Uso delle proprietà delle operazioni per trasformare

Uso delle proprietà delle operazioni per trasformare
espressioni numeriche e letterali in N
Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione sono molto importanti nel calcolo numerico e
letterale. Se si applicano queste proprietà per trasformare espressioni numeriche o letterali se ne
preserva l’equivalenza nella trasformazione.
Il Manipolatore Algebrico di AlNuSet consente di fare questa esperienza. Nel seguito illustreremo
alcuni possibili usi didattici relativi all’applicazione di proprietà dell’addizione e della
moltiplicazione per effettuare calcoli numerici e per dimostrare congetture relative a proprietà dei
numeri.
Negli esempi di questo capitolo sui numeri Naturali faremo principalmente riferimento alle regole
di trasformazione sotto riportate.
Usiamo le proprietà dell’addizione e della sottrazione per rendere esplicite strategie che
normalmente utilizziamo nei calcoli mentali.
17+8+2
Proprietà Associativa
La somma di tre addendi non
cambia, se al posto di due di
essi
si
sostituisce la
loro
somma
17+10
27
134+153
Proprietà Associativa usata in
modo inverso
E’ sempre possibile sostituire
ad un numero l’addizione di
due o più numeri
100+34+153
Proprietà Commutativa
100+153+34
Proprietà Associativa usata in
modo inverso
100+100+53+34
Proprietà Associativa usata in
modo inverso
100+100+50+3+34
Proprietà Commutativa
100+100+50+34+3
Proprietà Associativa usata in
modo inverso
100+100+50+30+4+3
Un secondo esempio di uso del Manipolatore Algebrico riguarda la seguente situazione:
Considera il numero K corrispondente al risultato di questa espressione numerica: 420+168+126.
Usando i comandi del manipolatore mostra che i tre numeri contenuti nel testo dell’espressione
hanno come divisori comuni 7, 3 e 2 e che questi sono anche divisori di K .
La figura seguente riporta le trasformazioni compiute usando i comandi del Manipolatore
Algebrico. Per la soluzione del compito sono stati utilizzati tre comandi: il comando che trasforma
un numero naturale nella moltiplicazione di tutti i suoi fattori, il comando che incorpora la proprietà
commutativa della moltiplicazione e il comando che incorpora la proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all’addizione.
La mediazione didattica fornita dal sistema si realizza su tre piani, strettamente integrati tra loro, e
cioè il piano pragmatico, quello epistemico e quello cognitivo.
Sul piano pragmatico il manipolatore offre strumenti operativi (i.e. il comando che consente di
fattorizzare un numero) in grado di permettere allo studente di mantenere focalizzata l’attenzione
sugli aspetti concettuali del compito, delegando al sistema aspetti meccanici di calcolo che
richiedono tempo e cambiamenti continui di focus nel corso dell’attività risolutiva.
Per quanto riguarda il piano epistemico, notiamo innanzitutto che il micromondo fornisce comandi
che incorporano le fondamentali proprietà delle operazioni nell’insieme dei naturali. Lo studente
può usare tali comandi per trasformare espressioni numeriche in un quadro di didattica che
considera l’attività di manipolazione simbolica come un’attività di dimostrazione.
Per quanto riguarda infine il piano cognitivo, notiamo che il sistema offre vari tipi di feedback che
supportano lo studente nello sviluppo delle funzioni cognitive coinvolte nella trasformazione di
espressioni numeriche. Tra i più importanti feedback evidenziamo:
-
l’attivazione dei soli comandi che possono essere applicati sulla sub-espressione selezionata
dallo studente
-
la realizzazione automatica della trasformazione dopo la scelta del comando.
Trasformazione di espressioni letterali per dimostrare proprietà dei numeri
La trasformazione seguente riguarda l’uso delle proprietà delle operazioni per dimostrare
algebricamente che la somma di due numeri dispari consecutivi è un multiplo di 4.
Nella prima colonna della tabella seguente viene riportata la trasformazione effettuata nel
Manipolatore Algebrico di AlNuSet; nelle altre due colonne sono riportati i comandi usati in ogni
trasformazione e la proprietà delle operazioni di riferimento di ognuno.
Proprietà commutativa dell’addizione
Proprietà associativa dell’addizione
Proprietà commutativa della moltiplicazione
Proprietà commutativa della moltiplicazione
Proprietà distributiva
Proprietà associativa dell’addizione
Semplifica parentesi ridondanti
Proprietà commutativa della moltiplicazione
Elemento neutro della moltiplicazione
Proprietà distributiva