di domanda per il bene venduto dall’impresa 1 ed un’altra per
il bene venduto dall’impresa 2. Si assuma allora che la curva di domanda per il
bene 1 sia
Q1 = 16 − 2 p 1 + p 2
mentre quella per il bene 2 sia
Q 2 = 16 − 2 p 2 + p 1 .
In tal caso, un aumento di prezzo da parte di un’impresa induce un incremento
nella quantità domandata del bene venduto dall’altra impresa, oltre a
determinare una riduzione nella quantità domandata del proprio bene. I due beni
sono, quindi, sostituti.15
Dovendo analizzare una competizione alla Bertrand, si assuma che ciascuna
impresa scelga, simultaneamente ed indipendentemente dall’altra, il prezzo di
vendita del bene che produce, con l’obiettivo di massimizzare i profitti.
Assumendo costi medi costanti ed uguali tra imprese, pari a 4, il problema di
scelta strategica può essere scritto come segue:
max π1 ( p1 , p 2 ) = p1 (16 − 2 p 1 + p 2 ) − 4 (16 − 2 p1 + p 2 )
p1
per l’impresa 1, e
max π 2 ( p1 , p 2 ) = p 2 (16 − 2 p 2 + p1 ) − 4 (16 − 2 p 2 + p1 )
p2
Si noti che a differenza del modello di Cournot, il profitto di entrambe le
imprese è ora espresso in funzione dei prezzi. La condizione del primo ordine
relativa al problema dell’impresa 1 è
∂ π1 / ∂ p1 = 16 − 4 p1 + p 2 + 8 = 0 ,
mentre quella relativa al problema dell’impresa 2 è
∂ π 2 / ∂ p 2 = 16 − 4 p 2 + p1 + 8 = 0 .
In termini di funzione di reazione, le due condizioni del primo ordine implicano
24 + p 2
p1 =
4
per l’impresa 1 e
24 + p1
p2 =
4
per l’impresa 2. La figura 8 riporta le due funzioni di reazione nel piano
( p1 , p 2 ) . Poiché vogliamo determinare una coppia di prezzi tale che per entrambe
le imprese il prezzo adottato massimizzi il profitto, dato il prezzo scelto
dall’altra impresa, è necessario derivare quella coppia di prezzi che soddisfa
entrambe le condizioni del primo ordine. In tal caso, dato il prezzo
15
Si noti che l’ipotesi di differenziazione implica che prezzi differenti sono compatibili con una
quantità domandata positiva per entrambi i beni.
15
dell’impresa concorrente ogni impresa avrà scelto il prezzo che massimizza il
proprio profitto. La soluzione del sistema composto dalle due condizioni del
primo ordine è:
p1 = p 2 = 8 .
Graficamente ciò corrisponde al punto d’intersezione delle due curve di
reazione.
Per verificare ulteriormente che la coppia di strategie-prezzi ( p1 = 8; p 2 = 8)
costituisce un equilibrio di Nash, individuiamo qual è il prezzo che un’impresa
deve adottare per massimizzare il proprio profitto, dato che l’altra impresa
fissa un prezzo pari a 8. Limitandoci a considerare il problema dell’impresa 1,
la massimizzazione del profitto implica:
∂ π1 / ∂ p1 = 16 − 4 p1 + p 2 + ( ∂ p 2 / ∂ p1 ) + 8 − 4 (∂ p 2 / ∂ p1 ) = 0 .
Poiché stiamo assumendo che l’impresa 1 preveda
p 2 = 8 , sostituendo tale valore
nella condizione del primo ordine e notando che, essendo
∂ p 2 / ∂p1 = 0 , si ottiene
p2 = 8
una costante,
p 1 = 8 . Poiché il problema dell’impresa 2 è simmetrico
rispetto a quello dell’impresa 1, possiamo concludere che la coppia ( p1 = 8; p 2 = 8)
costituisce l’equilibrio di Nash del duopolio alla Bertrand. In equilibrio il
prezzo è maggiore del costo medio ed entrambe le imprese conseguono un profitto
positivo.16
Figura 7: Funzioni di reazione ed equilibrio Nash-Bertrand
p1
Funzione di reazione impresa 2:
p 2 = ( 24 + p1 ) / 4
Funzione di reazione impresa 1:
p 1 = ( 24 + p 2 ) / 4
•
8
Equilibrio: p1 = p 2 = 8
6
6
p2
8
4.5. L’instabilità dei cartelli: collusione ed incentivo a deviare
In precedenza abbiamo verificato che per un gioco statico, quale ad esempio il
dilemma del prigioniero, la collusione non è un risultato di equilibrio. Una
conclusione analoga si ottiene laddove si considera un modello di oligopolio con
competizione alla Cournot o alla Bertrand. Per verificare ciò riprendiamo
nuovamente in esame il modello di Cournot con costi uguali e assumiamo che le
due imprese stiano prendendo in considerazione la possibilità di colludere così
da incrementare i profitti. L’obiettivo è agire in maniera tale che il profitto
totale (cioè la somma dei profitti delle due imprese) sia massimo, così da
rendere massima la somma di denaro da dividersi. Per massimizzare il profitto
16
Quest’ultimo risultato non dipende strettamente dall’ipotesi che ∂Qi / ∂p i ≠ ∂ Qi / ∂p j .
16
congiunto le due imprese devono produrre (e vendere) in totale quanto
produrrebbe un monopolista. Nel caso in esame la massimizzazione del profitto
congiunto implicherebbe:
21 − 2Q = 3
da cui si ottiene Q = 9 , p = 12 e π 1 + π 2 = 81 . Assumendo che le due imprese
decidano di ripartirsi il profitto in parti uguali, producendo ognuna metà della
quantità di monopolio, ognuna produrrebbe 4 ,5 e guadagnerebbe 40 ,5 . Ciascuna
impresa otterrebbe, quindi, un profitto maggiore di quello conseguibile
nell’equilibrio di Cournot; sembrerebbe, dunque, che la collusione sia un esito
molto probabile. In realtà, ciascuna impresa, una volta valutata l’opportunità
di un accordo, prenderà in considerazione l’opportunità di non mettere in atto
quanto
previsto
dall’accordo
stesso,
cioè
prenderà
in
considerazione
l’opportunità di produrre e immettere sul mercato una quantità diversa da 4 ,5 .
Guidata dal proprio personale interesse e consapevole che nel caso in cui non
dovesse ottemperare all’accordo tale inadempienza non sarebbe punibile, ciascuna
impresa valuterà quale sarebbe il beneficio di deviare dall’accordo. Si assuma
allora che una delle due imprese, ad esempio l’impresa 1, ritenga che l’altra
produrrà effettivamente la quantità di collusione, q 2 = 4 ,5 . In base alla
funzione di reazione, la risposta ottima dell’impresa 1 è
tale
quantità
come
risposta
a
q 2 = 4 ,5 ,
l’impresa
1
q 1 = 6 ,75 . Producendo
otterrebbe,
infatti,
un
profitto π 1 = 55 ,6875 maggiore del profitto di collusione, inducendo un profitto
per l’impresa 2 pari a π 2 = 37 ,125 , minore del profitto di collusione. L’impresa 1
ha, quindi, incentivo a deviare dall’accordo collusivo. Chiaramente alla stessa
conclusione giungerebbe l’impresa 2 se dovesse valutare la convenienza a
deviare, nell’ipotesi che l’impresa 1 rispettasse l’accordo. Il cartello tra le
due imprese è quindi instabile: entrambe hanno incentivo a deviare dall’accordo
di collusione.
5. D UOPOLIO CON INFORMAZIONE ASIMMETRICA
I modelli presentati in precedenza erano caratterizzati dall’ipotesi di
informazione completa e simmetrica tra le parti. In questa sezione, riprendendo
in esame il modello di duopolio alla Cournot, analizzeremo le conseguenze della
rimozione di tale ipotesi.17 Al di là dell’interesse per il modello in quanto
tale, la possibilità di informazione asimmetrica si rivelerà molto utile quando
prenderemo in esame strategie tendenti ad innalzare barriere all’entrata in un
mercato o ad indurre l’uscita dal mercato di un concorrente. Si assuma allora
che il lato della domanda è rappresentato dalla funzione Q = 21− p e che due
imprese competono producendo un bene omogeneo. A differenza del modello
analizzato in precedenza, una delle due imprese, ad esempio l’impresa 2, non
conosce i costi dell’altra e quindi non è in grado di calcolare il profitto del
proprio avversario. In particolare, si assuma che entrambe le imprese conoscano
il costo medio unitario di produzione dell’impresa 2, che assumiamo pari a 3, e
che entrambe sanno che l’altra è a conoscenza di ciò. Al contrario, l’impresa 1
conosce il proprio costo medio unitario di produzione con esattezza, mentre
l’impresa 2 non è in possesso di tale informazione.18 L’impresa 2 sa solo che il
costo medio dell’altra potrebbe essere pari a 1 o a 3 e che uno dei due valori è
effettivamente il costo medio di produzione dell’impresa 1. Esiste, quindi,
asimmetria informativa tra le due imprese; dal punto di vista dell’impresa 2
l’impresa 1 può essere di due tipi diversi, a seconda del costo medio a cui
produce. Nel caso in cui la funzione di costo dell’impresa 1 fosse C1 ( q 1 ) = q1 ,
l’impresa 2 dovrebbe competere con un’impresa che adotta una tecnologia più
efficiente della propria, mentre se C1 ( q1 ) = 3q 1 le funzioni di costo delle due
imprese sarebbero identiche. Si assuma, inoltre, che con probabilità µ l’impresa
2 competa con un’impresa il cui costo unitario è pari a 3 e con probabilità 1 − µ
17
18
Considerazioni analoghe valgono per il modello di Bertrand con differenziazione del prodotto.
Per entrambe le assunzioni vale l’ipotesi di conoscenza comune.
17
competa con un’impresa il cui costo unitario è pari a 1. Tale informazione è
nota all’impresa 1, quale che sia il suo tipo.19 Restano valide infine le altre
ipotesi che caratterizzavano il modello con informazione completa.
In generale, quale che sia il proprio costo medio di produzione l’impresa
1 sceglie la quantità da produrre con l’obiettivo di massimizzare il profitto,
data l’ipotesi sulla quantità prodotta dall’altra impresa. Se l’impresa 1 fosse
in grado di produrre ad un costo unitario pari a 1, sceglierebbe la propria
quantità risolvendo il seguente problema:
max π1 = [ 21 − ( q1 (1) + q 2 )] q1 − q1 (1)
q1 (1)
dove q 1 (1) individua la quantità relativa ad un’impresa con costo medio pari a 1.
In tal caso, si otterrebbe la seguente funzione di reazione:
20 − q 2
q 1 (1) =
.
2
Analogamente, se l’impresa 1 producesse ad un costo medio pari a 3 si avrebbe:
max π1 = [ 21 − ( q1 (3) + q 2 )]q 1 − 3q 1 ( 3)
q1( 3)
dove q 1 ( 3) individua appunto la quantità relativa ad un’impresa con costo medio
pari a 3. In tal caso, risolvendo il problema di massimizzazione si otterrebbe:
18 − q 2
q 1 ( 3) =
.
2
Dal punto di vista dell’impresa 1, quindi, il problema è analogo a quello
incontrato per il modello con informazione simmetrica. A seconda di quale tipo
d’impresa 1 effettivamente compete sul mercato, sarà valida una delle due
funzioni di reazione per il calcolo dell’effettiva quantità prodotta. In
particolare, poiché l’impresa 1 dispone di tutte le informazioni rilevanti per
il calcolo del profitto dell’impresa 2, essa è perfettamente in grado di
risolvere il problema di scelta ottima di quest’ultima.
Si consideri ora il problema dell’impresa 2, cioè dell’impresa che
possiede informazione incompleta. Nel caso in cui l’impresa con cui compete
producesse con costi bassi, l’impresa 2 dovrebbe scegliere la propria quantità
così da massimizzare la funzione di profitto
π 2 = [ 21 − ( q1 (1) + q 2 )] q 2 − 3 q 2 ; allo
stesso tempo, se l’impresa 2 affrontasse un’impresa che produce ad un costo
medio pari a 3 dovrebbe scegliere la propria quantità avendo come riferimento la
funzione di profitto
π 2 = [ 21 − (q 1 ( 3) + q 2 )]q 2 − 3q 2 . Le due funzioni si differenziano
rispetto alla previsione che l’impresa 2 fa della quantità prodotta dall’impresa
1; tale previsione sarà diversa a seconda di qual è l’effettivo costo di
produzione dell’impresa 1. Difatti, a differenza del modello con informazione
completa, l’impresa 2 non è più in grado di risolvere il problema di scelta
ottima dell’impresa 1, poiché non conosce con esattezza il costo medio di
produzione di quest’ultima. In base alle informazioni di cui dispone, l’impresa
2 sa che la funzione di profitto π 2 = [ 21 − ( q1 (1) + q 2 )] q 2 − 3 q 2 è quella rilevante con
probabilità 1 − µ , mentre l’altra si rivelerà corretta con probabilità pari a µ.
In tal caso assumiamo che l’impresa 2 scelga la quantità da produrre così da
massimizzare il valore atteso del profitto:
max E( π 2 ) = (1 − µ ){[ 21 − (q 1 (1) + q 2 )]q 2 − 3q 2 } + µ{[ 21 − ( q1 (3) + q 2 )]q 2 − 3q 2 } .
q2
Risolvendo il precedente
dell’impresa 2 è
problema
si
ottiene
che
la
funzione
di
reazione
18 − q1 (1)
18 − q 1 ( 3) 18 − [(1 − µ ) q1 (1) + µ q1 (3)]
+µ
=
2
2
2
dove (1 − µ )q 1 (1) + µq1 (3 ) indica il valore atteso, dal punto di vista dell’impresa 2,
della quantità prodotta dall’impresa 1. La massimizzazione dei profitti implica,
quindi, tre funzioni di reazione, una relativa all’impresa 2 ed una per ciascuno
dei due possibili tipi di impresa 1. L’equilibrio richiede che l’impresa 2
produca la quantità che massimizza il profitto, dato il livello atteso di
produzione dell’impresa 1, e che l’impresa 1, sia con costi bassi che con costi
q 2 = (1 − µ )
19
Si noti che non abbiamo stabilito qual è l’effettiva funzione di costo relativa all’impresa 1.
18
alti, produca la quantità che massimizza il profitto, data la quantità prodotta
dall’impresa 2. Essendo incompleta l’informazione di cui dispone l’impresa 2,
quest’ultima sceglierà la quantità da produrre sulla base del valore atteso del
livello di produzione dell’impresa 1 e non sulla base del livello effettivo.
Per ottenere le quantità di equilibrio poniamo a sistema le tre funzioni
di reazione:
20 − q 2

q 1 (1) =

2



18 − q 2
q 1 (3 ) =

2



18 − [(1 − µ ) q1 (1) + µ q1 (3)]
q 2 =
.

2


Sostituendo la q 1 (1) e la q 1 ( 3) nella terza equazione si ottiene la quantità
prodotta in equilibrio dall’impresa 2, q 2 = (16 + 2µ ) / 3 . Sostituendo tale quantità
nelle funzioni di reazione relative ai due possibili tipi di impresa 1, si
ottiene che in equilibrio l’impresa 1 produce q 1 (1) = ( 22 − µ ) / 3 se la tecnologia che
adotta implica un costo medio pari a 1, mentre produce q 1 (3) = (19 − µ ) / 3 se il costo
medio è pari a 3.20 In equilibrio, il profitto atteso dell’impresa 2 è
E ( π 2 ) = [(16 + 2 µ ) / 3] 2
ed
il
profitto
dell’impresa
2
1
è
π 1 (1) = [( 22 − µ ) / 3 ] 2
o
π 1 (1) = [(19 − µ ) / 3] , a seconda del costo a cui produce. Al crescere del valore di µ
cresce la quantità prodotta dall’impresa 2 e si riduce il livello di produzione
dell’impresa 1, quale che sia il suo tipo. In altre parole, quanto maggiore è la
probabilità che l’impresa 1 produca ad un costo medio pari a 3, tanto minore è
la differenza tra le quantità effettivamente prodotte dalle due imprese. Ad
esempio, se µ = 0,5 si ottiene q1 (1) = 7,1 6 , q1 (3) = 6,1 6 e q 2 = 5, 6 ; se µ = 1 , cioè nel
21
caso in cui sicuramente l’impresa 1 produca a costi alti, si ottiene q 1 = q 2 = 6 .
Inoltre, confrontando i casi di informazione completa (con costi uguali o
differenti) ed incompleta, poiché 5, 3 < (16 + 2µ) / 3 < 6 per 0 < µ < 1 , segue che con
informazione incompleta l’impresa 2 produce più di quanto avrebbe prodotto in
caso di duopolio con costi differenti ed informazione completa e meno di quanto
avrebbe prodotto nel caso di duopolio con costi uguali ed informazione completa.
La possibilità che l’impresa 1 produca a costi bassi induce l’impresa 2 a
ridurre la quantità prodotta rispetto al caso in cui l’impresa 1 è sicuramente
un’impresa con costi alti; allo steso tempo, la possibilità che l’impresa 1
produca a costi alti induce l’impresa 2 a produrre più di q 2 = 5, 3 , cioè della
quantità scelta nel caso in cui sicuramente l’impresa 1 produca a costi bassi.
Analogamente, l’impresa 1 con costi alti è incentivata a produrre più di quanto
avrebbe prodotto in assenza d’incertezza (6 < (19 − µ ) / 3 ), mentre l’impresa 1 con
costi bassi è costretta a produrre meno di quanto avrebbe prodotto se fosse
stato noto all’impresa 2 il proprio costo medio di produzione ( (22 − µ) / 3 < 7, 3 ).22
Parte II – DECISIONI SEQUENZIALI
6. G IOCHI DINAMICI E CREDIBILITÀ : EQUILIBRIO DI NASH PERFETTO
20
La terna di quantità individuata costituisce un equilibrio di Nash-Bayes.
Si noti che l’impresa 2 deve limitarsi a calcolare un profitto atteso poiché non conosce con
certezza la quantità prodotta dall’impresa 1, a causa dell’informazione incompleta sui costi di
quest’ultima, e quindi non è in grado di prevedere quale sarà il prezzo di mercato. Al contrario,
l’impresa 1, quale che sia il suo tipo, è in grado di calcolare in anticipo il proprio profitto.
22
Si noti che ciò implica che, se fosse possibile, un’impresa con costi bassi avrebbe incentivo a
segnalare il proprio costo medio di produzione.
21
19
Definiamo gioco dinamico, un gioco in cui i giocatori mettono in atto le proprie
strategie ad istanti di tempo successivi, eventualmente dopo aver osservato la
scelta
di
chi
ha
giocato
precedentemente.
La
figura
9a
fornisce
la
rappresentazione ad albero di un semplice gioco in cui due giocatori devono
scegliere, all’istante in cui sono chiamati a giocare, tra due possibili azioni.
Il giocatore G1, a cui spetta la prima mossa, deve scegliere tra le azioni A e
B. Poiché prima della sua scelta nessun’altra decisione è stata presa e nessun
evento è accaduto, G1 non può condizionare la propria decisione rispetto a
qualche esito passato. Il giocatore G1 dispone, quindi, di due strategie che
coincidono con le azioni. Il giocatore G2, invece, gioca dopo aver osservato la
strategia di G1, scegliendo tra le azioni S e D. In particolare, G2 potrà essere
chiamato a giocare in due differenti circostanze, a seconda della strategia
messa in atto da G1. Difatti, G2 potrebbe trovarsi a giocare nel ramo alto
dell’albero, se G1 avesse scelto la strategia A, o in quello basso nel caso in
cui G1 avesse scelto la strategia B. In base alla definizione di strategia ciò
implica che, prima della scelta di G1, G2 ha a disposizione quattro strategie:
§ S sempre
§ D sempre
§ S se G1 giocasse A e D se G1 giocasse B
§ S se G1 giocasse B e D se G1 giocasse A.
Figura 9a
S
A
G2
G1
(1,4)
D
(3,3)
S
B
G2
(0,0)
D
(2,1)
Combinando le strategie di G1 con quelle di G2 otteniamo otto coppie di
strategie: (A; S sempre), (A; D sempre) , (A; S se G1 giocasse A e D se G1
giocasse B), (A; S se G1 giocasse B e D se G1 giocasse A), (B; S sempre), (B; D
sempre), (B; S se G1 giocasse A e D se G1 giocasse B), (B; S se G1 giocasse B e
D se G1 giocasse A). Inoltre, il gioco può svilupparsi lungo quattro sentieri:
(A → S) , (A → D) , (B → S) e (B → D). I numeri in parentesi indicano i
profitti che ogni giocatore ottiene alla fine del gioco; il primo numero si
riferisce al giocatore G1. Per verificare quali tra le coppie di strategie
delineate costituiscono equilibri di Nash possiamo procedere come abbiamo fatto
per i giochi statici. Si consideri, ad esempio, la coppia di strategie (A; S
sempre). Se G1 scegliesse A, ossia se il gioco si sviluppasse lungo il sentiero
alto, al giocatore G2 converrebbe giocare S; difatti, giocando l’azione S
otterrebbe un profitto pari a 4 laddove giocando D otterrebbe un profitto pari a
3. Se G1 giocasse A, la miglior risposta di G2 sarebbe, quindi, S che è parte
del profilo di strategie che stiamo analizzando. Allo stesso tempo, se il
giocatore G2 avesse come strategia S sempre, G1 otterrebbe un profitto pari a 1
giocando A (ramo alto) ed un profitto pari a 0 giocando B (ramo basso). La
miglior risposta per G1 è, quindi, la strategia A. E' evidente, dunque, che la
coppia di strategie (A; S sempre) costituisce un equilibrio di Nash. Inoltre,
possiamo immediatamente concludere che la coppia di strategie (B; S sempre) non
è un equilibrio di Nash, in quanto B non può costituire la risposta ottima per
G1 alla strategia S sempre giocata da G2. Procedendo in maniera analoga,
possiamo verificare che la coppia (B; S se G1 giocasse A e D se G1 giocasse B)
costituisce un altro equilibrio di Nash. Infatti, se G1 giocasse B la miglior
risposta per G2 tra S (profitto pari a 0) e D (profitto pari a 1) sarebbe
giocare D, proprio come prescritto dal profilo in esame. Di contro, data la
strategia che assumiamo giochi G2, se G1 giocasse B otterrebbe un guadagno pari
a 2, in quanto G2 risponderebbe giocando D, mentre se G1 giocasse A otterrebbe
un guadagno pari a 1, poiché in base alla strategia di G2 questi risponderebbe
20
giocando l’azione S. La miglior risposta per G1 è dunque giocare B, come
prescritto dal profilo in esame. La coppia di strategie (B; S se G1 giocasse A e
D se G1 giocasse B) è quindi un equilibrio di Nash. Procedendo in maniera
analoga possiamo facilmente constatare che le altre coppie di strategie non
costituiscono equilibri di Nash. Si consideri, ad esempio, la coppia (B; S se G1
giocasse B e D se G1 giocasse A). Se G1 giocasse B, la risposta ottima di G2
sarebbe D; quest'ultima però non è contemplata dal profilo che stiamo
sottoponendo a verifica. Il profilo non è un equilibrio di Nash. In conclusione,
il gioco in esame presenta due equilibri di Nash. Senza altre eventuali
considerazioni non abbiamo una previsione univoca circa l’esito del gioco.
6.1 Soluzione mediante induzione all'indietro
Il gioco rappresentato in figura 9a presenta due equilibri di Nash: (A; S
sempre) e (B; S se G1 giocasse A e D se G1 giocasse B). Al primo è associato il
sentiero (A → S) mentre al secondo il sentiero (B → D). Dall'esame dell'albero
si nota immediatamente che l'esito ottimale per G2 è dato dalla sequenza di
azioni (A → S); in tal caso, infatti, G2 otterrebbe il massimo profitto
possibile pari a 4. Si assuma allora che, prima che G1 abbia effettuato la
propria scelta, G2 tenti di incidere sull'esito del gioco mediante la seguente
dichiarazione pubblica: "qualunque azione G1 scelga, la mia scelta sarà giocare
S". Tale dichiarazione corrisponde alla strategia S sempre. Chiaramente, con
tale dichiarazione (strategia) G2 tenta di indurre G1 a giocare A; difatti se G1
credesse nella dichiarazione di G2 sarebbe indotto a scegliere A, che renderebbe
un profitto pari 1, piuttosto che B che renderebbe un profitto pari a 0 come
risultato della sequenza (B → S). In altre parole, A è la miglior risposta alla
strategia dichiarata da G2. D'altro canto se G1 scegliesse A, la miglior
risposta di G2 sarebbe S che è parte della strategia dichiarata da G2. Potremmo
dire, quindi, che l’equilibrio (A; S sempre) si fonda sulla minaccia da parte di
G2, perpetuata prima che il gioco inizi, di prospettare a G1 un profitto pari a
0 laddove scegliesse di giocare B. Constatato ciò, è (A → S) l'esito
prevedibile del gioco?
Il punto di partenza per rispondere al quesito è l'analisi che G1 fa della
strategia dichiarata da G2; in particolare, G1 dopo aver appreso la
dichiarazione di G2 e prima di scegliere la propria mossa, deve stabilire se la
dichiarazione di G2 è credibile. L'albero mostra che la minaccia non è
credibile. Difatti, G1 si rende immediatamente conto che, nell’istante in cui
sarà chiamato a giocare, G2 non avrebbe alcun incentivo a mettere in atto la
strategia dichiarata in partenza, e quindi a giocare S come risposta a B, poiché
in tal caso otterrebbe un profitto pari a 0, laddove potrebbe ottenere 1
giocando D. Quest'ultima risulta l'azione ottimale per G2 come risposta
all'azione B giocata da G1, dato che una volta che sarà chiamato a giocare G2
avrà come unico obiettivo quello di scegliere l'azione che massimizza il
profitto. E' evidente, inoltre, che giocare S è ottimale per G2 solo se G1
giochi A. G1 prevede, quindi, che G2 giocherebbe D come risposta di B e S come
risposta a A. In generale, un giocatore non avrà alcun interesse a mettere in
atto una minaccia se questa non implichi una strategia ottima nell'istante in
cui è chiamato a giocare. Concludendo, G1 prevede che G2 giochi la strategia S
se G1 giocasse A e D se G1 giocasse B. Dal punto di vista di G1, quindi, è come
se il gioco si riducesse alla seguente situazione:
Figura 9b
A
1
G1
B
2
21
Ovviamente, dall’esame della figura 9b si conclude che G1 sceglie la strategia
B. Nonostante, quindi, il gioco presenti due equilibri di Nash, l’esito
prevedibile è che G1 giochi B e G2 risponderà giocando D (B → D). L’esito
prevedibile è, dunque, associato alla coppia di strategie (B; S se G1 giocasse
A, D se G1 giocasse B).
Cos'è che porta ad escludere (A → S) quale esito del gioco, sebbene sia
associato ad un equilibrio di Nash? Come visto in precedenza, l'esito (A → S) è
associato alla dichiarazione-strategia di G2 di giocare sempre S, qualunque sia
stata la scelta di G1. L'albero mostra, però, che lungo il ramo basso l'azione S
non è ottimale. Il giocatore G1 non ha alcun motivo, quindi, di credere che
laddove scegliesse B il suo avversario metterà in atto la minaccia, poiché ciò
andrebbe contro i suoi stessi interessi: a seguito di B, l'azione S non è la
miglior risposta. In altre parole, se analizziamo unicamente la parte del gioco
che rappresenta le scelte di G2 e prendiamo in considerazione la parte del
profilo di strategie (A; S sempre) relativa a G2, cioè S sempre, quest'ultima
non prescrive l’azione ottima in ogni circostanza. Quando G2 è chiamato a
giocare (ovvero analizzando unicamente la parte del gioco che rappresenta le
scelte di G2), affinché le sue scelte siano in ogni caso ottime, egli deve
scegliere S come risposta a A e D come risposta a B. La strategia S se G1
giocasse A e D se G1 giocasse B è la sola coerente con la circostanza che G2
dichiari sempre la risposta ottima, una volta che è chiamato a giocare.
Quest’ultima è la strategia che G1 prevede per G2. In base a tale previsione il
gioco di figura 9a si riduce alla rappresentazione in figura 9b e G1 conclude
che la strategia ottima è B. Tale procedimento di analisi è definito di
induzione all’indietro. La coppia di strategie (B; S se G1 giocasse A, D se G1
giocasse B) è, quindi, un equilibrio di Nash con il requisito ulteriore che la
strategia del secondo giocatore è ottima indipendentemente dalla scelta di G1,
cioè prevede l’azione ottima sia che G2 si dovesse trovare a giocare lungo il
ramo alto che in quello basso. L’equilibrio associato alla soluzione ottenuta
mediante il procedimento di induzione all’indietro è detto equilibrio di Nash
perfetto nei sottogiochi.
7 COMPETIZIONE TRA IMPRESE E INDUZIONE ALL ’INDIETRO
7.1 Un esempio di minaccia non credibile: la strategia della quantità limite
Si assuma che nel mercato descritto dalla funzione di domanda Q = 21− p
attualmente operi una sola impresa, indicata con I. L’impresa I, sebbene
monopolista da anni, potrebbe perdere tale privilegio in quanto una seconda
impresa, che denotiamo con E, sta valutando l’opportunità di entrare nel
mercato. L’impresa E sarebbe in grado di produrre il bene a costi marginali
costanti pari a 3, come l’impresa I; per entrare nel mercato E deve però
sostenere un costo fisso F = 16 . Si consideri allora la seguente sequenza di
eventi:
§ all’inizio del periodo t = 1 , l’impresa I decide quanto produrre per il
periodo in esame e dichiara di produrre tale quantità anche nel periodo t = 3 ;
§ in t = 2 , l’impresa E decide se entrare nel mercato;
§ all’inizio del periodo t = 3 se E è entrata le due imprese fisseranno
simultaneamente il livello di produzione valido per il periodo corrente,
altrimenti l’impresa I agirà da monopolista.
Consapevole del fatto che l’impresa E sta valutando l’opportunità di
entrare
nel
mercato,
I
decide
di
produrre
in
t =1
una
quantità
q lI ,
detta
quantità limite. Quest’ultima è tale che in caso di duopolio con q I = q lI la
quantità che E potrebbe vendere non le consentirebbe un profitto positivo.
Inoltre, avendo come obiettivo di evitare che si crei un duopolio, I dichiara di
22
produrre la quantità limite anche in t = 3 , se l’impresa E dovesse entrare nel
mercato.23
Dall’analisi del modello di Cournot sappiamo che per ogni livello di
produzione q I la quantità che massimizza il profitto dell’impresa E è pari a
q E = (18 − q I ) / 2 . Il massimo profitto che E potrebbe conseguire in caso d’ingresso
è dunque:
2

18 − q I  18 − q I
 18 − q I 
max π E = 18 − q I −

− 16 = 
 − 16
2
2


 2 
Poiché max π E dipende in maniera inversa dalla quantità prodotta dall’impresa I,
esiste un livello di q I che rende nullo il massimo profitto dell’impresa E:
max π E = 0
→
q Il = 10 .
In altre parole, se in un duopolio un’impresa producesse la quantità limite,
l’altra impresa, pur producendo in base alla funzione di reazione, non potrebbe
ottenere un profitto positivo, poiché sarebbe indotta a produrre una bassa
quantità del bene. Dalla precedente relazione sembrerebbe, quindi, che l’impresa
I possa determinare la quantità da produrre in maniera strategica, così da
evitare l’ingresso di una seconda impresa nel mercato. In particolare,
producendo una quantità (maggiore o) uguale a q lI l’impresa E dovrebbe essere
scoraggiata dall’entrare in competizione con I.
Chiaramente, la decisione dell’impresa E in merito all’ingresso nel
mercato dipende in maniera cruciale dalla valutazione che essa fa della
dichiarazione dell’impresa I. Se E ritenesse che I metterà in atto la minaccia
di mantenere il livello di produzione q lI , pur rispondendo in maniera ottimale in
base alla funzione di reazione non potrebbe ottenere un profitto positivo.24 In
altre parole, la miglior risposta da parte dell’impresa E al livello di
produzione q lI è non entrare nel mercato. Analogamente però al giocatore G1
dell’esempio precedente, l’impresa E riterrà credibile la minaccia del proprio
avversario, se quest’ultima è associata ad un equilibrio di Nash del gioco in
t = 3 . Analizzando il contesto strategico che prevarrebbe nel (sottogioco
relativo
al)
periodo
t =3
in
caso
d’ingresso,
l’impresa
E
realizza
immediatamente che l’equilibrio (di Nash) è associato alla coppia di quantità di
Cournot. L’impresa E prevede, quindi, che nel terzo periodo l’impresa I
modificherà il livello di produzione, rispetto a quello posto in essere in t = 1
e dichiarato valido anche in t = 3 . Difatti, una volta che E è entrata nel
mercato le due imprese si troveranno a competere come nel modello di Cournot,
per cui ognuna agirà alla stregua di un duopolista alla Cournot. La
dichiarazione fatta in t = 1 da parte dell’impresa I, una volta raggiunto il
tempo t = 3 con l’impresa E che è nel mercato, non ha più alcuna rilevanza.
L’impresa E prevede, quindi, che in caso d’ingresso nel mercato guadagnerà un
profitto pari a 20: chiaramente all’impresa conviene entrare nel mercato. Se il
costo fisso d’ingresso della potenziale entrante è sufficientemente basso, la
minaccia di produrre la quantità limite non è credibile, poiché è associata ad
un equilibrio che non è perfetto. Del resto se la minaccia di produrre la
quantità limite in t = 3 non è credibile, ciò implica che la decisione di
produrre tale quantità nel primo periodo non altererà l’esito del gioco nel
terzo periodo, rispetto alla soluzione di Nash. E poiché alla quantità q I , Lim nel
primo periodo è associato un profitto inferiore di quello ottenibile producendo
la quantità di monopolio pari a 9, q lI nel primo periodo non è una strategia
ottimale. In un equilibrio di Nash perfetto, quindi, la strategia di I è quella
di produrre la quantità di monopolio nel primo periodo e, nel terzo periodo, di
produrre (la quantità di monopolio se E non entra o) la quantità di Cournot se E
entra.
La
strategia
ottima
dell’impresa
E
è
entrare
nel
mercato
23
Poiché vale l’ipotesi di equilibrio tra domanda ed offerta, l’impresa I è in grado di vendere la
quantità limite anche in caso di duopolio. Alternativamente si potrebbe assumere fedeltà da parte
dei consumatori rispetto all’impresa I.
24
Si assuma che nel caso di profitto pari a 0 l’impresa E decida di non entrare.
23
(indipendentemente dalla dichiarazione fatta in t = 1 ) e produrre la quantità di
Cournot. Infine, se il costo fisso d’ingresso che la potenziale entrante deve
sostenere fosse sufficientemente alto, nel nostro caso F ≥ 36 , l’impresa E
deciderebbe di non entrare nel mercato, a prescindere dalla dichiarazione che I
fa nel primo periodo: l’entrata nel mercato è bloccata.25 Qualunque sia il valore
del costo fisso d’ingresso nel mercato, quindi, l’impresa I non è in grado di
determinare con la propria strategia la decisione dell’impresa rivale.
7.2 Duopolio e induzione all’indietro: il modello di Stackelberg
Prendiamo nuovamente in considerazione due imprese che devono stabilire il
livello di produzione di un bene omogeneo ma, rispetto al caso di Cournot,
modifichiamo la struttura del gioco, assumendo che le scelte avvengano in
sequenza. In particolare, si assuma che (i) l'impresa 2 (spesso denominata
impresa follower) scelga la quantità da produrre dopo aver osservato la scelta
dell'impresa 1; (ii) l'impresa 1 (spesso denominata impresa leader) è
consapevole che la sua scelta sarà nota all'impresa 2. Si assuma, inoltre, che
l’impresa 1, pur volendo, non può modificare il livello di produzione una volta
nota la scelta dell’impresa 2. L’impresa 1 è quindi vincolata a produrre quanto
dichiarato all’inizio del gioco.26 Il lato della domanda è rappresentato dalla
funzione di domanda lineare
Q = 21− p . Manteniamo, infine, l’ipotesi di
tecnologia simmetrica con rendimenti di scala costanti, assumendo che entrambe
le imprese producano a costi medi pari a 3. La similitudine, in termini di
domanda, tecnologia e numero di imprese, con il modello di Cournot analizzato in
precedenza, assicura che eventuali differenze, che si dovessero riscontrare
circa l’esito della competizione, sono indotte dalla sola differenza nella
struttura informativa. Per individuare le strategie di equilibrio delle due
imprese, procediamo applicando il metodo di induzione all’indietro partendo dal
prendere in considerazione la scelta della seconda impresa. Nel momento in cui
l’impresa 2 si accinge a scegliere la quantità da produrre, ha già osservato la
scelta dell’impresa 1 per cui deve risolvere il problema:
max π 2 (q 2 ) = [ 21 − ( q 1 + q 2 )] q 2 − 3 q 2 ,
q2
dove l’unica variabile è
q 2 poiché
q 1 , a differenza del modello di Cournot, è
27
Dato q 1 , la quantità ottima è:
18 − q1
q 2 ( q1) =
.
(5)
2
Poiché la precedente relazione vale per differenti quantità dell’impresa 1,
possiamo generalizzare il ragionamento considerando q 1 come una variabile; in
tal caso la (5) rappresenta la funzione di reazione dell'impresa 2, ossia la
regola che l’impresa 2 deve seguire per massimizzare il proprio profitto. In
base ad essa l’impresa 2 reagisce in maniera ottima alla quantità scelta da
parte dell’impresa leader. La (5) descrive, quindi, una strategia per l’impresa
2, poiché individua le sue scelte in termini di quantità, per ogni circostanza
in cui potrebbe essere chiamata a scegliere, cioè per ogni possibile quantità
prodotta dall’impresa 1.
Poiché l'impresa 1 è in grado di calcolare la funzione di reazione
dell'impresa 2, essa è in grado di prevedere, per ogni livello di produzione q 1
che dovesse scegliere, quale sarebbe la produzione dell’impresa 2, quale sarebbe
il prezzo di mercato e, di conseguenza, il proprio profitto. L'impresa 1 deve,
quindi, scegliere la quantità tale che:
un valore che l’impresa 2 conosce.
max π1 ( q1 ) = [ 21 − q1 − q 2 ( q1 )]q 1 − 3q1 .
(6)
q1
25
Si noti che tale condizione implica che la quantità limite è minore della quantità di Cournot. In
altre parole, poiché in equilibrio di duopolio l’impresa I produrrebbe la quantità di Cournot, se
tale quantità è minore della quantità limite ciò rende profittevole l’entrata da parte di E. Allo
stesso tempo, se la quantità limite è minore di quella di duopolio l’entrata è bloccata.
26
Si noti che tale ipotesi, la cui importanza sarà chiara in seguito, se introdotta anche nel
modello di Cournot non ne avrebbe modificato l’esito, in quanto in equilibrio nessuna delle due
imprese ha incentivo a modificare la propria scelta.
27
L’impresa 2 sceglie la quantità da produrre rispetto alla domanda residuale q 2 = ( 21 − q1 ) − p .
24
Si noti che la funzione di profitto dell'impresa 1 dipende unicamente dalla
propria quantità, dato che l’impresa 1 sa che l’impresa 2 sceglierà in base alla
(5) dopo aver osservato q 1 .28 Massimizzando il profitto rispetto a q 1 si ottiene
la strategia ottima per l’impresa leader, q 1 = 9 ; sostituendo la quantità
ottenuta nella (5) si ricava la quantità prodotta in equilibrio dall'impresa 2.
In definitiva, la coppia di strategie
( q1 = 9 ; q 2 ( q1 ) = (18 − q 1 ) / 2 ) , costituisce
l'equilibrio di Nash perfetto del modello. In base all’equilibrio, la coppia di
quantità scelte dalle due imprese è ( 9;4,5 ) mentre la coppia di profitti è
( 40 ,5;20 , 25 ) . Dichiarare per primi il livello di produzione, o più in generale
vincolarsi a produrre un dato livello di output, consente di ottenere un
profitto maggiore rispetto all’impresa rivale e maggiore rispetto al caso di
Cournot. La circostanza per cui l’impresa 1 individua la propria quantità
sapendo che l’impresa 2 deciderà conoscendo tale quantità determina una
riduzione nei profitti dell’impresa 2. L’informazione di cui dispone al momento
della decisione danneggia, quindi, l’impresa 2.
La figura 10 fornisce una rappresentazione grafica della soluzione di
Stackelberg ed un confronto con la soluzione di Cournot. Oltre alle funzioni di
reazione delle due imprese, il grafico contiene due curve di isoprofitto
relative all’impresa 1. Ogni curva rappresenta l’insieme di coppie ( q1 , q 2 ) a cui
è associato un identico livello di profitto per l’impresa 1. In generale, ad
ogni livello di profitto è associato una curva di isoprofitto; nel grafico la
curva esterna identifica un livello di profitto inferiore rispetto all’altra.29
Graficamente il problema dell’impresa 1 consiste, quindi, nell’individuare la
coppia ( q1 , q 2 ) che massimizza il profitto, cioè che si trova su una curva il più
possibile spostata a sinistra, tenendo conto del vincolo che la quantità q 2 si
trovi sulla funzione di reazione dell’impresa 2. Ciò è necessario in quanto
l’impresa 2 deciderà la propria quantità in base alla funzione di reazione. La
figura mostra che la soluzione di Stackelberg si trova sulla funzione di
reazione dell’impresa 2 ma non su quella dell’impresa 1.30
Per chiarire il significato dell’equilibrio ( q1 = 9 ; q 2 ( q1 ) = (18 − q 1 ) / 2 ) può
essere utile confrontarlo con la coppia ( q1 = 6; q 2 ( q1 ) = 6 )
che individua la
soluzione di Cournot. Quest’ultima rappresenta un altro equilibrio di Nash per
il modello di Stackelberg. Difatti, se l’impresa 1 producesse 6 la miglior
risposta per l’impresa 2 sarebbe 6, come prescritto dalla (5). Allo stesso
tempo, se l’impresa 1 ritiene che l’impresa 2 produrrà 6, la miglior risposta
per essa sarebbe produrre 6, come risulta dalla (6) se si sostituisce 6 al posto
di q 2 (q 1 ) e si massimizza. Tale equilibrio si basa, quindi, sulla previsione, da
parte dell’impresa 1, che l’impresa 2 una volta chiamata a scegliere produrrà
una quantità pari a 6. Potremmo quindi dire che l’equilibrio si basa sulla
dichiarazione dell’impresa 2, fatta prima che l’impresa 1 scelga, di produrre 6
in ogni circostanza, cioè quale che sia la scelta dell’impresa 1. Tale
dichiarazione corrisponde appunto alla strategia q 2 (q 1 ) = 6 . Ancora una volta però
ci troviamo di fronte ad una dichiarazione non credibile; difatti, una volta che
l’impresa 1 ha scelto di produrre una quantità pari a 9, l’impresa 2, osservata
tale quantità, non ha alcun incentivo a seguire la strategia q 2 (q 1 ) = 6 e quindi a
mettere in atto la minaccia fatta in precedenza. La miglior risposta sarà
produrre 4,5, come prescritto dalla strategia q 2 (q 1 ) = 9 − q1 / 2 . In altre parole, in
28
Il problema dell’impresa 1 evidenzia che per essa non vale l’ipotesi di congetture alla Cournot.
Dato un livello di produzione per l’impresa 1, al crescere della quantità prodotta dall’impresa 2
il prezzo si riduce ed il profitto dell’impresa 1 diminuisce.
30
Si noti che se, dopo la scelta dell’impresa 2, l’impresa 1 potesse cambiare la propria quantità
sarebbe incentivata a farlo. Prevedendo ciò però l’impresa 2 non produrrebbe 4,5 ma una quantità
maggiore il che determinerebbe per l’impresa 1 un profitto minore. Il vincolo di dover produrre
quanto dichiarato in partenza consente dunque all’impresa 1 di ottenere un profitto maggiore.
L’equilibrio si basa quindi sulla circostanza che l’impresa 2 produrrà 4,5 a seguito di una quantità
prodotta dall’impresa 1 pari a 9, ma “dichiara” di produrre quantità differenti da 4,5, come
prescritto dalla funzione di reazione, laddove l’impresa 1 dovesse produrre una quantità differente
da 9.
29
25
tale modello la coppia di strategie di Cournot è associata ad un equilibrio di
Nash che non è perfetto.
Figura 10: Funzioni di reazione ed equilibrio Nash-Stackelberg
q1
18
Curva di isoprofitto impresa 1
Soluzione di Stackelberg: q 1 = 9 e q 2 = 4 . 5
9
•
Soluzione di Cournot: q 1 = q 2 = 6
•
6
4.5
6
9
18
q2
Prima di passare oltre può essere utile soffermarsi sulla differenza tra
strategie di equilibrio, cioè la coppia di strategie ( 9;9 − q1 / 2 ) , e soluzione di
equilibrio, cioè la coppia di quantità prodotte ( 9;4,5 ) . Si noti che ( 9;4,5 ) non
costituisce una coppia di strategie di equilibrio, in quanto la miglior risposta
per l’impresa 1 a q 2 = 4 ,5 sarebbe produrre 6,75. La figura 10 mostra, infatti,
che la soluzione di Stackelberg non si trova sulla funzione di reazione
dell’impresa 1. L’impresa 1, quindi, decide di produrre una quantità pari a 9,
anticipando che in tal modo l’impresa 2 produrrà una quantità pari a 4,5 e
anticipando anche che se dovesse produrre una quantità differente l’impresa 2
non produrrebbe più 4,5. L’impresa 1, quindi, in equilibrio produrrà una
quantità pari a 9 anche perché prevede che, se decidesse di produrre una
quantità diversa da 9, l’impresa 2, in base alla sua funzione di reazione,
risponderebbe
producendo
una
quantità
diversa
da
4,5.
Senza
questa
considerazione, l’impresa 1 produrrebbe una quantità diversa da 9.
8. B ARRIERE ALL’ENTRATA E LIMITAZIONE DELLA CONCORRENZA
Dall’analisi di un gioco dinamico è emerso un argomento di rilevante interesse
sviluppato dalla teoria dei giochi. In un mercato di duopolio, un’impresa che in
t = 1 volesse agire così da influenzare le scelte, relative al tempo t = 2 , di
un’altra impresa, tentando di limitarne la produzione o di escluderla del tutto
dal mercato, dovrebbe porre in essere in t = 1 qualche azione che incida
sull’equilibrio di Nash della (eventuale) futura competizione. In altre parole,
non è sufficiente annunciare in t = 1 che in futuro si agirà in maniera diversa
da quanto prevede l’equilibrio di Nash, poiché tale annuncio non sarebbe
credibile. Piuttosto, l’impresa in esame deve fare in modo che nell’istante in
cui il concorrente potenziale prenderà la propria decisione (t = 2 ), ad esempio
in merito all’entrata nel mercato, questi dovrà trovare razionale non avviare la
produzione, dato l’equilibrio di Nash in t = 2 . Se al tempo t = 1 l’impresa I
mettesse in atto una qualche azione tale che l’equilibrio di Nash in t = 2
26
preveda che essa produca la quantità limite, ciò renderebbe la quantità limite
una strategia credibile. L’impresa I riuscirebbe così ad evitare l’ingresso nel
mercato dell’impresa E; quest’ultima, infatti, anticipando che in caso di
duopolio otterrebbe un profitto (al massimo) pari a zero sarebbe disincentivata
dall’entrare nel mercato. Inoltre, come evidenziato dal modello di Stackelberg,
un’impresa che si vincolasse in maniera credibile a produrre una data quantità,
inducendo la rivale a scegliere in maniera residuale, incrementerebbe il proprio
profitto rispetto al caso di Cournot. In proposito, si assuma che l’impresa I e
l’impresa E siano entrambe in grado di produrre un bene ad un costo medio pari a
3, dopo aver pagato un costo fisso F < 20 , 25 , e che la domanda del mercato è
rappresentata da Q = 21− p . L’equilibrio di Nash nel caso di competizione alla
Cournot implica che q Ic = q Ec = 6 e che π cI = π cE = 36 − F . Nel caso in cui l’impresa I
riuscisse a produrre una quantità maggiore di quella di Cournot, a discapito
dell’impresa E, potrebbe ottenere un profitto maggiore. Ad esempio, se, per un
qualche motivo, I avesse la possibilità di vincolare in maniera credibile il
proprio livello di produzione a quello del leader di Stackelberg, inducendo in
tal modo l’impresa E a scegliere la propria quantità in maniera residuale,
l’equilibrio
mediante
induzione
all’indietro
implicherebbe
q Is = 9 ,
q Es = 4 ,5 ,
π sI = 40 , 5 − F e π sE = 20 , 25 − F . Chiaramente, l’impresa I ha incentivo a vincolare in
anticipo il proprio livello di produzione. Avendo introdotto la possibilità di
vincolare la quantità prodotta ad un livello diverso da quello di Cournot, si
assuma ora che tale livello sia ancora più elevato e corrisponda alla quantità
limite q lI = 18 − 2 F > 9 , cosicché la scelta residuale dell’impresa E sia q lE = 0 . In
tal caso il profitto dell’impresa I sarebbe pari a π lI = 2 F (18 − 2 F ) − F . Per
valori del costo fisso non troppo bassi si ottiene un ulteriore incremento del
profitto, π lI > π sI .31 Infine, nel caso in cui l’impresa I operasse in condizioni di
monopolio e non dovesse far fronte alla possibilità d’ingresso nel mercato di un
concorrente si avrebbe q Im = 9 e π m
I = 81 − F . Esistono, quindi, una serie di valori
del costo fisso tali che per l’impresa I π c < π s < π l < π m . Espandere il proprio
livello di produzione a discapito dell’impresa rivale sarebbe, quindi,
profittevole.
Di seguito analizzeremo due possibili situazioni in cui l’impresa I può
agire strategicamente in t = 1 , così da evitare l’ingresso nel mercato del
concorrente potenziale.
8.1 Espansione della quantità ed informazione asimmetrica
Si consideri nuovamente il problema di un monopolista che tenta di evitare
l’ingresso nel mercato di un concorrente potenziale. Come abbiamo visto in
precedenza, nel primo periodo il monopolista non ha alcun incentivo ad espandere
la produzione al di là del livello di monopolio, poiché in tal caso otterrebbe
un profitto inferiore senza peraltro influire sulla scelta del concorrente
potenziale. Analizziamo ora nuovamente tale situazione rimovendo l’ipotesi di
informazione completa, coerentemente con l’analisi sviluppata nel paragrafo 7.
Si assuma allora che l’impresa E non conosca il costo marginale di produzione
del monopolista; l’informazione di cui dispone è che tale costo potrebbe essere
pari a 1 con probabilità 1 − µ e pari a 3 con probabilità µ. Tali probabilità
sono assegnate in maniera esogena in t = 0 , ossia prima che qualsiasi decisione
sia presa. Si assuma, inoltre, che il costo fisso d’ingresso è tale che, se il
monopolista producesse ad un costo marginale pari a 1 (e tale informazione fosse
pubblica), l’impresa E non entrerebbe nel mercato, mentre se il monopolista
producesse ad un costo marginale pari a 3 (e tale informazione fosse pubblica),
l’impresa E avrebbe convenienza ad entrare nel mercato.32 Poiché E non conosce il
31
La disuguaglianza vale per
F > 81 − 54 2 ≅ 4,64 . In particolare, per
renderebbe all’impresa I un profitto
32
πlI
= 64 .
In base alla solita funzione di domanda ciò implica 28,4 < F < 36 .
27
F = 16 un equilibrio con
qlI = 10
tipo di monopolista con cui potrebbe competere, valuterà l’opportunità di
entrare nel mercato sulla base del profitto atteso in t = 3 . Ciò implica che se
(16 + 2µ ) 2
−F >0
l’impresa
decide
di
entrare
9
concludere, quindi, che in t = 3 ci sarà un duopolio se
E (πE ) =
nel
mercato.
Possiamo
16 − 3 F
,
2
cioè se la probabilità che l’impresa 1 produca ad un costo marginale basso sia
relativamente bassa. Si assuma allora che in base alle probabilità esogene
iniziali tale disuguaglianza sia verificata.
Se assumessimo che il monopolista, quale che sia il suo tipo, scegliesse
di volta in volta la quantità che massimizza il profitto del singolo periodo, la
strategia in t = 1 sarebbe immediatamente delineabile. Difatti, il monopolista
sceglierebbe q I = 10 se il costo marginale fosse pari a 1 e q I = 9 se il costo
marginale fosse pari a 3. Essendo diversi a seconda del costo marginale, il
prezzo o la quantità potrebbero segnalare all’impresa E il tipo di monopolista
presente nel mercato. In altre parole, se in t = 2 l’impresa E osservasse che il
prezzo fissato in t = 1 da parte del monopolista è stato p = 12 potrebbe inferire
che si tratta di un monopolista a costi alti, mentre se osservasse p = 11
concluderebbe che il costo marginale del monopolista sarebbe pari a 1. In t = 2 E
sarebbe in grado, quindi, di aggiornare il valore iniziale (esogeno) della
probabilità che il monopolista produca a costi bassi o alti, sulla base del
livello di produzione del primo periodo. In particolare, l’impresa E fisserebbe
µ ( q I ) = 0 se osservasse q I = 9 e µ ( q I ) = 1 se osservasse q I = 10 . In t = 2
la
probabilità è funzione della quantità prodotta dal monopolista nel primo periodo
poiché l’impresa E ha aggiornato il valore iniziale esogeno in base ad essa. Si
consideri, allora, il caso di un monopolista che produce ad un costo marginale
µ<
pari a 3. In t = 1 si ha q I = 9 e π m
I = 81 − F ; in t = 2 l’impresa E osserva che il
monopolista ha prodotto una quantità pari a 9, inferisce che si tratta di un
monopolista a costi alti e decide di pagare il costo fisso per entrare nel
mercato;
in
t =3
le
due
imprese
competono
alla
Cournot
con
q Ic = q Ec = 6
e
π cI = π cE = 36 . In tal caso, il profitto totale del monopolista è pari a π I = 117 − F .
Poiché il monopolista deve scegliere il livello di produzione in due
periodi differenti è plausibile ipotizzare che la scelta del primo periodo sia
basata anche tenendo in considerazione il profitto futuro. In tal caso appare
plausibile assumere che l’obiettivo del monopolista è massimizzare la somma dei
profitti in t = 1 e t = 3 . Poiché il monopolista sa che la quantità prodotta nel
primo periodo inciderà sulla probabilità che l’impresa E assegna al valore del
costo marginale, I potrebbe avere convenienza a farsi passare per un’impresa che
produce a costi bassi ed evitare l’ingresso di E. Ovviamente per fare ciò deve
agire come agirebbe un monopolista con costi bassi, cioè dovrebbe produrre
q I = 10 nel primo periodo così che l’impresa E non avrebbe informazioni con cui
aggiornare le iniziali probabilità. Tale quantità offrirebbe ad I un profitto
pari a π m
I = 80 − F nel primo periodo, inferiore rispetto al caso precedente dato
che q I = 10 non è la quantità ottima per un monopolista con costi alti. La
perdita iniziale, consentendo di mantenere la posizione di monopolio sarebbe
però più che compensata dall’incremento di profitto nel terzo periodo. Difatti,
il profitto totale sarebbe pari a π I = 161 − F . Il monopolista con costi alti è
quindi incentivato, nel primo periodo, ad espandere la produzione al di là del
livello di monopolio, se ciò consente di evitare l’ingresso nel mercato di un
concorrente potenziale. La strategia di espandere la quantità per evitare
l’entrata ha successo poiché l’impresa E, osservando q I = 10 , non è in grado di
inferire con quale monopolista si troverà a competere e quindi non può
aggiornare il valore iniziale delle probabilità. Inoltre, poiché per ipotesi il
28
valore di µ è tale che il profitto atteso dell’impresa E è negativo, E decide di
non entrare.33
8.2 Investimento irreversibile e posizione dominante
La soluzione di equilibrio di un duopolio alla Cournot, assumendo costi
marginali di produzione pari a c I e c E , consiste in una coppia di quantità
rispettivamente pari a q I = ( 21 − 2 c I + c E ) / 3 e q E = ( 21 − 2 c E + c I ) / 3 . Costi marginali di
produzione differenti implicano, quindi, che l’equilibrio con scelte simultanee
si caratterizza per livelli di produzione differenti. Quanto maggiore è il
differenziale di costo tra le imprese, tanto maggiore è il differenziale tra le
quantità prodotte. Qualora un’impresa, prima che la competizione si realizzi,
riuscisse a ridurre il proprio costo marginale di produzione, sarebbe in grado
di produrre più di quanto avrebbe prodotto nel caso di costi marginali uguali.
In particolare, l’asimmetria dei costi ex post renderebbe possibile un profitto
almeno pari a quello del leader di Stackelberg come risultato di un gioco
simultaneo.34 Per modellare tale circostanza, si assuma allora che la funzione di
costo delle due imprese, al netto del costo fisso d’ingresso che grava
sull’impresa E, sia data da:
C = c k k + cq q
dove k è la capacità produttiva installata, q è la quantità prodotta,
costo
unitario
della
capacità
produttiva
e
cq
è
il
costo
ck
è il
marginale
di
produzione, con c = c k + c q e i = I , E .
La capacità produttiva installata individua
il limite superiore alla produzione ottenibile. In base alla funzione di costo,
se al momento di decidere quanto produrre la capacità produttiva è già stata
installata, il costo marginale (di produzione) dell’impresa è pari a c q
35
(ovviamente fino al livello della capacità installata). Di contro, se le due
decisioni relative alla capacità produttiva da installare e al livello di
produzione fossero prese simultaneamente e k = q , il costo unitario totale
c k + cq . Dal lato della domanda il mercato è rappresentato dalla
solita funzione lineare Q = 21− p . Le ipotesi in merito alla domanda e alla
sarebbe pari a
tecnologia implicano che nel caso in cui entrambe le imprese hanno costi
marginali pari a c , poiché nessuna ha già installato la capacità produttiva,
l’equilibrio alla Cournot consiste in una coppia di quantità pari a ( 21 − c) / 3 .
Nel caso in cui invece una delle due imprese, ad esempio l’impresa I, al momento
della scelta simultanea delle quantità avesse già installato la capacità
produttiva, si determinerebbe l’equilibrio asimmetrico con q I = (21− 2c q + c) / 3 e
q E = (21 − 2c + c q ) / 3 .36 Poiché
21 − 2c q + c > 21− c
e
21 − 2c + c q < 21 − c ,
l’impresa
che
ha
installato capacità produttiva in anticipo produrrebbe in equilibrio più
dell’impresa rivale e più di quanto avrebbe prodotto se non avesse già
installato la capacità produttiva, mentre l’altra impresa produrrebbe meno.
Si consideri allora la seguente sequenza di eventi:
§
in t = 1 , l’impresa I, che è già nel mercato, decide quanta capacità
produttiva installare;
§
in t = 2 , l’impresa E decide se pagare un costo fisso pari a F ed entrare nel
mercato;
33
L’analisi presentata dell’argomento è elementare ed incompleta; per una trattazione formale si
veda Kreps (1990).
34
Ad esempio, se i costi marginali delle due imprese fossero uguali e pari a 9 in equilibrio alla
Cournot entrambe le imprese produrrebbero 4, mentre nel caso di competizione alla Stackelberg
l’impresa leader produrrebbe 6. Se l’impresa I riuscisse a ridurre il proprio costo marginale a 6 in
equilibrio alla Cournot produrrebbe una quantità pari a 6, come il leader di Stackelberg nel caso di
costi uguali.
35
Si assuma, inoltre, che ogni unità di capacità produttiva corrisponde ad una unità di produzione.
36
Tale conclusione è corretta se l’impresa I ha installato capacità produttiva a sufficienza ed il
costo fisso d’ingresso è particolarmente basso.
29
in t = 3 se E è entrata nel mercato le due imprese fisseranno simultaneamente
il livello di produzione; altrimenti l’impresa I agirà da monopolista.37
A seconda dei valori dei costi unitari di produzione e di capacità e del costo
d’ingresso diverse situazioni possono verificarsi. In particolare, si assuma che
21 − 2 cq + c
21 − c
< q lI <
. La prima disuguaglianza implica che la quantità limite,
3
3
ossia la quantità che disincentiva l’ingresso nel mercato dell’impresa E, è
maggiore della quantità di equilibrio alla Cournot con costi marginali uguali.
Come abbiamo visto nel paragrafo 8.2, la minaccia di produrre la quantità limite
non è credibile. La seconda disuguaglianza implica invece che la quantità di
equilibrio alla Cournot che produrrebbe un’impresa caratterizzata da costi
unitari c q (e capacità produttiva sufficiente), in competizione con un’impresa
§
che produce a costi marginali c , sarebbe maggiore della quantità limite, ossia
della quantità che disincentiva l’ingresso nel mercato dell’impresa E. In tale
circostanza l’impresa E non entra nel mercato. Si assuma, allora, che in t = 1
l’impresa I abbia installato un livello di capacità produttiva pari a q lI . Una
volta in t = 3 , l’impresa I avrebbe come migliore risposta, in caso di ingresso
da parte di E, la quantità q lI . Anticipando tale conclusione l’impresa E non
entra nel mercato. In definitiva, la possibilità di installare la capacità
produttiva prima della potenziale entrante, modifica l’esito del gioco in t = 3
così che la quantità limite può risultare la miglior risposta per l’impresa I in
un equilibrio di Nash. Produrre la quantità limite sarebbe quindi credibile.
Parte III – DECISIONI RIPETUTE NEL TEMPO
9. G IOCHI RIPETUTI: TENTAZIONE , PUNIZIONE E REPUTAZIONE
Una delle principali conclusioni emerse fin’ora è che, in contesti strategici
quali il Dilemma del Prigioniero e i modelli di competizione alla Cournot ed
alla Bertrand, la collusione non è un esito di equilibrio. Inoltre, l'analisi di
un semplice gioco dinamico ha mostrato che strategie di deterrenza all’entrata e
limitazione della concorrenza appaiono spesso poco plausibili, se analizzate con
gli strumenti propri della teoria dei giochi. Ciò ha condotto al concetto di
minacce non credibili. Nonostante la ferrea logica con cui sono state ottenute,
le precedenti conclusioni non sembrano descrivere in maniera adeguata tutte le
situazioni reali. Non possiamo escludere, ad esempio, che a volte la condotta
delle imprese appare più di tipo collusivo che competitivo, così come in alcuni
casi sembrano ravvisabili strategie di limitazione della concorrenza. Diventa
allora importante verificare se le ipotesi su cui si basavano i modelli
descritti in precedenza non siano troppo restrittive e tali da non tenere nella
giusta considerazione aspetti importanti della realtà. Due situazioni in tal
senso sono già state descritte. Rimovendo l’ipotesi di informazione completa è
emersa la razionalità di una strategia di espansione della quantità come
deterrente all’entrata; inoltre, introducendo la possibilità di vincolare le
proprie azioni, è emersa la convenienza ad anticipare le scelte strategiche
rispetto agli avversari, ad esempio effettuando in anticipo investimenti
irreversibili. Non ancora abbiamo analizzato però un altro aspetto molto
importante della realtà, cioè che le imprese prendono le proprie decisioni
strategiche
ripetutamente
nel
tempo.
In
altre
parole,
per
descrivere
adeguatamente la realtà, i giochi analizzati fin’ora, sia quelli con scelte
simultanee che quelli con scelte sequenziali, devono essere considerati parte di
un gioco più complesso che si compone del singolo gioco elementare giocato più
volte. In tal caso, diventa interessante verificare se minacce o promesse
riguardanti la condotta in futuro possano influenzare le strategie correnti.38
37
Al momento di stabilire quanto produrre, l’impresa E decide anche la capacità da installare.
38
In generale il gioco elementare può essere caratterizzato da scelte simultanee o in sequenza. Nel
prosieguo ci limiteremo a considerare solamente giochi elementari statici.
30
9.1 Il Dilemma del Prigioniero ripetuto nel tempo
Si consideri il Dilemma del Prigioniero rappresentato in figura 2. Come sappiamo
tale gioco è caratterizzato da un solo equilibrio di Nash, che consiste nella
coppia di strategie (Confesso; Confesso). Verifichiamo allora se le scelte di
equilibrio dei due giocatori si modifichino assumendo di giocare il Dilemma del
Prigioniero due volte di seguito. La figura 11 descrive il gioco ripetuto che
intendiamo analizzare. In t = 1 due giocatori giocano un Dilemma del Prigioniero;
in t = 2 , dopo aver osservato l’esito passato, i due giocatori giocano nuovamente
il Dilemma del Prigioniero. All’inizio del gioco entrambi i giocatori sanno che
il gioco elementare sarà giocato due volte, ognuno dei due sa che l’altro sa e
così via.
Figura 11: Il Dilemma del Prigioniero ripetuto due volte
G2
Gioco elementare in t = 1
G1
Nego
-2,-2
0,-6
Nego
Confesso
G2
Gioco elementare in t = 2
G1
Confesso
-6,0
-4,-4
Nego
-2,-2
0,-6
Nego
Confesso
Confesso
-6,0
-4,-4
Poiché un gioco ripetuto è un gioco dinamico, dato che le scelte in t = 2 sono
successive alle scelte in t = 1 note quest’ultime, per risolverlo adottiamo la
tecnica d’induzione all'indietro. A tal fine individuiamo dapprima le azioni che
presumibilmente i due giocatori sceglieranno nel secondo periodo. In t = 2 i due
giocatori saranno posti di fronte ad un Dilemma del Prigioniero che, come
sappiamo, presenta un unico equilibrio di Nash, cioè (Confesso; Confesso);
quest’ultimo individua, quindi, la corretta previsione circa l’esito del gioco
elementare nel secondo periodo. A questo punto trasferiamoci idealmente in t = 1
e analizziamo le scelte strategiche in merito al Dilemma del Prigioniero che
sarà giocato in tale periodo. Una volta in t = 1 , i due giocatori saranno
perfettamente in grado di prevedere quale sarà l’equilibrio di Nash del gioco
elementare che giocheranno nel secondo periodo. Difatti, in t = 1 entrambi
prevederanno (Confesso; Confesso) come esito del gioco elementare in t = 2 .
Entrambi si renderanno conto, quindi, che quali che siano le scelte relative al
gioco elementare in t = 1 , queste non influenzeranno il risultato del gioco
elementare in t = 2 . In altre parole, in t = 1 ogni giocatore sceglierà la propria
azione concentrandosi unicamente su quale sia la migliore strategia da adottare
per il gioco elementare corrente, incurante del fatto che il gioco sarà giocato
nuovamente. Ovviamente in t = 1 l’equilibrio di Nash è rappresentato dalla coppia
(Confesso; Confesso). Ne consegue che l'unico risultato perfetto nei sottogiochi
del Dilemma del Prigioniero ripetuto due volte prevede (Confesso; Confesso) in
entrambi i periodi. La ripetizione del gioco non modifica, quindi, l’esito dei
singoli giochi elementari. Possiamo intuire, inoltre, che il risultato può
essere generalizzato ad un gioco con più di due periodi; in particolare, vale la
seguente proposizione.
Proposizione: se il gioco elementare ha un unico equilibrio di Nash, allora il
gioco costituito dalla ripetizione del gioco elementare un numero finito di
volte ha un unico equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi: l'equilibrio di
Nash del gioco elementare è giocato ad ogni ripetizione.
9.1.1 Un esempio: Prezzi predatori e “Il Paradosso dei Grandi Magazzini”
Una delle applicazioni del precedente risultato va sotto il nome di “Paradosso
dei grandi magazzini”. Si assuma che un’impresa I possieda una filiale in ognuna
delle T città in cui opera. In ogni città I compete con un’impresa locale;
31
ciascun mercato locale è, quindi, caratterizzato da una situazione di duopolio.
Si assuma, inoltre, che l’impresa I, nell’intento di diventare monopolista nei
vari mercati, abbia segnalato, in qualche modo, l’intenzione di praticare in
futuro prezzi bassi in quei mercati in cui dovesse permanere una situazione di
duopolio. Si assuma, infine, che le decisioni strategiche relative ai vari
mercati si susseguano nel tempo: in t = 1 si stabiliscono i prezzi nella città 1;
in t = 2 si stabiliscono i prezzi nella città 2; e così via. Prima di stabilire
il prezzo di vendita, l’impresa locale deve aver già deciso se restare o meno
nel mercato. Possiamo, quindi, formalizzare quanto detto assumendo che
all’inizio di ogni periodo l’impresa locale di turno decide se competere con
l’impresa I o uscire dal mercato. Nel caso di duopolio, in ogni mercato i prezzi
saranno fissati simultaneamente. Definiamo, infine, come predatore un prezzo che
se attuato da parte di un’impresa determinerebbe l’uscita dal mercato
dell’impresa rivale. In tale contesto vogliamo valutare la plausibilità di una
strategia di prezzi predatori da parte dell’impresa I.39
La definizione di prezzo predatore fornita in precedenza è, non a caso,
piuttosto vaga poiché è legata all’effetto che dovrebbe procurare piuttosto che
a qualche dato oggettivo di costo o altro.40 Tale circostanza rende molto
difficile nella pratica distinguere un prezzo predatore da un prezzo
competitivo, complicando notevolmente l’analisi di un qualche ente preposto a
vigilare sul corretto comportamento delle imprese. Premesso ciò, si assuma che
un prezzo predatore praticato da parte dell’impresa I determinerebbe un profitto
negativo per l’impresa rivale ed un profitto per I inferiore a quello di Nash.
Poiché la competizione tra l’impresa I e le imprese locali si sussegue nel
tempo, si potrebbe pensare ad una strategia di prezzi predatori da parte di I,
almeno nei primi mercati, così da determinare l’uscita delle imprese rivali nei
successivi mercati, ottenendo in questi un profitto di monopolio. Per valutare
la validità di tale ragionamento, procediamo a ritroso partendo dall’ultimo
mercato. Si assuma, quindi, di trovarci in t = T . In tale mercato l’impresa
locale sa che l’impresa I non ha alcun incentivo a fissare un prezzo predatore
poiché non deve indurre ad uscire dal mercato nessun’impresa in futuro, essendo
quello in esame l’ultimo mercato. L’impresa locale prevede, quindi, che I fissi
il prezzo relativo all’equilibrio di Nash e decide di restare nel mercato. La
congettura dell’impresa locale si rivelerà corretta poiché effettivamente
l’impresa I non ha alcun incentivo a fissare un prezzo (predatore) che le
renderebbe un profitto inferiore a quello di Nash, dato che non deve segnalare
il proprio intento predatore a nessuna impresa in futuro. In tal caso, qualunque
sia stato l’esito delle passate competizioni, quella relativa al tempo T ha un
risultato ben definito: entrambe le imprese fissano il prezzo di equilibrio di
Nash. Si consideri allora la competizione relativa al tempo T −1 . Nel mercato
T −1 le due imprese sanno quale sarà il risultato della competizione successiva
nel mercato T e concludono, quindi, che qualunque sia il risultato della
competizione in T −1 , in futuro l’impresa locale resterà nel mercato e l’impresa
I non fisserà un prezzo predatore. In base a tale argomentazione l’impresa I
conclude che non conviene fissare un prezzo predatore (e perdere quindi parte
dei profitti di Nash) per tentare di modificare l’esito della futura
competizione, in quanto la minaccia implicita in tale strategia non sarà
ritenuta credibile da parte dell’impresa locale che opera nel mercato T .
L’impresa I conclude, quindi, che è meglio fissare il prezzo dell’equilibrio di
Nash; stessa conclusione sarà raggiunta dall’impresa locale. Andando a ritroso
fino al mercato iniziale tale ragionamento implica che una strategia di prezzi
predatori non è credibile in nessun mercato; in altre parole, in ogni singolo
mercato prevarrà una situazione di duopolio il cui esito prevedibile è quello
associato all’equilibrio di Nash.41
9.2 Il Dilemma del Prigioniero ripetuto un numero infinito di volte
39
Una versione alternativa del gioco ripetuto che stiamo esaminando si può costruire assumendo un
gioco elementare di limitazione all’entrata del tipo analizzato nel paragrafo 7.1.
40
Per una discussione della politica dei prezzi predatori si veda il capitolo IX.
41
Il precedente risultato si è guadagnato l’appellativo di paradosso, poiché è apparso scarsamente
realistico che la strategia di prezzi predatori non fosse plausibile e perché, come intuiremo fra
poco, la conclusione cambia se si considera una ripetizione infinita.
32
Come abbiamo visto in precedenza, l’esito di un gioco ripetuto è strettamente
legato all’esito del gioco elementare su cui si basa. Per quel che c’interessa,
ciò implica che la collusione tra duopolisti non può essere un risultato di
equilibrio anche assumendo che le imprese fissano i prezzi o le quantità
ripetutamente nel tempo. L’analisi effettuata con il procedimento di induzione
all’indietro porterebbe, infatti, a stabilire quantità di Cournot o prezzi di
Bertrand ad ogni ripetizione. Tale conclusione è valida indipendentemente dal
numero, purché finito e determinato, di ripetizioni della competizione. Il punto
chiave del risultato è che essendo finito l’orizzonte temporale del gioco,
nell’ultima ripetizione le scelte dei giocatori non possono essere lungimiranti
ma sono dettate unicamente dalla massimizzazione del profitto corrente.
L’obiettivo che ci eravamo prefissi, cioè spiegare la collusione come un esito
di equilibrio, non è stato quindi raggiunto. Resta da verificare se le
conclusioni si modifichino nel caso in cui il gioco elementare si ripeta un
numero infinito o indeterminato di volte.42 L’aspetto importante di un gioco
ripetuto con orizzonte infinito è che, in ogni ripetizione del gioco elementare,
i giocatori hanno sempre la possibilità di valutare le proprie scelte correnti
in maniera lungimirante, cioè tenendo conto degli effetti che queste possono
avere sul comportamento futuro. Cade quindi il presupposto principale dei giochi
ad orizzonte finito. L'obiettivo allora è verificare se, assumendo di ripetere
il Dilemma del Prigioniero un numero infinito di volte, esista un equilibrio di
Nash perfetto nei sottogiochi tale da determinare un esito analogo a quello di
collusione. Si noti, a tal proposito, che non prenderemo in esame tutte le
possibili strategie che si possono delineare con le azioni a disposizione; bensì
individueremo una coppia di strategie tale che soluzioni del tipo (Nego; Nego) o
(Prezzo alto; Prezzo alto) ripetute nel tempo costituiscano un risultato
plausibile, essendo associate ad equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi.
Si consideri, a tal fine, il gioco elementare rappresentato in figura 3 in
cui due giocatori hanno a disposizione due azioni, cioè Prezzo alto e Prezzo
basso, con cui costruire all’inizio del gioco la propria strategia. Ricordiamo,
inoltre, che per ognuno dei due giocatori la strategia deve stabilire con
esattezza quale azione sarà giocata in futuro, in tutte le ripetizioni del
gioco. Ad esempio, una semplice strategia potrebbe essere Prezzo basso sempre;
il giocatore che sceglie tale strategia giocherà l’azione Prezzo basso ad ogni
ripetizione del gioco, indipendentemente da quanto accaduto in passato. E’
immediato verificare che la coppia di strategie (Prezzo basso; Prezzo basso)
costituisce un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi. Difatti, se uno dei
due giocatori fisserà un prezzo basso ad ogni ripetizione del gioco all’altro
non resta che fissare un prezzo basso sempre.
Si consideri ora una strategia che condizioni l’azione giocata in una data
ripetizione rispetto alla storia del gioco fino a quel momento. In particolare,
si consideri la seguente strategia denominata Trigger Strategy:
§
scegliere l’azione Prezzo alto nel primo periodo;
§
nel t-esimo periodo scegliere l’azione Prezzo alto se fino al periodo t − 1
tutti gli esiti sono sempre stati (Prezzo alto; Prezzo alto), altrimenti
scegliere l’azione Prezzo basso.
Per chiarirne le implicazioni si assuma che, indipendentemente l’uno dall’altro,
entrambi i giocatori decidano, al tempo zero, di adottare la Trigger Strategy.
In tal caso, pur agendo in maniera autonoma essi determinerebbero il risultato
(Prezzo alto; Prezzo alto) ad ogni ripetizione del gioco. Difatti, si avrebbe
(Prezzo alto; Prezzo alto) nel primo periodo, come conseguenza della prima parte
della strategia; nel secondo periodo, poiché il risultato del primo periodo è
stato (Prezzo alto; Prezzo alto), i due giocatori, coerentemente con la Trigger
Strategy, determinerebbero nuovamente (Prezzo alto; Prezzo alto); nel terzo
periodo, poiché il risultato dei primi due periodi è stato (Prezzo alto; Prezzo
alto), si determinerebbe nuovamente (Prezzo alto; Prezzo alto) e così via. La
coppia
di
strategie
(Trigger
Strategy;
Trigger
Strategy)
è,
quindi,
potenzialmente in grado di indurre (Prezzo alto; Prezzo alto) ad ogni
ripetizione del gioco. Allo stesso tempo, se uno dei due giocatori scegliesse
una strategia diversa dalla Trigger Strategy e determinasse, ad esempio nel
42
In effetti analizzeremo solamente il caso di un gioco con ripetizione infinita; il caso di
ripetizione un numero indeterminato di volte porta a conclusioni analoghe.
33
periodo T , un risultato diverso da (Prezzo alto; Prezzo alto), tale risultato
non potrebbe verificarsi mai più in futuro. A partire dal periodo T +1 , infatti,
il giocatore che adotta la Trigger Strategy sceglierebbe sempre l’azione Prezzo
basso, per cui l’avversario avrebbe come risposta ottima l’azione Prezzo basso
ad ogni ripetizione. Dal periodo T +1 in avanti l’esito sarà, quindi, sempre
(Prezzo basso; Prezzo basso). Possiamo allora interpretare la Trigger Strategy
dicendo che la prima parte costituisce la disponibilità a colludere, sebbene
senza un esplicito accordo; la seconda parte descrive invece la punizione che si
prospetta all’avversario in caso di defezione. Premesso ciò, verifichiamo se la
coppia (Trigger Strategy; Trigger Strategy) è un equilibrio di Nash perfetto nei
sottogiochi. In altre parole, verifichiamo se, nel caso uno dei due giocatori
adotti la Trigger Strategy, per l’altro giocare la Trigger Strategy è una
risposta ottima ad ogni istante del gioco e viceversa.
Si assuma allora che in ogni periodo il gioco è descritto dalla figura 3,
che G1 adotti la Trigger Strategy e che, ad ogni ripetizione del gioco, i due
giocatori conoscano tutte le azioni che sono state scelte da entrambi
precedentemente. Si assuma, inoltre, che ciascun giocatore sconti i profitti
futuri ad un tasso annuale δ < 1 ed abbia come obiettivo quello di massimizzare
il
valore
attuale
dei
profitti,
∑∞t =1δ t −1π i,t .43
In
un
contesto
ad
orizzonte
infinito quest’ultima ipotesi diventa indispensabile poiché in ogni periodo un
giocatore nel prendere una decisione terrà presente gli effetti che la scelta ha
sul profitto corrente e sui profitti futuri. L’obiettivo è valutare se G2 ha
incentivo ad adottare la Trigger Strategy o una diversa strategia.
Premesso che G1 adotti la Trigger Strategy, se anche G2 adottasse tale
strategia entrambi i giocatori giocherebbero l’azione Prezzo alto nel primo
periodo ed in tutti i successivi periodi. In tal caso, entrambi i giocatori
guadagnerebbero un profitto pari a 10 in ogni periodo ed il valore attuale al
tempo 1 della sequenza di profitti sarebbe:
10
VTrigger Strategy = 10 + 10 δ + 10 δ 2 + 10 δ 3 + ⋅ ⋅ ⋅ =
.
1− δ
Consideriamo ora la possibilità di una strategia diversa dalla Trigger
Strategy, come risposta alla Trigger Strategy giocata da G1. A tal fine si noti
innanzitutto che se tale strategia alternativa prevedesse che G2 giochi Prezzo
basso in una data ripetizione, ad esempio nel periodo T , ciò indurrebbe G1 a
giocare Prezzo basso da T +1 in avanti. Ne consegue che da T +1 in avanti G2
dovrebbe giocare necessariamente Prezzo basso, poiché in caso contrario
otterrebbe un profitto inferiore. La strategia alternativa renderebbe, quindi, a
G2 un profitto pari a 5, invece che 10, in ogni periodo da T +1 in avanti. Allo
stesso tempo però, la strategia alternativa renderebbe un profitto pari a 18,
invece che 10, nel periodo T , cioè nel primo periodo in cui G2 giochi Prezzo
basso. In tal caso a G2 si pone il problema di confrontare l’extraprofitto in T
pari a 8, con il minor profitto da T +1 in avanti.
Si assuma allora che G2, tentato dalla possibilità di guadagnare un
profitto pari a 18 nel primo periodo, giocando Prezzo basso come risposta a
Prezzo alto, valuti le conseguenze di determinare un esito pari a (Prezzo alto;
Prezzo basso) nel primo periodo. Poiché nel secondo ed in tutti i successivi
periodi G1 giocherebbe Prezzo basso, la strategia alternativa di G2 sarebbe
Prezzo basso sempre. In tal caso, G2 otterrebbe 18 nel primo periodo e 5 in ogni
successivo periodo. Il valore attuale al tempo 1 della strategia Prezzo basso
sempre in risposta alla Trigger Strategy giocata da G1 sarebbe, quindi, pari a:
5δ
10 + ( 8 − 13 δ )
V prezzo basso sempre = 18 + 5δ + 5 δ 2 + 5δ 3 + ⋅ ⋅ ⋅ = 18 + 5 δ(1 + δ + δ 2 + ⋅ ⋅ ⋅) = 18 +
=
.
1− δ
1− δ
La Trigger Strategy è preferibile se
VTrigger Strategy ≥ V prezzo basso sempre
cioè se
43
Il fattore di sconto esprime la valutazione che un individuo fa al tempo t di una lira guadagnata
al tempo t +1 . Un valore δ < 1 indica che, al tempo t , un individuo valuta 1 lira guadagnata in t +1
meno di una lira guadagnata in t .
34
10
10 + (8 − 13 δ )
≥
.
1− δ
1− δ
La precedente diseguaglianza è verificata per δ ≥ 8 / 13 . In altre parole, se il
fattore di sconto è sufficientemente alto la Trigger Strategy consente un valore
attuale dei profitti maggiore della strategia Prezzo basso sempre. Per
generalizzare tale risultato si consideri la strategia denominata Alternativa:
Prezzo alto per i primi T −1 periodi e Prezzo basso da T in avanti, dove T è un
generico periodo.44 Il valore attuale di tale strategia è:
V Alternativa = 10 + 10 δ + ⋅ ⋅ ⋅ + 10 δ T −2 + 18 δ T −1 + 5 δ T + 5 δ T +1 + 5 δ T +2 + ⋅ ⋅ ⋅ =
= 10
E’
immediato
verificare
1 − δ T −1
5δ T 10 + δ T −1 (8 − 13 δ )
+ 18 δ T −1 +
=
.
1−δ
1−δ
1− δ
che
VTrigger Strategy ≥ V Alternativa
per
δ ≥ 8 / 13 .45
Possiamo
concludere, quindi, che se δ ≥ 8 / 13 la Trigger Strategy giocata da G2 è una
risposta ottima alla Trigger Strategy giocata da G1. Inoltre, poiché una
conclusione simile si sarebbe raggiunta invertendo l’ordine dei giocatori,
possiamo affermare che, se il fattore di sconto è sufficientemente alto, nel
caso in esame δ ≥ 8 / 13 , la coppia (Trigger Strategy; Trigger Strategy) è un
equilibrio di Nash e la soluzione (Prezzo alto; Prezzo alto) ad ogni ripetizione
è realistica.46
Resta da verificare se assumendo δ ≥ 8 / 13 la coppia (Trigger Strategy;
Trigger Strategy) è un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi. Date le
azioni a disposizione dei due giocatori, ogni ripetizione del gioco ha quattro
possibili esiti; ciò implica che se, ad esempio, il gioco si ripetesse tre volte
esisterebbero 64 sentieri. Al crescere del numero di ripetizioni cresce il
numero di sentieri o storie possibili. Si consideri allora un generico periodo
T . In linea di principio prima di T il gioco potrebbe essersi sviluppato
secondo una qualunque delle tante storie possibili. Sebbene diverse tra loro, le
storie o sentieri del gioco possono raggrupparsi in sole due classi:
a) in tutti i periodi precedenti T si è sempre verificato (Prezzo alto;
Prezzo alto);
b) in almeno un periodo precedente T si è verificato un risultato diverso da
(Prezzo alto; Prezzo alto).
Ad ogni ripetizione del gioco esistono, quindi, due soli tipi di sottogiochi:
quello che segue la storia a) e quelli che hanno alle spalle una storia del tipo
b). Nel caso in cui in un generico T G2 si trovi a decidere dopo una sequenza
di tipo b), egli sa che G1 giocherà Prezzo basso nel periodo corrente e in tutti
i successivi periodi (poiché così prescrive la Trigger Strategy). La miglior
risposta per G2 dopo una sequenza di tipo b) è, quindi, la strategia Prezzo
basso sempre da T in poi. Tale risposta è coerente con la circostanza che G2
adotti la Trigger Strategy dall’inizio del gioco; difatti, se G2 adottasse
dall’inizio la Trigger Strategy risponderebbe con Prezzo basso sempre al
verificarsi della circostanza b). Si consideri, ora, il caso a). Se G2 si
dovesse trovare a giocare dopo una sequenza di (Prezzo alto; Prezzo alto)
dall’inizio fino a T −1 , dovrebbe valutare se giocare la Trigger Strategy o la
strategia Alternativa da T in avanti. Poiché per quanto abbiamo verificato in
precedenza VTrigger Strategy ≥ V Alternativa (se δ ≥ 8 / 13 ), conviene rispondere con la Trigger
Strategy anche successivamente alla storia a).47 Possiamo concludere, quindi, che
44
Per T = 1 si ottiene il caso precedente.
Il caso appena esaminato mostra che il valore attuale della strategia Alternativa si riduce al
crescere di T, cioè man mano che si pospone il periodo di defezione.
46
Si noti che la coppia di strategie (Prezzo alto sempre; Prezzo alto sempre) non è un equilibrio di
Nash.
47
In realtà mentre in precedenza abbiamo confrontato i valori attuali al tempo 1 di sequenze di
profitti incassati a partire dal tempo 1, ora stiamo considerando i valori attuali al tempo T di
flussi di profitto incassati a partire da un generico periodo T. Poiché l’orizzonte è infinito i
valori attuali sono gli stessi.
45
35
la coppia (Trigger Strategy; Trigger Strategy) è un equilibrio di Nash perfetto
nei sottogiochi
9.2.1 Collusione tacita in equilibrio: il modello di Bertrand ripetuto
Alla luce di quanto appena visto riesaminiamo il modello di competizione alla
Bertrand.48 Si assuma che le imprese debbano fissare il proprio prezzo
ripetutamente nel tempo; ad ogni ripetizione della competizione valgono le
ipotesi viste in precedenza per il modello di Bertrand. Ad ogni ripetizione
della competizione le due imprese conoscono tutti i prezzi che sono stati scelti
da entrambe precedentemente. Ciascuna impresa sconta i profitti futuri ad un
tasso annuale pari a δ < 1 e ha come obiettivo quello di massimizzare il valore
attuale dei profitti,
∞
∑t =1δT −1π i,t .
La strategia di un’impresa determina il prezzo
p i ,t , che fisserà in ciascun periodo, in funzione di tutte le coppie di prezzi
scelte in precedenza dalle due imprese. In particolare, si assuma che entrambe
le imprese giochino una strategia del tipo Trigger Strategy:
§
fissare un prezzo pari a quello di monopolio (o prezzo di collusione) nel
primo periodo;
§
in un generico periodo, se in passato nessuna delle due imprese ha fissato
un prezzo diverso da quello di monopolio continuare a fissare un prezzo di
monopolio; in caso contrario fissare un prezzo pari al costo marginale.
Vogliamo verificare che se un’impresa ritenga che l’altra stia giocando una
strategia del tipo Trigger Strategy, allora le conviene rispondere con una
strategia analoga. Vogliamo verificare, quindi, che esista la possibilità che,
pur senza un esplicito accordo, entrambe le imprese possano trovare conveniente
di volta in volta fissare un prezzo di collusione. A tal fine, si assuma di
trovarci in un generico periodo T . Prima di T la competizione tra le due
imprese può essersi sviluppata secondo due possibili storie: a) almeno una volta
un’impresa ha fissato un prezzo diverso da quello di monopolio; b) entrambe le
imprese hanno sempre fissato un prezzo pari a quello di monopolio. Per
determinare se la coppia (Trigger Strategy; Trigger Strategy) è un equilibrio
perfetto nei sottogiochi dobbiamo verificare se costituisce un equilibrio di
Nash perfetto rispetto ad entrambe le storie possibili.
Si assuma allora di trovarci nel caso a). La Trigger Strategy prevede che
le imprese fissino un prezzo pari al costo marginale sempre. Poiché la coppia di
strategie (Prezzo uguale al costo marginale sempre; Prezzo uguale al costo
marginale sempre) è un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi, la coppia
(Trigger Strategy; Trigger Strategy) implica che ciascun’impresa giochi in
maniera ottima, data la strategia dell’altra, rispetto al sottogioco di tipo a).
Si assuma ora, invece, di trovarci nel caso b). Se in passato le due imprese
hanno sempre fissato un prezzo di monopolio, una generica impresa sa che
attenendosi alla Trigger Strategy, e fissando quindi ancora una volta un prezzo
pari a quello di monopolio, otterrebbe un profitto pari a Π M / 2 nel periodo in
esame e, di conseguenza, in tutti i successivi periodi. In tal caso, il valore
attuale dei profitti sarebbe pari a:
ΠM ΠM
Π M 2 ΠM 3
ΠM /2
+
δ+
δ +
δ + ⋅⋅⋅ =
2
2
2
2
(1 − δ )
Si consideri ora la possibilità di giocare una strategia alternativa che preveda
un prezzo diverso da quello di monopolio in T . L’impresa che valuta tale
possibilità sa che da T +1 in avanti otterrebbe un profitto pari a zero;
l’impresa rivale, infatti, in tutte le future ripetizioni fisserà un prezzo pari
al costo marginale, rispetto al quale è ottimale rispondere con un prezzo pari
al costo marginale. Premesso ciò, l’impresa che intendesse deviare prenderebbe
in considerazione la strategia di fissare in T un prezzo di poco inferiore a
quello di monopolio. Difatti, in tal caso l’altra impresa non venderebbe nulla
VTrigger Strategy =
consentendole di guadagnare un profitto di poco inferiore a Π M . Qualsiasi
altro prezzo determinerebbe la stessa reazione da parte dell’impresa rivale, ma
un profitto per se stessa inferiore. In conclusione, in un generico periodo T
48
Un ragionamento analogo vale per il modello di Cournot.
36
dopo una storia di tipo b), un’impresa che devia dal fissare un prezzo di
monopolio otterrà un valore attuale dei profitti (approssimativamente) pari a
Π M . L’impresa in esame continuerà a
prescritto dalla Trigger Strategy, se:
fissare
un
prezzo
di
monopolio,
come
ΠM
M
≥Π
2 (1 − δ )
cioè se δ ≥ 0 .5 . In conclusione, se δ ≥ 0 .5 la coppia (Trigger Strategy; Trigger
Strategy) è un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi e, quindi, una
sequenza di prezzi pari al prezzo di monopolio è un risultato plausibile, pur
senza un esplicito accordo tra le imprese.49
49
L’ipotesi di orizzonte infinito rende plausibili le strategie di limitazione della concorrenza
(quantità limite o prezzi predatori) anche con informazione completa. Per intuire il perché si
assuma che un’impresa monopolista su vari mercati, che fronteggia la possibilità d’ingresso da parte
di imprese locali, giochi la seguente strategia: quantità di monopolio in caso di monopolio e
quantità limite in caso di duopolio. A differenza del caso con orizzonte finito, un’impresa che sta
valutando l’opportunità di entrare nel mercato può decidere di non entrare, poiché può rendersi
credibile la minaccia del monopolista di produrre la quantità limite. Con orizzonte infinito,
infatti, per dati valori del fattore di sconto il minor profitto corrente, dovuto alla circostanza
di rispondere con la quantità limite all’ingresso da parte di un’impresa locale, è più che
compensato dal fatto che la quantità limite disincentivi altre imprese dall’entrare nel mercato,
consentendo così di mantenere profitti di monopolio in futuro. Allo stesso tempo, un’impresa che
opera su più mercati in duopolio con imprese locali può costituirsi la reputazione di leader e
produrre in equilibrio la quantità del leader di Stackelberg in ogni singolo mercato, pur in un
contesto di scelte simultanee nei vari mercati.
37