Lezione teorica su tangente e cotangente di un angolo

I.P.C.L. “Ninni Cassarà” (Sezione di Terrasini) \ Classe V A \ Tangente e Cotangente
TANGENTE E COTANGENTE
Prof. Erasmo Modica
[email protected]
www.galois.it
LA TANGENTE DI UN ANGOLO
Consideriamo un sistema di assi cartesiani
ortogonali e una circonferenza goniometrica.
Si tracci la tangente alla circonferenza
goniometrica nel punto A e sia T il suo punto
d’intersezione con il prolungamento del
segmento OP. L’ordinata del punto T è una
funzione dell’angolo  .
Definizione: Dicesi tangente dell’angolo α
l’ordinata del punto d’intersezione fra la
tangente alla circonferenza goniometrica nel
punto di origine degli archi e il prolungamento
del segmento che unisce il centro della
circonferenza con l’estremo dell’arco che
individua l’angolo, cioè:
tan   AT
Proposizione: La tangente di un angolo è il rapporto tra il seno e il coseno dell’angolo.
Dimostrazione:
Consideriamo i triangoli OPH e OTA. Essi hanno:
 l’angolo
in comune;
 l’angolo
in quanto entrambi retti;
 l’angolo
in quanto differenza di
angoli congruenti.
Di conseguenza i due triangoli sono simili e, quindi,
hanno i lati in proporzione:
Sostituendo, otteniamo:
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A.S. 2010/2011
I.P.C.L. “Ninni Cassarà” (Sezione di Terrasini) \ Classe V A \ Tangente e Cotangente
Ricavando la tangente otteniamo:
Grafico della funzione
(tangentoide)
0
0
1
non definita
0
non definita
0
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LA COTANGENTE DI UN ANGOLO
Consideriamo un sistema
di
assi
cartesiani
ortogonali
e
una
circonferenza
goniometrica. Si tracci la
tangente
alla
circonferenza
goniometrica nel punto B
e sia S il suo punto
d’intersezione
con
il
prolungamento
del
segmento OP. L’ascissa
del punto S è una
funzione dell’angolo  .
Definizione:
Dicesi
cotangente dell’angolo
α l’ascissa del punto
d’intersezione
fra
la
tangente
alla
circonferenza
goniometrica nel punto B
e il prolungamento del
segmento che unisce il
centro della circonferenza con l’estremo dell’arco che individua l’angolo, cioè:
Proposizione: La cotangente di un angolo è il rapporto tra il coseno e il seno dell’angolo.
Dimostrazione:
Consideriamo i triangoli OPK e OBS. Essi hanno:
 l’angolo
in comune;
 l’angolo
in quanto entrambi retti;
 l’angolo
in quanto differenza di angoli congruenti.
Di conseguenza i due triangoli sono simili e, quindi, hanno i lati in proporzione:
Sostituendo, otteniamo:
Ricavando la tangente otteniamo:
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Grafico della funzione
(cotangentoide)
0
non definita
1
0
non definita
0
non definita
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