7. La teoria dell` "età" dei neutroni. Il modello di rallentamento

7. La teoria dell' "età" dei neutroni.
Il modello di rallentamento continuo
Si è visto sopra il trattamento generale dello scattering neutronico in mezzi infiniti.
Ora considereremo il caso della distribuzione spaziale a varie energie dei neutroni,
durante il loro processo di rallentamento. Vedremo come il percorso a zigzag dei
neutroni a seguito degli urti subiti mentre rallentano giochi un ruolo importante nel
definire le dimensioni critiche del reattore. Se la distanza media percorsa in questo
processo è grande, anche le dimensioni critiche saranno grandi, per ridurre la
probabilità dei neutroni di uscire dal sistema prima che la loro energia raggiunga
valori "termici". La discussione che seguirà servirà quindi a stabilire la probabilità di
perdita di neutroni dal reattore nel loro processo di rallentamento.
Un trattamento relativamente semplice del problema si ha nel caso in cui il
rallentamento avvenga in mezzi che non contengano nuclei molto leggeri, come
l'idrogeno ed il deuterio.
Consideriamo un neutrone nato da fissione ad energia Eo. Esso viaggerà con questa
energia per un certo tempo prima di collidere con un nucleo. Dopo questa collisione
la sua energia sarà diminuita ed esso viaggerà a questa seconda velocità fintantoché
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incontra un altro nucleo. Poiché ora il neutrone viaggia ad una velocità inferiore, il
tempo tra le due collisioni sarà, in media, più lungo. Questo processo del movimento
a velocità costante seguita da collisione in cui l'energia vene abbassata continua
fintanto che il neutrone non è termalizzato.
Poichè la perdita logaritmica media di energia, ξ, è indipendente dall'energia, segue
che la linea che descrive l'andamento di lnE in funzione del tempo sarà del tipo dato
in figura, consistente in una serie di passi di altezza mediamente pari a ξ ma di
lunghezza gradualmente crescente. Le linee orizzontali rappresentano l'energia
costante di un neutrone allorché si diffonde tra una collisione e l'altra, mentre la
lunghezza dei tratti indica il tempo medio tra una collisione e la successiva. Si noti
l'irregolarità dei salti, nell'ipotesi che ci si riferisca agli eventi subiti da un solo
neutrone. Si avranno di conseguenza delle fluttuazioni attorno i valori medi.
Poiché i neutroni si comportano ciascuno in modo diverso, anche se originati alla
stessa energia, trascorso un certo tempo essi non avranno tutti la stessa energia. In
altre parole, un grafico rappresentante l'energia in funzione del tempo simile a quello
dato in figura sarà diverso per ogni neutrone. Se il mezzo in cui i neutroni rallentano
e si diffondono è composto da nuclei di massa sufficientemente superiore ai nuclei
leggeri (idrogeno e deuterio), la dispersione delle energie di quelli che hanno subito
un certo numero di collisioni sarà contenuta entro un range di valori limitato. Per
esempio, la massima frazione di energia persa da un neutrone in una collisione con un
nucleo di carbonio è di circa 0.17. In un mezzo di grafite si può quindi considerare
un loro comportamento medio.
Nel caso che il comportamento dei neutroni durante il loro rallentamento sia
rappresentato con valori medi, il decremento logaritmico medio dell'energia per
collisione sarà inoltre piccolo, e piccoli saranno i salti in corrispondenza di ogni
collisione. Si potrà pertanto assimilare tale grafico ad una curva continua senza con
ciò introdurre un grande errore. Ciò equivale ad assumere che nel processo di
rallentamento i neutroni perdano energia in modo continuo, piuttosto che in modo
discontinuo come avviene nella realtà.
Nel seguito assumeremo questo comportamento continuo come ipotesi.
Sottolineiamo che tale approssimazione è valida per nuclei abbastanza più pesanti
dell'idrogeno. In una collisione con l'idrogeno, infatti, la perdita di energia di un
neutrone ha una dispersione che va da zero al valore della sua energia prima dell'urto.
Una rappresentazione del rallentamento con una curva che lo rappresenti come
continuo sarebbe quindi completamente errata.
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L'equazione dell'età senza cattura
Il trattamento che segue sarà limitato alla diffusione dei neutroni in mezzi diversi da
quelli più leggeri. Ci poniamo innanzitutto il problema di sviluppare una equazione
differenziale che rappresenti il comportamento del rallentamento neutronico in un
mezzo non assorbente. Si assume che i neutroni che hanno diffuso nel mezzo per un
tempo t dallo loro nascita dalla sorgente abbiano la stessa letargia u. Verrà nel seguito
trovata una relazione tra un loro incremento du, e quello corrispondente dt, per poter
ottenere una equazione che descriva la distribuzione spaziale della densità di
collisione.
Supponiamo che, dopo aver diffuso per un tempo t, tutti i neutroni abbiano velocità v.
Supponiamo inoltre che λs sia il libero cammino medio, cioè la distanza media
percorsa dal neutrone tra due collisioni successive con i nuclei. Il numero di
collisioni che un neutrone subirà mediamente nell'intervallo di tempo dt sarà quindi
v dt/ λs .
Poiché ξ è il decremento logaritmico medio dell'energia per collisione, ne consegue
che la perdita media in termini di lnE sarà eguale a ξ moltiplicato per il numero di
collisioni nel tempo dt, cioè
− d ln E =
ξv
dt ,
λs
dove a sinistra è indicata la perdita logaritmica di energia nell'intervallo di tempo dt.
Sostituendo -lnE con du, cioè con l'incremento di letargia, si ottiene
du =
ξv
λs
dt .
(7.1)
Questa è la relazione tra gli incrementi du e dt cercata.
Consideriamo ora, in un punto rappresentato dal vettore r, i neutroni che hanno
diffuso per un tempo t dalla loro nascita. Durante il successivo intervallo dt essi
usciranno da un elemento di volume attorno a r ad un tasso (cfr. Cap.1)
− D∇ 2φ(r , t ) .
Se non ci sono assorbimenti di neutroni, questa quantità rappresenta il tasso di perdita
di neutroni nel tempo. Si potrà scrivere quindi, indicando vn in luogo di φ,
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Dv∇ 2 n (r , t ) =
∂n (r , t )
,
∂t
(7.2)
dove D è funzione dall'energia.
Cerchiamo ora di esprimere n(r,t) come neutroni per unità di tempo, sicché n(r,t)dt
sarà il numero di neutroni per cm3 che hanno diffuso per tempi tra t e t+dt dopo aver
lasciato la sorgente.
Come passo successivo, trasformiamo la variabile indipendente da t ad u. Se n(r,u) è
il numero di neutroni per cm3 per unità di letargia, il numero di neutroni per cm3 con
letargia tra u e u+du sarà n(r,u)du. Se questo intervallo di letargia du corrisponde
all'intervallo di tempo dt prima considerato, si ha
n(r,u)du= n(r,t)dt
e quindi, ricordando la (7.1),
n(r, t) = n(r, u)
du ξv
=
n (r, u) .
dt λ s
(7.3)
Poichè
∂n(r, t) du ∂n (r, t)
=
∂t
dt ∂u
si avrà inoltre
∂n(r, t) ξv ∂n (r, t)
=
∂t
λ s ∂u
e quindi, dalla (7.3),

∂n(r, t) ξv ∂  ξv
=
 n (r, u)
∂t
λ s ∂u  λ s

(7.4)
Inserendo le espressioni (7.3) e (7.4) nella (7.2) si ha
 ξv
 ξv ∂  ξv

Dv∇ 2  n (r, u) =
 n (r, u)
λs
 λ s ∂u  λ s

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(7.5)
e sostituendo φ in luogo di vn, e ricordando che λs=1/Σs,
D∇ 2 [ξΣ s φ(r, u)] = ξΣ s
∂
[ξΣ s φ(r, u)].
∂u
Ora la quantità tra parentesi quadre corrisponde alla densità di rallentamento q (v.
Cap. 5). Si potrà pertanto scrivere
∇ 2q =
ξΣ s ∂q
D ∂u
(7.6)
Introducendo una nuova variabile
u
τ(u ) ≡
D
∫ ξΣ s du ,
(7.7)
o
la (7.6) diventa infine
∇ 2q =
∂q
∂τ
(7.8)
Questa equazione è conosciuta come l'equazione dell' "età" di Fermi. La quantità τ(u)
viene chiamata "età di Fermi", o semplicemente "età", dei neutroni. Essa non ha le
dimensioni di un tempo, bensì di una lunghezza al quadrato. E' interessante notare la
corrispondenza formale di questa equazione con quella della diffusione del calore.
La quantità τ è comunque legata all'età cronologica dei neutroni. L'età cronologica
può infatti essere definita come il tempo richiesto dal neutrone per rallentare, in
media, dalla energia originale (di fissione) Eo all'energia E, vale a dire, il tempo tra la
sua nascita ed il raggiungimento della letargia u. Infatti, usando ancora la (7.1) per il
cambiamento di variabile, la (7.7) potrà scriversi
t
∫
τ = Dvdt .
(7.9)
o
Dalla relazione che lega l'energia alla letargia, si può scrivere la quantità τ in
funzione dell'energia del neutrone. Si otterrà:
Eo
τ(E) ≡
∫
E
D dE
.
ξΣ s E
(7.10)
5
Soluzione dell'equazione dell'età
Consideriamo una sorgente piana di neutroni veloci monoenergetici in mezzo
infinito. In questo caso la soluzione della (7.8) si ottiene separando le variabili, cioè
ponendo
q( x, τ) = X( x )T(τ) .
La soluzione risulta:
q( x, τ) =
S
4πτ
e
−
x2
4τ
Questo risultato può essere generalizzato assumendo il piano della sorgente posto nel
punto x=xo. Si ottiene la soluzione:
−
S
q( x, τ) =
e
4πτ
|x − x o 12
4τ
L'andamento della distribuzione della densità di rallentamento q(x,τ) è dato dal
grafico. Si noti l'appiattimento della curva a campana per valori dell'età τ crescenti
(corrispondenti a valori dell'energia decrescenti). Tale appiattimento è dovuto alla
migrazione dei neutroni verso zone via via discoste dalla sorgente durante il loro
processo di rallentamento (termalizzazione).
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