c - Ospedale Cremona

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CORSO DI PREPARAZIONE AL TEST
per l’ammissione ai corsi triennali
dell’area sanitaria
MATERIALI PER LA PREPARAZIONE AI TEST DI
MATEMATICA
1
Premessa: la presente dispensa non ha alcuna pretesa né di rigore matematico, né di completezza
dell’esposizione. È una semplice raccolta di informazioni e di suggerimenti per guidare alla
risoluzione dei test.
Insiemi numerici
L’insieme dei numeri naturali è N = {0,1,2,3,4,…}.
L’insieme dei numeri interi relativi è Z = {…-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,…}
Conoscenze e competenze richieste riguardo a N e Z:
1) Riconoscere il risultato di moltiplicazioni di grandi numeri senza svolgere il prodotto
Es.: 5876 moltiplicato per 549788 è uguale a:
a. 3230554284
b. 3230554286
c. 3230554288
d. 3230554280
e. 3230554282
Suggerimento: è inutile svolgere l’intera operazione: basta pensare a quale dovrebbe essere la cifra
delle unità del risultato: 6 x 8=48
2) Criteri di divisibilità e ricerca dei divisori
Un numero a è divisibile per b se la divisione fra a e b dà per resto 0.
Si dice allora che a è multiplo di b o che b è divisore di a.
Si può sapere se un numero è divisibile per altri senza svolgere la divisione, ma usando i:
CRITERI DI DIVISIBILITÀ:
Un numero è divisibile per
2
3
4
5
6
9
10
11
solo se
l’ultima sua cifra è pari
la somma delle sue cifre è divisibile per 3
le ultime due cifre sono 00 oppure divisibili per 4
l’ultima sua cifra è 0 o 5
è divisibile per 2 e per 3
la somma delle sue cifre è divisibile per 9
l’ultima cifra è 0
La somma delle cifre di posto dispari è uguale alla somma di quelle
di posto pari
N.B.1: ogni numero intero ha almeno due divisori banali: 1 ed il numero stesso.
N.B.2: un divisore non banale di a non può essere più grande della metà di a.
Es.: Quanti sono i divisori del numero 36 (1 e 36 compresi)?
a. 2
b. 4
c. 6
d. 9
e. 7
2
Suggerimento: occorre passare in rassegna i numeri minori o uguali alla metà di 36:
2 è divisore di 36;
5 non è divisore di 36;
7non è divisore di 36;
8 no è divisore di 36;
18 è divisore di 36
In tutto 7 divisori, ai quali vanno aggiunti i 2 divisori banali 1 e 36. Ma è un po’ lungo!
Altro modo: 36 = 4 x 9= 22 x 32. Sono divisori di 36 tutti e soli i numeri che ottengo riempiendo gli
esponenti di 2 x 3 in tutti i modi possibili con i numeri 0, 1, 2:
0
1
2
0 0,0 0,1 0,2
1 1,0 1,1 1,2
2 2,0 2,1 2,2
Allora in tutto 9 divisori.
Si capisce allora che basta aumentare tutti gli esponenti dei fattori primi di una unità e moltiplicarli
fra loro. Così, i divisori di 308 = 22 x 71 x 111 saranno 3 x 2 x 2, cioè 12.
Es.: Tra i primi 200 numeri naturali, sono contemporaneamente divisibili per 2, 3, 5, 6:
a. 0 numeri
b. 1 numero
c. 2 numeri
d. non è possibile stabilirlo
e. 6 numeri
Suggerimento: il prodotto di 2,3,5,6, cioè 180 è divisibile per tutti questi numeri, ma vi sono numeri
più bassi di 180 divisibili per 2,3,5,6 contemporaneamente? Sì, il loro m.c.m. = 5×6=30. Allora sono
divisibili per 2,3,5,6 contemporaneamente tutti i multipli di 30 che non superino 200:
30, 60, 90, 120, 150, 180.
3) Numeri primi, primi fra loro, mcm, MCD
Un numero maggiore di 1 si dice primo se è divisibile solo per i divisori banali (1 e se stesso)
N.B.1: 1 non è primo
Sono primi: 2, 3, 5, 7, 11, ...
N.B.2: l’unico numero primo pari è 2. Tutti gli altri infiniti numeri primi sono dispari.
Due numeri si dicono primi fra loro se non hanno divisori comuni, oltre all’1.
Si chiama massimo comune divisore (MCD) di due o più numeri naturali il più grande numero che
divide senza resto tutti i numeri dati.
N.B.: dati due o più numeri, guardare sempre se il più piccolo tra loro è divisore degli altri. Allora
quello sarà il MCD. In caso contrario si può determinare il MCD scomponendo i numeri dati in
fattori primi e considerando il prodotto dei soli fattori comuni, presi con il minimo esponente.
Si chiama minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri naturali il più piccolo numero che
sia multiplo di tutti i numeri dati.
3
N.B.: dati due o più numeri, guardare sempre se il più grande tra loro è multiplo degli altri. Allora
quello sarà il mcm. In caso contrario si può determinare il mcm scomponendo i numeri dati in
fattori primi e considerando il prodotto dei tutti i fattori, senza ripetizioni, presi con il massimo
esponente.
Se a e b sono primi, allora sono anche primi fra loro. Non è vero il viceversa.
Se a e b sono primi fra loro, allora MCD(a, b) = 1, mcm(a, b)=a×b
Es.: il mcm tra 4, 10, 18, 25 è:
a. 270
b. 180
c. 18000
d. 450
e. 900
Suggerimento: 25 non è multiplo degli altri.
Allora scomponiamo in fattori primi:
4 = 22
10 = 21×51
18 = 21×32
25= 52
mcm = 22×32×52=…
a. 6; 120
b. 2; 60
c. 2; 180
d. 6; 30
e. 3; 150
Suggerimento: il più piccolo, 6, non è divisore
di tutti gli altri; pertanto 6 non può essere il
MCD. Rimangono le alternative b, c, e. Anche
3 non è divisore di 20 e non può allora essere
MCD. Rimangono solo b e c. Guardo ora il più
grande fra i numeri dati: 60 è multiplo di tutti
gli altri? Allora è il mcm. Risposta b.
Osservazione: in questo caso si sarebbe
ottenuta prima la risposta cercando il mcm
prima del MCD. Ma è solo un caso
particolare, non una regola generale!
Es. il MCD e il mcm tra 6, 20, 30, 60 valgono
rispettivamente:
4) Potenze e proprietà delle potenze
Dati due numeri naturali a ed n, si chiama potenza di base a ed esponente n il numero an così
definito:
se n > 1:
an = a×a×…×a (n fattori)
se n = 1:
a1 = a
se n = 0:
a0 = 1 (a patto che a≠0)
00 = ? può dare qualunque risultato; si dice che è una forma indeterminata.
n
1
1
−n
Se l’esponente è un intero negativo: a =   = n (in pratica, ogni volta che un fattore “sale o
a
a
scende” di “un piano” nella frazione, il suo esponente cambia segno)
N
Se l’esponente è una frazione: a D = D a N , cioè il denominatore D si può tradurre in un radicale di
indice D.
PROPRIETÀ DELLE POTENZE:
a m ⋅ a n = a m+n
am
a m : a n = a m−n o anche: n = a m −n
a
m
m
m
a ⋅ b = (a ⋅ b )
STESSA BASE
STESSA BASE
STESSO ESPONENTE
4
a : b = (a : b )
m
m
am  a 
o anche m =  
b
b
m
(a )
m
STESSO ESPONENTE
m n
= a m⋅n
POTENZA DI POTENZA
N.B.: le proprietà valgono anche se lette da destra verso sinistra.
Es.: l’espressione (20 ⋅ 10 2 + 30 ⋅ 10 3 ) vale:
a. 50 ⋅ 10 5
b. 50 ⋅ 10 6
c. 60 ⋅ 10 5
d. 1
e. nessuna delle precedenti
c. 15-1
d. 3-4×54
e. 15
0
Es. l’espressione
a. 23/4
b. 41/3
c. 24/3
d. 43/2
e. 22/3
3
1
+ 5 −1
Es.: calcolare l’espressione 5 2
:
(0 ,2 ) ⋅ 10 3
a. 5
b. 1
c. 55
d. 0,01
e. 0
16 vale:
Es.: la decimillesima parte di 100030 è:
a. 100030/10000
b. (1000/10000)30
c. 100013
d. 1097
e. 10043
 − 12 2 − 23   − 21 − 21 
Es. l’espressione y =  a ab b  / a b 

 

vale:
a. b-1/2
b. a-1/2
c. b
d. a
e. ab
Es.: calcolare il valore di x per cui 37x = 1:
a. 0
b. 1/7
c. 3
d. -1
e. 7/2
Es. un numero negativo con esponente
dispari è:
a. positivo
b. negativo
c. nullo
d. sempre uguale a 1
e. non si può calcolare
Es.: il valore di (2 5 / 2 + 2 1 / 5 ) − 32 − 5 4 è:
a. 227/10
b. 0
c. 237/10
d. 2 2
e. 2
2
Es. l’espressione 1/(0,3)2 vale:
a. 10/9
b. 9/100
c. 100/9
d. 0,009
e. nessuno dei precedenti
[
]
Es. l’espressione (a 2 ) − 1 0 , con a numero
reale:
a. vale 0
b. vale 1
c. vale -1
d. è indeterminata solo se a è diverso da
0
e. è indeterminata per ogni valore di a
Es.: il rapporto 3-2/(5-4×32) equivale a:
a. (3/5)-1
b. 34×5-4
5
0
5) Operazioni fra potenze di 10:
Es.: il prodotto 9 ⋅ 10 −3 × 3 ⋅ 10 −2 vale:
a. 3 ⋅ 10 −6
b. 27 ⋅ 10 −6
c. 0,3
d. 27 ⋅ 10 −5
e. 27 ⋅ 10 −1
Es. il prodotto fra 3 ⋅ 10 −2 e 8 ⋅ 10 −4 è un
numero:
a. circa uguale a 3 ⋅ 10 −2
b. compreso fra il minore ed il maggiore
dei due
c. maggiore di entrambi
d. minore di entrambi
e. nessuna delle risposte precedenti
6) Scrittura polinomiale dei numeri in base 10:
Es.: l’espressione 4 ⋅ 10 0 + 5 ⋅ 10 1 + 7 ⋅ 10 3 + 3 ⋅ 10 2 vale:
a. 735
b. 4573
c. 4735
d. 4537
e. 7354
7) Traduzione in simboli
Alcuni quesiti giocano sulla capacità di tradurre in simboli algebrici semplici termini o locuzioni:
- “il doppio di a” = 2a
- “il quadrato di a” = a2
- “la metà di a” = a/2
3
- “il triplo di a” = 3°
- “il cubo di a” = a
- “la terza parte di a” = a/3
- “il rapporto (quoziente) fra a e b” = a/b
- “l’opposto di a” = -a
- “il reciproco di a” = 1/a
- “numero pari” = 2n
- “numero dispari” = 2n+1 o 2n – 1 o 2n +3 ecc.
- “il successivo di n” = n + 1
Es.: siano a, b, c numeri naturali non nulli. Se
a è la metà del quadrato di b e c è il triplo
del cubo b, qual è il rapporto fra il cubo di a
e il quadrato di c?
a. 1/72
b. 8/9
c. 9/8
d. 72
e. 1/18
a
2 (b + 1)
2 (b + 1)
d.
a
b+1
e.
a
c.
Es. quale fra le seguenti espressioni
rappresenta il triplo del successivo del
quadrato di un numero naturale n?
a. 3(n2 + 1)
b. 3(n + 1)2
c. 3n2 +1
d. (3n + 1)2
e. [3(n + 1)]2
Es.: se il rapporto tra a e il successivo di b è
uguale al doppio del reciproco di x, il valore
di x è:
a. 2 b + 1 / a
2b + 1
b.
a
6) I numeri razionali
Q è l’insieme di tutti quei numeri positivi o negativi, detti numeri razionali, che possono essere
scritti sotto forma di frazione (sono dette equivalenti quelle frazioni che, semplificate diventano
6
uguali fra loro; un gruppo di frazioni equivalenti forma un numero razionale) o che possono essere
scritti sotto forma di numero decimale illimitato1 periodico.
N.B.: anche i numeri decimali limitati rientrano fra gli illimitati periodici; per esempio, 0,57 può
essere visto come 0,57000000…, cioè come 0 ,570 .
N.B.: talvolta il periodo di un numero decimale è scritto fra parentesi tonde: 0 ,570 = 0,57(0)
Cosa si deve sapere su Q:
• come svolgere le operazioni con le frazioni
• fra due numeri razionali, per quanto vicini essi siano, ve ne sono infiniti altri (Q è denso)
• frazioni generatrici: come risalire da un numero in forma decimale alla corrispondente
frazione che lo genera:
o se il numero è decimale limitato: scrivo una frazione che ha:
per numeratore il numero decimale senza la virgola e senza lo/gli
eventuale/i zero/i iniziale/i
per denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre a destra della
virgola
Es.: 0,0387 = 387/10000; 113,25 = 11325/100
o se il numero è decimale illimitato periodico: scrivo una frazione che ha:
per numeratore il numero decimale senza la virgola e senza lo/gli
eventuale/i zero/i iniziale/i meno la parte di numero che sta a sinistra del
periodo
per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguito da tanti 0
quante sono le cifre dell’antiperiodo (parte del numero compresa fra la
virgola ed il periodo)
387 − 3
Es.: 0 ,0387 =
9900
Es.: Il numero 0,0(3):
a. non è razionale
b. è uguale a 3/9
c. è uguale a 1/3
d. è uguale a 3/99
e. è uguale a 1/30
Suggerimento: il numeratore della frazione che lo genera sarà 3 – 0; il denominatore sarà
costituito da un solo 9 (poiché il periodo di 0,0(3) è di una cifra), seguito da un solo 0 (poiché
l’antiperiodo di 0,0(3) è di una cifra) . Quindi 3/90, cioè…
7) Proporzioni
Quattro numeri a, b, c, d con b e d diversi da zero sono in proporzione se il rapporto fra i primi due
è uguale al rapporto fra gli ultimi due e si scrive:
a:b=c:d
a e d sono i termini estremi della proporzione
b e c sono i termini medi della proporzione
Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Questa proprietà trasforma una proporzione in una semplice equazione.
1
Con un numero infinito di cifre a destra della virgola.
7
Se in una proporzione i due termini medi sono uguali, il termine ripetuto si chiama medio/a
proporzionale.
Es.:
Si
consideri
la
proporzione
c. 3/2
1
d. 1/24
: x = 2 : 48 ; x vale:
e. 5
3
Suggerimento:
trovare
la
media
a. 3
proporzionale significa impostare una
b. 1/3
proporzione con termine medio incognito
c. 1/2
ripetuto:
4:x=x:6;
per
la
proprietà
d. 1
2
fondamentale, x = 24, da cui…
e. 2
Suggerimento: dalla proprietà fondamentale
Es.: calcolare il valore di x nella proporzione:
48
48
si ha che 2 x =
, cioè 2 x =
, da cui
10-2:x=10-4:103:
3
3
a. 103
2x = 4 e quindi …
b. 104
c. 10-4
Es.: la media proporzionale tra 4 e 6 vale:
d. 10-5
1/2
a. 24
e. 105
b. 2/3
8) Proporzionalità diretta e inversa
Due grandezze variabili x e y si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto rimane
costante:
y
=k
x
o anche
y = kx
Rappresentata nel piano cartesiano xOy, si ottiene come grafico una retta obliqua che passa per
l’origine O(0,0).
Due grandezze variabili x e y si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto rimane
costante:
x⋅y = k
o anche
k
y=
x
Rappresentata nel piano cartesiano xOy, si ottiene come grafico un ramo di iperbole equilatera
riferita ai propri asintoti.
Es.: due grandezze x e y legate dalla relazione y = -5x:
a. hanno sempre lo stesso segno
b. sono solo confrontabili in modo qualitativo
c. sono direttamente proporzionali tra loro
d. non hanno alcuna relazione di proporzionalità
e. sono inversamente proporzionali tra loro
8
A
= k ; dunque A e h sono
h
direttamente proporzionali ed il grafico corrispondente è una retta obliqua che passa per l’origine.
Es. 237: suggerimento: A = bh; essendo la base costante, A = kh o anche
Es.: 440: suggerimento: si sa che x = ky2 e y = h/z. Dunque, sostituendo h/z al posto di y nella prima
equazione, si ha: x = (kh2)/z2, dove (kh2) è una costante che potremmo chiamare m; allora si ha che
x = m/z2. Pertanto x è inversamente proporzionale al quadrato di z.
9) Percentuali
30
30
⋅ 1400 = 30 ⋅ 14 = 420 .
di 1400, cioè
100
100
b) 5 che percentuale è di 245? Imposto la proporzione:
5 : 245 = x : 100
5 ⋅ 100
= 2 ,04% . Cioè 5 è circa il 2% di 245.
e trovo x =
245
c) 5 è il 7% di quale numero? Posso tradurre la domanda così:
7
5=
⋅ x (oppure con la proporzione 5 : x = 7 : 100)
100
e trovo che x è 71,4.
a) 30% di 1400 significa:
Es.: il 5% del 10% di un numero è 1; qual è il numero?
a. 200
b. 300
c. 400
d. 450
e. 500
5 10
1
Suggerimento: rientra nella tipologia c): 1 =
⋅
⋅ x , cioè, semplificando,
x = 1 , da cui…
100 100
200
Es.: se su un prezzo si pratica uno sconto del 20% e, sul nuovo prezzo così ottenuto si applica un
nuovo sconto del 30%, quanto vale in percentuale lo sconto sul prezzo iniziale?
a. 60%
b. 50%
c. 56%
d. 44%
e. 10%
20
80
Suggerimento: detto P il prezzo iniziale, il prezzo dopo il primo sconto è P −
P=
P . Ora su
100
100
tale nuovo prezzo si applica uno sconto del 30%; il nuovo prezzo scontato sarà allora
80
30 80
80
24
56
P−
⋅
P=
P−
P=
P . È allora come se su P si fosse fatto uno sconto del
100
100 100
100
100
100
44%. Per chi non ama il calcolo letterale: se il prezzo iniziale fosse 100, dopo il primo sconto del
20%, il prezzo sarebbe 80 e dopo lo sconto del 30% scenderebbe a (80 - 24), cioè 56; lo sconto
totale è di 44 su 100, cioè del 44%.
9
Es.: una barra di cioccolato A è lunga 8 quadratini e la barra B supera A del 60% di se stessa.
Quanto è lunga B?
a. 10
b. 12
c. 14
d. 18
e. 20
60
40
10
10
A=
⋅ 8 = 20
B , cioè
B = A e quindi B =
Suggerimento: B = A+
100
100
4
4
Es.: se si aumenta la lunghezza della base di un rettangolo del 40% e quella dell’altezza del 10%,
l’area aumenta del:
a. 54%
b. 400%
c. 25%
d. 30%
e. 50%
140 110
154
Suggerimento: l’area iniziale è bh. L’area nuova sarà
b⋅
h=
bh . L’aumento dell’area è
100 100
100
quindi del…
10) Numeri reali
Si dicono irrazionali quei numeri che non sono esprimibili mediante alcuna frazione di Q; in modo
equivalente, sono irrazionali i numeri che, scritti in forma decimale, sono illimitati e non periodici.
Sono esempi di numeri irrazionali le radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti o le
radici cubiche di numeri che non sono cubi perfetti, ecc. Ma le radici non esauriscono i numeri
irrazionali. Sono per esempio irrazionali anche numeri come π o e.
L’unione dell’insieme degli irrazionali con l’insieme Q dei numeri razionali viene detto insieme R
dei numeri reali. Quindi l’insieme R dei reali contiene, oltre a tutti gli insiemi numerici già visti (N,
Z, Q) anche i numeri irrazionali.
In R, così come negli altri insiemi numerici esaminati, vale la cosiddetta legge di annullamento del
prodotto: il prodotto di due numeri vale 0 se e solo se l’uno o l’altro dei due numeri è 0. Useremo
tale legge per la risoluzione di equazioni di grado superiore al primo.
Dato un numero naturale n diverso da 0 e un numero reale a non negativo, la radice aritmetica nesima di a è quel numero non negativo b, la cui potenza con esponente n è uguale ad a.
n
a = b ⇔ bn = a
Il numero n è detto indice della radice
Il numero a è detto radicando.
Il numero n a è detto radicale aritmetico.
N.B.: per convenzione, l’indice 2 viene sottointeso, cioè
a significa
2
a.
N.B.: poiché il risultato di n a deve essere un numero non negativo, dire che 2 x 2 = x sarebbe
sbagliato, dal momento che non sappiamo che segno abbia il numero indicato con x. In casi come
questo dobbiamo scrivere 2 x 2 = x (le barrette indicano il valore assoluto di x, cioè il valore di x
assunto senza segno (e quindi positivizzato)).
10
Es.: Riconosci il numero irrazionale:
a. 4
b. 5,3(6)
c. 1/7
d. 3 9
25
e.
4
Es.: Quale dei valori riportati costituisce la
migliore approssimazione di 36123456 ?
a. 60
b. 600
c. 6000
d. 36123,456
e. 18061728
Suggerimento: 36123456 è circa 36.000.000,
la cui radice è 6.000. Quindi…
Es.: La radice quinta di 32 è:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Suggerimento: fra i numeri proposti, cercare
quello che, elevato alla quinta, dà 32.
Es.: Quale dei valori riportati costituisce la
1+ 5
migliore approssimazione di
?
2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Suggerimento: la radice di 5 è circa 2,2.
Quindi la frazione vale (1+2,2):2 = 3,2 : 2 =
1,6. Il valore più vicino a 1,6 è …
Per chi non sa che 5 ≈ 2,2 , si può dire: 5
è poco più di 2; quindi 5 + 1 è poco più di 3;
Es.: se a è un numero positivo, allora (-a)0,25
è sicuramente un numero:
a. uguale a 1
b. non reale
c. uguale a 1/25 di a
d. in tutti i casi intero
e. in tutti i casi nullo
1
4
allora
Suggerimento: (− a )
= (− a ) = − a , che
non esiste in R, considerata la definizione di
radicale aritmetico, che richiede un radicando
non negativo.
0 , 25
4
1+ 5
2
=
poco più di 3
2
=
poco più di 1,5
. Il
numero più vicino è 2.
Proprietà invariantiva dei radicali: n a m = n• P a m• P , se p ≠0.
Prodotto e divisione di radicali: se due radicali hanno lo stesso indice, le due radici possono essere
n
a
a
“unificate” in una sola: n a ⋅ n b = n a ⋅ b e n = n .
b
b
Se non hanno lo stesso indice, possono essere ricondotti allo stesso indice (mcm dei due indici)
mediante la proprietà invariantiva: 6 a e 8 b diventano, senza variare, 24 a 4 e 24 b 6
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice: un fattore del radicando può essere trasportato
fuori dal segno di radice, se il suo esponente m è maggiore o uguale all’indice n della radice. Il
fattore esterno avrà per esponente il quoziente della divisione m : n, quello interno ha per
esponente il resto r della divisione.
Esempio 1:
3
5 14 ⋅ 7 2 . Solo il fattore 514 può uscire perché ha l’esponente sufficientemente
elevato. Poiché 14 : 3 = 4 con il resto di 2,
Esempio 2:
2
3
5 14 ⋅ 7 2 = 5 4 ⋅ 3 5 2 ⋅ 7 2 .
x 2 y . Il fattore x2 può uscire, ma sarebbe sbagliato trasformarlo in x ⋅ 2 y , dal
momento che
2
x 2 y è sicuramente non negativo, mentre x ⋅ 2 y ha un segno che dipende da
11
quello di x e quindi potrebbe anche essere negativo. Per tutelarsi dall’eventuale negatività di x,
dobbiamo scrivere
x2y = x ⋅ 2 y .
2
Potenza di un radicale:
(a )
n
m
p
= n a m⋅ p
Radice di radice: n m a = n⋅m a
Razionalizzazione del denominatore di un radicale: significa ottenere una frazione equivalente a
quella assegnata, ma con il denominatore non irrazionale (dobbiamo far sparire le radici dal
denominatore). La tecnica per razionalizzare consiste sempre nel moltiplicare numeratore e
denominatore per un’espressione (detta fattore razionalizzante) variabile a seconda dei casi:
Frazione da Fattore
razionalizzare razionalizzante
a
b
b
a
b
c b
a
bm c
b± c
a
bm c
b± c
Radicali doppi: il radicale doppio a ± b può essere trasformato in somma algebrica di due
radicali semplici solo se a2 – b è un quadrato perfetto, con radice uguale a c; allora:
a+c
a−c
a± b =
±
2
2
Esempio:
3 − 5 . a 2 − b = 9 − 5 = 4 è un quadrato perfetto con radice c = 2.
3+ 2
3− 2
5
1
−
=
−
2
2
2
2
Somma di radicali simili: si dicono simili due radicali con stesso indice e stesso radicando. La
somma di radicali è eseguibile solo se essi sono simili: si ottiene un radicale simile ai precedenti,
avente per coefficiente la somma dei rispettivi coefficienti.
3− 5 =
Allora
3 3 è uguale a:
Es.:
c.
6
72
9
35
a.
4
37
d.
6
b.
10
30 3
e.
6
c.
8
3 12
Es.: Il quoziente di due radicali aventi lo
stesso indice, è un radicale avente per
radicando il quoziente e per indice:
a. il prodotto degli indici
b. la somma degli indici
c. il quoziente degli indici
d. lo stesso indice
d. 10 3 30
e. 3 2 ⋅ 3
Es.: L’espressione
a. 6 3
b.
5
2 ⋅ 3 3 vale:
36
12
3 ⋅ 8 è equivalente alla:
c. 2
d. 3
e. 4
Suggerimento: conviene, come nella maggior
parte dei casi in cui sono proposte soluzioni di
equazioni, sostituire i valori proposti al posto
della x e vedere se l’uguaglianza è corretta.
a. 3 − 8
b. 6 2
c. 2 6
d. 2 3
e. 3 + 8
Es.: La somma di due numeri reali vale 3 2
e il loro prodotto vale -8; i due numeri sono:
a. 3 2 e 2
b. 2 2 e − 2 2
c. 6 2 e − 3 2
d. 4 2 e − 2
e. 2 e - 3 2
Es.: 8 + 32 è uguale a:
a. 6 2
b. 40
c. 8 ⋅ 32
d. 20
e. 4 4
2+ 3
vale:
2− 3
a. 7 + 4 3
b. − 7 − 4 3
2 3+3
c.
2
d. 7 − 4 3
7−4 3
e.
2
Es.:
a. 9
b. 6 3
c. 5 3
d.
e.
3
a. 7 − 13
b. 7 − 13
7+6
7 −6
c.
−
2
2
d. non si può semplificare
7+ 1+x = 3
a + b
n
3 vale:
n
a + b vale:
n
b. n a + n b
c. n a ⋅ n b
d. 1 /(a + b )n
7 − 13 vale:
Es.:
L’equazione
soluzione:
a. 0
b. 1
3
4
a.
Es.:
3
3
[
]
Es.: L’espressione (0,1) + 3 0,027 vale:
a. 0,03
b. 0,1
c. 0,003
d. 0,5
e. 0,301
ha
3
11) Successioni e progressioni
Si dice successione una sequenza ordinata di numeri reali a0, a1, a2, a3, a4, … Il pedice numerico
indica quale posizione è occupata, nella sequenza, dal numero reale. Una successione può essere
definita:
• mediante una formula chiusa, che dica come costruire l’n-simo termine della successione:
13
n+1
definisce la successione: 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3,…
2
o es.: a n = n n definisce la successione: 1, 4, 27, 256,…
o es.: a n =
•
mediante una formula ricorsiva, che dica quanto valgono i primi termini e spieghi come
costruire l’n-simo termine della successione a partire dai precedenti termini:
o es.: a 0 = 1, a n = (a n−1 )2 + 1 definisce la successione: 1, 2, 5, 26, 677,…
o es.: a 0 = 1, a 1 = 1, a n = a n −1 + a n− 2 definisce la celebre successione di Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… in cui ogni termine è la somma dei due precedenti.
Alcune successioni costruite in modo particolare vengono chiamate progressioni.
Si dice che una successione di numeri forma una progressione aritmetica (p.a.) se la differenza fra
due termini consecutivi an – an-1 è sempre costante. Il valore d di questa differenza è detto ragione
della progressione aritmetica.
Elemento generico di una p.a.:
an = a1 + (n-1)d
an = ap + (n-p)d
a + an
n
Somma dei primi n termini di una p. a.: Sn = 1
2
In particolare, se d = 1, la progressione aritmetica diventa la sequenza dei numeri naturali e Sn
indica la somma di tutti i numeri naturali da 1 fino ad n. Adattando la formula precedente con a1 =
n(n + 1)
1 e an = n, si ottiene che 1 + 2 + 3 + 4 + … + n =
.
2
Si dice che una successione di numeri forma una progressione geometrica (p.g.) se il quoziente fra
due termini consecutivi an/an-1 è sempre costante. Il valore q di questo quoziente è detto ragione
della progressione geometrica.
Elemento generico di una p.g.:
an = a 1 ⋅ q n −1
an = a p ⋅ q n − p
Somma dei primi n termini di una p.g. con primo termine a1 e ragione q : Sn = a 1 ⋅
1 − qn
1−q
Es.: Data la sequenza di numeri 1, 3, 7, 8, 13, 13, 19, 18, 25, 23, 31, 28,… qual è il termine
successivo?
a. 30
b. 32
c. 34
d. 36
e. 37
Suggerimento: la successione contiene una p.a. con primo termine 1 e ragione 6 (1, 7, 13, 19, 25,
31,…), alternata con una p.a. con primo termine 3 e ragione 5 (3, 8, 13, 18, 23, 28,…). Il termine
mancante è il successivo termine della prima progressione, cioè…
Es.: i lati di un quadrilatero sono in p.a. e
l’ultimo è il triplo del primo. Le misure dei
quattro lati sono:
a. 2, 3, 4, 6
b. 2, 10/3, 14/3, 6
c. 1, 2, 3, 4
d. 10, 17, 24, 30
e. non è possibile che esista un
quadrilatero soddisfacente queste
condizioni
14
Es.: la somma di 300 numeri naturali
consecutivi, di cui il primo è 100, è pari a:
a. 79800
b. 74850
c. 60000
d. 75000
e. 78800
c. 1
d. 0
e. 0,1
Es.: Quanti sono i termini di una p.g. di
ragione 3, con primo termine 2 e ultimo
1458?
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
Es. In una p.g. il primo termine è 4 ed il
quarto è 0,5. Il quinto valore è:
a. 0,125
b. 0,25
12) Problemi di ordine e confronto fra numeri reali
Che cosa c’è da sapere:
• un numero positivo è sempre più grande di un negativo
• un numero negativo con modulo maggiore è più piccolo di un numero negativo con
modulo minore: -7 < -0,1
• se a < b, allora facendone le loro potenze (con ugual esponente positivo), esse si
mantengono nello stesso ordine: a2 < b2, a3 < b3, ecc.
• se a < b, allora facendone le loro radici (con ugual indice), esse si mantengono nello stesso
ordine: a < b , 3 a < 3 b ecc.
• se a < b, allora facendone i rispettivi reciproci, essi invertono l’ordine: 1/b < 1/a
• se a < b, allora moltiplicando ambo i membri per un numero c positivo, essi rimangono
nello stesso ordine, se invece c è negativo, l’ordine si inverte: ac < bc se c>0, mentre ac > bc
se c<0.
• se a < b e b < c, allora a < c (proprietà transitiva)
• in generale, elevare un numero positivo ad un esponente intero positivo fa sì che si ottenga
un numero maggiore di quello di partenza, ma solo se la base è maggiore di 1; in caso
contrario, l’elevamento a potenza dà un risultato inferiore rispetto al numero di partenza:
a2 > a
allora a < a
se a > 1 allora
se 0 < a < 1
•
in generale, estrarre la radice di un numero positivo fa sì che si ottenga un numero minore
di quello di partenza, ma solo se esso è maggiore di 1; in caso contrario, la radice dà un
risultato superiore rispetto al numero di partenza (meglio: compreso fra a e 1):
se a > 1 allora
•
2
a
a >a
a<
a
se 0 < a < 1 allora
(meglio: a <
< 1)
in generale, il reciproco di un numero positivo è un numero minore di quello di partenza,
ma solo se il numero di partenza è maggiore di 1; in caso contrario, il reciproco risulta
superiore rispetto al numero di partenza:
a
1/a > a
se a > 1 allora 1/a <
se 0 < a < 1 allora
15
Es.: disporre in ordine crescente a = - 1/3, b
= -0,4, c = 0,001
a. c;a;b
b. b;a;c
c. a;b;c
d. c;b;a
e. a;c;b
e. solo se x è un numero primo
Es.: se a, ,b, c, sono tre numeri reali positivi
e a > b, b = c, c = 3d, allora:
a. a>d
b. d<a/3
c. a=d
d. a<3d
e. a=3d
Es.: se per ipotesi si ha 0<x<y<1, allora:
a. y2 > y
b. y2 < x
c. x1/2 > x
d. xy>x
e. 1/x < 1/y
Es.: quale fra i seguenti numeri è il più
piccolo?
a. 10-4
b.
10000
c. (0,0001)1/2
d. (0,0001)-1/2
e. 0,1
Es.: Elevando al quadrato un numero reale
negativo, in valore assoluto minore di 1, si
ottiene un numero:
a. uguale a -1;
b. positivo e in valore assoluto maggiore
di 1
c. negativo e in valore assoluto
maggiore di 1
d. negativo e in valore assoluto minore
di 1
e. positivo e in valore assoluto minore di
1
Es.: disporre in ordine crescente -9/5, 1,5 e
4/3:
a. 4/3; 1,5; -9/5
b. -9/5; 4/3; 1,5
c. -9/5; 1,5; 4/3
d. 1,5; 4/3; -9/5
e. 1,5; -9/5; 4/3
Es.: disporre in ordine decrescente a = 1/5, b
= 5-3, c = 0,05, d = 0,0(5), e = 51/2:
a. a, b, c, d, e
b. e, a, d, c, b
c. e, d, a, c, b
d. e, a, c, d, b
e. e, a, d, b, c
Es.: Se x è un numero positivo, la
disuguaglianza 1/x > x è verificata:
a. sempre
b. mai
c. solo per x> 1
d. solo per 0< x <1
13) Problemi vari
Es.: Compro un oggetto a 1500 lire e lo
vendo a 3000 lire; lo ricompro a 1800 e lo
rivendo a 4000 lire. Quante lire guadagno?
a. 0
b. 1200
c. 1500
d. 2700
e. 3700
Suggerimento: sommo i ricavi e sottraggo i
due costi…
Es.: In un gruppo di 200 persone, 130 sanno
giocare a calcio, 100 sanno giocare a
briscola, 25 non sanno giocare né a calcio né
a briscola. Quante persone sanno giocare sia
a calcio che a briscola?
a. mancano dati per rispondere
b. il problema è impossibile
c. 10
d. 55
e. 60
16
Es.: un’azienda sostiene un costo mensile di
270.000 euro; il costo di produzione di un
singolo articolo è di 4 euro; ogni articolo è
venduto sul mercato a 10 euro. Detto y il
guadagno netto, x il numero di articoli
prodotti in un giorno, individuare la
relazione fra y e x:
a. y = -9000 + 10x
b. y = -270.000 + 6x
c. y = 270.000 + 6/x
d. y = 9000 + 6/x
e. y = -9000 + 6x
Es.: L’1/1/1997 era domenica; che giorno
della settimana è stato l’1/1/2002?
a. sabato
b. domenica
c. lunedì
d. martedì
e. mercoledì
Suggerimento: si tratta di un periodo di 5
anni, di cui uno solo bisestile. In tutto 365×5 +
1 = 1826 giorni, che corrispondono a 260
settimane e 6 giorni. Quindi il giorno richiesto
sarà sabato.
Es.: una procedura iterativa consiste nel
dividere una lunghezza in 4 parti uguali,
eliminare la prima, accantonare la seconda e
la terza, usare la quarta per il ciclo
successivo. Qual è il rapporto fra
accantonato ed eliminato dopo 3 iterazioni?
a. 1
b. 1/4
c. 1/64
d. 2
e. 64
Es.: Quali numeri reali sono tali che
“aumentati di un loro terzo sono minori
della loro metà”?
a. tutti quelli minori di 1
b. tutti quelli minori di 0
c. solo quelli compresi fra -1 e 0
d. tutti quelli minori di -1
e. non esistono numeri con tale
proprietà
14) Monomi
Monomio = ogni espressione algebrica in cui non figurano addizioni o sottrazioni o divisioni, ma
solo moltiplicazioni (e potenze). Si considerano monomi anche i singoli numeri.
Esempio: -2/7 è un monomio; b è un monomio; 3a2bc è un monomio; 3a + 2b non è un monomio.
17
Operazioni con i monomi:
• ADDIZIONE/SOTTRAZIONE: si può eseguire solo se i monomi sono simili; dà come risultato
un monomio con la stessa parte letterale e avente per coefficiente la somma algebrica dei
coefficienti: 3a + 2a = (3 + 2)a = 5a.
• MOLTIPLICAZIONE/DIVISIONE: si ottiene un monomio che ha per coefficiente il
prodotto/quoziente dei coefficienti e per parte letterale il prodotto/quoziente delle parti
letterali eseguito tenendo conto delle proprietà delle potenze (ogni lettera del
prodotto/quoziente avrà per esponente la somma/differenza degli esponenti con cui essa
compare nei singoli fattori)
• MCD tra monomi: è ogni monomio la cui parte letterale è formata da tutte le lettere
comuni, prese ciascuna una sola volta con il proprio esponente minore.
• mcm tra monomi: è ogni monomio la cui parte letterale è formata da tutte le lettere
comuni e non comuni, prese ciascuna una sola volta con il proprio esponente maggiore
N.B.: i coefficienti di mcm e MCD fra monomi si calcolano come visto per i numeri naturali,
determinando mcm e MCD dei singoli coefficienti. Se anche solo uno dei coefficienti è
frazionario, il coefficiente di mcm e MCD si omette; non si usa scrivere segni “meno” davanti a
mcm e MCD.
c. xyz3, 3xyz3
d. xy2, x2y
e. abc, 1
Es.: stabilire per quale coppia di monomi si
può eseguire la somma:
a. xyz3, 3x2yz2
b. 3a, 3b
18
Es.: il quoziente fra i monomi -6xy7z e
+(2/3)xy3z-2 risulta:
a. non si può eseguire
b. 9y4z-1
c. -9y4z-1
d. -9y4z3
e. 9y4z3
c. 9x6 – 64y3
d. 9x3 – 64y3
e. 9x5 – 64y3
Es.: il MCD e il mcm dei monomi 3xy,
15x2y3z, 5x4y4zt sono:
a. 1, 15x2y3z
b. xy, 15x4y2
c. xy, 15x4y4zt
d. 10xy, 15x4y4zt
e. 10xy, 15x4y2
Es.: l’espressione (3x3)2 - (4y)3 vale:
a. 9x9 – 64y3
b. 9x6 + 12y3
19
15) POLINOMI
PRODOTTI NOTEVOLI:
Si tratta di alcuni particolari prodotti fra polinomi, che devono essere “notati” (come dice il nome),
poiché possono essere svolti più brevemente rispetto all’applicazione della proprietà distributiva.
Prodotto fra una somma e una differenza
Differenza di quadrati
(a + b )(a − b )
a2 − b2
Quadrato di binomio
Sviluppo del quadrato di binomio
2
(a ± b )
a 2 ± 2 ab + b 2
Quadrato di trinomio
Sviluppo del quadrato di trinomio
2
(a + b + c )
a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc
Cubo di binomio
Sviluppo del cubo di binomio
3
(a ± b )
a 3 ± 3 a 2 b + 3 ab 2 ± b 3
Prodotto di un binomio per il suo falso Somma o differenza fra cubi
quadrato
(a ± b )(a 2 m ab + b 2 )
a3 ± b3
20
Teorema del resto: se si divide un polinomio P(x) per un binomio del tipo x – c, per conoscere il
resto non è necessario svolgere la divisione, ma basta calcolare P(c), cioè basta sostituire il valore
di c (c è l’opposto del termine noto del binomio (x – c)) al posto di x nel polinomio.
Es.: l’affermazione: la somma di due
monomi è un binomio è:
a. sempre vera
b. sempre falsa
c. talvolta vera, talvolta falsa
d. vera, se i due monomi sono simili
Es.: Il
è:
a.
b.
c.
d.
e.
c. x+y
d. x − xy
e. x + 2 y
Es.: l’espressione an – bn è divisibile per (a +
b):
a. mai
b. sempre
c. solo se n è pari
d. solo se n è dispari
e. quesito senza soluzione univoca o
corretta
Suggerimento: utilizzare il teorema del resto
e sostituire l’opposto del termine noto del
binomio, -b, al posto di a in an – bn. Si ottiene
come resto (-b)n – bn, che vale 0 solo se n è
pari.
grado del polinomio 53ab4y + 6a2b3y3
3
4
7
8
9
Es.: (2a – 2b)2 equivale a:
a. 4a2 – 4b2
b. 4a2 + 4b2 – 8ab
c. 4a2 - 8b2 + 8ab
d. 4a2 - 8b2 - 8ab
e. 4a2 + 4b2
Es.:
l’espressione
x + xy − 2 x y
è
Es. Un quadrato ha lato a; se aumentiamo il
lato di 1, l’area del quadrato aumenta di:
a. 2a + 1
b. a +1
c. a-1
d. a2
e. 2a - 1
il
quadrato di:
a. x − y
b.
x + xy
SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI PRIMI:
RACCOGLIMENTI:
3x + 6 xy − 9 x 2 y
Es.: l’espressione
si può
Es.: l’espressione ax+ay-bx-by equivale a:
3x
a. (x+y)(a+b)
ridurre a:
b. (x-y)(a+b)
a. 1 + 6 xy − 9 x 2 y
c. (x-y)(a-b)
b. 3x + 2 y − 3xy
d. (x+y)(a-b)
c. 1 + 2 y − 3xy
e. (xy)(a+b)
d. non è semplificabile
21
SCOMPOSIZIONI CON PRODOTTI NOTEVOLI:
Es.: L’espressione a 2 + 4 ab + 4b 2 − 9 può
anche scriversi nella forma:
a. (a + 2 b )(a − 2 b ) − 9
Es.: stabilire quale delle
affermazioni è vera:
a. x2 – 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
b. x2 – 5x + 6 = (x - 3)(x + 2)
c. x2 – 5x + 6 = (x + 3)(x – 2)
d. x2 – 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)
e. x2 – 5x + 6 = (x + 1)(x - 6)
b. (a − 2 b )2 − 9
c. (a − 3 )2 + 4b(a + b )
d. (a + 2 b + 9 )(a + 2 b − 9 )
e. (a + 2 b − 3 )(a + 2 b + 3 )
Es. 148: l’espressione (2 xy − x 2 − y 2 )( y − x )
si può scrivere:
a. x3 – y3
b. y 3 x 3
Es.: Semplificare −
a.
b.
c.
d.
e.
c. − (x + y )
3
d. (x − y )
corretta
3
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE
2 a
Es.: + è uguale a:
a b
2
a.
a+b
2+a
b.
ab
2 a + ab
c.
ab
2b + a 2
d.
ab
2b + a 2
e.
a+b
34 − x4
:
x2 + 9
9–x
9 – x2
(x – 3)(x + 3)
9+x
9 + x2
b. 1
a−1
c.
1−a
1−a
d.
a−1
1+ a
e. −
1−a
xy
è uguale a:
x+y
(x + y)/(xy)
1/x + 1/y
(1/x)(1/y)
(1/x)/(1/y)
1/[(1/x)+(1/y)]
Es.: La frazione
a.
b.
c.
d.
e.
1
a
−
è uguale a:
1−a a−1
1+ a
a.
1−a
Es.:
MCD E mcm DI POLINOMI:
Es.: il MCD dei polinomi x+y e x2 – y2 è:
a. (x+y)(x-y)
b. x+y
c. 1
d. x-y
e. (x-y)2
22
seguenti
PROBLEMI CHE COINVOLGONO SCOMPOSIZIONI:
Es.: la disuguaglianza a 2 + 4b 2 ≥ 4 ab è
verificata:
a. sempre
b. mai
c. solo se a = b = 0
d. solo se a e b sono positivi
e. solo se a e b sono negativi
Es.: Sapendo che x – y = 3, quanto vale x2 +
y2?
a. 9
b. 9 +2xy
c. 9 – 2xy
d. non si può dire
e. si può dire solo se x e y sono positivi
d. 2a+1
e. a2
Suggerimento: scomporre x 2 − y 2 in
(x + y )(x − y ) = a ⋅ 1 .
Es.: nell’espressione a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 ,
sostituendo i valori a = 1/3 e b = 5/3 risulta:
a. 2
b. 3
c. 125
d. 8
e. 27
Es.: siano a, b, c tre numeri positivi. Allora:
a. a2 + b2 + c2 > (a+b+c)2
b. a2 + b2 + c2 < (a+b+c)2
c. a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2
d. a2 + b2 + c2 < (a+b)
e. non si può stabilire alcuna relazione
tra i tre numeri
Es. : x e y sono numeri naturali tali che la
loro somma dà un numero a e x è il
successivo di y. Quanto vale x 2 − y 2 ?
a. non si può determinare
b. a
c. –a
16) STATISTICA
Frequenze:
• frequenza assoluta (o frequenza): numero di volte con cui una determinata modalità
compare in una rilevazione statistica
• frequenza relativa: rapporto fra la frequenza assoluta di una certa modalità e numero di
f
individui su cui si è fatta la rilevazione: f r = a . È sempre un numero fra 0 e 1.
N
• frequenza percentuale: è il valore della fr moltiplicato per 100: p = f r ⋅ 100
Indici di posizione centrale:
somma delle modalità a 1 + a 2 + ... + a N
• Media aritmetica =
=
(se alcune modalità sono
N
N
negative, vanno prese col loro segno).
• Moda: è la modalità che si presenta con la frequenza assoluta più alta.
•
Mediana: se i valori delle modalità sono disposti in ordine crescente (i valori ripetuti vanno
presi in considerazione!), la mediana è il valore centrale, se N è dispari, o la media dei due
valori centrali, se N è pari
Scarti:
Si dicono scarti semplici (o scarti) dalla media le differenze fra le modalità e la loro media.
Si dicono scarti assoluti gli scarti semplici presi in valore assoluto.
23
Si dicono scarti quadratici gli scarti semplici elevati al quadrato.
Proprietà fondamentale degli scarti semplici: poiché gli scarti semplici possono essere sia positivi
che negativi, la somma algebrica di tutti gli scarti semplici è sempre 0.
Indici di variabilità:
• Campo di variabilità (o range): differenza fra la modalità massima e quella minima
• Scarto semplice medio: media degli scarti (presi in valore assoluto).
• Scarto quadratico medio: è la radice quadrata della media degli scarti elevati al quadrato.
Es.: la moda dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4 è:
a. 7
b. 4
c. 5
d. 3
e. non è calcolabile
Es.: la mediana dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4, 2, 2, 3, 3 è:
a. 4,5
b. 4
c. 5
d. 3
Es.: uno studente ha la media del 5,5 in 4 prove; quale voto minimo deve prendere nella verifica
successiva per assicurarsi la media del 6?
a. 6
b. 6,5
c. 7
d. 7,5
e. 8
Es.: il campo di variabilità dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4, 2, 2, 3, 3 è:
a. 8
b. 1
c. 5
d. 7
17) CALCOLO COMBINATORIO e problemi di conteggio
Dn,k = numero delle disposizioni di k elementi scelti fra n elementi: è il numero di tutti i possibili
gruppi che si possono formare con k elementi presi fra gli n (con k ≤ n ), tali che ogni gruppo è
diverso dagli altri per gli elementi contenuti o per l’ordine. Non sono ammesse ripetizioni di
elementi in un gruppo.
( 12
)(n4−4
)...
Dn , k = n
23
1n4−4
k fattori
24
D’n,k = numero delle disposizioni con ripetizione di k elementi scelti fra n elementi: è il numero di
tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi presi fra gli n, tali che ogni gruppo è
diverso dagli altri per gli elementi contenuti o per l’ordine. Sono ammesse ripetizioni di elementi
in un gruppo.
D'n , k = n k
Pn = numero delle permutazioni di n elementi distinti: è il numero di tutti i possibili gruppi che si
possono formare con n elementi, tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per l’ordine.
Pn = n(n − 1)(n − 2 )...3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
N.B.: 1! = 1, 0! = 1.
Cn,k = numero delle combinazioni di k elementi scelti fra n elementi: è il numero di tutti i possibili
gruppi che si possono formare con k elementi presi fra gli n (con k ≤ n ), tali che ogni gruppo è
diverso dagli altri per gli elementi contenuti. Non sono ammesse ripetizioni di elementi in un
gruppo. Non conta l’ordine interno degli elementi.
D
n
n!
C n ,k = n ,k =
=  
Pk
k! (n − k )!  k 
n
Il simbolo   è un sinonimo di Cn,k ed è stato introdotto da Newton nella celebre formula per lo
k
sviluppo di (a + b)n.
n
n
n
n
(a + b )n =  a n b 0 +  a n−1 b 1 +  a n−2 b 2 + ... +   a 0 b n (formula del binomio di Newton)
0
1
2
n
n
  si legge “n su k” ed è detto coefficiente binomiale.
k
Es.: Quanti sono i modi distinti di realizzare
un poker d’assi (4 assi e 1 carta diversa)
scegliendo in un mazzo di 52 carte da gioco?
a. 48
b. 13
c. 4
d. 26
corretta
cifre; per le 900 pagine dalla 100 alla 999
servono 2700 cifre (in tutto 2700 + 180 + 9 =
2889 cifre fino a pag. 999). Quindi le pagine
sono meno di 3297, ma più di 1000.
Es.: Disponendo delle cifre da 1 a 7, quanti
diversi numeri di 3 cifre si possono
comporre, accettando le ripetizioni?
a. 210
b. 350
c. 73
d. 37
e. infiniti
Es.: per numerare le pagine di un libro sono
state usate in totale 3297 cifre; le pagine del
libro sono:
a. 3297
b. meno di 100
c. meno di 1000
d. più di 3297
e. più di 1000
Suggerimento: sicuramente meno di 3297.
Per le prime nove pagine servono 9 cifre; per
le 90 pagine dalla 10 alla 99 servono 180
Es.: quanti terne non ordinate si possono
formare con le 21 lettere dell’alfabeto?
a. 2600
b. 1330
c. 63
d. 213
e. 321
25
Es.: quanti sono i termini dello sviluppo di (a
+ b)5?
a. 5
b. 25
c. 7
d. 6
e. 25
18) PROBABILITÀ
n° casi favorevoli
.
n° casi possibili
La probabilità di un evento è sempre compresa fra 0 e 1.
Due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi dell’uno impedisce il verificarsi dell’altro.
Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non altera la probabilità che si verifichi
l’altro.
Teoremi per il calcolo della probabilità di eventi composti
Col connettivo “o”:
p( AoB) = p( A) + p(B) se A, B sono incompatibili (o disgiunti)
p( AoB) = p( A) + p(B) − p( AeB) se A, B sono compatibili
Probabilità di un evento =
Col connettivo “e”:
p( AeB) = p( A) ⋅ p(B) se A, B sono indipendenti
p( AeB) = p( A) ⋅ p(B| A) se A, B sono dipendenti
dove p(B| A) è la probabilità che si verifichi B, sapendo che si è già verificato A.
Col connettivo “non”:
p(nonA) = 1 − p( A)
Es.: due dadi sono lanciati contemporaneamente. Qual è la probabilità di ottenere un punteggio
maggiore di 4?
a. 1/6
b. 5/5
c. 5/6
d. 7/6
e. 4/36
Suggerimento: considerati i 36 casi possibili, i casi favorevoli sono quelli scuri in figura:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
cioè 30 su 36. Allora la probabilità cercata è 5/6.
Es.: da un mazzo di 40 carte se ne estraggono 2; qual è la probabilità che siano due figure,
supponendo di non rimettere la prima carta estratta nel mazzo?
a. 144/1296
b. 24/130
c. 11/130
d. 144/1600
e. 9/100
26
Suggerimento: occorre calcolare p(F e F), con F = “la carta estratta è una figura”. Poiché non si
rimette la prima carta estratta nel mazzo, la composizione del mazzo risulta variata e pertanto la
probabilità del secondo evento F dipende da quanto è avvenuto nella prima estrazione; in altri
12 11
⋅
= ...
termini i due eventi F sono dipendenti. Allora p(FeF ) = p(F ) ⋅ p(F |F ) =
40 39
Es.: in un’urna ci sono 50 palline, di cui 20 rosse, 25 gialle, 5 verdi. Prendendo a caso una pallina
dall’urna, qual è la probabilità che non sia verde?
a. 5/50
b. 0
c. 1
d. 20/45
e. 9/10
5
45
=
…
Suggerimento: p(nonV ) = 1 − p(V ) = 1 −
50 50
Es.: dati tre mazzi di 40 carte ciascuno, qual è la probabilità di estrarre da ognuno di essi,
contemporaneamente, l’asso di picche o l’asso di cuori?
a. 1/40
b. 3/20
c. 1/8000
d. 1/16.000
e. 3/40
Suggerimento: sia A1 = “dal mazzo 1 esce l’asso di picche o l’asso di cuori”, e così A2 e A3.
Dobbiamo calcolare p(A1 e A2 e A3). Le tre estrazioni sono fra loro indipendenti. Dunque:
p(A1 e A2 e A3) = p(A1)p(A2)p(A3)= (1/40 + 1/40) (1/40 + 1/40) (1/40 + 1/40)=(2/40)3= 1/8000.
Es.: Luca arriva puntuale al lavoro 3 volte su 5 e, quando è in ritardo, viene scoperto dal suo
superiore 1 volta su 4. Qual è la probabilità che Luca venga colto in ritardo dal suo superiore?
a. 3/20
b. 17/20
c. 1/2
d. 1/10
e. 3/10
Suggerimento: R = “Luca arriva in ritardo” e S = “Luca è visto dal suo superiore”. Interessa calcolare
3 1
p(R e S)=p(R)p(S|R)= ⋅ …
5 4
Es.: una moneta è lanciata 5 volte. Qual è la probabilità di ottenere 3 croci e due teste, sapendo
che la prima volta si è ottenuto croce?
a. 1/16
b. 1/8
c. 3/16
d. 5/16
e. 3/8
Suggerimento: poiché la prima volta è uscito croce, occorre che ora escano 2 croci e 2 teste: p(C e C
e T e T)=p(C)p(C)p(T)p(T)=(1/2)4=1/16. Ma le due croci e le due teste non necessariamente devono
uscire nell’ordine CCTT; potrebbe essere anche che escano nell’ordine CTCT o CTTC o TTCC o TCCT o
TCTC. In tutto in 6 possibili ordini. Quindi la probabilità richiesta è 6/16.
27
Es.: supponiamo di avere 2 urne di cui la prima contiene 3 palline rosse e 3 nere, la seconda 5
rosse e 6 nere. Scegliamo a caso un’urna ed estraiamo una pallina; la probabilità che la pallina
estratta sia rossa vale:
a. 8/17
b. 3/6
c. 5/11
d. 21/44
e. 23/44
Suggerimento: p(Rossa) = p[(U1 e Rossa) o (U2 e rossa)] = p(U1 e Rossa) + p(U2 e Rossa) =
1 3 1 5 1 5
⋅ + ⋅
= +
= ...
2 6 2 11 4 22
Es.: si hanno due dadi con le facce di colori diversi. Ciascun dado ha 3 facce azzurre, 2 marroni e
1 verde. La probabilità che dopo un lancio simultaneo dei due dadi si ottengano facce dello
stesso colore è:
a. 7/18
b. 6/36
c. 1/4
d. 1/9
e. 1/36
Suggerimento: p[(A e A) o (M e M) o (V e V)]= p(A e A) + p(M e M) + p(V e V) = p(A)p(A)+ p(M)p(M)+
p(V)p(V)=(3/6)2+(2/6)2+(1/6)2
Es.: in una popolazione la probabilità di essere pittore è 0,03. La probabilità di essere musicista è
0,05. La probabilità di essere pittore e musicista è 0,01. Qual è la probabilità che un individuo
preso a caso sia pittore e/o musicista?
a. 7%
b. 70%
c. 8%
d. 80%
e. quesito senza soluzione univoca o corretta
Suggerimento: essere pittore ed essere musicista sono eventi compatibili; quindi p(P o M) = p(P) +
p(M) – p(P e M) =…
19) Equazioni di 1° grado e sistemi di equazioni 1° grado; disequazioni di 1° grado
Ogni equazione di 1° grado è riconducibile alla forma A ⋅ x = B . Essa ha un’unica soluzione (si dice
che l’equazione è determinata) se A ≠ 0. Se A = 0 e B = 0, l’equazione ha infinite soluzioni (è
indeterminata); Se A = 0 e B ≠ 0, l’equazione non ha soluzioni (è impossibile).
Due equazioni, qualunque sia il loro grado, si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Dato il sistema di equazioni:
ax + by = c
a' x + b' y = c'

esso è
a b c
indeterminato se = =
a' b' c'
28
a b c
= ≠
a' b' c'
a b
determinato se ≠
a' b'
impossibile se
Disequazioni di 1° grado intere: valgono i metodi usati per le equazioni di 1° grado, ma attenzione:
quando si moltiplicano/dividono entrambi i membri per un numero negativo, va invertito il verso
della disuguaglianza ( > diventa < e viceversa).
a
Es.: il rettangolo della figura ha dimensioni a e b, con a>b. Quanto
deve valere x perché l’area del parallelogramma ombreggiato sia
uguale all’area della rimanente parte?
a+b
a.
2
b. b/2
c. 2a/b
d. ab/2
e. a/2
b
x
Suggerimento: occorre che l’area del parallelogrammo, cioè x ⋅ b sia uguale a metà dell’area del
ab
ab
rettangolo, cioè a
: bx =
, quindi x =…
2
2
Es.: Date le equazioni I) x 2 = 4 , II) x = 2 , III) 2 x = 4 , sono equivalenti:
a. I e II
b. I e III
c. II e III
d. Nessuna
e. Tutte
Es.: il sistema di equazioni y = 4x + 8 e 2 x −
1
y = −4 :
2
a. è impossibile
b. è indeterminato
c. ha la sola soluzione (1, 12)
d. ha la sola soluzione (0, 8)
e. ha la sola soluzione (2, 16)
Suggerimento: le due equazioni si possono portare nella forma canonica: 4x − y = −8 e
1
a b c
2 x − y = −4 . Pertanto si vede che = = ; il sistema è quindi…
2
a' b' c'
Es.: le soluzioni della disequazione (x + 1)(x + 2 ) < (x + 3 )(x + 4 ) sono:
a. x<-3
b. x>-3
c. x>-5/2
d. x<-5/2
e. -3<x<5/2
29
20) EQUAZIONI di 2° GRADO
Un’equazione di 2° grado si presenta nella forma canonica:
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
Può capitare che b o c o entrambi valgano zero; l’equazione può assumere allora le seguenti
forme:
• se b = 0: ax 2 + c = 0 (l’equazione si dice pura e ha due soluzioni opposte se a e c sono
c
discordi, cioè x1, 2 = ± − ; non ha invece alcuna soluzione reale, ma due soluzioni
a
immaginarie se a e c sono concordi);
• se c = 0 : ax 2 + bx = 0 (l’equazione si dice spuria e ha sempre due soluzioni reali: x1 = 0
b
e x2 = − )
a
• se b = 0 e c = 0 : ax 2 = 0 (l’equazione si dice monomia e ha come unica soluzione x = 0)
Se l’equazione invece è completa, può essere risolta, oltre che tramite la scomposizione del
trinomio (quadrato di binomio oppure trinomio particolare di 2° grado da scomporre con somma e
prodotto), mediante la formula risolutiva:
−b± ∆
x1, 2 =
,
2a
dove ∆ = b 2 − 4 ac è detto discriminante dell’equazione, perché a seconda del suo segno cambia
il comportamento dell’equazione per quanto riguarda le soluzioni (o radici):
• se ∆ > 0 , l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte: x1 e x 2
• se ∆ = 0 , l’equazione ha 2 soluzioni reali e coincidenti: x1 = x 2
• se ∆ < 0 , l’equazione non ha soluzioni reali, ma ha due soluzioni complesse e coniugate
x1 e x 2 (un numero si dice complesso se è della forma a + ib , dove a e b sono numeri reali
ed i = − 1 è detto unità immaginaria; due numeri complessi della forma a + ib e a − ib ,
che differiscono solo per il segno della parte immaginaria, sono detti coniugati).
N.B. se b è un numero pari, si può utilizzare la cosiddetta formula risolutiva ridotta, ottenuta
dividendo per 2 il numeratore ed il denominatore della formula precedente:
b
∆
− ±
4
x1, 2 = 2
a
2
∆ b
(con =   − ac ).
4 2
Es.: le soluzioni di
a.
b.
c.
d.
e.
4−x
1
+
= 1 sono:
2
x −9 x−3
±2
±3
±4
±5
non esistono
30
Es.: la disequazione
a.
b.
c.
d.
e.
4 − x2
≤0:
x
è verificata per -2<x<+2
è verificata per -2<x<0 o 0<x<+2
è verificata per x = ±2
è verificata per ogni x≠0
è verificata per x<-2 o x>+2
− x 2 + 20
= 2:
−x
è impossibile
è indeterminata
ammette come soluzioni x = ±2
ammette come soluzione solo x = -2
Es.: l’equazione
a.
b.
c.
d.
x 2 − 20
=2
x
Suggerimento: poiché il numeratore del 1° membro è positivo (una radice quadrata è sempre
positiva!) ed è positivo pure il secondo membro, perché l’uguaglianza fra i due membri sia
possibile, è necessario che il denominatore –x sia pure positivo e quindi x deve essere negativa.
Provando a sostituire -2 nell’equazione, l’uguaglianza è verificata, quindi la risposta giusta deve
essere d.
4
64
Es.: se x + = 4 , quanto vale x 3 + 3 ?
x
x
a. 14
b. 16
c. 65
d. 18
e. 45
e. è equivalente a
2
2
Es.: il sistema 9 x − 24 xy + 16 y = 0 :
3x = 4 y + 2
a. ha infinite soluzioni
b. ha due soluzioni distinte
c. non ha soluzioni
d. ha due soluzioni coincidenti
e. ha una sola soluzione
Suggerimento: dalla seconda equazione si ha 3x – 4y = 2, mentre dalla prima (3x – 4y)2=0, e quindi
3x – 4y = 0. Data l’incompatibilità delle due equazioni, il sistema è impossibile.
Es.: un numero intero è tale che il suo quadrato supera di 12 il numero stesso. Esso vale:
a. 4
b. -3
c. 4 o -3
d. non esiste un numero siffatto
e. nessuna delle altre risposte
31
Es.: l’equazione (3x − 2 )2 = − a + 1 :
a. non ha soluzioni per ogni valore di a
b. ha soluzioni se e solo se a > 1
c. ha soluzioni se e solo se a < 1
d. ha soluzioni se e solo se a ≥ 1
e. nessuna affermazione è vera
Es.: l’equazione Ax 2 + 2 Bx + C = 0 in uno dei seguenti casi ha sicuramente soluzioni nel campo
reale. In quale caso?
a. A>0, B = 0, C<0
b. A<0, B = 0, C<0
c. A>0, B = 0, C>0
d. A>0, B>0, C>0
e. A>0, B<0, C>0
Es.: qual è il valore di m tale che nell’equazione x 2 + mx − 2 = 0 le due soluzioni siano reali e
coincidenti?
a. -3
b. 3
c. 0
d. non esiste
e. 1
Suggerimento: è necessario che ∆ = 0 , cioè m 2 + 8 = 0 ; ma ciò è impossibile, perché la somma di
due numeri positivi non può dare 0. Quindi non esiste alcun m tale che sia soddisfatta la richiesta
del problema.
Osservazioni importanti:
1) nel caso in cui l’equazione ammetta due soluzioni reali, è possibile trovare i valori della loro
somma e del loro prodotto, senza risolvere l’equazione; infatti:
b
s = x1 + x 2 = −
a
c
p = x1 ⋅ x 2 =
a
Es.: qual è il valore di m tale che nell’equazione x 2 + mx − 2 = 0 la somma delle soluzioni valga
3?
a. -3
b. -2
c. 2
d. 3
e. non esiste
b
m
Suggerimento: sappiamo che la somma delle soluzioni è s = x1 + x 2 = − = − = −m . Poiché
a
1
deve essere s = 3, allora sarà –m = 3, cioè m = -3.
32
Es.: se l’equazione x 2 + mx + n = 0 ha come radici 1 e 5, quanto vale il suo discriminante?
a. 10
b. 12
c. 25
d. 16
e. 36
Suggerimento: se le soluzioni sono 1 e 5, allora s = 6 e p = 5. Ma dalla teoria appena vista,
b
c n
m
s = − = − = −m e p = = = n . Quindi, confrontando le equazioni, si ha che –m = 6 (cioè m =
a
1
a 1
-6) e n = 5. L’equazione assume allora la forma x 2 − 6x + 5 = 0 ed il suo ∆ = 36 − 20 = 16 .
2) Regola di Cartesio per la determinazione dei segni delle soluzioni x1 e x 2 :
data l’equazione di 2° grado ax 2 + bx + c = 0 , si guardano nell’ordine i segni di a, b, c: ciò che
interessa è vedere se nel passare da a a b c’è una variazione o una permanenza di segno (il
segno cambia o no?) e così anche nel passare da b a c. Ad ogni variazione corrisponde una
soluzione positiva; ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa.
Esempio:
x 2 + 7 x − 1 = 0 . I segni di a, b, c sono: +, +, -. Dal primo al secondo c’è una permanenza; dal
secondo al terzo c’è una variazione. Allora l’equazione avrà una soluzione negativa e una
positiva.
− 3x 2 + 6x − 1 = 0 . I segni di a, b, c sono: -, +, -. Dal primo al secondo c’è una variazione; dal
secondo al terzo c’è una variazione. Allora l’equazione avrà due soluzioni positive.
N.B.: la regola ha senso solo se l’equazione ha due soluzioni reali: controllare prima che il  sia
positivo.
x+y =a
Es.: il sistema xy = 1 con a numero reale:

a. ha soluzione per ogni valore di a
b. ha due soluzioni per ogni valore di a
c. ha soluzioni solo se a è positivo
d. ha soluzioni solo se a è negativo
e. ha due soluzioni distinte se a>2 o a<-2
Suggerimento: o si risolve graficamente (iperbole, retta) o algebricamente con sostituzione; si
arriva all’equazione x 2 − ax + 1 = 0 , il cui ∆ vale a2 – 4. Si vede che esso è positivo, e quindi
garantisce due soluzioni distinte, solo se a è esterno a ±2.
Es.: se l’equazione x 2 − kx + 4 = 0 ha una soluzione uguale a 3, quanto vale l’altra?
a. 3
b. 3/4
c. 4/3
d. 2
e. 5
33
Suggerimento: poiché il prodotto delle due soluzioni vale x 1 ⋅ x 2 =
c
= 4 e x 1 = 3 , allora 3x 2 = 4 ;
a
4
3
Es.: l’equazione 3x 6 = 192 è verificata:
a. mai
b. per x = 2
c. per x = -2
d. per x = ±2
e. per x = 3
perciò, x 2 =
Es.: le soluzioni di x 3 + x 2 − 4 x − 4 = 0 :
a. sono 2, 1, 2
b. sono -2, -1, -2
c. sono 1 (doppia) e -2
d. sono -2, -1, +2
e. non esistono
Es.: il polinomio ax 4 + 5x 2 − 1 = 0 con a numero reale:
a. è irriducibile per ogni valore di a
b. ha come zero x = 1 in corrispondenza di un valore di a positivo
c. ha come zero x = -1 in corrispondenza di a = -4
d. ha come zero x = 2 in corrispondenza di a = -4
e. si scompone in (x 2 − 1)(ax 2 − 5 ) per ogni valore di a
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO:
Per risolvere disequazioni del tipo ax 2 + bx + c > 0 ( <, ≥, ≤):
trovare il ∆ dell’equazione di 2° grado associata alla disequazione; successivamente, se:
∆>0
∆<0
∆=0
Le soluzioni della
Il trinomio è riconducibile ad
• trovare x1 e x2.
disequazione saranno tutti un quadrato di binomio e
Le soluzioni della
i reali (R) o l’insieme vuoto quindi è sicuramente un
disequazione saranno i
numero non negativo (cioè è
(∅) secondo la regola del
valori interni o esterni ad
nullo o positivo). Si presentano
x1 e x2, secondo la regola
CReD∅:
allora 4 possibili casi:
del DICE:
Concordi
Discordi
R
1) a(x − n )2 > 0
Interne
Discordi
S = R- {n}
Concordi
∅
2) a(x − n )2 ≥ 0
Esterne
S=R
Cioè se il segno di a e il
3) a(x − n )2 < 0
segno del trinomio (>0, <0)
S=∅
sono discordi, allora le
4) a(x − n )2 ≤ 0
soluzioni saranno interne
S = {n}
ad x1 e x2, cioè
x 1 < x < x 2 ; viceversa,
saranno esterne, cioè
x < x1 ∨ x > x2
34
Se nella disequazione
compaiono ≤ o ≥, anche
nelle soluzioni si
aggiungono i segni di
uguaglianza:
x1 ≤ x ≤ x2
x ≤ x1 ∨ x ≥ x2
NB: questo è uno dei possibili metodi; è possibile anche usare un metodo grafico, che fa
riferimento alla parabola.
NB: il calcolo del ∆ è inutile quando si vedono a occhio i valori di x1 ed x2: già il fatto che vi siano
due soluzioni distinte significa che ∆>0 e quindi si utilizza la regola del DICE.
NB: sono frequenti disequazioni del tipo x2 + 1>0, in cui la somma dei termini nel primo membro è
palesemente un numero positivo, qualunque sia il valore di x. Pertanto le soluzioni sono tutti i
reali, senza fare alcun calcolo.
Es.: la disequazione (x + 3 )(x − 4 ) ≤ 0 è soddisfatta per:
a. x ≥ -3
b. x ≤ 4
c. -3 ≤ x ≤ 4
d. x ≤ -3 o x ≥ 4
e. x ≤ 12
Es.: la disequazione x 2 < −4 è verificata per:
a. ogni valore reale di x
b. nessun valore reale di x
c. tutti i valori compresi nell’intervallo (-2;+2)
d. tutti i valori esterni all’intervallo (-2;+2)
e. x<-2
Es.: la disequazione x 2 − 5x + 6 > 0 è verificata per:
a. ogni x reale
b. x>3
c. x<2
d. 2<x<3
e. x<2 o x>3
Es.: la doppia disequazione 4 < x 2 < 9 è verificata per:
a. -3<x<-2
b. 2<x<3
c. -3<x<-2 o 2<x<3
d. -2<x<3
e. -3<x<2
35
Es.: le soluzioni della disequazione x2>0 sono:
a. ogni x reale
b. x>0
c. x>±0
d. x≠0
e. x<0
x−3
≤ 0 è verificata per:
(x − 2 )(x + 1)
x < -1 o 2 < x ≤ 3
x ≤ -1 o 2 < x ≤ 3
2<x<3
-1 < x < 2 o x ≥ 3
-1 < x < 3 e x ≠ 2
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
9 − x2
≥ 0 è verificata per:
1 + x2
x<-3 o x>3
-3<x<3
−3≤x ≤3
x ≤ −3 ∨ x ≥ 3
mai
Es.: la disequazione (x 2 − 6 )(4 − x 2 ) < 0 è verificata per:
a. x < − 6 ∨ −2 < x < 2 ∨ x > 6
b. x < − 6 ∨ x > 6
c. − 2 < x < 2
d. nessun valore reale di x
e. ogni valore reale di x
x 2 − 6 > 0
è verificato per:
Es.: il sistema di disequazioni 
2
4 − x > 0
a. x < − 6 ∨ −2 < x < 2 ∨ x > 6
b. x < − 6 ∨ x > 6
c. − 2 < x < 2
d. nessun valore reale di x
e. ogni valore reale di x
36
21) GEOMETRIA ANALITICA
Il piano cartesiano
Es.: il punto P(k, k2+5) appartiene:
a. all’asse delle ascisse per k = 0;
b. al semipiano positivo delle x per ogni
valore di k;
c. al primo quadrante per ogni valore di
k;
d. al semipiano positivo delle y solo se k
è positivo
e. al semipiano positivo delle y per ogni
valore di k.
a.
b.
c.
d.
e.
(11/2;6)
(5/2; 8)
(-5/2; -8)
(17/2; 3)
(1/2, 5/2)
Es.: la distanza fra i punti P(2,0) e Q(0,7) è:
a. 9
b. 5
c.
53
d. 3
45
e.
Es.: le coordinate del punto medio del
segmento di estremi (3,-2) e (8,14) sono:
37
LA RETTA nel piano cartesiano
38
Inoltre: il coefficiente angolare m di una retta è uguale alla tangente goniometrica dell’angolo α
che la retta forma col semiasse positivo delle ascisse: m = tan α .
39
Es.: per quale valore del parametro k le rette y = −3x − 3 e
a.
b.
c.
d.
e.
2
x + y − 4 = 0 sono perpendicolari?
k
6
-6
3
1/3
-1/6
Es.: l’equazione y − mx + 2m − 3 = 0 , al variare di m in R:
a. rappresenta tutte le rette del piano passanti per (2,3)
b. non rappresenta alcuna retta parallela all’asse delle ascisse
c. non rappresenta alcuna retta passante per il punto (0,5)
d. rappresenta tutte le rette del piano passanti per (2,3), eccetto due
e. rappresenta tutte le rette del piano passanti per (2,3), eccetto quella verticale
Es.: Per quale valore di k la retta di equazione 3x − 6 y + 20 = 0 appartiene al fascio proprio
1
y = x+k?
2
a. 3/10
b. -3/10
c. 10/3
d. -10/3
e. 6
Es.: l’equazione della retta che passa per (3,4) e (7,16) è:
a. y = 3x+5
b. y=3x-5
c. y=-3x+5
d. y=-3x-5
e. la retta non è unica
Es.: Dal grafico si deduce che nell’equazione y = mx+q della retta:
a. m>0, q>0
b. m>0, q<0
c. m<0, q>0
d. m<0, q<0
e. non si possono dedurre informazioni su m e q
Es.: quale coppia di condizioni deve essere verificata affinché il grafico di y = mx+q non passi per
il 3° quadrante?
a. m>0, q>0
b. m>0, q<0
c. m<0, q>0
d. m<0, q<0
e. richiesta impossibile da soddisfare
40
Es.: la retta per (0,2) e che forma un angolo di 60° con il semiasse positivo delle x ha equazione:
a. y = 3x
b. y = 3x + 2
c. y = x + 2
3
x+2
3
e. y = −x + 2
d. y =
1
Es.: l’equazione della retta per (2,5) e perpendicolare a y = − x + 2 è:
3
a. y=3x-1
b. y=-3x+1
c. y=-3x-1
1
d. y = − x − 1
3
1
e. y = − x + 1
3
Es.: quale dei seguenti punti appartiene alla retta y = 3x -6?
a. (2; 3)
b. (4; 6)
c. (1; 3)
d. (0; 6)
e. (-1; 9)
LUOGO GEOMETRICO
Si dice luogo geometrico di punti del piano l’insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano
una certa proprietà.
LA CIRCONFERENZA
È il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto C, detto centro. La distanza fra il
centro ed ognuno dei punti della circonferenza è detta raggio.
Note le coordinate del centro () e la misura r del raggio, l’equazione della crf. è:
( x − α )2 + ( y − β )2
= r2
Sviluppando i quadrati, e ponendo − 2α = a , − 2 β = b , α 2 + β 2 − r 2 = c , si ha:
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 ,
detta equazione canonica.
Si nota che:
1) nell’equazione canonica della crf. sia x che y compaiono con esponente 2; cioè è
un’equazione di secondo grado sia in x che in y
2) i termini di secondo grado (x2 e y2) hanno i coefficienti uguali (entrambi = +1)
3) manca il termine rettangolare (cioè quello con parte letterale xy).
Viceversa:
41
nota l’equazione canonica della circonferenza x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 ,
 a b
il centro ha coordinate C  − ;− 
 2 2
il raggio vale r = α 2 + β 2 − c .
N.B.1: Le formule qui sopra valgono solo se x2 e y2 hanno coefficienti = +1; se i coefficienti sono
uguali fra loro, ma diversi da +1, è necessario, prima di applicare le formule per trovare centro e
raggio, dividere tutti i termini dell’equazione per quel coefficiente.
N.B.2: affinché il raggio sia un numero reale, occorre che l’espressione sotto radice, α 2 + β 2 − c
sia un numero > 0 . Quindi, data l’equazione x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 , per essere sicuri che essa
rappresenti una circonferenza, occorre verificare, oltre alle tre condizioni riportate sopra, anche
che α 2 + β 2 − c > 0 . Se ciò non accade, l’equazione data non rappresenta una circonferenza,
perché non ha punti reali, ma solo immaginari.
Se a = 0, il centro appartiene all’asse y
Se b = 0, il centro appartiene all’asse x
Se c = 0, la crf. passa per l’origine degli assi.
Sia d la distanza fra il centro C ed una retta r.
o Se d < r, la retta è secante la circonferenza
o Se d = r, la retta è tangente alla circonferenza
o Se d > r, la retta è esterna alla circonferenza.
LA PARABOLA
È il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto
(fuoco). La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della
parabola. L’asse interseca la parabola in un punto, detto vertice.
Una parabola con asse parallelo all’asse y ha equazione canonica:
y = ax 2 + bx + c (con a ≠ 0 )
asse
Se a > 0, la parabola ha concavità verso l’alto
Se a < 0, la parabola ha concavità verso il basso
Se |a| “grande” la parabola è “chiusa”
Se |a| “vicino” a 0, la parabola è “aperta”.
Se b = 0, la parabola ha il vertice sull’asse delle y
1
F
4a
1
V
4a
Se c = 0, la parabola interseca l’asse delle y nell’origine (altrimenti
nel punto di ordinata c).
Nota l’equazione canonica della parabola, possiamo determinare tutti i suoi elementi:
42
direttrice
vertice
asse
fuoco
direttrice
∆
 b
V  − ;− 
 2a 4a 
b
x=−
2a
1 
 b
F  − ; yV +

4a 
 2a
1
y = yV −
4a
Una parabola con asse parallelo all’asse x ha equazione canonica:
x = ay 2 + by + c (con a ≠ 0 )
Se a > 0, la parabola ha concavità verso destra
Se a < 0, la parabola ha concavità verso sinistra
Se |a| “grande” la parabola è “chiusa”
Se |a| “vicino” a 0, la parabola è “aperta”.
Se b = 0, la parabola ha il vertice sull’asse delle x
Se c = 0, la parabola interseca l’asse delle x nell’origine (altrimenti nel punto di ascissa c).
Nota l’equazione canonica della parabola, possiamo determinare tutti i suoi elementi:
b 
 ∆
vertice
V  − ;− 
 4a 2a 
b
asse
y=−
2a
1
b 

fuoco
F  xV +
;− 
4a 2 a 

1
direttrice
x = xV −
4a
Data una parabola y = ax 2 + bx + c e una retta y = mx + q , si possono trovare le
intersezioni fra le due curve risolvendo il sistema delle loro equazioni:
 y = ax 2 + bx + c

 y = mx + q
Dopo la sostituzione si ottiene un’equazione di secondo grado in x;
o Se  > 0, ci sono due intersezioni distinte e quindi parabola e retta sono secanti
o Se  = 0, ci sono due intersezioni coincidenti e quindi parabola e retta sono tangenti
o Se  < 0, non ci sono intersezioni e quindi parabola e retta sono esterne
43
L’ELLISSE
È il luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la somma delle distanze da due punti
fissi F1 e F2 detti fuochi.
Le 4 intersezioni fra ellisse ed assi cartesiani sono dette vertici; i segmenti che congiungono due
vertici opposti sono detti assi; i segmenti condotti dall’origine O fino ad uno qualunque dei vertici
sono detti semiassi.
Se i due assi sono uguali, allora l’ellisse è una circonferenza con centro nell’origine e raggio il
semiasse.
In generale, nell’ellisse i due assi sono diversi: sull’asse maggiore giacciono i fuochi.
CASO 1
CASO 2
B1
B1
F1
A1
F1
F2
A2
A1
A2
F2
B2
B2
Tutte le ellissi che noi utilizzeremo hanno come assi di simmetria l’asse x e l’asse y; come centro di
simmetria l’origine O del piano cartesiano.
Il rapporto fra la semidistanza focale ed il semiasse maggiore è detta eccentricità dell’ellisse:
semidistanza focale
e=
semiasse maggiore
Tale numero e è tale che, nel caso dell’ellisse:
0 ≤ e <1
Se e = 0, l’ellisse non è eccentrica, cioè è una circonferenza.
Quanto più e è prossima ad 1, tanto più è spiccata la differenza fra gli assi.
L’equazione canonica dell’ellisse, quando il centro dell’ellisse è nell’origine del piano cartesiano, è:
x2 y2
+
=1
a2 b2
In essa i termini in x e y compaiono entrambi con esponente 2 e con segni positivi (come nella
circonferenza), ma i coefficienti di questi termini sono in generale due numeri diversi (se sono
uguali si ricade nel caso della circonferenza)
I vertici dell’ellisse si trovano mettendo in sistema l’equazione
x2 y2
+
= 1 con le equazioni degli
a2 b2
assi cartesiani; si trova: A1, 2 = (± a,0) e B1, 2 = (0,±b) . Inoltre:
CASO 1
(a > b)
L’asse maggiore è quello orizzontale, lungo 2a
CASO 2
( b > a)
L’asse maggiore è quello verticale, lungo 2b
44
F1, 2 ∈ asse x ; F1, 2 = (± c,0 ) con c 2 = a 2 − b 2
e=
c
a
F1, 2 ∈ asse y ; F1, 2 = (0,± c ) con c 2 = b 2 − a 2
e=
c
b
L’IPERBOLE
È il luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la differenza delle distanze da due
punti fissi F1 e F2 detti fuochi.
Le 4 intersezioni fra iperbole ed assi cartesiani (due di esse sono immaginarie) sono dette vertici; i
segmenti che congiungono due vertici opposti sono detti assi (l’asse che congiunge i due vertici
reali è detto asse trasverso; quello che congiunge i due vertici non reali è detto asse non
trasverso); i segmenti condotti dall’origine O fino ad uno qualunque dei vertici sono detti semiassi.
Se i due assi sono uguali, allora l’iperbole è detta iperbole equilatera.
Sull’asse trasverso giacciono i fuochi.
L’iperbole non è una curva chiusa ed è costituita da due rami distinti. Allontanandosi dall’origine,
entrambi i rami si avvicinano sempre più a due rette, dette asintoti obliqui.
CASO 1
CASO 2
B1
F1
B1
F1
A1
A2
A1
F2
B2
F2
A2
B2
Tutte le iperboli che noi utilizzeremo hanno come assi di simmetria l’asse x e l’asse y; come centro
di simmetria l’origine O del piano cartesiano.
Il rapporto fra la semidistanza focale ed il semiasse trasverso è detta eccentricità dell’iperbole:
semidistanza focale
e=
semiasse trasverso
Tale numero e è tale che, nel caso dell’iperbole:
e >1
L’equazione canonica dell’iperbole, quando il centro è nell’origine del piano cartesiano, è:
x2 y2
−
= ±1
a2 b2
In essa i termini in x e y compaiono entrambi con esponente 2 e con segni discordi. Il secondo
membro è sempre ± 1 .
b
Gli asintoti obliqui sono due rette passanti per l’origine degli assi, di equazioni y = ± x
a
CASO 1
CASO 2
45
x2 y2
−
= +1
a2 b2
Vertici reali A1, 2 = (± a,0)
x2 y2
−
= −1
a2 b2
Vertici non reali A1, 2 = (± a,0)
Vertici non reali B1, 2 = (0,±b)
Vertici reali B1, 2 = (0,±b)
L’asse trasverso è quello orizzontale, lungo 2a
F1, 2 ∈ asse x ; F1, 2 = (± c,0 ) con c 2 = a 2 + b 2
L’asse trasverso è quello verticale, lungo 2b
F1, 2 ∈ asse y ; F1, 2 = (0,± c ) con c 2 = a 2 + b 2
e=
c
a
e=
c
b
Iperbole equilatera riferita agli assi
Se a = b l’iperbole viene detta equilatera: i suoi due asintoti diventano fra loro perpendicolari
(sono le bisettrici dei quadranti y = ± x )
CASO 1
CASO 2
x2 y2
−
= +1 o x 2 − y 2 = a 2
a2 a2
Vertici reali A1, 2 = (± a,0)
x2 y2
−
= −1 o x 2 − y 2 = − a 2
a2 a2
Vertici non reali A1, 2 = (± a,0)
Vertici non reali B1, 2 = (0,± a )
Vertici reali B1, 2 = (0,± a )
L’asse trasverso è quello orizzontale, lungo 2a
F1, 2 ∈ asse x ; F1, 2 = (± c,0 ) con c 2 = 2a 2
L’asse trasverso è quello verticale, lungo 2a
F1, 2 ∈ asse y ; F1, 2 = (0,± c ) con c 2 = 2a 2
e=
c a 2
=
= 2
a
a
e=
c a 2
=
= 2
a
a
Iperbole equilatera riferita agli asintoti
Ruotando di 45° l’iperbole equilatera del caso precedente, i suoi asintoti diventano gli assi del
sistema di riferimento. L’equazione della nuova iperbole è:
x⋅ y = k
o
k
y=
x
Se k > 0, l’iperbole occupa il 1° e 3° quadrante.
Se k < 0, l’iperbole occupa il 2° e 4° quadrante.
Iperbole omografica
Se si trasla l’iperbole del caso precedente, i suoi asintoti si muovono e diventano rette parallele
agli assi cartesiani. L’equazione di tale iperbole è:
ax + b
con c ≠ 0 e ad − bc ≠ 0
y=
cx + d
46
Le equazioni dei suoi asintoti sono le seguenti:
d
Asintoto verticale: x = − (zero del denominatore)
c
a
Asintoto orizzontale: y = (rapporto tra i coefficienti di x)
c
Il centro dell’iperbole sarà quindi il punto:
 d a
C = − ; 
 c c
Es.: stabilire la natura della conica di equazione: x 2 = 4 + 2 y 2 . Si tratta di:
a. una circonferenza
b. una parabola
c. un’ellisse
d. un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti
e. un’iperbole riferita ai propri assi
Es.: la conica di equazione kx 2 + y 2 + x + y − 2 = 0 rappresenta rispettivamente una
circonferenza ed una parabola se:
a. k = 1; k = -1
b. k = 0; k = 1
c. k = 1, k = 0
d. k = -1; k = 1
e. k = -1; k = 0
Es.: la parabola di equazione y = 2 x 2 − 2 :
(
a. ha il vertice nel punto − 2 ;0
b.
c.
d.
e.
(
)
)
ha il fuoco nel punto 0 ;− 2
ha come asse di simmetria l’asse delle ascisse
ha come asse di simmetria l’asse delle ordinate
non interseca l’asse delle ascisse
Es.: la curva di equazione x − y 2 + 4 = 0 :
a. è una circonferenza con centro in (-1/2; 0)
b. interseca la retta x = -8 in due punti
c. non interseca la curva x 2 + y 2 = 16
d. è una parabola con il vertice nel punto (0; -4)
e. è una parabola con il vertice nel punto (-4; 0)
Es.: Se il fuoco di una parabola ha coordinate (0, 6) e la direttrice ha equazione y = 2, la parabola:
a. passa per O(0, 0)
b. ha asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse
c. ha il vertice nel punto (0; 1)
d. non interseca l’asse delle ascisse
e. non interseca l’asse delle ordinate
47
Es.: il luogo dei punti del piano equidistanti da una retta e da un punto fissati è una:
a. circonferenza
b. ellisse
c. iperbole
d. parabola
x+y =a
Es.: il sistema xy = 4 con a numero reale:

a. non ha soluzione per ogni valore di a
b. ha due soluzioni per ogni valore di a
c. ha soluzioni solo se a è positivo
d. ha soluzioni solo se a è negativo
e. ha due soluzioni coincidenti se a = ±4.
Suggerimento: le due curve sono una retta parallela alla bisettrice del 2° - 4° quadrante ed
un’iperbole equilatera riferita agli asintoti, con vertici di coordinate (2;2) e (-2;-2). Perché vi siano
due intersezioni coincidenti fra retta e iperbole, occorre che la retta passi per i vertici dell’iperbole e
questo accade solo se a = ±4.
2
2
Es.: il sistema x + y + a = 0 , con a e b reali:
x − y = b
a. ha sempre due soluzioni
b. ha infinite soluzioni per ogni valore di a e di b
c. ha soluzioni solo se a e b sono positivi
d. ha soluzioni solo se a e b sono negativi
e. può avere soluzioni solo se a è negativo
Suggerimento: la prima equazione è una circonferenza con punti reali solo se a è negativo (in caso
contrario sarebbe fatta da punti immaginari ed il sistema non avrebbe soluzioni). Ammesso questo,
non è detto che la retta intersechi necessariamente la circonferenza: quindi il sistema può avere
soluzioni (non è detto che le abbia) se a è negativo.
Es.: la circonferenza di equazione 2 x 2 + 2 y 2 + 3x + 4 y = 0 ha:
a. centro (3/2, 2) e raggio 5/2
b. centro (-3/2, -2) e raggio 5/2
c. centro (3/4, 1) e raggio 5/4
d. centro (-3/4, -1) e raggio 5/2
e. centro (-3/4, -1) e raggio 5/4
Es.: la circonferenza di centro (2,5) e raggio 3 ha equazione:
a. (x + 2 )2 + (y + 5 )2 = 9
b. (x + 2 )2 − (y + 5 )2 = 9
c. (x − 2 )2 + (y − 5 )2 = 3
d. x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 20 = 0
e. x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 26 = 0
48
Es.: l’equazione (x − 1)2 + (y − 2 )2 = − k rappresenta una:
a. circonferenza per k>0
b. parabola per k<0
c. circonferenza per ogni valore di k
d. circonferenza tangente all’asse x per k = -4
e. circonferenza tangente all’asse x per ogni valore di k
22) FUNZIONI (1ª parte)
Una funzione è una relazione fra due insiemi A e B, che associa ad ogni elemento di A uno ed un
solo elemento di B. Se A = B = R, la funzione si dice reale di variabile reale. L’elemento y del
secondo insieme corrispondente ad un elemento x del primo insieme, si dice immagine di x e si
scrive y = f(x) per indicare che y è l’immagine di x. y è detta variabile dipendente, mentre x è la
variabile indipendente.
Una funzione si dice lineare se y = ax +b, con a, b numeri reali fissati.
Il campo di esistenza (C.E.) di una funzione è l’insieme degli elementi di R che posseggono
l’immagine in R, cioè l’insieme di quei numeri reali x in corrispondenza dei quali è possibile
determinare la y.
Definizioni:
• una funzione si dice fratta quando la variabile indipendente x compare nel denominatore
di qualche frazione; viceversa, si dice intera.
• una funzione si dice positiva quando f(x) > 0, cioè in quegli intervalli dell’asse delle x nei
quali la funzione ha punti al di sopra dell’asse x.
• una funzione si dice negativa quando f(x) < 0, cioè in quegli intervalli dell’asse delle x nei
quali la funzione ha punti al di sotto dell’asse x.
• una funzione si dice pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle y, cioè se f(x) = f (x) per ogni x del C.E.
• una funzione si dice dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine O, cioè se f(x) = - f (x) per ogni x del C.E.
• una funzione si dice crescente in un intervallo I dell’asse x, se per ogni x1, x2 appartenenti
ad I, con x1<x2, allora f(x1)<f(x2).
• Una funzione si dice monotona in un intervallo I⊆R, se in I essa è sempre crescente o
sempre decrescente.
• una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A
• una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di
A
• una funzione si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva.
Teorema: se è noto il grafico di y = f (x), allora
• il grafico di y = f (x) + c è quello di f traslato verticalmente di |c| verso l’alto se c >0; verso il
basso se c<0
• il grafico di y = f (x + c) è quello di f traslato orizzontalmente di |c| verso sinistra se c >0;
verso destra se c<0
• il grafico di y = -f (x) è simmetrico di quello di f rispetto all’asse x
• il grafico di y = f (-x) è simmetrico di quello di f rispetto all’asse y
49
Es.: Per quali valori reali di x la funzione y =
(a-1)4x2 +3 ha valori positivi?
a. solo per x = a+1
b. solo per x = 0
c. nessuno
d. per qualsiasi valore di x
e. per x>0
c.
x − 3x − 1
d.
x − 3x + 1
Es.: Data una funzione f(x) tale che
f (x ) − 3
f (x + 1 ) =
e f (1) = 13 , quanto vale
5
f (3)?
a. non si può calcolare
b. 1/5
c. -1/5
d. 2
e. -2
a. y = x 2 + x + 4
2 7
1
x − x5 2 +
5
6
4
2
c. y = x − 7 x + 1
b. y =
d. y = x 2 + x + 4
1
e. y = x 5 3 −
3x
Es.: Data una generica funzione lineare y =
ax +b, se x triplica, di quanto aumenta y?
a. 2b
b. 2bx
c. 2a
d. 2ax
e. 2x
x + 3x − 1 , allora f (− x )
vale:
a.
− x − 3x + 1
Es.: Quale fra le seguenti funzioni ha il
grafico simmetrico rispetto all’asse y?
Es.: se f (x ) =
b.
− x − 3x − 1
Es.: la relazione rappresentata dal diagramma a lato:
a. non è una funzione
b. è una funzione iniettiva ma non suriettiva
c. è una funzione suriettiva ma non iniettiva
d. è una funzione biiettiva
e. nessuna della precedenti è corretta
Es.: la funzione y = x3 – 16x7:
a. ha un solo zero in x = 0
b. è dispari
c. è positiva per ogni valore reale di x
d. non è mai negativa
e. non interseca l’asse y
Es.: data la funzione f (x ) = 1 +
3
, si
1 + x2
può dire che:
a. è sempre maggiore di 1
b. assume almeno due volte il valore 1
c. non è pari
d. f(0) =1
e. se x<-1, allora f(x) <0
23) Esponenziali e logaritmi
N.B.: dire che una grandezza varia nel tempo con legge esponenziale, significa che in tempi uguali
l’incremento della grandezza è percentualmente costante, cioè che in ogni intervallo di tempo il
rapporto fra l’incremento della grandezza e la grandezza stessa (prima dell’incremento) è
costante. Supponiamo, per esempio, che la grandezza sia il numero di batteri in una coltura e che
il loro numero iniziale sia 10. Ipotizziamo che dopo un minuto il numero di batteri sia cresciuto di
10 (cioè del 100%). I batteri, alla fine del primo minuto saranno allora 20. Se ora la popolazione
50
subisce, nel minuto successivo, un incremento ancora del 100%, i batteri saranno alla fine 40;
dopo il terzo minuto saranno 80 ecc. Quindi i valori della grandezza sono: 10, 20, 40, 80… cioè
10 ⋅ 2 n (si può dire che la grandezza ha un tasso di moltiplicazione costante, per ogni unità di
tempo).
Con un incremento del 20% e valore iniziale della grandezza uguale a 1000, per esempio, avremmo
dopo i primi intervalli di tempo, i seguenti valori: 1000, 1200, 1440, 1728, ecc.
51
52
N.B.: i logaritmi in base e sono detti “naturali” o “neperiani”; quelli in base 10 “decimali”.
d. non interseca l’asse delle ordinate
Es.: la funzione y = 2 − x :
e. è crescente
a. può essere sia positiva che negativa
b. è sempre negativa
c. non interseca l’asse delle ascisse
53
Es.: l’equazione e x + k 2 = −2 nell’incognita
x, con k parametro reale, ha soluzione:
a. per ogni valore di k non negativo
b. per nessun valore di k
c. solo per k = 1
d. solo per k = 0
e. per ogni valore di k compreso fra -1 e
1
Suggerimento: il primo membro è una
somma di quantità positive, indipendentemente dal valore di k…
Es.: l’equazione log 1 x + k = 0 ha soluzione:
c. x = ln5
d. x = 5/e
e. x è indeterminato
2
Es.: la funzione f (x ) = ln 2 − 2  è positiva
x 

per:
a. x < − 2 ∨ x > 2
b. x<-1 oppure x>1
c. mai
d. sempre
e. un logaritmo neperiano non può essere
positivo
Es.: l’espressione ln (x − 3 )2 equivale a:
a. 2ln(x-3)
b. xln2
c. 2ln|x-3|
d. ln2(x-3)
e. ln2|x-3|
Suggerimento: due funzioni sono equivalenti
se hanno lo stesso insieme di definizione.
ln (x − 3 )2 esiste solo se x≠3. Quindi la
risposta esatta è c e non a.
Es.: quale tra le seguenti è la soluzione
dell’equazione log 10 x − log 10 3 = 3 ?
a. 2000
b. 3000
c. 6
d. 300
e. 1/3
Es.: ricordando che log102=0,3, allora:
a. log1050=2,7
b. log10200=2,3
c. log100,02=-2,3
d. log100,5=-1,7
e. log104=0,9
Suggerimento: log10200 = log10(2×100)=log102
+ log10100 =0,3 + 2 = 2,3.
Es.: log24 + log21 + log21/2 + log20,125 =
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
e. 2
Es: l’equazione 0,01x + 4 = 14 ha come
soluzione:
a. 0,5
b. -0,5
2
a.
b.
c.
d.
e.
solo per valori di k non negativi
solo per valori positivi di k
per ogni valore di k
solo per k = ½
solo per k=0
Es.:
il
grafico
della
funzione
f (x ) = log 2 (x − 3 ) + 1 :
a. giace sempre sopra l’asse x
b. giace sempre sotto l’asse x
c. giace tutto nel secondo e terzo
quadrante
d. interseca una volta l’asse x
e. interseca una volta l’asse y
Suggerimento: il grafico è quello della
funzione logaritmica, traslato di 3 verso
destra e di 1 verso l’alto.
Es.: se log 2 x = −5 , allora:
a. l’equazione non ha senso perché la
base di un logaritmo non può mai
essere negativa
b. x = 32
c. x = -32
d. x = -25
e. x = 1/32
Es.:
la
soluzione
dell’equazione
1
log 9 27 5 = x è:
a. 3/10
b. 10/3
c. 2/3
d. -2/3
e. l’equazione è impossibile
Es.: Se e x = 5 , allora:
a. x = e5
b. x = e1/5
54
c. 2
d. -2
e. 0,02
e. mai
Suggerimento: un logaritmo
con base
maggiore di 1 (lo si vede dal grafico) è
positivo quando il suo argomento è maggiore
di 1. Quindi, basta risolvere x 2 + 5x + 7 > 1 ,
ovvero x 2 + 5x + 6 > 0 …
x
 1 
Suggerimento: 
 + 4 = 14 equivale a
 100 
x
 1 
−2 x

 = 10 , cioè 10 = 10 . Ciò è vero se
 100 
x = -1/2.
Se l’equazione esponenziale o logaritmica è
difficile da risolvere per via diretta si può
sempre usare il metodo della verifica,
sostituendo ad x i valori proposti e vedendo
quali di essi rendono vera l’uguaglianza.
Es.: il grafico in figura corrisponde a:
a. y = e x + 1
b. y = e x − 2
c. y = e x
d. y = e x
e. y = e x − 1
Es.: la funzione f (x ) = log 10 (x 2 + 5x + 7 ) è
positiva per:
a. x∈R
b. x<-3 o x>-2
c. x≤-3 o x≥-2
d. -3<x<-2
1
-1
55
24) GONIOMETRIA
56
Conversione gradi - radianti
α°
0°
α(rad)
0
30°
45°
60°
90°
π
π
π
π
6
4
3
2
120°
2
π
3
135°
3
π
4
150°
5
π
6
180°
210°
π
7
π
6
225°
5
π
4
240°
270°
4
π
3
3
π
2
300°
5
π
3
315°
7
π
4
330°
11
π
6
360°
2π
RELAZIONI FONDAMENTALI
1ª relazione: sin α + cos α = 1 , per ogni α
sin α
π
2ª relazione: tgα =
, per ogni α ≠ + kπ
cos α
2
cos α
3ª relazione: cot gα =
, per ogni α ≠ kπ
sin α
PERIODICITÀ
Le funzioni goniometriche sono periodiche, cioè sono tali che f(x+T) = f(x), per particolari valori di
T.
y = senx e y = cosx hanno periodo T = 2π
y = sen(ax) e y = cos(ax) hanno periodo T = 2π/a
y = tgx e y = cotgx hanno periodo T = π
y = tg(ax) e y = cotg(ax) hanno periodo T = π/a
2
2
VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE PER ANGOLI DEL 1° QUADRANTE
α (gradi)
α (radianti)
senα
cosα
tgα
cotgα
0°
0
0
1
0
Non esiste
30°
π/6
1
2
3
3
3
45°
π/4
1
1
60°
π/3
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
3
90°
π/2
1
0
Non esiste
0
N.B.
Sia i grafici che i valori in tabella mostrano che:
per ogni α, − 1 ≤ sin α ≤ 1 e − 1 ≤ cos α ≤ 1
per ogni α, cosecα ≤ −1 ∨ cosecα ≥ +1 e secα ≤ −1 ∨ secα ≥ +1
per ogni α, − ∞ < tgα < +∞ e − ∞ < cotgα < +∞
57
ARCHI ASSOCIATI
Si dicono “archi” o “angoli associati” all’angolo , i seguenti angoli:
90° − α
270° − α
90° + α
270° + α
360° − α o − α
180° − α
180° + α
360° + α
Questi angoli sono importanti perché le loro funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e
cotangente sono, salvo cambi di segno ed eventuali scambi di funzione, uguali alle funzioni
goniometriche dell’angolo α di partenza.
sin (90° − α ) = cos α
cos(90° − α ) = sin α
tan (90° − α ) = cot α
cot (90° − α ) = tan α
sin (90° + α ) = cos α
cos(90° + α ) = − sin α
tan (90° + α ) = − cot α
cot (90° + α ) = − tan α
sin (270° − α ) = − cos α
cos(270° − α ) = − sin α
tan (270° − α ) = cot α
cot (270° − α ) = tan α
sin (270° + α ) = − cos α
cos(270° + α ) = sin α
tan (270° + α ) = − cot α
cot (270° + α ) = − tan α
sin (180° − α ) = sin α
cos(180° − α ) = − cos α
tan (180° − α ) = − tan α
cot (180° − α ) = − cot α
sin(180° + α ) = − sin α
cos(180° + α ) = − cos α
tan (180° + α ) = tan α
cot (180° + α ) = cot α
sin (360° − α ) = sin (− α ) = − sin α
cos(360° − α ) = cos(− α ) = cos α
tan (360° − α ) = tan (− α ) = − tan α
cot (360° − α ) = cot (− α ) = − cot α
sin (360° + α ) = sin α
cos(360° + α ) = cos α
tan (360° + α ) = tan α
cot (360° + α ) = cot α
Es.: I valori cos1, cos2, cos3, cos4, disposti in ordine crescente,
2
1
risultano:
a. cos1, cos2, cos3, cos4
3
b. cos2, cos4, cos1, cos3
c. cos3, cos2, cos4, cos1
4
d. cos3, cos4, cos2, cos1
e. cos4, cos3, cos1, cos2
Suggerimento: è importante visualizzare graficamente gli angoli di 1, 2, 3, 4 radianti, tenendo
conto che l’arco sotteso da un radiante è uguale al raggio della crf., oppure che un radiante è poco
58
meno di 60°. I coseni, cioè le rispettive ascisse, ordinati in modo crescente dal più negativo a quello
più positivo si susseguono in questo modo: cos3, cos4, cos2, cos1.
Es.: per ogni x reale, la quantità 1 – cos23x è sempre:
a. strettamente positiva
b. positiva o nulla
c. negativa o nulla
d. strettamente negativa
e. uguale a 9sen2x
Suggerimento: un coseno è sempre compreso fra -1 e 1, estremi inclusi; quindi un coseno al
quadrato è sempre compreso fra 0 e 1, estremi inclusi. Pertanto, 1 – cos23x è sempre un numero
non negativo. Oppure: 1 – cos23x = sen23x, non negativo perché è un quadrato.
Es.: il valore dell’espressione sen130° + cos130° è:
a. positivo
b. 1
c. 0
d. negativo
e. -1
Suggerimento: visualizzare graficamente l’angolo ed i rispettivi seno e coseno nella crf.
Goniometrica. Si vedrà che il seno è positivo, il coseno è negativo, ma in valore assoluto il seno è
maggiore del coseno; quindi…
Attenzione a non confondere sen130° + cos130° con sen2130° + cos2130°, che per la 1ª relazione
fondamentale vale 1.
Es.: stabilire, nell’intervallo [π/2; π], quale
delle seguenti relazioni è vera:
b.
c.
d.
e.
a. senx = 1 − sen 2 x
b. − 1 ≤ senx ≤ 0
c. cos x = 1 − sen 2 x
d. cos x = − 1 − sen 2 x
e. senx > 0
nel secondo quadrante
nel terzo quadrante
nel quarto quadrante
non sono mai contemporaneamente
negative
Es.: i valori assunti dalla funzione
f (x ) = 3 − cos 2 x sono:
a. 2<y<4
b. 2≤y≤4
c. 2<y<3
d. 2≤y≤3
e. non si possono stabilire a priori
Es.: se x – y = π/2, la giusta identità è:
a. sin x + cos y = 0
b. cos x + cos y = 1
c. cos x + cos y = 0
d. sin x − cos y = 0
e. sin x − cos y = −1
Suggerimento: se x – y = π/2, allora x = π/2+ y
e senx = sen(π/2+ y) =cosy (vedi archi
associati). Quindi…
Es.: l’equazione cosx +x2 + 2 = 0:
a. ha infinite soluzioni
b. è un’equazione di 2° grado
nell’incognita x
c. ha
soluzioni
appartenenti
all’intervallo [-π/2; + π/2]
d. ha una sola soluzione
e. non ha soluzioni
Es.: le funzioni seno e coseno sono
entrambe negative:
a. nel primo quadrante
59
Suggerimento: l’equazione cosx=-x2-2 può
essere risolta cercando le intersezioni fra la
cosinusoide e la parabola y=x2-2. Si vede che
non vi sono soluzioni.
FORMULE GONIOMETRICHE
FORMULE DI ADDIZIONE
FORMULE DI SOTTRAZIONE
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
tan (α + β ) =
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan α + tan β
1 − tan α ⋅ tan β
sin (2α ) = 2 sin α cos α
tan (α − β ) =
FORMULE DI DUPLICAZIONE
cos(2α ) = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1
tan (2α ) =
2 tan α
1 − tan 2 α
FORMULE DI BISEZIONE
1 − cos α
α 
sin  = ±
2
2
1 + cos α
α 
cos  = ±
2
2
sin α
1 − cos α 1 − cos α
α 
tan   = ±
=
=
sin α
1 + cos α
1 + cos α
2
Trigonometria
60
tan α − tan β
1 + tan α ⋅ tan β
Fig. 3
Teorema di Carnot (o del coseno): in un triangolo la misura di un lato al quadrato è uguale alla
somma dei quadrati degli altri due, meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno
dell’angolo fra essi compreso. Relativamente a figura 3: a2 = b2 + c2 – 2bc cose così per gli altri
lati.
Teorema dell’area: l’area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto di due lati, per il seno
1
1
1
dell’angolo fra essi compreso. Relativamente a figura 3: Area = ab sin γ = bc sin α = ac sin β
2
2
2
61
Es.:la funzione y = sin3xcos3x:
a. non è periodica
b. ha periodo π
c. ha periodo π/3
d. ha periodo 2π/3
e. ha periodo 3π/2
1
2π 2π π
=
= .
Suggerimento: sin3xcos3x= sin 6 x e quindi T =
2
a
6
3
Es.208: l’espressione sen(9α) – sen(3α) equivale a:
a. 3(sen(3α)-senα)
b. 6senα
c. 2cos(6α)sen(3α)
d. 1/2(cos(6α) – cos(12α))
e. sen(9α)cos(3α) - cos(9α)sin(3α)
Suggerimento: o si conoscono le formule di prostaferesi (senp-senq=2sen((p+q)/2)cos((p-q)/2)),
oppure si testa la validità delle formule proposte con qualche angolo particolare al posto del
generico α. Per esempio, per α = 30°, sen(9α) – sen(3α) = sen270° - sen90° = -2, mentre:
3(sen(3α)-senα) = 3(sen90° - sen30°) = 3(1 – ½) ≠ -2
6senα = 6sen30° = 3 ≠ -2
2cos(6α)sen(3α) = 2cos180°sen90° = -2
1/2(cos(6α) – cos(12α)) = ½ (cos180° - cos360°) = -1 ≠-2, ecc...
Es.: l’equazione cos2x = 4:
a. ha tra le soluzioni il numero x = 2
b. ha tra le soluzioni il numero x = π/4
c. ha tra le soluzioni il numero x = 0
d. è un’identità
e. non ha soluzioni reali
Es.: nell’intervallo [0; 2π), le soluzioni dell’equazione cosx =
a.
b.
c.
d.
e.
π/4 oppure 3π/4
π/6 oppure -π/6
π/6 oppure 11π/6
π/4 oppure -3π/4
π/4 oppure 7π/4
3
sono:
2
Es.: se senα = 1/3 e cosα<0, allora:
a. 0°<α<30°
b. 150°<α<180°
c. α>30°
d. α<30°
e. 30°<α<45°
Es.: quale dei seguenti angoli è radice dell’equazione senx –cos2x = 2?
a. 30°
b. 90°
62
c. 150°
d. 180°
e. 270°
Suggerimento: sostituire i valori proposti
Es.: la disequazione 2 (sin x )2 + 3 > 0
a. non ha soluzioni
b. ha infinite soluzioni
c. ammette solo soluzioni irrazionali
d. ha soluzioni comprese fra -π/4 e π/4
e. ha soluzioni comprese fra -π/3 e π/3
Es.: nell’intervallo [0; 2π), le soluzioni della disequazione senx≥cosx sono:
a. x∈[0;π/4]
b. x∈[π/4; π/2]
c. x∈[π/4; π]
d. x∈[π/4; 5π/4]
e. x∈(π/4; π)
Es.: nell’intervallo [0; 2π), le soluzioni della disequazione −
a.
b.
c.
d.
e.
x∈[0;π/4] oppure x∈[π;5π/4]
x∈[0;π/4] oppure x∈[π;7π/4]
x∈[π/4;3π/4] oppure x∈[π;5π/4]
x∈[π/4;3π/4] oppure x∈[5π/4;7π/4]
x∈[π/4;3π/4]
2
2
≤ cos x ≤
sono:
2
2
Es.: nel triangolo rettangolo ABC, rettangolo nel vertice C, chiamato α l’angolo di vertice A, è:
a. sinα = BC/BA
b. sinα = BA/BC
c. sinα = BA/AC
d. sinα = BC/AC
63
25) FUNZIONI (2ª parte)
Se, data una funzione f da A in B, scambiando l’insieme di partenza con quello di arrivo, la
relazione inversa è ancora una funzione, la relazione inversa si dice funzione inversa e si indica con
f -1. La funzione inversa associa ad ogni y la x della quale y era corrispondente attraverso la
funzione diretta f.
Teorema: una funzione f ammette funzione inversa solo se f è biiettiva.
Teorema: se una funzione f è monotona in un intervallo I, allora è invertibile in quell’intervallo.
Nella funzione inversa f -1, x diventa la variabile dipendente e y quella indipendente. Poiché è
prassi rappresentare la variabile dipendente sull’asse y, si procede di solito ad uno scambio di
nomi delle variabili. Una conseguenza di questo fatto è la seguente:
Teorema: il grafico di f -1 è simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice del 1°-3° quadrante
Esempi di funzioni inverse:
la funzione inversa di y = senx è y = arcsenx (da non confondere con la funzione reciproca di
y = senx, che è y = 1/senx = cosecx)
la funzione inversa di y = cosx è y = arccosx (da non confondere con la funzione reciproca di
y = cosx, che è y = 1/cosx = secx)
la funzione inversa di y = tgx è y = arctgx (da non confondere con la funzione reciproca di y = tgx,
che è y = 1/tgx = cotgx)
la funzione inversa di y = 10x è y = log10x
la funzione inversa di y = ex è y = lnx
la funzione inversa di y = xn è y = n x
Consigli per la ricerca del C.E. di una funzione:
In presenza di denominatori, radicandi e argomenti di logaritmi contenenti la variabile x, occorre
scrivere delle particolari condizioni, che poi andranno messe in sistema. Le soluzioni del sistema
sono il C.E. della funzione. Conviene seguire questo elenco di domande:
1) nella funzione ci sono frazioni con la x nel denominatore D? Condizione: D ≠ 0
2) nella funzione ci sono radici di indice pari con la x nel radicando R? Condizione: R ≥ 0
3) nella funzione ci sono logaritmi con la x nell’argomento A? Condizione: A > 0
4) nella funzione ci sono tangenti con la x nell’argomento A? Condizione: A ≠ π/2 + kπ
5) nella funzione ci sono cotangenti con la x nell’argomento A? Condizione: A ≠ kπ
Se la risposta a tutte le domande è negativa, C.E. = R; in caso contrario si risolve la
disequazione o il sistema di disequazioni formato dalle condizioni che si sono poste.
Es.: calcolare il C.E. di f (x ) = log
a.
b.
c.
d.
e.
x
è:
4 − x2
c. l’insieme dei numeri reali eccetto il -2
d. l’insieme dei numeri reali maggiori di 2 e diversi da -1
e. l’insieme dei numeri reali eccetto il -1
-2<x<0 oppure x>2
0<x<2
x<-2 oppure 0<x<2
R – {-2, 0, +2}
x>2
Es.: la funzione y =
a. x ≥ 4
b. x < −2 ∨ x > 2
c. − 2 < x < +2
d. − 4 ≤ x ≤ 4
e. x ≤ −4 ∨ x ≥ 4
1 + ex
Es.: il C.E. della funzione f (x ) =
log (x + 2 )
è:
a. l’insieme dei numeri reali
b. l’insieme dei numeri reali maggiori di
2
64
x − 4 è definita per:
Es.:
il
campo
di
1
y = 1 + tg 2 x −
è:
cos 2 x
a. R
b. R –{π/2+kπ}
c. {kπ}
d. R – {0}
e. R –{π/4+kπ/2}
Es.: la funzione f (x ) =
esistenza
2
(x
x
2
− 9 )(1 − x )
di
ha
come C.E.:
a. x<-3 o 1<x<3
b. x≤-3 o 1≤x≤3
c. x<-3 o 1<x<3 e x≠0
d. -3<x<1 o x>3
e. -3<x<1 o x>3 e x≠0
Es.: la funzione inversa e la funzione
x+1
reciproca
di
f (x ) =
sono
x
rispettivamente:
1
x
e y=
a. x =
y −1
x+1
1
x
b. x =
e y=
y+1
x+1
1
x
c. x =
e y=
y −1
x −1
1
x
d. x =
e y=
y+1
x −1
65
26) GEOMETRIA PIANA
66
67
Due poligoni con lo stesso numero di lati si dicono simili quando hanno gli angoli ordinatamente congruenti ed i lati
corrispondenti in proporzione. Quindi due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono sempre fra loro simili.
Cioè, due quadrati sono sempre simili, due pentagoni regolari sono sempre simili, ecc.
68
69
70
Es.: il rapporto tra il perimetro e l’area di un cerchio è:
a. costante
b. uguale a π
c. direttamente proporzionale al raggio
d. inversamente proporzionale al raggio
e. uguale al doppio del quadrato del raggio
Es.: se l’area di un cerchio vale 1200 m2, il raggio del cerchio è circa:
a. 100 m
b. 20 m
c. 10 m
d. 1 m
e. 3,14 m
Es.: con tre segmenti di lunghezze 1 cm, 3 cm, 7 cm:
a. non è possibile costruire un triangolo
b. è possibile costruire un triangolo isoscele
c. è possibile costruire un triangolo rettangolo
d. è possibile costruire un triangolo scaleno
e. è possibile costruire un triangolo equilatero
Suggerimento: ricordare che in un triangolo il maggiore dei lati è sempre minore della somma degli
altri due.
Es.: In un rombo una diagonale è tripla dell’altra e l’area vale 54. Quanto vale il lato del rombo?
a. 3 5
b. 180
c. non si può determinare
d. 6
e. 3 10
Es.: in un quadrilatero gli angoli α, β, γ, δ valgono: α = x; β = α + 20°; γ = β + 30°; δ = γ + 40°.
Quanto vale l’angolo α?
a. 30°
b. 40°
c. 50°
d. 60°
e. 70°
Es.: in due triangoli simili, i lati del più piccolo sono il 25% di quelli del più grande. Il rapporto fra
l’area del triangolo grande e l’area del triangolo piccolo vale:
a. 4
b. 25
c. 16
d. 100
e. 36
Suggerimento: se i lati di 2 poligoni simili stanno nel rapporto k, allora le rispettive aree stanno nel
rapporto k2…
71
Es.: se si fa ruotare un trapezio isoscele intorno alla base minore si ottiene:
a. un tronco di cono
b. un cono
c. un cilindro scavato da due coni
d. un cilindro con due coni sovrapposti alle sue basi
Es.: dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC e altezza AH:
a. AB2 = BC.CH
b. AB2 = BC.AC
c. AB2 = BC2 + AC2
d. AH2 = BH.CH
e. AH2 = BH.BC
Es.: se un quadrato ha lato lungo 7 2 , la diagonale sarà lunga:
a. 7
b. 8
c. 14
d. 14 2
e. 7 / 2
Es.: un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa doppia del cateto minore. Se il cateto maggiore è
lungo 3 , quanto misurano rispettivamente il cateto minore e l’ipotenusa?
a. 2; 4
b. 1; 2
c. i dati non bastano per rispondere
d. 3; 6
e. ½; 1
Suggerimento: il triangolo rettangolo è un triangolo 30°-60°90°. Quindi…
Es.: il rettangolo ABCD, di lati AB = 3 e AD = 4 è inscritto in una crf.. Quanto vale la lunghezza
della crf.?
a. 5
b. 5π
c. 5π/2
d. 10π
e. non si può determinare
Suggerimento: la diagonale del rettangolo è diametro della circonferenza…
Es.: un campo circolare ha perimetro 1000 metri. Una palizzata esterna al campo lo circonda ad
una distanza di 0,5 metri dal bordo. Quanto è lunga la palizzata?
a. 1000 + π
b. più di 1000π
c. 1000 + 2π
d. 1 + 1000/π
e. 1 + 1000/(2π)
72
Es.: dato un cerchio di raggio r, il lato del quadrato equivalente misura:
a. rπ
b. r 2 π
π /r
c.
d. r / π
Es.: dato un rettangolo di altezza tripla della base b, il raggio del cerchio equivalente misura:
a. 3b /π
b. b 3 /π
c. b 3π
d. 3b / π
e. 3b 2 /π
73
26) GEOMETRIA SOLIDA
74
Es.: dato un cubo di lato L e una sfera di raggio R = L, il rapporto dei loro volumi è:
3
a.
4π
3
b. π
4
4
c. π
3
4
d.
3π
Es.: sono date due sfere di raggi R1 e R2 e superfici S1 e S2. Se R1/R2 = 2, allora S1/S2 =:
a. 1
b. 2
c. 4
d. 8
e. 16
Es.: se una sfera e un cubo hanno uguale superficie, il volume della sfera è:
a. minore di quello del cubo
b. maggiore di quello del cubo
c. uguale a quello del cubo
d. doppio di quello del cubo
e. i dati forniti non sono sufficienti
Es.: Due coni C1 e C2 hanno basi di ugual raggio R. Se h1 = 3h2, quanto vale il rapporto V1/V2?
a. 1/3
b. 1
c. 2
d. 3
e. 9
Es.: se il raggio di un cilindro viene dimezzato e la sua altezza quadruplicata, il suo volume:
a. resta invariato
b. raddoppia
c. viene dimezzato
d. quadruplica
e. triplica
Es.: Un cilindro ha una base di raggio R e altezza 2R. Una sfera ha raggio 3R/2. Allora:
a. la sfera ha volume maggiore del cilindro
b. la sfera ha volume minore del cilindro
c. il rapporto tra il volume della sfera e quello del cilindro vale 4/3
d. il volume del cilindro è doppio di quello della sfera
e. il prodotto tra il volume del cilindro e quello della sfera vale 4/3
75

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