Trifasi - Elettrotecnica

A41 - Supponendo che la rete trifase mostrata in figura sia alimentata da una
terna simmetrica diretta, determinare le correnti i1(t), i2(t) ed i3(t).
R
1
+ i1(t)
L
v12(t)
2
R
−
L
i2(t)
L
R
3
i3(t)
Dati: v12(t) = V0 cos(ωt + π/4),
L = 30 mH.
ω = 300 rad/s,
V0 = 12 6 V,
R = 3 Ω,
Risposta: le tre correnti di linea valgono
i1(t) = 4 cos ωt - π , i 2(t) = 4 cos ωt - 5 π , i 3(t) = - 4 sen(ωt) .
6
6
A42 - Supponendo che la rete trifase mostrata in figura sia alimentata da una
terna simmetrica diretta, calcolare le correnti I1, I2 ed I3.
I1
R
XL
− I2
R
XL
I3
R
1
+
V12
2
3
XC
XC
XL
XC
2 - Esercizi sui circuiti elettrici
Dati: V12 = 200 3 V, R = 5 Ω, XL = 2 Ω, XC = 6 Ω.
Risposta: le tre correnti valgono
I1 = 40 , - π , I2 = 40 , - 5π , I3 = 40 j .
6
6
A43 - Calcolare l’indicazione fornita dal wattmetro, nella rete trifase simmetrica
ed equilibrata mostrata in figura.
L
i1(t)
1
i2(t)
2
+
+
W
i3(t)
L
L
3
Dati: i2(t) = I0 2 sen(ωt), I0 = 20 A, ω = 100 rad/s, L = 1 mH.
Risposta:
indicazione del wattmetro = - 40 3 W .
A44 - Supponendo di alimentare la rete trifase di figura con una terna simmetrica
diretta di tensioni, determinare le tre correnti di linea.
3 - Esercizi sui circuiti elettrici
I1
1
V12
2
I1M
+
− I2
I1C
I2M
I2C
I3
3
M
I3M
I3C
R
R
XL
R
XL
XL
Dati: V12 = 220 3 V, PM = 1.5 kW, QM = 1.5 kVAr, R = X L = 10 Ω.
Risposta: le correnti risultano pari a
I1 = 146 2 , - 5 π , I2 = 146 2 , 11 π , I3 = 146 2 , π .
11
12
11
12
11
4
A45 - Calcolare la tensione concatenata v12(t) per la rete trifase simmetrica ed
equilibrata mostrata in figura.
R1
XL
R2
XC
R1
XL
R2
XC
1
+
v12(t)
2
−
−
R1
XL
R2
+ v(t)
XC
3
Dati: v(t) = V0 sen(ωt - π/3), V0 = 330 2 V, R1 = X L = 5 Ω, R2 = X C = 15 Ω.
4 - Esercizi sui circuiti elettrici
Risposta: la tensione richiesta vale
v12(t) = 660 sen ωt + π .
6
A46 - Supponendo di alimentare la rete trifase di figura con una terna simmetrica
diretta di tensioni, dopo aver calcolato le tre correnti di linea Ik, con k = 1, 2, 3,
determinare l’indicazione del wattmetro.
Z1
I1
1
V12
2
+
−
I2
I3
+
+
W
Z3
3
Dati: V12 = 220 3 V, Z 1 = 10 (1 + j) Ω, Z 3 = 5 (1 + j) Ω.
Risposta: il wattmetro fornisce l’indicazione 9680 3 W.
A47 - Supponendo che le tensioni e1(t), e2(t), e3(t) costituiscano una terna
simmetrica diretta, calcolare le tre correnti di linea j1(t), j2(t) e j3(t). Le potenze
che definiscono il carico C, composto di soli resistori e condensatori, si intendono
valutate alla frequenza di esercizio imposta dai generatori.
5 - Esercizi sui circuiti elettrici
−
0
−
−
e1(t)
e2(t)
i1(t)
+ j1(t)
E
−
+
1
C
i2(t)
+ j2(t)
R
0'
2
e3(t)
+
j3(t)
i3(t)
L
3
iC1(t)
iC2(t)
iC3(t)
C
[Attenzione: si tratta di un esercizio veramente complicato in cui è necessario
applicare la sovrapposizione degli effetti. Il generatore ‘E’ eroga una tensione
continua, non alternata].
Dati: E = 50 V, e1(t) = E0 2 sen(ωt), E 0 = 200 V, ω = 1 krad/s, R = 2 Ω,
L = 1 mH, C = 1 mF, PC = 12 kW, QC = - 9 kVAr.
Risposta:
j1(t) = 25 + 25 sen ωt - ϕ 1 - 200 6 sen(ωt) ,
j2(t) = 25 sen ωt - ϕ 1 - 2 π - 200 6 5 + 2 3 sen ωt + ϕ 2 ,
3
j3(t) = - 25 + 25 sen ωt - ϕ 1 - 4 π - 200 6 5 + 2 3 sen ωt - ϕ 2 ,
3
in cui, per semplificare la notazione, abbiamo posto
ϕ 1 = arctan 3 e ϕ 2 = arctan 4 + 3 .
4
A48 - La rete di figura è alimentata da una terna simmetrica di tensioni
concatenate. Determinare la corrente i2(t) che circola nella seconda linea.
6 - Esercizi sui circuiti elettrici
C
L
i1(t)
1
i2(t)
2
i3(t)
J
3
L
R
R
R
Dati: v12(t) = V0 cos(ωt), V0 = 200 6 V, ω = 500 rad/s, J = 10 A, R = 5 Ω,
L = 1 mH, C = 4 mF.
Risposta: la corrente richiesta vale
i2(t) = - 10 + 40 2 cos 500t - 5 π .
6
A49 - Determinare la corrente i(t) per la rete trifase mostrata in figura,
supponendo di alimentare la rete con un terna di tensioni simmetriche.
C
1
v12(t)
2
+
R
−
G
3
L
R
R
R
i(t)
F
[Potreste anche provare ad applicare il teorema di Thévenin dai terminali F e G].
7 - Esercizi sui circuiti elettrici
Dati: v12(t) = E0 6 sen(ωt + π/6), E 0 = 220 V, ω = 1 krad/s, R = 2 Ω, L = 1 mH,
C = 1 mF.
Risposta: la corrente richiesta è pari a
i(t) = 165 2 2 3 - 1 sen 1000t + π .
2
3
A50 - Supponendo che la rete trifase sia alimentata da una terna simmetrica
diretta di tensioni concatenate, rifasare il sistema a cos ϕ = 0.9.
1
V12
2
I1
R
XL
− I2
R
XL
I3
R
XL
+
3
Dati: R = X L = 5 Ω, V12 = V 0 = 380 V, f = 50 Hz.
Risposta:
» carico trifase e condensatori connessi a stella CS ≅ 164.22 µF;
» carico trifase e condensatori connessi a triangolo CT ≅ 54.7 µF.
8 - Esercizi sui circuiti elettrici
Appendici
• Una piccola tavola di integrali
La maggior parte degli integrali proposti possono essere ottenuti integrando per
parti oppure adoperando identità trigonometriche e sono, a nostro giudizio, quelli
più frequenti nelle applicazioni. Ciascun integrale, come è ovvio, è dato a meno di
una costante additiva.
x exp(ax) dx = ax - 1 exp(ax)
a2
x sen(ax) dx = sen(ax) - ax cos(ax)
a2
2
x2 exp(ax) dx = (ax) - 2ax + 2 exp(ax)
a3
x cos(ax) dx = cos(ax) + ax sen(ax)
a2
exp(ax) sen(bx) dx = a sen(bx) - b cos(bx) exp(ax)
a2 + b2
exp(ax) cos(bx) dx = a cos(bx) + b sen(bx) exp(ax)
a2 + b2
a2
dx = 1 arctan x
a
+ x2 a
sen(ax) sen(bx) dx = sen [(a - b) x] - sen [(a + b) x]
2 (a - b)
2 (a + b)
a2 ≠ b 2
cos(ax) cos(bx) dx = sen [(a - b) x] + sen [(a + b) x]
2 (a - b)
2 (a + b)
a2 ≠ b 2
sen(ax) cos(bx) dx = - cos [(a - b) x] - cos [(a + b) x]
2 (a - b)
2 (a + b)
a2 ≠ b 2
9 - Esercizi sui circuiti elettrici
sen2(ax) dx = x - sen(2ax)
2
4a
cos2(ax) dx = x + sen(2ax)
2
4a
2 2
x2 sen(ax) dx = 2 x sen(ax) - a x - 2 cos(ax)
a2
a3
2 2
x2 cos(ax) dx = 2 x cos(ax) + a x - 2 sen(ax)
a2
a3
2
a sen(bx) - 2 b cos(bx) sen(bx) + 2 b
2
a exp(ax)
exp(ax) sen (bx) dx =
2
a2 + 4 b
2
a cos(bx) + 2 b sen(bx) cos(bx) + 2 b
2
a exp(ax)
exp(ax) cos (bx) dx =
2
a2 + 4 b
• Qualche utile relazione trigonometrica
Presentiamo qui qualche utile relazione trigonometrica che potete adoperare sia
per il calcolo di alcune primitive, sia per i calcoli di potenza che coinvolgono
grandezze sinusoidali.
sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b sen(a - b) = sen a cos b - cos a sen b
cos(a + b) = cos a cos b - sen a sen b
cos(a - b) = cos a cos b + sen a sen b
sen a + sen b = 2 sen a + b cos a - b
2
2
sen a - sen b = 2 sen a - b cos a + b
2
2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2
2
cos a - cos b = - 2 sen a + b sen a - b
2
2
2 sen a sen b = cos(a - b) - cos(a + b) 2 cos a cos b = cos(a - b) + cos(a + b)
2 sen a cos b = sen(a + b) + sen(a - b) sen(2a) = 2 sen a cos a
cos(2a) = cos2 a - sen 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sen2 a
10 - Esercizi sui circuiti elettrici
cos2 a = 1 + 1 cos(2a)
2 2
sen2 a = 1 - 1 cos(2a)
2 2
tan(a + b) = tan a + tan b
1 - tan a tan b
tan(a - b) = tan a - tan b
1 + tan a tan b
tan(2a) = 2 tg a
1 - tg2 a
• Piccolo dizionario tecnico
Proponiamo la traduzione inglese di alcune parole che possono essere utili a chi
fra voi continuerà gli studi in una facoltà tecnica e si accinge a leggere un libro di
Elettrotecnica o di Teoria dei Circuiti, appartenenti alla letteratura tecnica e
scientifica inglese oppure americana.
Circuito
Circuit
Albero
Tree
Carico
Load
Corrente
Current
Tensione
Voltage
Corrente continua
Direct current (DC)
Generatore
Source
Dipendente
Dependent
Legge
Law
Maglia
Mesh (Loop)
Percorso chiuso
Closed path
Nodo
Node
Lato (ramo)
Branch
Resistenza
Resistance
Resistore
Resistor
Energia
Energy
Potenza
Power
Induttore
Inductor
Induttanza
Inductance
Condensatore
Capacitor
Capacità
Capacitance
11 - Esercizi sui circuiti elettrici
Fasore
Phasor
Sorgente sinusoidale
Sinusoidal source
Angolo di fase (fase)
Phase angle (Phase)
Valore massimo
Amplitude
Valore medio
Average value
Valore efficace
Root mean square (r.m.s.) value
Potenza media
Average power
Potenza reattiva
Reactive power
Fattore di potenza
Power factor
Potenza complessa
Complex power
Triangolo - stella
Delta - Wye (∆ - Y)
Trifase equilibrato
Balanced three-phase
Wattmetro
Wattmeter
Trasformatore lineare
Linear transformer
Mutua induttanza
Mutual inductance
Variabile di stato
State variable
Attenuato
Damped
Costante di tempo
Time constant
Risposta all’impulso
Pulse response
Gradino unitario
Unit step function
Transitorio
Transient
Interruttore
Switch
Evoluzione libera
Natural response
Risposta forzata
Forced response
Potenza istantanea
Instantaneous power
Radice caratteristica
Characteristic root
Segnale elettrico
Electric signal
Soluzione esponenziale
Exponential solution
Istante iniziale
Initial time
Trasformata
Transform
Frazione parziale
Partial fraction
12 - Esercizi sui circuiti elettrici
Radice (zero)
Root (zero)
Polo
Pole
Valore iniziale
Initial value
Valore finale
Final value
Funzione di trasferimento
Transfer function
Integrale di convoluzione
Convolution integral
Sorgente impulsiva
Pulse source
Tempo - invariante
Time - invariant
Soluzione esponenziale
Exponential solution
Istante iniziale
Initial (start) time