9/1/2012 - L`equilibrio di Nash e la somma zero

9/1/2012 - L’equilibrio di Nash e la somma zero
Westley sfida Vizzini in un duello di astuzia. Mette due coppe di vino sul tavolo e informa Vizzini
di averne riempita una con della polvere mortale di iocaina. A lui la scelta del calice da cui bere.
“Ma è molto semplice”. risponde Vizzini. “Tutto ciò che devo fare è indovinare, da quello che so
di te, se tu sei il tipo che metterebbe il veleno nella propria coppa o in quella del nemico. Ora,
un uomo di ingegno lo metterebbe nella propria coppa, perché solo un idiota prenderebbe
quella che gli è stata messa davanti, e io non sono un idiota, perciò non posso scegliere il vino
che hai davanti tu. Ma tu dovevi saperlo che io non sono un idiota, ci avrai contato, e quindi non
sceglierò il vino che sta davanti a me”.
Alla fine entrambi bevono dal proprio calice e, senza dilungarsi troppo, Vizzini stramazza al
suolo e Westley salva la principessa Bottondoro. Così nel 1973 nel libro The Princess Bride, Wi
lliam Goldman descriveva il duello di logica tra l’eroe ed uno dei protagonisti secondari della
storia.
Nel 1944 John von Neumann e Oskar Morgenstern pubblicavano Theory of Games and
Economic Behavior,
decretan
do ufficialmente la nascita della moderna teoria dei giochi. In essa era contenuto il tentativo di
descrivere matematicamente il comportamento dell’uomo in situazioni in cui vi siano interazioni
tra due o più soggetti, tali per cui le decisioni dell’uno possano influire sui risultati conseguibili
dal rivale secondo un meccanismo di retroazione. Decisioni ovviamente finalizzate al massimo
guadagno di un soggetto rispetto all’altro.
Alla base della teoria dei giochi vi sono due principi fondamentali: a) tutti devono essere al
corrente delle regole; b) ognuno deve essere consapevole delle conseguenze di ogni scelta che
fa. L’insieme delle scelte è definita strategia. In relazione alle strategie adottate si riceve una
vincita che può essere positiva, negativa o nulla. Se per ogni vincita di un giocatore corrisponde
una perdita per gli altri il gioco si dice a “somma costante”. Un gioco a “somma zero” prevede
invece il passaggio della vincita in parte uguale ma con segno opposto da un giocatore all’altro.
Per ogni giocatore la strategia da adottare è quella che meglio ottimizza il proprio risultato
rispetto ai risultati e alle strategie degli altri giocatori.
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Proviamo ora a considerare, per analogia, gli stati che compongono l’unione europea come i
giocatori della nostra partita, e l’insieme delle scelte economiche che ognuno di essi ha messo
in campo negli ultimi anni, come le strategia che ogni singolo giocatore mette in campo per
ottimizzare il proprio risultato. Anche in questo caso i principi generali della teoria dei giochi non
vengono messi in discussione. Tutti i membri dell’unione sono al corrente delle regole e tutti i
membri sono a conoscenza delle conseguenze prodotte dalle strategie che singolarmente
decidono di adottare.
Negli anni cinquanta Albert Tucker creò L’enigma del prigioniero per analizzare più a fondo
alcuni aspetti della teoria dei giochi. Due criminali vengono accusati di aver commesso un
reato. Una volta arrestati e messi in stanze separate gli vengono fornite due opzioni: confessare
o non confessare. Mantenuti sempre separati viene loro detto anche quanto segue: I) se solo
uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l’altro sarà però condannato a sette anni
di prigione; II) se entrambi confessano, entrambi saranno condannati a sei anni; III) se nessuno
dei due confessa, entrambi vengono condannati ad un anno.
In questo gioco non cooperativo la strategia dominante risulta essere quella della confessione
in quanto volta a minimizzare la pena (da 0 a 6 anni); la strategia della non confessione
comporterebbe infatti un periodo di pena maggiore (da 1 a 7 anni). L’equilibrio dominante così
raggiunto venne definito equilibrio di Nash, nome preso dal teorico matematico che lo elaborò:
John Forbes Nash Jr. Risulta però evidente che la soluzione migliore, quella ciò definita ottimo
paretiano sarebbe quella in cui entrambi i criminali non confessano. Data però la natura non
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cooperativa del gioco ogni singolo criminale, anche in caso di un accordo precedentemente
preso per non confessare, tende a confessare confidando sul mantenimento della parola data
dall’altro; lo stesso atteggiamento sarà ovviamente tenuto anche dal secondo criminale. Il
risultato così
ottenuto rientra nuovamente nell’equilibrio di Nash. Entrambi i criminali scontano una pena di
sei anni ciascuno.
Nel caso del dilemma del prigioniero l’assioma di razionalità tende a fallire miseramente perché
sia nel caso di una confessione spontanea di entrambi, che in quello di una confessione
violante un accordo precedentemente preso, il risultato porta maggior danno che non la
possibile scelta alternativa che entrambi hanno, del non confessare affatto.
Ritorniamo ora alla nostra analogia precedente; avendo ora a disposizione qualche elemento in
più per una analisi più approfondita, possiamo provare ad azzardare anche qualche
conclusione.
Prendiamo ad esempio, come accennato, il comportamento e le scelte prese negli ultimi mesi
da stati come la Germania e la Francia. Essi hanno agito in modo da ottimizzare il proprio
risultato finale a scapito degli altri giocatori; fin qui nulla di eclatante rispetto alla teoria dei
giochi. Le strategie messe in atto, però, sono proprie di un gioco non cooperativo, cosa questa
che non corrisponde affatto ai principi dell’unione europea. Le loro scelte si sono mosse nella
direzione di quello che abbiamo definito l’equilibrio di Nash. Assumendo, com’è ovvio e naturale
che sia, che anche gli altri stati europei, seppur con un ritardo temporale, adottino le stesse
strategie, ciò porterà inevitabilmente ad una mancanza di equilibrio paretiano. La speranza e la
probabilità, infatti, che il secondo criminale non confessi, è pressoché pari a zero.
Ciò che oggi appare a Germania e Francia come un vantaggio, tenderà a muoversi verso la
direzione di uno svantaggio per tutti. L’equivoco non è da ricercare nella natura delle regole
della teoria dei giochi, che governano spesso anche le scelte politiche ed economiche, ma
bensì nel macroscopico errore di continuare a confondere un gioco cooperativo in un gioco non
cooperativo. L’accordo del “non confessare” ed il conseguente rispetto di esso da parte dei due
criminali, li porterebbe al rispetto dell’assioma di razionalità. Un anno di carcere garantirebbe ad
entrambi un risultato migliore che non sei o sette.
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Questo è il risultato di una strategia messa in atto non considerando l’unione europea come un
insieme di giocatori cooperanti in un’unica direzione per ottenere di volta in volta risultati a
somma zero. Tale insieme di strategie porteranno inevitabilmente ad un gioco a somma
costante, con tutte le conseguenze che esso comporta.
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