Da dove viene la matematica

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Da dove viene la matematica
Gabriele Lolli
Recensione di
G. Lakoff, R. E. Nuñez, Where Mathematics comes from∗
∗
G. Lakoff, R. E. Nuñez, Where Mathematics comes from, Basic Books, New York,
2000.
1
Gli obiettivi del libro
La tesi portante del libro è l’affermazione che la matematica che conosciamo
è stata fatta dagli esseri umani, quindi “la matematica che conosciamo è
limitata e strutturata dal cervello umano e dalle capacità mentali umane”, è
una matematica “basata su mente e cervello” (brain and mind based )1 .
Da questa bella tautologia prendono le mosse gli autori con l’obiettivo di
arrivare a provarla, o a convincere della sua verità. Lo scopo della ricerca è
descritto a più riprese, non sempre come vedremo in modo coerente.
Noi cerchiamo, da una prospettiva cognitiva, di fornire risposte a
domande come: Da dove vengono le leggi dell’aritmetica? Perché
esiste una sola classe vuota e perché è una sottoclasse di ogni
classe? Ma perché esiste una classe vuota, mentre non esiste
la classe che contiene tutto? E perché, nella logica formale, da
una contraddizione segue qualunque proposizione? Perché da una
contraddizione dovrebbe seguire qualcosa?2
Lo strano elenco non vuole probabilmente essere un campione di possibili
domande significative, ché non tutte lo sono, né sono omogenee; vuole forse
indicare che si spazierà dall’aritmetica alla logica via la teoria degli insiemi;
in realtà si dedicherà molta attenzione anche ad algebra e analisi.
“Prospettiva cognitiva” significa che per capire non basta considerare le
definizioni dei concetti matematici e i loro assiomi, bisogna chiedersi come
sono capiti , quindi bisogna dar conto delle idee e dei meccanismi cognitivi .
Come se fosse la stessa cosa, si propone altresı̀ una “analisi delle idee
matematiche” che spieghi “cosa significano i teoremi e perché sono veri sulla
base di quello che significano”3 . I matematici di solito spiegano cosa significano i teoremi nelle loro esposizioni e lezioni, o vogliono farlo. A quanto pare
credono solo di farlo, o lo fanno in modo sbagliato.
Tuttavia individuare i meccanismi cognitivi che permettono di capire i
teoremi non equivale a spiegare cosa significano i teoremi. La tesi soggiacente
è duplice (o triplice, se si include la convinzione che i matematici non lo
facciano) e invade territori tradizionalmente filosofici nel sostenere innanzi
tutto che i teoremi sono veri sulla base del loro significato, e per di più che
1
p. 1.
p. xiii.
3
p. xv.
2
2
il significato è stabilito da meccanismi cognitivi. Non è chiaro se chi non
conosce tali meccanismi, chi è vissuto prima di leggere questo libro, può
davvero capire la matematica; né se la comprensione che viene promessa
sia diversa da quella che normalmente i matematici ottengono o di cui si
accontentano - ma il tono dell’esposizione suggerisce di sı̀.
Si può capire che gli scienziati cognitivi abbiano grande stima e fiducia nelle loro scoperte, ma che l’unica possibilità per capire una manifestazione intellettuale sia di conoscere i meccanismi cognitivi sottostanti sembra una pretesa assolutistica; che dire della comprensione, del godimento e
della creazione stessa della musica, per citare un fenomeno universale?
Ma infine si prospetta anche un obiettivo più ambizioso:
In aggiunta, noi concepiamo il nostro lavoro come un aiuto per
rendere le idee matematiche precise in un’area che è stata finora
lasciata alla “intuizione”4
Dalla presentazione appaiono dunque almeno tre livelli di indagine e tre
obiettivi che sono diversi, ma non paiono tali per gli autori, i quali passano
disinvoltamente da uno all’altro. Ad esempio l’ultima frase è accoppiata
alla seguente: “Una scienza cognitiva della matematica dovrebbe studiare
la natura precisa delle intuizioni matematiche chiare”. Ma le due frasi sono
bene diverse; un conto è studiare “la natura delle intuizioni matematiche
chiare” (compito, si può concedere, dello scienziato cognitivo); un conto è
“rendere le idee matematiche precise” andando oltre l’intuizione (compito
del matematico).
Diversi fraintendimenti sorgono da questa commistione di livelli, e sono
state segnalate da vari recensori5 suscitando le proteste degli autori che di
fronte alle contestazioni si sono sempre rifugiati in corner sostenendo di essere
scienziati cognitivi e di non voler fare matematica (vedremo se vero, ma non
lo è).
Nonostante tale autolimitazione, essi sostengono tuttavia che il loro lavoro
è importante per la didattica o la divulgazione, perché le bellezze e profondità
della matematica sono inaccessibili ai non matematici a causa dell’assenza di
una descrizione della struttura cognitiva della matematica6 .
4
p. xv.
Recensione di J. Nunemacher, Amer. Math. Monthly, 109, pp. 672-5; recensione di
J. J. Madden, Notices AMS , 48, n. 10, pp. 1182-8; recensione di B. Gold, MAA Online,
dicembre 2001, con risposta degli autori.
6
p. 5.
5
3
“Struttura cognitiva della matematica” è un’altra dizione ambigua, o per
lo meno ellittica, tipica dello stile degli autori. Suppone che sulla base della
conoscenza dei meccanismi cognitivi che permettono di capire (o produrre?)
la matematica si possa individuare una struttura della stessa che non è accessibile, e quindi è diversa, dalle presentazioni abituali.
Nella lettura commentata del libro, cercheremo di tenere distinte - anche
se non è del tutto possibile - le osservazioni riguardanti i contributi di scienza
cognitiva, prevalenti nella prima parte, da quelle riguardanti la presentazione
di argomenti di matematica veri e propri, nella seconda parte. La divisione
corrisponde praticamente anche alla presentazione del materiale del libro,
dedicato alla matematica fondamentale nella prima parte, e a quella superiore
nel resto.
Le due tematiche costituiscono il motivo della presente disamina dettagliata del libro, che è duplice. L’interesse per i contributi reali, in crescita,
degli studi neurofisiologici alla comprensione delle competenze e attività
matematiche è doveroso e l’informazione non facilmente accessibile; benvenuta sarebbe ogni informazione. D’altra parte discutere sulla matematica,
anche in disaccordo, è sempre stimolante e utile.
Una “z” a margine segnala, secondo la tradizione bourbakista, un punto
a cui prestare particolare attenzione.
4
2
L’incarnazione
Gli autori (d’ora in avanti LN) affermano che
Una delle grandi scoperte della scienza cognitiva è che le nostre
idee ricevono forma dalle esperienze corporee - non in una semplicistica corrispondenza uno a uno ma indirettamente, attraverso
il radicamento del nostro intero sistema concettuale nella vita di
ogni giorno7 .
Due parole chiave della nuova scienza cognitiva sono embodied , con la
corrispondente disembodied , e grounded, grounding.
Traduciamo grounded con “radicato”, “fondato” o varianti riconoscibili.
La traduzione più incisiva di embodied sarebbe “incarnato”, ma quella
prevalente è “situato”, anche se non è proprio lo stesso significato - “situato”
traduce piuttosto embedded , o situated .
La questione terminologica è interessante perché indica un’alternativa su
dove bisogna radicare le caratteristiche della mente indagate dalla scienza
cognitiva, se nel cervello o nella vita quotidiana. Nella scienza cognitiva
si parla sempre più spesso di “mente estesa”, a includere in essa oltre al
funzionamento del cervello ogni tipo di supporto materiale e sociale utilizzato
nel pensare. LN non aderiscono a questa impostazione, peraltro controversa.
Le manifestazioni della mente sono di solito genericamente indicate dagli
autori come “meccanismi cognitivi”. In tutto il libro non compare mai una
definizione precisa di “meccanismo cognitivo”.
Si parla di meccanismi cognitivi indifferentemente sia per il cervello che
per la mente, o per la mente-cervello.
Nel primo caso, quello del radicamento esclusivo nel cervello, nulla di
fondato si può affermare senza precise scoperte neurofisiologiche. Nel secondo
siamo invece ancora fuori della scienza dura e nel campo dell’opinabile, soprattutto in una prospettiva di mente estesa. La vita quotidiana corrisponde
in parte a quello che altri chiamano aspetti culturali, perché non si tratta
ovviamente della vita preistorica; molte delle nuove idee come vedremo sorgono tardi e in contesti molto civilizzati, dove la vita quotidiana pur nel senso
materiale è già imbevuta di concezioni e idee sofisticate.
7
p. xiv.
5
3
Il bersaglio polemico
Sarebbe buona norma del dialogo costruttivo prima presentare e sostanziare
le proprie tesi o scoperte, e quindi eventualmente rilevare come esse smentiscano o confutino altre posizioni. Invece in questo caso la tesi rivale è
presentata subito, e accompagna e ritorna in tutta l’esposizione.
Il bersaglio polemico molto di comodo è:
Una mitologia che suona press’a poco cosı̀.
• La matematica è astratta e disincarnata - eppure reale.
• La matematica ha un’esistenza oggettiva . . . indipendente e
trascendente rispetto all’esistenza degli esseri umani o di esseri di qualunque genere.
• La matematica umana è solo una parte della matematica
astratta e trascendente.
• La dimostrazione matematica ci permette di scoprire verità
trascendenti dell’universo.
• La matematica è parte dell’universo fisico e fornisce ad esso
una struttura razionale . . . 8
Seguono altre tesi dello stesso tenore, incluso il fatto che solo il principio che
la matematica sia disincarnata permette di concepire l’idea che le macchine
possono pensare.
LN danno per scontato che questa in blocco sia la filosofia corrente, maggioritaria o prevalente (mainstream) nell’ambiente matematico e di chi si
occupa di matematica.
Dopo aver posto tale termine di confronto, essi formulano due domande
fondamentali:
1. Esattamente quali meccanismi del cervello e della mente umana permettono agli esseri umani di formulare idee matematiche e di ragionare
matematicamente?
8
p. xv.
6
2. La matematica basata sulla mente-cervello è tutto ciò che la matematica è? Oppure, come hanno suggerito i platonisti, esiste una matematica trascendente che trascende i corpi e le menti e struttura l’universo
- il nostro e tutti quelli possibili?9
La prima domanda è coerente con il contesto di scienza cognitiva in cui
il libro si colloca, anche se il suo obiettivo è ribadito a breve distanza come
quello di “dir[ci] come è la matematica umana, concettualizzata attraverso
le menti e i cervelli”10 , che come abbiamo già rilevato non sembra la stessa
questione.
Un conto è rivelare quali sono i meccanismi cognitivi, un conto è dire come
è la matematica (what it is like). Non perché la matematica sia indipendente
dai meccanismi cognitivi, ma perché sono risposte a due domande diverse.
Ammesso che si scoprano i meccanismi cognitivi che fanno capire che una
forma espressiva è poesia e non prosa, ne seguirebbe che la loro descrizione
è l’unica o la corretta spiegazione di cosa è la poesia? È alla mancata individuazione di questi meccanismi che si deve attribuire la responsabilità per
lo scarso apprezzamento e diffusione della poesia? E al contrario, come già
ricordato, i fruitori della musica conoscerebbero i meccanismi cognitivi della
sua produzione?
A meno di non avere una concezione molto ampia ed ambiziosa di cosa
s’intende con “meccanismo cognitivo”, che riporti al radicamento corporeo
tutti gli elementi culturali che contribuiscono alla definizione della poesia.
La spiegazione dovrebbe comunque salvare la concezione usuale millenaria di
poesia, cioè essere coerente con quella e non pretendere di insegnare cosa è
veramente la poesia, nel senso di “a differenza di quello che appare” e “di
quello che dicono i poeti”.
La seconda domanda invece non ha nulla a che vedere con eventuali
ricerche orientate alla prima. LN riconoscono che è una domanda filosofica,
al centro della filosofia della matematica e degli interessi dei filosofi. Ci si aspetterebbe quindi che venisse trascurata in un libro di scienza empirica, come
questo vuole essere, invece di essere proposta come una delle domande fondamentali. A quanto pare interessa molto a LN dal momento che vi tornano
sopra in continuazione, in una polemica che appare curiosa dal momento che
essi stessi affermano che non è possibile confutare una fede.
9
10
p. 1.
p. 3.
7
Ma nello stesso tempo sostengono di confutarla, tanto è vero che anticipano che “le nostre conclusioni 11 saranno” che gli esseri umani non hanno
accesso ad alcuna matematica trascendente12 .
Le conclusioni non devono attendere il dipanarsi dell’analisi, perché dipendono dal seguente semplice argomento: i meccanismi cognitivi che producono
la matematica sono disponibili solo alle menti degli essseri viventi, per cui la
matematica prodotta non può essere parte di una matematica platonica, che
se esistesse sarebbe solo “letterale”13 .
Quindi resta solo quella basata sulla mente-cervello. E quest’ultima non
può essere parte di una matematica platonica.
La conclusione è un non sequitur , perchè non è giustificato in alcun
modo che la matematica platonistica sia diversa da quella basata su mentecervello. Anzi era stato detto prima, come uno degli elementi della mitologia, che quella esistente è una parte di quella trascendente. Giustificare il
fatto che la mente-cervello non possa produrre nulla di validità trascendente
richiederebbe come minimo una discussione più precisa di cosa s’intende con
“trascendente”, a meno che di nuovo non si risolva in una definizione: trascendente = non accessibile alla mente-cervello.
LN sono sicuri che se si vuole rispondere alla domanda sulla natura della
matematica, intesa come questione scientifica riguardo a un elemento del
mondo empirico, l’unica risposta è la loro14 .
Con questo intendono o possono intendere due cose; la prima è che l’unica
risposta è quella che eventualmente dà la scienza cognitiva; la seconda è che
la scienza cognitiva dà una sola risposta, e che è la loro. In generale la scienza
non dà mai una sola risposta, e tanto meno definitiva.
11
Corsivo aggiunto.
p. 4.
13
p. 4. Maggiori chiarimenti su questa caratterizzazione verranno forse dal seguito;
probabilmente vuol dire che non ha significato, perché il significato è situato e il trascendente non è situato, ma se è da intendere cosı̀ allora la questione è risolta con una
definizione.
14
p. 3.
12
8
4
Matematica e attività umane
Prima di immergerci nell’esposizione di LN, è utile ricordare che, nella loro
formulazione generalissima, le tesi sul carattere situato della matematica
(della mente tout court per la scienza cognitiva) lungi dall’essere estranee
ad una comunità che sarebbe costituita solo da platonisti impenitenti suonano piuttosto come la scoperta dell’acqua calda.
Si potrebbe ricordare John Stuart Mill in tempi vicini a noi e tutta la
tradizione empirista prima di lui, che risale ad Aristotele; si potrebbero ricordare i sassolini dei Greci che hanno dato origine al calcolo; più in generale
la logistica, prima aritmetica greca.
La logistica15 era una scienza del numero, e comprendeva precisamente
l’arte del calcolo. Essa trattava di “cose numerate” piuttosto che di “numeri”,
a parte l’uno: trattava il 3 come una terna e il 10 come una decina; ma copriva
le quattro operazioni e le frazioni, ed era usata per risolvere problemi pratici
di commercio. Alcuni problemi tramandati fino a noi riguardano la divisione
di certe quantità di mele tra persone, o il peso di orci. I problemi portano
ad equazioni lineari e in qualche caso all’analisi indeterminata. Al di là della
logistica, il resto degli argomenti teorici, la vera e propria aritmetica, con
poche eccezioni era trattata in simbiosi con la geometria.
Ci siamo soffermati sulla logistica perché il lettore faccia in seguito un confronto con quanto dicono LN sull’origine dell’aritmetica, ma non potendo fare
una storia della matematica o della filosofia della matematica, ci limitiamo
ora a riportare alcuni brani del pensiero di un matematico contemporaneo
che passa per un formalista16 .
La matematica inizia con interrogativi e problemi che hanno a che
fare con aspetti combinatori e simbolici dell’esperienza umana.
Alcuni di questi aspetti risultano essere sistematici e intrinseci
piuttosto che arbitrari o legati ad un solo contesto. Sono essi che
diventano la materia della matematica elementare. Da questo
punto di partenza l’argomento si sviluppa fino a diventare l’analisi
deduttiva di un gran numero di strutture formali molto diverse
tra loro ma reciprocamente collegate.
15
Si veda Sir Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, Dover, New York, 1981,
vol. I, pp. 13-6.
16
S. Mac Lane, “Mathematical models: A sketch for the philosophy of mathematics”,
Amer. Math. Monthly, 88, 1981, pp. 462-71.
9
Queste strutture sono state derivate dall’esperienza in molti stadi
succesivi; per astrazione da numerose osservazioni del mondo,
dei problemi che pone e dell’interconnessione di questi problemi.
Queste osservazioni possono essere descritte come aventi origine
da una varietà di attività umane, ciascuna delle quali conduce più
o meno direttamente a una corrispondente parte della matematica:
Conteggio
Misura
Forma
Costruzione
Stime
Moto
Calcolo
Argomento
Rompicapo
Raggruppamento
: aritmetica e teoria dei numeri
: numeri reali, calcolo, analisi
: geometria, topologia
: simmetria, gruppi
: probabilità, teoria della misura, statistica
: meccanica, calcolo dinamica
: algebra, analisi numerica
: logica
: combinatoria, teoria dei numeri
: teoria degli insiemi, combinatoria
Queste varie attività non sono affatto completamente separate;
esse interferiscono in modi complessi . . . Le due parti di questa
tabella dovrebbero essere messe in corrispondenza, e in parte già
lo sono, con diverse frecce di collegamento.
. . . concludiamo che la matematica è iniziata da varie attività
umane che suggeriscono oggetti ed operazioni (addizione, moltiplicazione, confronto di misure) e cosı̀ conducono a concetti (numeri primi, trasformazioni) che quindi sono inseriti in sistemi
assiomatici (aritmetica di Peano, geometria euclidea, il sistema
dei numeri reali, teoria dei campi ecc.). Risulta che questi sistemi codificano proprietà più profonde e non evidenti delle varie
attività umane che ne sono all’origine. Per esempio, la nozione
di gruppo, benché assiomaticamente molto semplice, rivela proprietà comuni al moto (gruppi di rotazione e di traslazione) alla
simmetria (gruppi di cristalli) e alle manipolazioni algebriche
(gruppi di Galois, gruppi di Lie per le equazioni differenziali).
Similmente molti altri concetti matematici (come quello di funzione, o di ordine parziale) sono sia semplici di struttura sia pervasivi nelle applicazioni. Semplicità ed applicabilità sono rese
effettive dal trattamento formale delle nozioni relative.
10
...
[Riassumendo provvisoriamente] La matematica parte da una
varietà di attività umane, ne estrae un numero di nozioni che
sono generiche, non arbitrarie, e formalizza tali nozioni e le loro
molteplici relazioni.
A causa dell’elaborato sistema integrato che formano le idee, ciascuna nozione matematica è legata alla sua origine empirica in
molteplici modi. Di conseguenza, nessuna descrizione semplicistica della matematica può essere adeguata.
Una citazione analoga può essere estratta da uno scritto maggiormente
elaborato17 .
Questo [primo] capitolo, partendo dallo studio di numero, spazio,
tempo e moto ha condotto alla descrizione di diverse nozioni formali . . .
Queste nozioni formali nascono in larga misura da interessi prematematici che possono benissimo essere descritti come “attività
culturali umane”. Per questa ragione, la nostra analisi della genesi della Matematica metterà in evidenza un certo numero di tali
attività.
Spesso chiarisce molto il dire che un’attività dà origine in un
primo momento a qualche “idea” nebulosa che alla lunga viene
formalizzata, eventualmente formalizzata in più di un modo. Per
esempio il processo di contare suggerisce l’idea del “successivo”
- il prossimo oggetto da contare o il prossimo numero da usare
o la prossima cosa in qualche lista ordinata . . . L’idea “successivo” appare poi in altre forme: il primo ordinale al di là di un
dato insieme di ordinali, il prossimo passo in un programma per
calcolatore.
Questo tipo di fonte della forma matematica . . . può essere riassunto in una tabella, dove ogni attività suggerisce un’idea e la
sua susseguente formalizazione:
17
S. Mac Lane, Mathematics Form and Function, Springer, Berlin, 1986.
11
Attività
Collezionare
Contare
Confrontare
grandezze
Calcolare
Idea
Collezione
Successivo,
prossimo
Enumerazione
Combinazione
di numeri
Riordinare
Permutazione
Tempo
Osservare
Costruire,
dare forma
Misurare
Prima e dopo
Simmetria
Figure;
simmetria
Distanza;
estensione
Cambiamento
Muoversi
F ormulazione
Insieme
Successore, ordine
Numero ordinale
Biiezione
Numero cardinale
Regole addizione
Regole moltiplicazione
Gruppo abeliano
Biiezione
Gruppo di permutazioni
Ordine lineare
Gruppo di trasformazioni
Collezioni di punti
Spazi metrici
Moto rigido
Tasso di cambiamento
Stimare
Approssimazione Continuità
Limite
Vicinanza
Spazio topologico
Selezionare
Parte
Sottoinsieme
Algebra di Boole
Argomentare
Dimostrare
Particelle logiche
Scegliere
Caso
Probabilità
Azioni successive Seguito da
Composizione
La tabella vuole essere indicativa, non dogmatica. Con “idea”
s’intende qualcosa che abbia un contenuto intuitivo; esso può
servire da vettore per il ben noto fenomeno della “intuizione
matematica”. La stessa idea può emergere da disparate attività
ed essere il sostegno di diverse differenti formalizzazioni.
Anche dopo che le nozioni matematiche di base sono state sviluppate da queste attività ed idee, continuano ad esserci stimoli dal
12
di fuori della matematica. Spesso prendono la forma di problemi
matematici che sorgono in altre scienze e richiedono l’applicazione
della matematica . . .
Alcune nozioni matematiche formali hanno un’origine più complessa. Rientra tra queste la nozione di “insieme”. L’idea di una
collezione è certamente presente quando contiamo, ma a questo
livello non si può dire che sia un utile candidato alla formalizzazione [segue la descrizione di vari contesti in cui lo studio di
insiemi si presenta in modo naturale]18 .
La tesi esposta da Mac Lane della produzione umana della matematica
rende attuale il problema dell’incredibile efficacia della matematica, a cui
non si può rispondere appellandosi ad esempio ad armonie prestabilite:
Come mai succeede che importanti aspetti del mondo reale possono in effetti essere analizzati accuratamente per mezzo di austere deduzioni dagli assiomi? In altre parole, come è possibile
che la logica calzi il mondo; come si può rendere ragione della
straordinaria e inaspettata effettività della matematica formale?
La domanda può essere formulata anche per casi particolari espliciti:
Come mai il calcolo formale della meccanica newtoniana del moto
dei corpi risulta aderire al loro effettivo movimento?
Come mai succede che le proprietà teoriche dei problemi dei
valori al contorno per le equazioni differenziali descrivono cosı̀
bene molti aspetti dell’elettricità, dell’ottica, della meccanica,
dell’idrodinamica e dell’elettrodinamica?
Come mai il calcolo differenziale sembra funzionare sia per la
fisica che per i problemi di massimo locale dell’economista?19
L’ultima esemplificazione del problema dell’effettività è ben scelta in quanto
rende banale e non accettabile la risposta semplicistica che la matematica
funziona perché è estratta dalle attività concrete nel mondo. Il mondo degli
economisti non esiste da sempre e ovunque.
18
19
pp. 34-6.
pp. 466.
13
Ci siamo dilungati con la citazione per far vedere come i matematici siano
ben consapevoli della natura umana della matematica e della sua origine in
attività fisiche o culturali ma sempre della vita quotidiana.
Un altro autore che conduce una feroce battaglia contro il platonismo
e la trascendenza è Reuben Hersh20 . I suoi bersagli polemici sono i miti
della unità, universalità, certezza, oggettività. Anch’egli ha una serie di tesi
“umanistiche”, negazioni di quelle “platonistiche”:
• La matematica è umana . . . integrata nella natura umana.
• La matematica non è infallibile.
• Gli oggetti matematici sono una varietà speciale degli oggetti storicosociali.
• ...
Hersh come si capisce si colloca nel filone sociologico: gli oggetti matematici devono la loro oggettività alle istituzioni sociali.
Gli oggetti matematici sono stati creati dagli esseri umani. Non
arbitrariamente ma a partire dalle attività che si possono fare
con gli oggetti matematici pre-esistenti e a partire dalle necessità
delle scienze e della vita quotidiana.
Quindi Hersh non ha nulla da dire sulla formazione di questi oggetti; citando
Durkheim egli distingue tra gli stati di coscienza che derivano dall’interno
dei nostri organismi e quelli che derivano e sono oggettivizzati dalla società,
tra i quali rientrano quelli che si riferiscono alla matematica.
Per il passaggio cruciale dalla matematica pratica e informale a quella
formale, ad esempio dagli aggettivi numerali (“due mele”) ai sostantivi (“due
è primo), Hersh si limita a ricordare che tutti, da Aristotele in poi, fanno
riferimento a qualche forma di astrazione. La società sanziona la legittimità,
ma non spiega la formazione.
Oltre ai matematici, altri che non provengono dalla scienza cognitiva ma
dall’etnologia o dalla psicoterapia rilevano il legame della matematica con
il corpo21 , innanzi tutto nel contare (“un numero equivale in primo luogo
20
R. Hersh, Che cos’è davvero la matematica (1997), Baldini&Castoldi, Milano, 2001.
Si veda ad esempio la psicoterapeuta Anne Siety e il suo Matematica, mio terrore,
Salani, Milano, 2003.
21
14
ad una serie di dita”, ma anche l’intero corpo può intervenire), o nei giochi
dei bambini con le biglie che non sono altro che una versione aggiornata dei
sassolini greci. Siamo ben avvertiti che le parole della matematica sono anche
legate allo psichismo, alle emozioni.
Purtroppo le affermazioni sull’origine concreta della matematica nelle attività corporee o quotidiane sono, a tutt’oggi, sempre al più delle allusioni,
espressioni di buon senso, se non di banalità.
Pare lapalissiano che qualcosa che è prodotto dall’uomo dipenderà dalle
capacità dell’uomo, e quindi dal suo cervello, a meno naturalmente di pensare che esiste un’anima indipendente, soffiata nel corpo al momento della
concezione o dopo 14 giorni, e di cui non si sa nulla, se non che è capace di
cogliere il divino e quindi, perché no, una matematica divina.
Ma è difficile andare al di là delle connessioni indicate da Mac Lane, in
gran parte scontate, e nessuno l’ha ancora fatto. Si sfruttano i riferimenti
storici (i misuratori di aree egiziani, i calcoli economici babilonesi) ma si va
poco avanti a spiegare come sorgono le idee.
I matematici sono invece bravi (alcuni) a spiegare come poi dalle idee
sorgono le formalizzazioni, e i veri e propri concetti matematici; Mac Lane
infatti dopo le osservazioni riportate non torna più sull’argomento, e si dedica
invece allo studio dei concetti formali, del loro raffinamento e diversificazione
e delle mutue relazioni e fecondazioni.
Sarebbe molto desiderabile che l’analisi fosse approfondita nella direzione
carente, cioè proprio verso i meccanismi cognitivi e possibilmente cerebrali.
Non basta dire che la matematica è prodotta dalla mente umana, o dal
cervello; già Kant insegnava che sono le nostre menti ad imporre l’universalità
di aritmetica e geometria. Dagli scienziati cognitivi ci si aspettano indicazioni
più precise e soprattutto scientificamente fondate.
L’attesa per una chiarificazione del genere, anche solo abbozzata, spiega
la grande attenzione che è stata dedicata al libro al momento della sua pubblicazione, “un tentativo senza precedenti di basare la matematica avanzata
sul funzionamento del cervello” (R. Hersh). Purtroppo sul funzionamento
del cervello come vedremo non c’è nulla che riguardi la matematica avanzata. Sarebbe già molto se si avesse qualche indicazione sulla matematica
elementare.
LN ricordano nel primo capitolo le recenti scoperte relative al senso della
numerosità innato. Per saperne di più si deve consultare il recente libro di
15
S. Dehaene22 .
Il senso della numerosità è innato perché si manifesta nei primi giorni di
vita e si ritrova in molti animali; esso permette di riconoscere numerosità
diverse sotto al 4, e anche di eseguire le più semplici addizioni e sottrazioni,
sotto quella soglia.
La caratteristica più interessante è la subitizzazione (subitizing) o risposta
immediata di fronte a piccoli insiemi, senza eseguire calcoli non solo simbolici
ma neanche analogici. Al di sopra di 4 iniziano fenomeni di distorsione o
approssimazione del senso della numerosità.
Che il senso della numerosità sia innato vuol anche dire che non è legato ad
un tipo particolare di percezione, visiva, uditiva o tattile, è transpercettivo.
Quindi non è attivato da particolari circuiti senso-motori. Questo fatto è
da tener presente come un problema quando si afferma che i calcoli e la
manipolazione di concetti si collegano all’attivazione di circuiti senso-motori.
Anche nelle ricerche neurofisiologiche e psicologiche che mettono in luce
la dotazione matematica innata manca sempre il passaggio al formale.
Al massimo viene messo in luce qualche fenomeno curioso di interferenza
del senso della numerosità con l’aritmetica simbolica.
Si può dire che, nonostante i molti progressi e le interessanti informazioni
sul funzionamento del cervello in occasione di prestazioni matematiche, anche
formali, come l’individuazione di diverse aree cerebrali interessate e della loro
attivazione coordinata, poco o nulla ancora si sa sulla formazione dei concetti
e degli algoritmi matematici.
Il libro di LN promette di rivelare il link mancante.
22
Si veda S. Dehaene, The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics, Oxford
univ. Press, Oxford, 1997, trad. it. Il senso del numero. Si veda anche G. Lolli, “La
matematica, la mente, il cervello”, Boll. UMI , Sez. A, n. 2, 2000, pp. 121-46, oppure “Il
cervello matematico”, Nuova Civiltà delle Macchine, 18, n. 3, 2000, pp. 70-85.
16
5
L’anello mancante
LN affermano che molti meccanismi cognitivi che non sono specificamente
matematici sono all’opera nella caratterizzazione di idee matematiche; tra di
essi, elencano quelli usati per idee come “relazioni spaziali, raggruppamenti,
valutazioni di piccole quantità, moto, distribuzione di cose nello spazio, orientamento del corpo, manipolazioni di oggetti, quali rotazioni e stiramenti,
ripetizione di azioni e altre simili”. Constatano dunque che “le idee matematiche . . . sono spesso radicate nell’esperienza quotidiana”23 .
Notiamo una volta per tutte che LN hanno la cattiva abitudine di usare parole come “spesso”, “molte” quando sarebbe desiderabile una migliore
precisione.
Come si vede, sono quasi le stesse attività indicate da Mac Lane, a parte
che si parla di idee più che di attività e che tutto si svolge nell’inconscio cognitivo: il formare mucchi è collegato all’idea di classe, la rotazione all’aritmetica
dei numeri complessi, il movimento e l’avvicinamento a una meta alla derivata
e al limite.
Non basta tuttavia neanche secondo LN limitarsi a tali ovvie costatazioni.
Occorre chiedersi, e rispondere
esattamente, quali concetti quotidiani quali e meccanismi cognitivi sono usati ed esattamente in che modo nella concettualizzazione inconscia delle idee tecniche della matematica?24
La risposta è precisa e netta, e semplice: la metafora.
Le “scoperte rivoluzionarie degli ultimi anni” nelle scienze cognitive di cui
LN fanno tesoro sono la mente situata e il pensiero metaforico. Incominciamo
da quest’ultimo (l’incarnazione della mente è più una posizione filosofica che
non una scoperta):
Nella maggior parte dei casi gli esseri umani concettualizzano i
concetti astratti in termini concreti, usando idee e modi di ragionare radicati nel sistema senso-motorio. Il meccanismo attraverso il quale l’astratto è compreso in termini di concreto si
chiama metafora concettuale 25 .
23
p. 29.
p. 29.
25
p. 5.
24
17
La metafora concettuale è “un meccanismo cognitivo che ci permette di ragionare su una cosa di una specie come se fosse di un’altra”26 .
La metafora non è solo un fenomeno linguistico, bensı̀ si riferisce ai
pensieri. Il suo significato preciso è quello di un’applicazione situata transsettoriale che conserva inferenze 27 .
Con questo s’intende “un meccanismo neurale che permette di usare la
struttura inferenziale di un dominio concettuale per ragionare su di un altro,
per esempio quella della geometria per fare aritmetica”. Il primo esempio
proposto è la metafora che “I numeri sono punti su una retta”.
Nella definizione di metafora concettuale si presentano al lettore due ambiguità.
La prima è che a distanza di poche righe le due citazioni ci prospettano la
metafora concettuale prima come un meccanismo per comprendere l’astratto
attraverso il concreto, e subito dopo come un meccanismo per comprendere
un dominio in termini di un altro, ma magari allo stesso livello di astrattezza.
L’esempio della metafora dalla geometria all’aritmetica pare ovviamente del
secondo tipo.
L’ambiguità è voluta, anche se non per questo meno fastidiosa, perché LN
intendono spiegare tutta la matematica con un solo meccanismo concettuale
(anche se il motivo di tale orientamento metodologico, discutibile, non è
chiaro). La prima accezione di metafora concettuale servirà per i concetti
fondamentali; la seconda per la riduzione di tutta la matematica, per quanto
astratta, allo stesso unico meccanismo di produzione.
Ma se il primo tipo di metafora si può considerare situato, il secondo no28 ,
e tuttavia LN non fanno alcuna differenza tra di essi.
Un’altra perplessità consiste nel fatto che da una parte di parla di “concetti quotidiani”, dall’altra ci viene detto che si tratta di “meccanismi neurali”, ma senza alcuna indicazione, né ora né in seguito, di come e dove si
realizzi il radicamento neurale. Sembra quasi che per definizione i concetti
quotidiani siano meccanismi neurali.
Un’unica volta si fa di nuovo un riferimento esplicito ai circuiti neurali:
alle pp. 29-45 sono descritti i concetti elaborati dalla scienza cognitiva per
26
p. 6.
A grounded, inference-preserving cross-domain mapping, p. 6.
28
Il fatto che un’applicazione sia detta situata perché ha una corrispondenza neurale non
significa nulla; tutto per un materialista ha un correlato neurale; un’applicazione dovrebbe
essere chiamata situata se a livello neurale si ha un collegamento tra aree senso-motorie e
altre.
27
18
spiegare il funzionamento e il radicamento della metafora.
Nel nostro linguaggio (con varianti per ogni linguaggio particolare) l’uso
di alcune parole che hanno a che fare con relazioni spaziali, visione, contenimento, e movimento si decompone secondo LN nel contributo di alcuni
primitivi, che appaiono universali.
Ad esempio la frase “il bicchiere è sul tavolo” è scomposta in una simultanea presenza di affermazioni o riconoscimento di posizione (sopra, più in
alto) di contatto e di sostegno. Si parla di schemi cognitivi che stanno dietro al pensiero. In particolare quelli menzionati sono schemi di immagine,
il primo di orientamento, il secondo topologico (assenza di lacune), il terzo
dinamico (forze).
Analogamente quando si dice “dentro”, “in”, “nel” o “fuori” ecc. interviene uno schema di contenimento, che è articolato nella presenza di un
interno, una frontiera e un esterno, sempre indissolubilmente presenti.
Tali schemi sono sia concettuali che percettivi e costituiscono il legame
tra il linguaggio e i sensi, tra il linguaggio e la percezione spaziale; gli schemi
di immagine costituiscono un ponte tra linguaggio e ragionamento da una
parte e visione dall’altra. Come capita spesso con i concetti di LN, la loro
funzione tende tacitamente ad espandersi: gli schemi di immagine si adattano
alla percezione visiva, ma si possono anche imporre in altre situazioni, come
quando si dice ad esempio che “vediamo uno sciame di api in giardino e non
c’è alcun contenitore”.
Inoltre gli schemi di immagine hanno una logica incorporata su cui torneremo.
Altri schemi sono quelli del controllo motorio e della origine-camminometa.
L’importanza di tali osservazioni per la matematica situata è secondo
LN la seguente: concetti collegati al contenimento e all’orientamento sono
importanti in matematica, ma non sono esclusivi della matematica, bensı̀
sono usati nel linguaggio in generale.
Come ogni altro concetto, essi sorgono solo per via di meccanismi neurali nel tipo appropriato di circuiteria neurale. Di particolare interesse è il fatto che una circuiteria neurale evoluta per
altri scopi sia una parte intrinseca della matematica, il che suggerisce che la matematica incarnata non esiste indipendentemente
da altri concetti incarnati della vita quotidiana. Al contrario,
la matematica sfrutta le nostre capacità adattive - capacità di
19
adattare altri meccanismi cognitivi per gli scopi della matematica29 .
Queste osservazioni non sono nuove; nel citato libro di Dehaene si trovano
esempi precisi del fenomeno che le stesse aree del cervello sono legate sia ad
attività matematiche che ad altre, spaziali o linguistiche, oppure che quelle
matematiche con lo sviluppo invadono aree diversamente finalizzate.
La formulazione di LN rispetto a quella della neurofisiologia è più vaga
per quando riguarda localizzazione e prove dell’adattamento o della sovrapposizione, mentre è più decisa nel sostenere che (in certi casi) si attivano gli
stessi circuiti neurali. Probabilmente, se e nella misura in cui questo è vero,
si realizza anche come minimo un concorso di altre aree, ad esempio quelle
dedicate alle elaborazioni simboliche.
Ma la nostra curiosità sarebbe quella di sapere quali sono questi circuiti e quando si attivano. Le indicazioni della neurofisiologia sono ancora
provvisorie e tentative e non si possono far passare per acquisizioni scontate. Occorrerebbe come minimo allegare a prova i reperti di imaging del
cervello. Quando si vede un bicchiere sul tavolo e si dice che si vede un
bicchiere sul tavolo si attivano aree del cervello corrispondenti ai tre schemi
indicati? Gli schemi stessi, come quello topologico, hanno circuiti dedicati?
Se sı̀ vorremmo che LN ce lo dicessero.
Se non c’è un radicamento fisiologico tutto questo è wishful thinking,
oppure sono ipotesi, per quanto probabilmente fruttuose.
L’argomento di LN comunque appare circolare. Si scompongono affermazioni comuni complesse con un’analisi che porta a primitivi elementari, i
quali sono espressi in termini che sono matematici: orientamento, contenimento, topologia, forze. Quindi si constata, come fosse una scoperta o una
sorpresa, che la matematica fa uso di questi concetti. Questo rilievo sulla
circolarità è di grande importanza, per un’opera che ha ambizioni teoriche
e fondazionali, e merita soffermarsi su di esso, perché è alla base di una
possibile alternativa alla impostazione di LN.
Consideriamo il caso dello schema del contenimento; esso ha secondo LN
una logica incorporata espressa dalle due affermazioni:
1. Dati due schemi di contenimento A e B e un oggetto X, se A è in B e
X è in A, allora X è in B.
29
p. 33.
20
2. Dati due schemi di contenimento A e B e un oggetto Y , se A è in B e
Y è fuori di B, allora Y è fuori di A.
“Logica incorporata” (built in) significa che “non dobbiamo fare operazioni
deduttive per trarre tali conclusioni. Esse sono auto-evidenti dalle immagini”
della Figura 2.1 associata30 . Che siano evidenti in base ad una figura spiega
forse perchè lo schema di contenimento sia chiamato uno schema di immagine.
Non è chiaro peraltro se le due leggi proposte siano le uniche che costituiscono
la logica di “in” o ce ne siano altre (la 2 è logicamente equivalente alla 1 per
contrapposizione, ma non è detto se invece qui siano pensate indipendenti
oppure siano state sdoppiate solo a scopo di illustrazione).
Ma veniamo alla figura. Essa ci mostra prima in (a) figurativamente un
bicchiere dentro una caraffa e una pallina dentro il bicchiere e una fuori della
caraffa. Ma ad essi è affiancato in (b) il disegno di due insiemi uno contenuto
nell’altro, con il commento:
Noi concettualizziamo i contenitori fisici in termini di contenitori
cognitivi, come è mostrato in (b) . . . Gli schemi di contenimento
sono le strutture cognitive che ci permettono di dare senso ai
familiari diagrammi di Venn.
Capire questa chiosa sarebbe un gran passo nella comprensione di tutto il
pensiero di LN, ma non è facile. Innanzi tutto nel primo disegno la caraffa
e il bicchiere sono chiamati schemi di contenimento, i quali dopo diventano
strutture cognitive; il che fa pensare che il soggetto sia in grado di vedere
(o applicare) uno schema attraverso l’oggetto concreto. Se siamo in grado
di vedere da (a) le leggi 1 e 2, come viene ivi affermato, i contenitori di
(a) non sono fisici, ma schemi. Solo il secondo disegno con i diagrammi di
Venn tuttavia fa affermare che noi concettualizziamo i contenitori fisici come
contenitori cognitivi. I contenitori cognitivi sarebbero dunque i diagrammi
di Venn.
Ma i diagrammi di Venn sono un concetto e una tecnica matematica
inventata nel tardo Ottocento31 ; se sono loro i contenitori cognitivi, non
si può dire che la matematica usa lo schema di contenimento per capire i
concetti di appartenenza o inclusione. È esattamente il contrario (in questo
30
pp. 31-3.
Meglio sarebbe dire diagrammi di Eulero-Venn, e ancora, perché quelli proposti sono
solo rappresentazioni di insiemi, le tradizionali “patate”, ma non i classici diagrammi di
Eulero-Venn con le caratteristiche usate per i sillogismi.
31
21
esempio): usiamo un concetto matematico per capire la generalità che si
presenta nel discorso concreto del contenere.
Il caso su cui LN si dilungano di più è quello del controllo motorio e del
lavoro di Narayanan32 e di nuovo si rileva una non risolta circolarità.
Ci viene detto che tutti i programmi per il controllo motorio contemplano
vari stadi, o condizioni, come: preparazione, inizio, interruzione, ripresa,
obiettivo, completamento, stato finale. Questa superstruttura comune mette
in luce le proprietà necessarie per un sistema di controllo motorio neurale,
naturale o artificiale. Narayanan si è accorto che la stessa struttura si ritrova
in quello che i linguisti hanno chiamato “aspetto”, ovvero la strutturazione
degli eventi. Dunque la stessa struttura neurale usata nel controllo di schemi
motori complessi può anche essere usata per ragionare su eventi e azioni.
Secondo LN il lavoro di Narayanan è la prova che i sistemi di controllo
per i movimenti dei corpi hanno le stesse caratteristiche necessarie per fare
inferenze razionali nella struttura degli eventi. Ma questo non significa che
gli stessi circuiti neurali siano usati per entrambe le prestazioni, e neanche
che siano sovrapposti o che si attivino in parallelo. Se sı̀, di nuovo vorremmo
delle evidenze; ma di nuovo sarebbe irrilevante: non è da queste eventuali
osservazioni neurologiche che Narayanan ha tratto le sue conclusioni, bensı̀,
ci viene detto, dall’esame di programmi. Siamo a un livello di descrizione
molto astratto, parliamo di modelli formali.
L’applicabilità di uno stesso modello formale a diverse situazioni è una
proprietà tipica della matematica; non può servire a provare qualcosa sulla
formazione del modello astratto né che le diverse situazioni modellate coincidano in altre caratteristiche che in quelle messe in luce dal modello.
Infine abbiamo l’ammissione che manca ancora l’elemento più importante,
che consiste nei simboli. I simboli per LN sono significativi in virtù dei
concetti a cui si attaccano, e questi sono dati in termini cognitivi. Su questa
assunzione si basa gran parte della trattazione di LN. Ma “quelle strutture
cognitive dovranno alla fine aver bisogno di una spiegazione neurale di come
il cervello le crea sulla base della struttura neurale e delle esperienze corporee
e sociali”33 .
A quanto pare non l’hanno ancora, e affrontare un discorso sulla matematica con una tale carenza è veramente coraggioso.
Ad ogni modo nel corso dell’esposizione ogni tanto è ripetuto con certezza
32
33
pp. 34-7.
p. 49.
22
che “ogni applicazione metaforica è caratterizzata neuralmente da un insieme
fissato di connessioni che collegano i domini concettuali”34 , cosa che non è
affatto stata provata.
Ad esempio si afferma quanto segue:
Se a un bambino si dà un gruppo di tre blocchi, il bambino
subitizza automaticamente e inconsciamente che sono tre. Se se
ne toglie uno, il bambino subitizza il restante gruppo come due
di numero.
Tali esperienze . . . coinvolgono correlazioni tra addizione e aggiunta di oggetti e tra sottrazione ed estrazione di oggetti.
Tali correlazioni regolari, ipotizziamo, risultano in connessioni
neurali tra operazioni fisiche senso-motorie come il togliere un
oggetto da una collezione e operazioni aritmetiche come la sottrazione di un numero da un altro. Tali connessioni neurali, crediamo, costituiscono una metafora concettuale al livello neurale35 .
Credono e ipotizzano, e magari avranno ragione, ma nel seguito queste
affermazioni sono ripetute senza qualificazione dubitativa ogni volta che si
parla di una metafora, a ribadire la funzione incarnante di quest’ultima.
Le leggi logiche ad esempio
sono entità cognitive e come tali incarnate nella struttura neurale
che caratterizza gli schemi di contenimento36 .
Notiamo peraltro che le affermazioni suddette, oltre che non provate, come
del resto sarebbe ammesso se fossero dichiarate ipotesi, sono vaghe e imprecise. Le “correlazioni tra addizione e aggiunta di oggetti e tra sottrazione ed
estrazione di oggetti” dovrebbero essere correlazioni neurali; tra quali aree?
Con qualsiasi metafora incarnata si dovrebbero attivare simultaneamente i
circuiti dell’operazione fisica e altri; è plausibile, ma non è portato alcun elemento probatorio sperimentale. Certo si sa che gli infanti hanno le capacità
ricordate, fino alla numerosità quattro, ma il collegamento tra la formazione
di gruppi e il conteggio non è individuato a livello neurale; se nel conteggio
entrano numeri col loro nome, e non solo il riconoscimento di uguaglianza o
34
p. 60.
pp. 54-5.
36
p. 135.
35
23
diversità, diverse sono le aree che vengono attivate simultaneamente. Questi
legami fisici o circuiti fissi dovrebbero essere indicati e provati, e non lo sono.
24
6
Vari tipi di metafora
Le metafore non servono solo a parlare, ma anche a capire. Uno dei risultati principali della scienza cognitiva secondo LN è che “i concetti astratti
sono tipicamente 37 compresi, attraverso una metafora, in termini di concetti
più concreti”. La metafora concettuale viene chiamata in questo modo, se
abbiamo inteso bene, perché non è detto, proprio per la sua funzione di
comprensione, e non solo di abbellimento linguistico.
L’affetto ad esempio si concettualizza in termini di calore, e si esprime con
parole corrispondenti (“è stata fredda con me”, “hanno rotto il ghiaccio”);
l’importanza in termini di grandezza (“è un grande lavoro”); la somiglianza
con la vicinanza (gli esempi sono migliori in inglese, ad esempio nell’uso
dell’aggettivo close); le difficoltà con il peso (“un fardello”).
Ci sarebbe da discutere, perché è fuori di dubbio che le metafore indicate
intervengono, e pesantemente38 , nei discorsi su queste nozioni astratte, ma
se si deve spiegare cosa significano tali concetti è difficile che si ricorra alla
metafora: per spiegare cosa vuol dire che una persona vuole bene ad un’altra
non si dice che sente caldo; per spiegare cosa è una difficoltà non si dice che è
un peso, anche se chi è in difficoltà si esprime cosı̀. In verità si concettualizza
con discorsi infarciti di termini concreti il vissuto soggettivo (cioè uno si
esprime cosı̀ quando parla di se stesso), e non sorprende allora che si usino
riferimenti corporali e fisici, ma forse la trattazione dei concetti in sé richiede
altro.
C’è un’espressione illuminante a questo proposito, ed è “fuor di metafora”.
Quando si chiede a qualcuno di parlare fuor di metafora significa che la
metafora non aiuta a capire, al contrario, e che è possibile esprimersi senza
uso di metafore.
Una parola occorre ripetutamente, ossessivamente, nell’esposizione, ed è
“concettualizzare”. Confessiamo di non aver chiaro il suo significato. Sembra
voler dire “comprendere in termini di”, ma negli esempi le metafore sono
usate più per esprimere che per comprendere. Un concetto astratto può
essere presentato con molteplici riferimenti ad atti o comportamenti o realtà
concrete che ricadono sotto di esso, e relative metafore (ad esempio l’amore
di una madre per il figlio con l’alimentazione, le effusioni, la protezione e
simili) ma non si identifica con nessuno di questi né con la loro somma, e lo
37
38
Corsivo aggiunto.
Metafora.
25
si sa (si può capire che una madre non ama un figlio anche se rispetta tutte
quelle specifiche).
Dietro alla ingannevolmente semplice affermazione che “i concetti astratti
sono tipicamente compresi, attraverso una metafora, in termini di concetti
più concreti” si nasconde una teoria della conoscenza che non è esplicitata, riguardo soprattutto all’introduzione di concetti astratti nuovi (come
potrebbe essere per il primo che ha parlato di “amore” oppure come è il caso
particolarmente importante della matematica).
Possiamo accettare che ci sia tanta verità in questa osservazione, ma non
nel modo assoluto ed esclusivo che viene sostenuto.
Non potrebbe anche valere il viceversa? Un caso significativo, perché
coinvolge proprio la matematica, è segnalato da A. Siety. Ci si serve spesso
della matematica per parlare dell’essere umano, ad esempio quando si allude
all’equazione personale di qualcuno. Una citazione di Proust:
Non era meglio che, dei gesti che facevano, delle parole che dicevano, della loro vita, della loro natura, cercassi di descrivere la
curva e di estrarne la legge?39
Altri esempi, dove come minimo l’astratto è concettualizzato in termini astratti (se si considera la malattia come un concetto astratto, come sembra
plausibile) si possono ricavare dalla Malattia come metafora di Susan Sonntag.
All’interno della matematica poi, sono molto interessanti, e numerosi, i
casi nei quali è l’astratto che permette di chiarire o capire il concreto.
Per procedere nell’esposizione di LN, occorre introdurre una terminologia
tecnica sulle metafore.
La metafora si articola in un dominio fonte o origine (source), in un
dominio bersaglio (target) e in una mappa dall’uno all’altro che, ci viene
detto, conserva la struttura inferenziale.
Con questo si deve intendere probabilmente l’insieme dei tipi di inferenza
che si fanno di solito in un dominio. Una struttura inferenziale infatti non
è la struttura di un dominio, ma del modo come ragioniamo a proposito
del dominio. Forse LN si esprimono in questo modo perché pensano alle
inferenze che sono implicite nell’uso di parole fondamentali quando si parla
di un dominio, come nell’esempio di “in”.
Una metafora è formulata in generale nella forma “X è Y ”, o
39
cit. da A. Siety, cit.
26
gli X sono Y ,
dove X sono elementi del dominio bersaglio e Y del dominio fonte.
Uno dei primi esempi dettagliati portati ad illustrazione è la metafora
“Le categorie sono contenitori”, per mezzo della quale noi concepiamo o
comprendiamo una categoria come un contenitore40 .
L’applicazione viene rappresentata con alcune corrispondenze la cui lista,
come al solito, non si capisce se sia esaustiva o contenga solo esempi e casi
significativi.
Nel caso della metafora in questione abbiamo una mappa
Bersaglio
F onte
Regioni limitate
→ Categorie
Oggetti interni
→ Membri della categoria
Una regione dentro un0 altra → Sottocategoria di una categoria
A questa mappa si associa la mappa inferenziale che contempla nell’ordine il
terzo escluso, il modus ponens, il sillogismo disgiuntivo e il modus tollens.
Ogni oggettoX
o è nel contenitore A
o è fuori di A
→ Ogni ente X
o è nella categoria A
o è fuori di A
Se l0 oggetto X è in A
e A è in B
allora X è in B
→ Se l0 ente Xè in A
e A è in B
allora X è in B
Se A è in B
e B è in C
allora A è in C
→ Se A è in B
e B è in C
allora A è in C
Se A è in B
→ Se A è in B
0
e l oggetto Y è fuori di B
e l0 ente Y è fuori di B
allora Y è fuori di A
allora Y è fuori di A.
Si ha addirittura coincidenza tra le formulazioni delle due colonne, a parte
la sostituzione di “oggetto” con “ente” e la precisazione che a sinistra A e B
sono contenitori e a destra categorie.
40
pp. 43 ss.
27
La metafora proverebbe che “la logica booleana ingenua, che è concettuale,
sorge da un meccanismo per cettivo - la capacità di percepire il mondo in termini di strutture di contenimento”.
Sussistono forti dubbi che la cosa sia sensata, per quel che riguarda la
fondazione situata, cioè che ci sia una priorità delle leggi di contenimento su
quelle delle categorie, cioè che categorie e le leggi logiche siano introdotte o
capite con questa metafora.
Nella storia, l’inizio dei discorsi sulle categorie, nella filosofia antica, deriva
dal parlare di proprietà godute o no dagli individui, non dell’appartenere o
no a un insieme.
Nei sillogismi si dice sempre “tutti gli A sono B” non “A è contenuto in
B”, che è terminologia tarda, e deriva dalla matematica (A ⊆ B).
Si ha a proposito di questo esempio lo stesso fenomeno che con i diagrammi di Venn (d’altra parte sono la stessa cosa), cioè resta il dubbio che
sia la matematica ad aiutare (o ad essere compresente ne) la comprensione
dei contenitori, o regioni limitate di spazio in generale.
Oltre alle metafore concettuali dal concreto all’astratto ce ne sono di
altri tipi, o meglio con altre caratteristiche, visto che sono tutte chiamate
concettuali.
Innanzi tutto, mentre si penserebbe che le metafore concettuali siano il
modo per introdurre i primi e fondamentali concetti astratti della matematica, a partire dalla dotazione aritmetica innata non simbolica e dalle attività
corporee, siamo subito avvertiti di aspettarci di più. La metafora concettuale,
questa volta evidentemente con origine non concreta, “è il meccanismo cognitivo centrale di estensione dall’aritmetica alle applicazioni più sofisticate
dei numeri [trigonometria, calcolo infinitesimale, geometria analitica]”.
Per capire l’aritmetica stessa occorreranno anche metafore che hanno fonti
matematiche non numeriche, geometriche e insiemistiche ad esempio, e lo
stesso vale per i fondamenti insiemistici.
Non viene detto come queste metafore, in cui la fonte non è concreta, ma si
compongono e si sovrappongono a livelli multipli, conservino l’incarnazione,
né che cosa garantisca che venga conservata.
In seguito sarà detto che si tratta di un altro tipo di metafore, chiamate
metafore di collegamento (linking metaphor ).
Un’altro concetto è quello di miscela concettuale, quando si ha una corrispondenza tra due domini, ma l’applicazione va nei due sensi sia per i domini che per le strutture inferenziali. Allora si parlerà di miscela metaforica
(metaphorical blend ).
28
Si capisce già che questo concetto sarà il deus ex machina onnipresente,
il che solleva gli stessi dubbi delle metafore a fonte non concreta per quel che
riguarda l’incarnazione.
Infine esistono metafore che secondo LN introducono elementi nel dominio
bersaglio.
L’esempio proposto è quello dell’amore come impresa (di affari), dove gli
innamorati sono soci (partner ), una relazione d’amore è una società per affari
(business), i profitti della relazione sono i profitti di un’impresa e cosı̀ via.
Non pare l’esempio più felice. Non ho mai sentito parlare dei profitti di
una relazione amorosa, neanche in inglese, ma forse gli yuppies parlano cosı̀
dei loro amori.
Secondo LN, mentre nel campo dell’amore non ci sono profitti né lavoro,
la metafora li introduce prendendoli dal campo economico.
Con tutta la buona volontà, l’esempio non sembra stare in piedi. Non ci
sarà la parola “lavoro” (work ) nel vocabolario amoroso, ma quando si parla
di “metterci del lavoro nella relazione” si esprime qualcosa che nel campo41
dell’amore c’è, e si può esprimere ad esempio come “impegno”, o “dedizione”,
“applicazione”, “coltivare” (più che il business potrebbe entrarci il farming
o il gardening).
In seguito verranno altri esempi dalla matematica, e saranno ancora più
discutibili.
Verranno anche altri tipi di metafore, ad esempio quelle ridefinizionali 42 ,
e forse ancora altre che ora ci sfuggono.
Ma ora esaminiamo le metafore prime e più importanti che hanno a che
fare con la matematica.
41
42
Metafora.
Cantor, p. 150.
29
7
Le metafore fondanti
La dizione “metafore fondanti” non è traduzione del tutto felice del termine
originale grounding metaphor , che si riferisce alle metafore che “permettono
la proiezione dalle esperienze quotidiane ai concetti astratti”43 , a differenza
di quelle di collegamento.
La parole “fondazione” ha nella filosofia della matematica significati vari
ma diversi dal grounding. Le metafore fondanti sono ad ogni modo le metafore
che affondano le radici della matematica nel terreno del concreto, e possiamo
usare il termine in questo senso.
LN si chiedono quali capacità siano necessarie per passare dalla dotazione
innata del senso della numerosità alla matematica vera e propria. Per la
sola attività del contare, elencano: capacità di raggruppamento, di ordinamento, di accoppiamento, memoria, capacità di capire la fine di un processo, assegnazione di numeri (all’ultimo oggetto contato), comprensione
dell’indipendenza del conteggio dall’ordine.
Fino a 4 non c’è bisogno di contare, l’assegnazione della cardinalità avviene
per subitizzazione, ma secondo LN “subitizziamo le dita usate per contare”,
estrapolazione linguistica coraggiosa ancorché insensata.
Oltre a 4 serve una capacità di fare raggruppamenti di tipo iterato (“mettere insieme gruppi percepiti o immaginati a formare gruppi più grandi”44 )
e infine occorre la capacità di assegnare simboli (parole) ai numeri.
In compiti aritmetici più avanzati del contare intervengono poi altre capacità che sono individuate nella capacità di fare metafore e di eseguire miscele concettuali.
Quindi LN passano ad affrontare le metafore fondanti, soffermandosi su
quella che dicono essere la più importante, cioè la metafora “L’aritmetica è
collezione di oggetti”. Dicono che è la più importante perché la correlazione
di gruppi e contare è pervasiva nell’esperienza della prima infanzia. Questa
è la metafora che introduce, o fa capire, i numeri.
Notiamo una palese inconsistenza; è detto che le metafore servono per
compiti più difficili del contare, in particolare per introdurre i numeri; ma
per contare occorrono le capacità sopra elencate, che già contemplano la
comprensione del numero, anzi sia dell’ordinale sia del cardinale.
Sulla delicatissima e complicata capacità di contare LN dicono solo quanto
43
44
pp. 52-3.
p. 52.
30
sopra riportato. Torneremo sull’argomento quando spiegheremo come il contare sia essenziale per la formazione del numero, e per colmare le aporie del
rendiconto di LN.
Prima di esaminare la metafora “L’aritmetica è collezione di oggetti”, si
consideri tuttavia che più oltre apparirà che essa è solo una delle metafore
fondanti di base dell’aritmetica e ce ne sono altre tre da esaminare45 .
Quindi ci sono diverse metafore fondanti di base; sorgerà spontanea la
curiosità di sapere se sono in tutto quattro, o se le quattro esaminate sono
solo esempi di una varietà di metafore di base, e poi ancora che rapporto
sussiste tra di esse; se vengono usate in simultanea, o se si alternano a seconda
di certi problemi, e quali, et coetera.
7.1
Aritmetica come collezione di oggetti
Pensiamo che la metafora sia chiara e familiare, e anche ovvia, nel senso che
la metafora è indubbiamente presente nei discorsi aritmetici; forse in inglese
l’intervento del linguaggio delle collezioni è ancora più evidente, perché lo
stesso verbo to add significa sia aggiungere che addizionare, mentre noi per
i numeri non usiamo tanto spesso “aggiungere”, salvo che per 1, al posto
di “addizionare”. Ma oltre al verbo ci sono altre parole che derivano dalle
collezioni, come “più grande” per la relazione d’ordine.
Soffermiamoci allora su alcune particolarità della metafora. Ci viene detto
ad esempio che nella mappa che costituisce la metafora, in cui a collezioni
di oggetti dello stessa grandezza corrispondono numeri, alla collezione più
piccola corrisponde il numero 1, l’unità.
Si prova un senso di grande arbitrarietà. Perché la più piccola collezione
non è quella vuota? Si dirà che ∅ è un concetto complicato, ma anche quello
della collezione con un solo elemento lo è. Nello sviluppo dell’insiemistica
entrambe hanno sollevato lo stesso tipo di difficoltà. L’insieme unitario {a}
in quanto distinto dall’oggetto a continua ancora oggi a turbare ogni studente.
Un oggetto non è una collezione di oggetti; vero è che togliendo oggetti da
una collezione si ottengono collezioni finché non si arriva a un solo elemento;
ma il ragionamento naive in questo caso è che non si ha più una collezione.
Oppure perché non continuare e togliere anche quello?
Questa metafora ad ogni modo, secondo LN, non permette di concettualizzare lo 0; quindi 0 dovrà venire da qualche altra parte, e viene l’idea che le
45
p. 65.
31
quattro preannunciate metafore dovranno collaborare.
La metafora che i numeri sono collezioni sembra molto forte, ed insolita:
si sente dire, è stato detto da tanti (Aristotele), che i numeri sono collegati
alle collezioni, ma dire che sono collezioni è molto più forte che non dire
ad esempio che i numeri sono segmenti, che corrisponde meglio almeno ad
una verità storica: c’è stato un tempo in cui i matematici dicevano che i
numeri erano segmenti, nessuno ha mai detto che i numeri sono collezioni
(salvo nell’insiemistica moderna dove tutto è insieme, ma ai numeri come
insiemi si arriva con un lungo percorso e certo non la si vorrà prendere come
metafora fondante). Non lo ha mai detto nessuno che conti; se qualcuno l’ha
detto nell’Ottocento, si è preso gli strali di Frege. Nell’aritmetica pitagorica
e pre-pitagorica i numeri erano fatti con i sassolini, ma non erano insiemi,
si potrebbe dire che erano strutture: avevano una disposizione spaziale e si
distinguevano in numeri lineari, triangolari, rettangolari (si veda 7.4).
La metafora non dice neanche che i numeri sono come collezioni, ma
proprio che sono collezioni. Per quanto a proposito dei predicati fosse stato
detto che concepiamo i predicati come collezioni. Viene da esprimere una
perplessità generale che si può inserire qui in mancanza di un posto migliore.
Le metafore creative come abbiamo visto introducono oggetti nel dominio
bersaglio, che tuttavia come dominio esiste e pare ben definito. Le metafore
fondanti di cui la presente è un esempio sembrano invece creare tutto il
dominio bersaglio. La questione si collega a quella di capire cosa significa
“concettualizzare”, se debba voler dire anche “formare concetti” e non la
sappiamo risolvere.
Dalla metafora delle collezioni ad ogni modo invece di accontentarsi di
quello che può dare si vuole ricavare tutta l’aritmetica o quasi; ad esempio il
fatto che si possa contare indefinitamente deriverebbe dal fatto, o legge del
dominio delle collezioni, che si possono aggiungere collezioni indefinitamente.
Uno penserebbe che si possono aggiungere finché se ne hanno, o finché ci
stanno nel contenitore entro cui siamo; ma tutti i contenitori noti hanno dimensioni finite. L’universo stesso probabilmente. Quale esperienza concreta
”rebbe mai a questa idea di collezioni arbitrariamente grandi?
L’estensione aritmetica arriva fino alla moltiplicazione, che non è cosı̀
ovvia come l’addizione. L’addizione è ovviamente collegabile all’unione di
insiemi (disgiunti, qui non lo si dice ma siccome le collezioni sono da intendere come di oggetti fisici, si può pensare che si tratti sempre di collezioni
disgiunte - con esiziali conseguenze tuttavia per la metafora dei predicati
come collezioni, peraltro non prese in esame).
32
Lo è meno (collegabile ai contenitori) la sommatoria, o somma generalizzata, perché l’unione di un insieme di insiemi mal si accorda con l’idea dei
contenitori: se uno immagina un insieme di mele come un sacco di mele, e
poi un insieme di sacchi di mele, per fare l’unione deve eliminare i sacchi,
cioè le pareti dei contenitori che invece sembrerebbero parte integrante dei
contenitori e non si capisce dove spariscano.
La moltiplicazione, come sarebbe indotta dalla metafora, è illustrata con
l’esempio di 3 collezioni di 5 oggetti, che danno una collezione di 15 oggetti,
o mettendoli tutti insieme (pooling), o aggiungendo una collezione alla volta
(addizione ripetuta).
La moltiplicazione può essere spiegata agli studenti con simili manipolazioni degli insiemi ma non ha certamente tale origine.
Interrogarsi sulle origini è un problema, in questo contesto, perché nella
trattazione si parla di origini concettuali, con il rinvio, quando serve a convincere il lettore, all’esistenza di connessioni neuronali (richiamate proprio
nel corso della discussione della moltiplicazione) ma si vorrebbe capire anche
il collegamento con le origini storiche. La questione delle origini storiche e
del rapporto con quelle che sono presentate come origini concettuali o fisiche
non è mai affrontata nel corso del libro, ed è ripetutamente violentata dagli
esempi.
Ad esempio se, come vedremo, la logica viene dalle classi, il fatto che da
una contraddizione segue qualunque proposizione (una delle prime domande
a cui LN hanno promesso di rispondere) può solo avere spiegazione nella
proprietà che la classe vuota è contenuta in ogni classe. Come ragionavano
allora gli Stoici che conoscevano ex falso quodlibet ma non avevano ancora
concettualizzato la classe vuota? Gli esempi si potrebbero moltiplicare.
L’origine storica della moltiplicazione è nella misura delle aree (su cui
torneremo ma su cui LN non dicono nulla).
Per vedere la moltiplicazione come addizione ripetuta occorre, come peraltro è riconosciuto46 , una miscela della metafora della collezione e di numeri;
una miscela su cui sarebbe opportuno soffermarsi in modo più problematico,
come su tutte le miscele concettuali, su cui invece LN sorvolano come se fossero qualcosa di scontato e naturale. Come abbiamo già osservato a proposito
ad esempio dei diagrammi di Venn, le miscele concettuali sono in realtà presenti, e non riconosciute da LN, in molti dei casi fondamentali trattati; la
miscela dell’iterazione costituisce poi forse il meccanismo principe della prima
46
p. 61.
33
matematica.
A tal punto, come abbiamo già suggerito, da mettere in crisi l’idea stessa
di LN delle metafore fondanti. Non appena si va al di là della affermazione
“I numeri sono collezioni” e forse dell’addizione, le operazioni concrete nel
dominio fonte richiedono esse stesse un poco di aritmetica.
Ad esempio la rappresentazione in una base richiede il concetto o la formazione di raggruppamenti; questi devono però essere fatti con un criterio
matematico.
Si consideri questa situazione, nota agli storici: gli antichi Egizi sapevano trattare in modo efficiente le progressioni geometriche, perché avevano
un modo molto conveniente di eseguire moltiplicazioni iterate47 . Essi sapevano che ogni numero si può scrivere come somma di 1, 2, 4, 8, . . . Si ricordi
che non avevano una rappresentazione posizionale, ma questa proprietà la
conoscevano, e la proprietà equivale a conoscere di fatto la rappresentazione
binaria dei numeri. Ai numeri in base 2 corrisponde la stessa rappresentazione analogica che in base dieci, con i raggruppamenti che sono ora non di
gruppi multipli di dieci ma di gruppi multipli di due. Con questa semantica
essi potevano inventare i loro algoritmi per la moltiplicazione, che si riduceva
a iterare raddoppio e somma; l’idea dei raggruppamenti è dunque potente,
ma in primo luogo non è strettamente legata alla notazione posizionale, e in
secondo luogo dipende invece da un’altra idea fondamentale, che i raggruppamenti si devono fare comunque in gruppi le cui dimensioni crescenti siano
ciascuna un multiplo della precedente (dieci volte, oppure due volte). Altrimenti non serve a niente. La rappresentazione mediante raggruppamenti,
lungi dal poter essere fondante della nozione di numero, richiede, per essere
concepita, la nozione di multiplo. Le analogie sussistono tra concetti che
sono già in parte intrisi di matematica.
A proposito della rappresentazione posizionale dei numeri, vale la pena
ricordare che LN la discutono quando parlano di numerali e calcolo48 , ma la
liquidano con una battuta, cioè introducendo una nuova metafora: “I numeri
sono somme di prodotti di numeri piccoli per multipli della base”. Data la
struttura delle metafore, il dominio di questa dovrebbe essere l’insieme delle
somme di prodotti di numeri piccoli per multipli della base [sic]. Non solo le
definizioni, come si incominciava a sospettare, sono per LN tutte metafore,
47
Già nel papiro Rhind; si veda ad esempio E. Maor, Trigonometric Delights, Princeton
Univ. Press, Princeton, 1998.
48
p. 83.
34
ma anche i teoremi.
Che dalla metafora delle collezioni vengano tutte le leggi dell’addizione e
della moltiplicazione e delle inverse è molto dubbio; si consideri il caso della
commutatività della moltiplicazione, fatta con la versione non miscelata del
pooling.
LN danno per scontato che l’esperienza quotidiana ci insegna che tre
collezioni di cinque oggetti sono la stessa cosa di cinque collezioni di tre
oggetti; per capirlo si possono certo fare delle manipolazioni di oggetti, ma
sono manipolazioni astute e non ovvie, che non capita di fare nella vita
comune.
Date tre collezioni di cinque elementi
◦◦
◦◦◦
◦◦
◦◦◦
◦◦
◦◦◦
occorre probabilmente, perché LN non lo dicono, disporre i loro elementi in
questo modo:
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
quindi guardare alla disposizione, girando il foglio o girando intorno ad essa,
in modo da vederla cosı̀:
◦ ◦
◦
◦
◦
◦ ◦
◦
◦
◦
◦ ◦
◦
◦
◦
35
Cosa vuol dire allora che la commutatività del pooling è una legge del
dominio sorgente? Non compare nei discorsi comuni sulle collezioni. La si
scopre solo se si ha già una capacità di ragionamento combinatorio che, al di
là del semplice collezionare, porta alla costruzione del prodotto cartesiano.
Manipolazioni di questo genere si fanno opportunamente per spiegare
le proprietà della moltiplicazione agli studenti, spesso sono illuminanti, ma
questo di per sé non vuol dire che siano l’origine.
Una delle ambiguità del libro, e motivo forse del fascino che sembra avere
presso le persone interessate alla didattica, sta proprio nel fatto che certe
idee relative alle metafore che sono suggerimenti didattici buoni (ancorché
peregrini) vengono scambiate con spiegazioni delle origini situate. Non c’è
bisogno di questo per riconoscere l’utilità didattica di certe metafore e anche
di certe forzature delle stesse.
Forzature nel senso che non sono nel linguaggio concreto, ma il linguaggio
concreto si presta ad estensioni, guidate però dalle necessità del bersaglio,
non autogene. Invece spesso LN fanno loro queste estensioni e dicono che
sono nella metafora ma cosa c’è in una metafora? Quello che normalmente
si usa nel parlato o quello che è deducibile o estrapolabile da esso?
7.2
La metafora dello zero
Qui si raggiungono livelli esilaranti. Siccome non c’è la collezione vuota,
siccome l’assenza di oggetti non è per LN una collezione, “dobbiamo concettualizzare l’assenza di collezioni come una collezione. Serve una nuova
metafora. Una metafora che crea qualcosa dal nulla”49 .
La metafora della collezione zero
Mancanza di oggetti → Collezione vuota
Continua: “data questa metafora come input, la metafora ‘L’aritmetica è
collezione di oggetti’ manderà la collezione vuota su un numero, lo zero”.
Non è mai detto cosa significa che una metafora prende come input
un’altra metafora. Forse vuol dire che c’è una composizione, l’uso consecutivo
di due metafore?
Ma ancora prima, tornando alla nuova metafora, quale ne è la sorgente?
Il bersaglio è quello delle collezioni ma la sorgente è misteriosa. C’erano già
49
p. 64.
36
dei problemi con le metafore creative, ma qui sono clamorosi. Le metafore
creative creano enti nel dominio bersaglio, ma questa crea oggetti nel dominio
fonte, anzi l’intero dominio fonte (a cui opportunamente non si dà nome:
dovrebbe contenere un unico ente, la mancanza di oggetti. Oh spirito di
Federico di Tours! Oh ombra di Heidegger!).
LN ammettono che la metafora è artificiale, congegnata ad hoc (concocted ) per fare l’estensione. Ma se lo è chi la fa? Il cervello? Il cervello di
LN o il cervello di ciascuno? Sotto quale esigenza incarnata? Le metafore
non dovrebbero nascere naturali?
Ci si chiede comunque, se la composizione sia ancora grounding e in che
senso, dove è il concreto, in quali circuiti neuronali è codificata l’assenza di
oggetti.
LN commentano tranquilli che la metafora creativa è comune in matematica per creare nuovi oggetti, ma questa oltre a non rientrare nelle metafore
creative non è una metafora matematica, ché da una parte la fonte è oscura
e dall’altra il bersaglio è il dominio concreto delle collezioni.
Pare ad ogni modo da questo modo di procedere che contrariamente a
quanto si era pensato, ad una collaborazione cioè delle varie metafore per
completare l’arsenale dei concetti aritmetici, ogni metafora, con qualche aiuto
concocted , debba dare tutto. Vedremo in seguito che di nuovo non è cosı̀
perché i numeri negativi verranno da una metafora ma non dalle altre, cosı̀
come lo 0 verrà anche da un’altra. Non si capisce allora perché questa delle
collezioni non sia rimpolpata (fleshed out) anche con i negativi, oltre che con
lo 0.
7.3
Aritmetica come costruzione di oggetti
Questa seconda metafora confessiamo che non la capiamo; si rivelerebbe
nell’uso di espressioni come “se metti insieme 2 e 2 ottieni 4” e corrisponde
alla costruzioni di oggetti. Non è chiaro che cosa s’intenda con oggetti e
costruzione di oggetti. “Concettualizziamo i numeri come oggetti fatti di
parti”. In qualche senso è vero, ma che cosa sono nella realtà gli oggetti concreti? Le loro parti spesso, anzi quasi sempre, non sono omogenee all’oggetto,
mentre per i numeri è cosı̀, ed è difficile immaginare oggetti con tale proprietà.
L’unico esempio proposto mi sembra che sia il Lego, e i componenti del Lego
sono ben diversi dagli oggetti che si costruiscono, come i mattoni sono diversi
dalle case.
Quando si sottraggono parti ad un oggetto è per avere un altro oggetto
37
diverso. Immaginare esperienze comuni in cui si sottraggono parti che sono
tutte uguali tra loro è difficile; forse se si è costruito un muro troppo alto, si
tolgono un po’ di mattoni. Ma quando le parti sono tutte uguali tra loro, si
ha piuttosto una collezione.
Un’osservazione minore riguarda l’oggetto “intero più piccolo” che darebbe
l’uno; rientra un tale ente nell’esperienza umana?
Le connessioni con la metafora delle collezioni ovviamente ci sono anche
per LN, perché per costruire un oggetto mettendo insieme le parti si deve
avere una collezione di oggetti (parti, ripetiamo, non omogenee né tra loro
né all’oggetto).
Ma quello che si vorrebbe capire è come queste due metafore intervengono
interagendo e sostenendosi a vicenda o alternandosi con diverse funzioni nella
costruzione dell’aritmetica. Di questo non è detto nulla. Si dice che quella
degli oggetti dà qualcosa di più, ad esempio le frazioni50 .
Allo spezzare un oggetto in n parti (non è precisato se debbano essere
uguali) corrisponde la concettualizzazione della frazione 1/n (naturalmente
anche in questo caso si tratta già di una miscela di oggetti e numeri). Se si
rimettono insieme si ottiene di nuovo l’oggetto, da cui la legge n · 1/n = 1.
Non si capisce perché non si potrebbe ugualmente dividere una collezione
in n collezioni e ci debba essere bisogno di quest’altra metafora.
7.4
Segmenti
Veniamo finalmente a quella che dovrebbe essere davvero la metafora più importante, quella dei numeri come segmenti, misurati da un’unità di misura51 .
Dovrebbe essere la più importante se non altro perché alle origini della
matematica greca è stato cosı̀. Ancora in Euclide i numeri sono segmenti,
soprattutto gli irrazionali, dopo la scoperta dell’incommensurabilità. Prima
erano liste di sassolini, o diverse disposizioni spaziali degli stessi, numeri
lineari, triangolari, quadrati.
Poi i pitagorici hanno scoperto che se il lato del quadrato era una lista
finita di sassolini, la diagonale non poteva esserlo. Ne è venuta la metafora
che i numeri sono segmenti (divisibili all’infinito); metafora e non definizione
dal momento che è sempre stata usata da allora, per due millenni, con la
coscienza infelice; metafora non grounding perché i segmenti sono geometrici,
50
51
p. 67.
pp. 68-71.
38
non fisici.
L’intero spazio (o almeno il piano) entrava nella metafora geometrica,
perché la moltiplicazione era ovviamente l’area del rettangolo. Il prodotto di
due numeri lineari era un numero rettangolare. Il prodotto di due segmenti
non era un segmento, come pretenderebbe la metafora di LN secondo cui la
moltiplicazione di due segmenti A e B è il segmento che si ottiene riportando
A volte il segmento B, di nuovo con una miscela essenziale di segmenti e
numeri.
Della metafora di LN non convince neanche la produzione di 1 come
corrispondente del segmento unità di misura; non sembra che ci voglia molto
a capire che l’unità di misura si può cambiare, e quindi dovrebbe venirne
un’idea della relatività dell’uno, di cui però non c’è traccia.
Per avere l’unità minima bisognerebbe rappresentare i numeri, o farli corrispondere, o dire che sono liste di sassolini, soluzione per l’appunto scartata
dall’umanità perché la metafora grounding si è scontrata con l’intelletto.
A questo
√ proposito esilarante è anche la discussione di LN secondo cui per
Eudosso “ 2 esiste come numero”. Le cose sarebbero andate nel seguente
modo.
Si tenga presente la metamorfosi della metafora che consiste nel miscelare
fonte e bersaglio52 . Come avviene tale miscela, quando, sotto quali stimoli,
perché non sempre? Non si sa. Quando fa comodo.
Ora Eudosso ha usato “implicitamente” la miscela “Numeri/Segmenti
fisici” ed ha concluso, secondo LN, che in corrispondenza alla diagonale del
quadrato deve esistere un numero. Cosı̀ sono nati i numeri irrazionali, nel
370 a.C.!
7.5
Aritmetica come moto lungo un cammino
Il movimento lungo un cammino parte da un’origine, che dà quindi lo zero
senza bisogno di un atto creativo, e vede i numeri come posizioni sul cammino
(point location) e le operazioni aritmetiche come movimenti lungo il cammino.
Non è facile accettare che questa sia una metafora di base per i numeri.
Quando si è incominciato a tenere conto della durata e lunghezza dei viaggi,
a spezzarli in tappe, non si sono allora usati i numeri per questo, invece che
al contrario?
52
p. 70. La definizione appare un po’ diversa da quella del blend metaforico, dove
l’applicazione va nei due sensi, ma i due domini sono tenuti distinti, ma forse è ritenuta
equivalente.
39
I cammini sono segmenti, quindi questa è in un certo senso la metafora di
prima, ma con l’aggiunta del movimento tra i due estremi, dall’origine alla
fine. Si tratta di nuovo di un blend bidirezionale, anche se non è detto. Lo si
vede dalla definizione dell’addizione, che richiede di muoversi da A per una
distanza uguale alla distanza che B ha dall’origine; quindi bisogna che tali
distanze siano numeri, e non solo viceversa.
Questa metafora è quella che secondo LN permette di parlare di una
relazione d’ordine; ma anche quella dei segmenti graduati lo permetterebbe.
La metafora del movimento invece, oltre allo zero, produce anche i numeri negativi, perché ovviamente si può andare avanti e indietro. Basta che
l’origine del viaggio sia messa in un punto che non sia un estremo.
Infatti LN dicono che quella del moto è stata crucial 53 per fornire una
comprensione unitaria dei numeri (positivi e negativi); non è chiaro se crucial
voglia dire solo importante oppure essenziale. Ce ne sono altre che si prestano
alla stessa illustrazione intuitiva dei numeri negativi.
Merita soffermarsi su “è stata”, come se proprio questa metafora sia stata
usata per l’introduzione dei numeri negativi, in una data precisa. Secondo
LN l’estensione ai numeri negativi fu fatta da Bombelli nel Cinquecento,
grazie alla metafora del moto.
“Oggi, è difficile immaginare che ci fu un tempo in cui tale metafora non
era generalmente accettata dai matematici!”
Infatti è difficile capirlo, perchè non è vero, se il tempo a cui si riferiscono
LN non è quello preistorico, ma quello precedente Bombelli. L’attribuzione
a Bombelli o a chiunque altro di una metafora per la spiegazione dei numeri
negativi è molto discutibile. Le cose sono andate diversamente.
L’algebra dei greci poteva evitare i numeri negativi perché era un’algebra
geometrica; i numeri misuravano o erano grandezze geometriche, i problemi
derivavano da problemi geometrici, e le soluzioni erano costruzioni geometriche, quindi i numeri erano positivi. Ma nella soluzione di problemi aritmetici con origini pratiche, magari nella logistica, i numeri negativi facevano
capolino.
I problemi dell’Aritmetica di Diofanto sono gli stessi problemi concreti
della logistica, trattati nell’aritmetica pura (si veda oltre); come fondazione
per i numeri negativi Diofanto usa un abbozzo di metodo assiomatico, dando
le regole per una cosa che chiama “deficienza”: ad esempio deficienza più
deficienza uguale deficienza, deficienza per deficienza uguale disponibilità
53
p. 73.
40
(positiva).
Se una metafora è in gioco, non è quella del moto ma quella delle quantità. Verso il Mille Al-Karaji userà una terminologia analoga di eccesso e
mancanza.
Un secolo prima di Bombelli, Luca Pacioli introduce i numeri negativi in
modo meno consapevole di Diofanto, ma pur sempre postulando la regola dei
segni, con la ben nota mnemotecnica:
Piu via piu sempre fa piu
Meno via meno sempre fa piu
Piu via meno sempre fa meno
Meno via piu sempre fa meno
che Bombelli semplicemente ripete alla lettera, scambiando qualche riga.
Le metafore che hanno accompagnato i numeri negativi hanno sempre
utilizzato la quantità, con l’aggiunta di una modalità positiva o negativa.
Anche Eulero nel Settecento usa la metafora dei crediti e debiti, per mezzo
della quale egli giustifica le operazioni con i numeri relativi; e la considerava
proprio una metafora, non una vera definizione, tanto è vero che auspicava:
“sarebbe certo della massima importanza in tutto lo sviluppo dell’Algebra
che ci si formasse un’idea precisa delle quantità negative di cui abbiamo
parlato”. Sia per esporre che per capire, in matematica non ci si accontenta
una metafora.
Ma ammesso che fosse vero quanto dicono LN, ci si chiede che cosa pensano che sia successo. Non c’erano prima di Bombelli le giuste connessioni
neuronali, benché si parlasse in qualche caso di numeri con il segno meno? e
come si sono stabilite? per un atto di casualità evolutiva che ha colpito i geni
di Bombelli o in quel periodo un po’ tutti? E subito dopo in tutti i nuovi
nati c’erano lamarckianamente le connessioni neuronali? Se la metafora era
usata anche prima, era prima una metafora non incarnata?
41
8
Il G4
Ora che ci sono tutte le metafore fondanti che LN ritengono di base, si può
cercare di capire meglio la loro azione e i loro rapporti.
Le metafore danno luogo a particolari forme di espressione, ad esempio
“incomincia [a contare] da”, come in un viaggio; ma le stesse forme di espressione non si applicano in altre metafore. Da una parte si usa un verbo, e
un insieme di locuzioni collegate, dall’altra se ne usa un altro; eppure tutte
sviluppano la stessa matematica, come per un’armonia prestabilita.
Si potrebbe pensare che vi sia collaborazione, in fondo una dà qualcosa
di più di un’altra, lo zero oppure i numeri negativi. Ma le metafore possono
anche essere in contraddizione tra di loro, problema che sfugge all’attenzione
di LN; ad esempio se lo zero viene dalla metafora della collezione vuota, allora
il sottrarre da zero, dalla collezione vuota, è qualcosa che nessuno sforzo di
stretching può ammettere.
Le quattro metafore ad ogni modo sono dichiarate indipendenti da LN.
A quanto pare se ce ne fossero solo tre non cambierebbe nulla, almeno per
l’aritmetica dei numeri naturali, e lo stesso se ce fosse all’opera una sola. Ed
è curioso che manchi del tutto (se non andiamo errati) qualsiasi accenno al
battito del cuore, cosı̀ importante per molti (Brouwer).
Il fatto che le G4 - cosı̀ indicate da LN - siano quattro sembra solo accidentale, oppure dovuto al fatto che gli autori hanno individuato solo queste;
potrebbero essercene altre.
LN spiegano l’origine dell’aritmetica nel seguente modo54 : l’aritmetica
innata, che permette addizione e sottrazione fino a 4, viene utilizzata nelle
prime esperienze umane nei quattro domini da loro presi in considerazione,
peraltro diversi e indipendenti tra di loro. Visto che tale aritmetica funziona
in tutti, ciascuno è adatto per l’estensione, e ciascuno provoca l’estensione55 .
La base dell’estensione è costituita dalle “correlazioni nell’esperienza quotidiana dell’aritmetica innata e dei domini delle [rispettive] fonti”. Le esperienze sono quelle di costruire oggetti, fare dei passi e più tardi usare bastoncini, dita e braccia per misurare lunghezze. La fusione (conflation) di
aritmetica innata ed esperienze innesca le metafore.
La spiegazione dell’origine situata delle leggi aritmetiche è tutta qui, in
due paragrafi.
54
55
pp. 77-8, nel capitolo intitolato “Da dove vengono le leggi dell’aritmetica”.
Corsivo aggiunto.
42
Esponiamo alcune perplessità, in spirito costruttivo, dal momento che
è del tutto credibile (diremmo ovvio) il contributo del corpo e delle esperienze corporee nella formazione e comprensione dei primi concetti aritmetici.
Bisogna evitare di renderlo incredibile con teorizzazioni sbagliate.
Innanzi tutto occorre essere meno vaghi e più cauti sull’aritmetica innata.
LN continuano a dire che essa permette l’addizione e la sottrazione fino a
4, ma questo se ci si pensa è molto poco. Intanto 4 è già il confine dove
inizia l’indeterminazione, quindi si deve scendere a 3; operazioni sotto a
3 non è che se ne possano fare molte oltre al +1, −1 o −2. Con queste
restrizioni non si riesce a formulare e riconoscere alcuna legge di quelle che poi
la mappa costituente la metafora dovrebbe trasformare in leggi dei numeri;
fa eccezione la commutatività e forse associatività dell’addizione56 , ma solo
del tipo 1 + (1 + 1) = (1 + 1) + 1, nella forma
◦
◦◦ =
◦◦
◦
Inoltre l’aritmetica innata non ha nomi neppure per i primi tre numeri,
neanche in versione aggettivale, si esprime per subitizzazione.
In secondo luogo, occorre essere meno vaghi sui tempi. Nel periodo in
cui possiede solo l’aritmetica innata, poche sono le esperienze senso-motorie
accessibili all’infante.
L’estensione delle prime esperienze e la fusione con l’aritmetica inizia e
si accompagna con il contare. Pensiamo all’esperienza del compiere i primi
passi; all’inizio il bambino ne fa uno o due al massimo; l’educatore inizia a
scandire: 1, 2. Quando il bambino riesce a farne una piccola serie, si potrà
scandire fino a 4, 5 e cosı̀ via.
La scansione avviene con la recita della serie numerica. Si creano e si propongono e s’insegnano i nomi per i numeri, nomi utilizzati in modo del tutto
diverso da quello delle altre parole note, dei nomi comuni; questo avviene contando; si conta anche senza contare nulla, o se si vuole contando i numeri;
questa è la base per la formazione degli ordinali.
La cantilena del contare, quando ancora non si sa niente dei numeri, ha
come è noto a tutti una funzione importante per la successiva introduzione
dei i discorsi sui numeri, ma sull’argomento LN non dicono niente.
56
LN dicono che non vale, perché con tre addendi si supera il 4, ma questo caso almeno
è disponibile - anche se potrebbe rientrare nella commutatività.
43
La recitazione dei numeri porta ad accompagnare con i loro nomi le prime
estensioni delle esperienze fisiche di base. A questo stadio i numeri non ci
sono ancora non solo perché non si sa cosa siano i nomi recitati, ma anche
perché non possono ancora essere il prodotto delle metafore, ammesso che lo
siano.
In generale, per impadronirsi della terminologia di un dominio, prima
eventualmente di trasportarla metaforicamente ad un altro, occorre che i
discorsi del dominio fonte siano abbastanza sviluppati, in modo da essere
entrati nel linguaggio corrente e familiare.
Non si può adottare e adattare il linguaggio dei viaggi quando i viaggi
consistono di due passi, e il linguaggio dei viaggi non c’è ancora.
L’unico argomento di LN è che l’aritmetica innata, sotto a 4, funziona
indipendentemente in ciascun dominio. Pensiamo invece che per permettere
la metafora si diano due condizioni; innanzi tutto che le esperienze in ciascun dominio siano abbastanza ricche e sviluppate, e in secondo luogo che
nell’estensione di queste esperienze ai di là dei limiti dei primi mesi di vita
intervenga qualche forma di espressione numerica che non è quella minima
innata.
Ma questo modo di guardare all’origine delle metafore va contro la posizione di LN, e in effetti mina la tesi complessiva, per il motivo che cercheremo di illustrare.
Soffermiamoci in particolare sulla tesi che ciascuna metafora darebbe origine da sola ai numeri e all’aritmetica.
La tesi è poco plausibile ma è importante per LN, al punto che fanno
carte false per ricavare tutte le leggi di somma e prodotto da ciascuna, anche
con metafore non grounded , creative e miscelate. Il motivo pare essere il
seguente.
Per tutti è ovvio che ci sono diversi discorsi metaforici sui numeri, con
provenienze diverse, ma tutti in larga misura compatibili e spesso mescolati o sovrapposti. C’è un’ipotesi naturale, vedremo quale, per spiegare tale
fenomeno ma LN non vogliono introdurla, perché diminuirebbe la funzione
fondante della metafora.
Quando si trattano questioni di numerosità nei diversi domini, in un caso
si parla di grandezza, in un caso di lunghezza e cosı̀ via.
Quindi quando si fanno discorsi aritmetici si sta parlando di cose diverse
a seconda della metafora che si usa, in una caso di collezioni, in un caso di
segmenti.
All’interno di un dominio si possono sviluppare al massimo i nomi per i
44
numeri aggettivali; può darsi che si arrivi a dire che una collezione di due
mele è più piccola di una collezione di cinque mele, ma non si arriva al 2 e al
5. Il passaggio cruciale per ottenere l’aritmetica è il passaggio dall’aggettivo
al sostantivo.
Esistono come è noto lingue in cui le parole per i numeri sono diverse a
seconda della natura di quello che si misura.
Non c’è bisogno di andare lontano, nelle isole del Pacifico o al tempo dei
Sumeri. Proprio la logistica greca offre un esempio calzante, e permette di
constatare l’evoluzione all’interno della stessa società.
La logistica, dice Gemino57 , considera le proprietà dei numeri in riferimento agli oggetti sensibili; e per questa ragione applica ad essi nomi adattati dagli oggetti misurati, chiamandoli [i numeri] a volte meliti (da µη̂λoν,
pecora o mela) a volte fialiti (da φιάλη, coppa, orcio)58 .
L’aritmetica pura, non logistica, nasce quando viene in mente, cioè proprio nel cervello, di introdurre un nuovo nome sostantivato, che poi si usa
non solo e non tanto in tutti i domini quanto in un dominio nuovo.
Ai numeri che sono sostantivi si adattano i diversi linguaggi metaforici
piegati dalla grammatica a riferirsi agli stessi soggetti.
Per spiegare questa mossa si potrebbe fare l’ipotesi che intervenga e sia di
aiuto il riconoscimento che i discorsi relativi alla numerosità nei vari domini
hanno delle somiglianze strutturali; questo vorrebbe dire però che si vede
la struttura astratta, al di là dell’uso di verbi ed espressioni diversamente
fondanti. Ma il riconoscimento di una stessa struttura tira in ballo la vecchia
astrazione, che LN non accettano.
Pensare a introdurre una forma di astrazione richiederebbe che una sola
metafora non è sufficiente, da cui la tesi di LN sull’indipedenza delle G4.
Se ciascuna metafora è autosufficiente, si pone tuttavia il problema di
spiegare come tutte diano la stessa cosa, e LN non lo spiegano.
Da domini cosı̀ diversi e con parole e discorsi cosı̀ diversi dovrebbe venire
fuori qualcosa di diverso. Tanto più che quando diciamo che i numeri sono
collezioni, secondo LN intendiamo proprio dire che sono collezioni59 . In ciascuna delle G4 i numeri sono cose del mondo60 e quindi cose ben diverse da
57
Cfr. Heath, cit., p. 14.
Sono i problemi della logistica formulati in questi termini che si ritrovano in Diofanto
in linguaggio aritmetico puro, come se avesse capito che si poteva fare astrazione dal
contesto.
59
p. 80.
60
Anzi questa circostanza dà origine a una nuova metafora, che “I numeri sono cose del
58
45
una metafora all’altra.
Per LN le relazioni tra i quattro domini esistono solo grazie ai numeri,
dopo che si è estesa l’aritmetica e non prima. Questo è giusto, ma non
per il motivo che adducono, che è confuso. Essi affermano prima che esistono isomorfismi tra i domini delle G4, parola grossa e imprecisa; poi si
correggono e affermano che gli isomorfismi esistono solo come composizione
dell’applicazione di ciascun dominio con i numeri. Tuttavia questo presuppone che i numeri non siano più cose del mondo, in un caso collezioni e
nell’altra lunghezze, perchè altrimenti l’isomorfismo si stabilirebbe direttamente tra i domini.
Le corrispondenze tra i quattro domini invece sussistono perché nello
sviluppo delle esperienze in questi domini, su dimensioni maggiori di quelle
della subitizzazione, che da sola non fa scattare l’esigenza di ipostatizzare i
numeri, interviene già una parvenza di numero.
mondo” appunto.
46
Seconda parte
Dalla seconda parte in avanti, il libro è dedicato alla matematica superiore, e più che di scienza cognitiva si occupa di filosofia della matematica.
Gli autori sviluppano quella che chiamano l’analisi delle idee matematiche,
che naturalmente protestano essere un prodotto della loro indagine empirica
di scienziati cognitivi; ma abbiamo già capito che si tratta di girare sempre
la stessa frittata, metaphors galore ed everywhere in tutte le combinazioni
possibili e blend sempre più astratti e di ordine superiore.
Nella seconda parte di questo commento non insisteremo più a fare le
pulci alle singole metafore, gli esempi che abbiamo visto mostrano a sufficienza che strumento spuntato e pasticciato si riveli nelle forzature a cui
viene sottoposto61 .
Poco ci interessa ad esempio rilevare che, dopo aver presentato la metafora
“I numeri sono punti sulla retta”, LN affermino che “la geometria analitica
non esisterebbe senza di essa”62 , quando la metafora che interviene nella
geometria analitica è casomai che “I punti della retta sono numeri”.
Né è il caso di rompersi la testa per capire cosa significhi la seguente
osservazione: le G4 inducono una metafora più generale “I numeri sono cose
del mondo”, da cui segue la legittima inferenza che i numeri sono entità reali,
parte dell’universo. Ne segue quello che è il nucleo del platonismo, incluso
ad esempio la credenza che le verità matematiche (relative ad oggetti del
mondo) sono scoperte e non create.
Il commento di LN, impegnati come si ricorderà a distruggere il platonismo, è che “è ironico che dallo studio empirico dei numeri come prodotto
della mente segua che è naturale per le persone credere che i numeri non
siano un prodotto della mente”63 .
L’ironia farà sorridere, ma mi sembra un riso coi denti inchiavardati. Il
messaggio è preoccupante; è possibile che la mente ci inganni in questo modo?
succede solo per la matematica o anche in altri campi?
Ma è poi vero o LN si sono lasciati tirare dal desiderio di costruire un
paradosso? In fondo nessuno crede che l’affetto sia una cosa dello stesso
genere del calore, nononstante la metafora relativa.
61
Le osservazioni che si riveleranno insopprimibili le relegheremo in nota.
p. 6.
63
p. 81.
62
47
Giocare coi paradossi è pericoloso se non si padroneggia la logica; quello
proposto da LN è solo un caso di reductio ad absurdum debole64 . Se il cervello
produce una matematica che è correttamente pensata, dal cervello, come
una cosa non prodotta dal cervello, questo significa che il cervello produce
sistematicamente credenze false. È allora legittimo credere che le affermazioni
della scienza siano false, in particolare quelle della scienza cognitiva. In
particolare non è vero che il cervello produce la matematica.
Non è il caso di soffermarsi ancora su dispute del genere; ma vale la pena
capire quale immagine della matematica gli autori ci propinano attraverso la
loro analisi delle idee matematiche.
Prima di iniziare l’esame delle varie branche, esprimiamo qui una perplessità generale sul mistero della geometria - geometria euclidea, quella che
con l’aritmetica rappresenta la prima matematica ad essere acquisita. LN
non ne parlano mai. Forse danno per scontato che sia cosı̀ fisica che la sua
natura incarnata sia ovvia, ma si vorrebbe sapere quale metafora la porta in
essere (“I segmenti sono bastoncini”? o corde tese?). Il concetto geometrico
di segmento (come quello di linea) interviene nelle metafore fondanti, un altro
caso in cui il dominio concreto è descritto per mezzo di concetti matematici.
Ma questa trascuratezza rivela forse una strana idea della matematica
a cui LN fanno riferimento, come già faceva sospettare la lista iniziale di
domande “fondamentali”. LN diranno che loro sono scienziati cognitivi e la
matematica la prendono dai matematici, ma in realtà la prendono da una
filosofia della matematica (proprio quella contro cui vogliono combattere) oppure da sistemazioni che, la storia insegna, sono sempre provvisorie nell’enfasi
che pongono sull’una o sull’altra disciplina.
64
La tautologia (A → ¬A) → ¬A.
48
9
Algebra
L’algebra è il paradiso dello scienziato cognitivo, ché riesce a spiegarla compiutamente in base a tre cose che sono il suo pane: metonimia, metafora e
teorie del senso comune.
9.1
Variabili
Una prima osservazione di LN sull’algebra, intesa come calcolo letterale, con
le espressioni, riguarda la variabile65 . LN fanno giustamente notare che l’uso
delle variabili è presente anche nel linguaggio comune al di fuori della matematica; non si tratta di una scoperta originale, perché è ovvio il parallelo tra le
variabili e i pronomi indeterminati, anche in presenza di quantificatori; LN
però individuano e indicano il fenomeno linguistico soggiacente nella metonimia.
La metonimia in questione è chiamata “Ruolo per individuo”.
Quando si dice “Quando viene il ragazzo che consegna le pizze, dagli la
mancia” è in gioco uno schema concettuale “Ordinare una pizza da asporto”
in cui compare un ruolo, quello del “ragazzo che consegna la pizza”; la mancia
consiste nel dire di dare la mancia a un individuo, identificato però dal ruolo.
Una metonimia del genere, certo presente nel linguaggio comune, non
compare tuttavia nell’analisi logica della frase che porta alla formalizzazione
usata in matematica. Quello che LN chiamano ruolo viene riconosciuto come
un predicato, P per “essere un ragazzo che porta la pizza”, e “il ragazzo che
porta la pizza” è reso da P (x), corrispondente a “uno che P ” o “quello che
P ”.
Non sembra perciò che la metonimia “Ruolo per individuo” sia la spiegazione migliore della variabile matematica.
9.2
Assiomi ed essenze
Tutti gli enti matematici sono concettualizzati come oggetti, quindi hanno
un’essenza, secondo la teoria ingenua (o del senso comune, folk theory) sulla
natura del mondo che LN fanno risalire alla filosofia pre-Socratica [sic], senza
però indicare alcun nome prima di Platone.
65
p. 74.
49
Secondo la teoria ingenua ogni oggetto o ente ha un’essenza. Le metafore
di base per caratterizzare le essenze sono tre, “Le essenze sono sostanze”,
“Le essenze sono forme”, “Le essenze sono schemi di cambiamento”.
Ad esempio l’essenza di un albero consiste nell’essere di legno (sostanza),
nell’avere radici, tronco e rami e foglie (forma) e una particolare evoluzione
vitale (schema di cambiamento)66 .
Dopo aver presentato le metafore dell’essenza, LN ci dicono che Aristotele
avrebbe presentato l’essenza delle categorie con definizioni, intendendo con
“definizione” l’enunciazione delle condizioni necessarie e sufficienti per appartenere alla categoria. Non si capisce come le definizioni quali strumento
per esprimere l’essenza si accordino con le metafore; certamente non sembrano metafore e sono diverse dalle tre metafore di base; eppure sarebbero
come vedremo la mossa tipica della matematica.
Euclide trasportò la teoria delle essenze in matematica con grande
risonanza. Egli sosteneva che solo cinque postulati caratterizzavano l’essenza dell’argomento della geometria piana67 .
Questo è vero solo se si legge Euclide alla luce della teoria della scienza di
Aristotele, e si vedono le sue definizioni come caratterizzanti il genus della
disciplina. Ma si tratta di una lettura naive; Euclide non presenta alcuna
considerazione metodologica, ed è molto più probabile che i suoi assiomi e
definizioni volessero esprimere i risultati delle operazioni con riga e compasso.
Finché è durata l’influenza della filosofia, prima aristotelica poi razionalista,
è tuttavia vero che gli assiomi di una teoria sono stati concepiti in questo
modo e l’interpretazione dell’assiomatica di Euclide nella folk theory resta
quella di LN.
Di qui venne l’idea che ogni argomento di matematica dovesse
essere caratterizzato nella sua essenza in questo modo, una breve
lista di assiomi, prese come verità, da cui tutte le altre verità
relative allo stesso argomento potessero essere dedotte.
66
Le pietre non hanno l’ultima caratteristica, quindi forse basta una o l’altra per esprimere l’essenza, come in effetti sarà per l’algebra. Ma l’esempio addotto farebbe pensare
che tutte e tre intervengano; almeno forma e sostanza sembrano attribuibili sempre agli
oggetti. Vero è che Platone dirà che le essenze sono Forme, ma parlava di idee, non di
oggetti.
67
p. 109.
50
La matematica come disciplina ha seguito la definizione aristotelica di “definizione” di un’essenza: una collezione di condizioni
necessarie e sufficienti che rendono una cosa quello che essa è e
da cui seguono tutte le sue proprietà naturali68 .
Le cose sono andate cosı̀, non fino a Gödel come dicono senza spiegazioni
LN, ma fino alla fine dell’Ottocento e alla conquistata consapevolezza che gli
assiomi non costituivano definizioni necessarie e sufficienti, in quanto ogni
sistema di assiomi aveva sempre una pluralità di intepretazioni diverse; si
sono chiamati definizioni implicite o definizioni descrittive69 .
Non è più ammissibile dopo Enriques, Hilbert etc. sostenere che
Il metodo assiomatico assume che ogni sistema matematico può
essere caratterizzato completamente da un’essenza - vale a dire
da un numero relativamente piccolo70 di proprietà essenziali71 .
Gli assiomi dei gruppi non stabiliscono affatto condizioni necessarie e sufficienti, se non per essere un gruppo, ma non caratterizzano alcun sistema
matematico, se un sistema matematico, per anticipare gli esempi che vedremo, è qualcosa come l’aritmetica modulo 3 o l’insieme delle rotazioni.
I modelli non standard dell’aritmetica provano proprio che gli assiomi non
stabiliscono condizioni necessarie e sufficienti per essere un numero naturale
o la struttura dei numeri naturali.
Non pare coerente comunque sostenere con LN che il metodo assiomatico
è nato in Grecia e non in altre civiltà a causa della centralità della teoria ingenua delle essenze nella filosofia greca72 ; esso casomai sarebbe nato
- seguendo LN - dall’idea di Aristotele di esprimere l’essenza per mezzo di
definizioni con condizioni necessarie e sufficienti, idea che non sembra appartenere alla teoria ingenua.
68
pp. 109-10.
Per una discussione del metodo assiomatico, si veda G. Lolli, Da Euclide a Gödel , Il
Mulino, Bologna, 2004.
70
Chissà perché LN continuano a mettere questa condizione; l’aritmetica e la teoria degli
insiemi hanno infiniti assiomi.
71
p. 118.
72
p. 118.
69
51
9.3
Algebra ed essenza
L’algebra considerata da LN è l’algebra moderna, teoria delle strutture, dove
ogni classe di strutture è individuata dai relativi assiomi.
L’algebra intesa in questo senso data dall’inizio del secolo; è ironico che
il primo manuale di algebra moderna73 sia apparso nel 1931, proprio l’anno
di Gödel, che secondo LN segnerebbe la fine del metodo assiomatico.
“L’algebra concerne l’essenza. Essa fa uso della metafora . . . ‘L’essenza è
la forma’. L’algebra è lo studio della forma o ‘struttura’ matematica . . . essa è
concettualizzata come caratterizzante le essenze negli altri rami della matematica”74 .
Alla prima lettura, tralasciando l’essenza, si potrebbe essere d’accordo,
anche se sarà bene che gli insegnanti evitino simile terminologia. Ma gli
autori vi ricamano sopra, esagerando.
La matematica per LN implicitamente assume una particolare metafora
per l’essenza dei sistemi matematici: “L’essenza di un sistema matematico
è una struttura algebrica astratta”. Data una struttura, ad esempio quella
dell’aritmetica modulo 3, l’algebra chiede quale sia l’essenza della struttura.
L’essenza di una struttura matematica è considerata includere, nella considerazione dell’algebra, (i) gli elementi della struttura75 , (ii) il numero e tipo
di operazioni, (iii) le proprietà essenziali delle operazioni.
Quando LN introducono una parola, questa diventa subito irrefrenabile
ed onnipresente e moltiplica i suoi significati: succede con la metafora, ma ora
anche con l’essenza. Prima l’essenza dell’algebra è dichiarata essere la forma
o struttura. In matematica tuttavia si studiano sistemi (sarebbe opportuno
ricordare da quando). Sistemi e strutture compaiono come sinomini in alcune
frasi, come lo sono spesso nel gergo matematico, ma qui non dovrebbero,
perché una struttura è l’essenza di un sistema.
L’essenza di una struttura, che è già un’essenza, deve essere una cosa ben
strana, e infatti essa non è data da nessuna delle metafore dell’essenza, ma
in altro modo, cioè con la caratteristica che in matematica comunemente si
chiama il tipo o a-rietà della struttura ((i), (ii) e (iii) di sopra). Forse LN
volevano dire, o avrebbero dovuto dire, che cosı̀ si presenta l’essenza di una
sistema, e quindi una struttura è caratterizzata da (i), (ii) e (iii) (comunque
73
van der Waerden, Moderne Algebra.
p. 110.
75
Questo è impreciso, o falso, e neanche rispettato da LN, che nell’esempio seguente
preciseranno solo il numero di elementi della loro struttura.
74
52
non una metafora), e cosı̀ lo intenderemo.
LN propongono come illustrazione il sistema matematico che è costituito
dall’insieme {0, 1, 2} con l’addizione modulo 3, presentato con una tabella
per l’addizione. Osservano che valgono per l’addizione le leggi associative e
commutative, che c’è un elemento identico 0 e l’inverso.
L’essenza di questo sistema è l’insieme dei tre elementi, con una operazione binaria e le leggi riguardanti l’addizione (si suppone quelle elencate,
ma non si sa come sono state scelte76 ). Ora però ci viene detto che l’algebra
concerne essenze generali , un nuovo tipo di essenze, quindi essa studia una
struttura con insieme {I, A, B} e un’operazione ∗ che ha una tavola analoga
alla precedente.
Questa struttura è chiamata gruppo commutativo con tre elementi .
Ora intervengono una serie di metafore dell’Essenza Algebrica, EA, di
cui un esempio è “L’addizione modulo 3 è un gruppo commutativo con 3
elementi”.
La mappa associata si può immaginare, manda {I, A, B} in {0, 1, 2}, I in
0, ∗ in + e cosı̀ via.
Ricordiamo che nella specificazione del tipo di una struttura non si precisa
in generale il numero di elementi; si può dire che l’algebra come teoria delle
forme comprende una struttura “gruppo commutativo”, ma non “gruppo
commutativo con tre elementi”. Questa è certo una struttura algebrica, ma
rientra nei casi particolari, o nelle applicazioni. Perché LN abbiano scelto
questo modo di esposizione è difficile capire; anche se vogliono partire dal
sistema dell’aritmetica modulo tre, possono benissimo riconoscere in esso solo
la struttura di gruppo commutativo, e quindi precisare come un accidente che
è un gruppo con tre elementi. Forse fanno cosı̀ perché vogliono scrivere la
tabella per ∗ in analogia a quella per l’addizione; ma in tal modo danno
un’idea sbagliata dell’assiomatica, oscurando il fatto che come sia ∗ non
bisogna postularlo, segue dagli assiomi dei gruppi commutativi, se si può
mettere la struttura di gruppo commutativo su un insieme di tre elementi.
Abbiamo detto sopra “riconoscere la struttura di gruppo commutativo”
senza accorgerci che eravamo su un terreno minato. Infatti
76
Gli autori direbbero che essi vogliono capire dal punto di vista cognitivo la matematica,
e la prendono come è. Ma qui per una volta considerano anche la storia, e ricordano che
prima si sono studiati sistemi particolari, quindi è intervenuta l’algebra. Dunque, prima
dell’intervento dell’algebra, sopra descritto, l’aritmetica modulo 3 non era concettualizzata
in questo modo.
53
I matematici parlano dell’addizione modulo 3 come se fosse letteralmente un gruppo commutativo con tre elementi, o come
“avente la struttura di un gruppo commutativo con tre elementi”.
Ma in una prospettiva cognitiva questa è un’idea metaforica.
Il concetto è reso più chiaro secondo LN da un altro esempio, quello delle
rotazioni di un triangolo di 120, 240 e 360 gradi. Le rotazioni sono rotazioni.
Per concettualizzare il triangolo come dotato di una struttura
di gruppo occorre un modo molto speciale e per nulla ovvio di
concettualizzare rotazioni, successioni di rotazioni e loro risultato
in termini di una struttura gruppale astratta77 . Dal punto di
vista cognitivo - la prospettiva secondo la quale si concettualizza
un genere di cose in termini di cose molto differenti - quello che
occorre è proprio la mappa metaforica.
Se abbiamo capito bene, LN intendono che non si può dire, o che è impreciso,
ingannevole, dire che l’insieme delle rotazioni ha la struttura di gruppo, ma
che noi le comprendiamo come se fossero un gruppo.
La distinzione è alquanto forzata, perché quando un matematico afferma
che l’aritmetica modulo 3 ha la struttura di gruppo non vuole affermare
che essa possiede la struttura come si possiede una cosa, tenendola in tasca.
Vuole dire che una delle prospettive possibili per studiare l’aritmetica modulo
3 è quella di considerare le proprietà gruppali dell’addizione, ma sa benissimo, e lo dimostra nella sua trattazione, che quella non è l’unica prospettiva.
Sa ad esempio, come forse LN non sanno, che nell’aritmetica modulo 3 esiste anche un’altra operazione di moltiplicazione, e che quindi è possibile, se
non doveroso, considerare anche altre strutture algebriche collegate alla sua
aritmetica.
Ma che tipo di metafora sarebbe poi una EA? Non è più il caso a questo
livello di preoccuparsi del radicamento, tuttavia è evidente che nelle metafore
EA in generale, e negli esempi proposti, il dominio di origine (algebra) è
più astratto del dominio bersaglio (sistemi matematici), sotto qualunque accezione (e comunque sotto quello usuale in matematica).
Come minimo ci dovrebbe essere una priorità di qualche genere, una
precedenza temporale, una maggiore familiarità per usare i discorsi di un
77
[In breve, per fare A occorre fare A].
54
dominio in un altro, e invece con le strutture algebriche le cose stanno al
contrario.
Dicono LN:
La struttura cognitiva di un’entità algebrica (un gruppo ad esempio) non è un’essenza che inerisce in altre strutture cognitive
di entità matematiche (ad esempio collezione di rotazioni). Le
rotazioni sono concettualizzate indipendentemente dai gruppi, e
i gruppi indipendentemente dalle rotazioni78 .
Questo è vero solo in parte. Le strutture algebriche non sono concettualizzate
indipendentemente dalle varie strutture (relativamente) concrete che le hanno
precedute. L’idea di gruppo nasce dopo diversi esempi (certo non tutti) di
sistemi matematici in cui una operazione binaria soddisfa le stesse proprietà.
Tali proprietà sono codificate negli assiomi dei gruppi, ed essi risultano
veri in ciascuno dei sistemi prima considerati (e in altri). In alternativa, si
dica che si forma l’idea di gruppo e si può usare la metafora che le rotazioni
sono un gruppo, l’aritmetica modulo 3 è un gruppo . . .
LN non dicono quali sono gli assiomi di gruppo ma forse sanno che sono
le proprietà che mettono nella tabella della mappa metaforica.
Viene da dubitare che sappiano invece cosa è la metafora dell’essenza, se
concludono il loro capitolo con l’affermazione
La metafora - L’essenza di un sistema matematico è una struttura algebrica astratta - attribuisce essenza a strutture algebriche
(come i gruppi) che sono mappate su altre strutture matematiche
(collezioni di rotazioni)79
Prima era il gruppo che era l’essenza delle rotazioni, data dalla metafora, ora
invece la metafora dà essenza ai gruppi.
Nella trattazione dell’essenza LN ricordano i gatti che giocando col gomitolo restano attorcigliati nel filo.
78
79
p. 119.
pp. 119-20.
55
10
Classi e logica simbolica
Su questo argomento c’è poco da dire, l’essenziale è già stato discusso a
proposito della metafora dei contenitori. Una classe infatti è concettualizzata
come l’interno di un contenitore. La metafora non sembra del tutto felice,
perché in questo modo gli elementi della classe possono variare al variare
del contenuto dei contenitori. Sembrerebbe più adatta la metafora delle
collezioni, o dei mucchi di oggetti. Si tratta ad ogni modo di una metafora
fondante.
Quindi LN ripetono la (più che) dubbia tesi che Aristotele avrebbe fatto
uso della metafora “I predicati sono classi” e infine Boole avrebbe fatto uso
della metafora “Le classi sono numeri”.
Boole si sarebbe accorto che concettualizzando le operazioni di unione
e intersezione come addizione e moltiplicazione le leggi commutative, associative e distributive dell’aritmetica sarebbero state vere per le classi. Per
trovare un corrispondente di 0 e 1 rimpolpa la metafora inventando la classe
vuota e la classe universale, ma anche cosı̀ falliscono ancora le leggi di idempotenza.
A proposito, viene da chiedersi se nei discorsi sui contenitori cápiti mai
se non ai folli di parlare di fare l’unione (o l’intersezione) di un contenitore
A con A, con conseguente riconoscimento dell’idempotenza.
Fallisce anche la distributività dell’unione rispetto all’intersezione, ma di
questo LN tacciono.
Allora Boole modifica la tavola dell’addizione e restringendola solo a {0, 1}
ottiene la validità di tutte le leggi delle classi (quali? quelle che conosceva,
quelle su cui LN si sono soffermati? quelle che sono poi diventate gli assiomi
della algebre di Boole?).
Le successive tappe descritte sono presentate come una storia realistica
ma naturalmente non lo sono. Boole ha formulato leggi non per le classi ma
come “leggi del pensiero”, certamente in versione algebrica, ma nel senso del
formalismo e di identità formali.
Le leggi che ha individuato non sono gli assiomi delle algebre di Boole80
a cui si è arrivati in seguito con successive modifiche; non si è certo “rivolto
all’algebra” nel senso dell’algebra astratta per trovare l’essenza delle classi.
In conclusione comunque la metafora di Boole sarebbe una metafora EA
per le classi, affermando che la loro essenza è un’algebra di Boole. Ricordiamo
80
Si veda T. Hailperin Boole’s Logic and Probability, North Holland, Amsterdam, 1976.
56
che in matematica si dice che un’algebra di insiemi è un’algebra di Boole
perché soddisfa (con ∼, ∩, ∪, ∅, U ) gli assiomi delle algebre di Boole.
La storia continua con la logica simbolica, che concettualizzerebbe le
proposizioni in termini di classi, “ogni proposizione P essendo (metaforicamente naturalmente) la classe degli stati dell’universo in cui P è vera”81 .
Non si capisce perché LN seguano questa strada difficile invece di usare
la normale definizione semantica di soddisfazione data nella logica proposizionale, secondo cui a ogni proposizione si può associare (o la proposizione
è metaforicamente) l’insieme delle interpretazioni che la soddisfano. Almeno le interpretazioni sono più dominabili degli stati dell’universo. Gli
stati dell’universo, i cosiddetti mondi possibili, sono un’acquisizionze recente
della semantica che serve soprattutto per le logiche modali.
Ma la perplessità maggiore riguarda il fatto che normalmente la direzione
di tutte queste metafore è rovesciata, a partire da quella di Aristotele. I
sottoinsiemi di un universo U (le classi di LN) sono di solito introdotti agli
studenti come insiemi di verità di proposizioni: a ogni proposizione p(x),
dipendente da una variabile, si associa l’insieme degli elementi che la soddisfano
X = {x ∈ U | p(x) vera in U },
e le operazioni insiemistiche le loro proprietà dipendono da quelle logiche
della negazione, congiunzione e disgiunzione.
Nel periodo dello sviluppo della logica simbolica di fine Ottocento, i vari
autori consideravano equivalenti le due impostazioni, e la priorità tra classi e
proposizioni come materia di preferenza. Non c’era e non c’è alcuna priorità
concettuale82 .
81
82
p. 131.
Naturalmente si può sempre aggiungere che le metafore in questione sono bidirezionali.
57
11
Insiemi
La teoria degli insiemi è fondata da LN, oltre che sulla metafora dei contenitori, sulla metafora “Gli insiemi sono oggetti” - in modo da permettere di
parlare di un insieme come elemento di un altro insieme.
Non si capisce la necessità di tale metafora dal momento che nella Figura
2.1a ci era stato mostrato un contenitore dentro ad un altro, e ci erano state
presentate le leggi della logica (built in nello schema) di in nella forma “se il
contenitore A è nel contenitore B . . . ”.
Segue la definizione, pardon la metafora, che la coppia ordinata ha, bi è
l’insieme {{a}, {a, b}}. Prima di questa, la coppia ordinata era concettualizzata attraverso lo schema del cammino (path), dall’origine a al termine b.
Quest’ultima tuttavia, che tutti considererebbero una metafora, a differenza
della definizione {{a}, {a, b}}, misteriosamente non lo è per LN.
La metafora proposta tuttavia non sembra trasferire a ha, bi il discorso
sulla prima e la seconda componente, la precedenza della sinistra sulla destra.
Non si vede immediatamente che non è simmetrica, occorre dimostrarlo in
maniera abbastanza intricata.
La metafora della coppia ordinata permette naturalmente di concepire le
relazioni come insieme di coppie ordinate; per LN permette anche di concepire
i numeri naturali come insiemi, attraverso la definizione di von Neumann, che
riportano come metafora, e in cui come si può vedere la coppia ordinata non
interviene per nulla83 .
L’unico altro argomento di teoria degli insiemi che viene discusso è la
definizione di cardinalità.
Cantor inventò la metafora che avere lo stesso numero di elementi significa
essere messi in corrispondenza biunivoca. Secondo LN questa è la prima volta
che l’accostamento dei due concetti è espresso come una metafora; in effetti
di solito lo esprimiamo come una definizione di “lo stesso numero di” o “la
stessa cardinalità”.
Secondo LN la metafora della corrispondenza biunivoca fa ricorso ad un
concetto ben diverso (very different) dal nostro ordinario concetto di avere
lo stesso numero di elementi.
Nel senso comune, ci dicono LN84 , A e B hanno lo stesso numero di elementi se “per ogni elemento di A si può togliere un corrispondente elemento
83
Sulla questione LN ritornano a p. 151 per fare una tempesta in un bicchiere d’acqua,
come vedremo.
84
p. 142.
58
di B ed esaurire B”.
Non sembra questa un’idea né una formulazione molto diversa da quella
della corrispondenza biunivoca, sicché non è giustificata, o è autoreferenziale,
la deplorazione rivolta da LN a quanti confondono gli studenti non facendo
notare la grande differenza tra il termine tecnico metaforico di Cantor e la
nozione ordinaria.
Ma la verità è che nessuno risponderebbe in questo modo; provare per
credere; la nozione comune è un’altra; chiunque risponderebbe che A e B
hanno lo stesso numero di elementi se contando i loro elementi si ottiene lo
stesso risultato.
I numeri transfiniti per contare gli insiemi infiniti non c’erano ancora.
Cantor notò che per gli insiemi finiti le due nozioni del contare e del mettere
in corrispondenza biunivoca coincidono, e sfruttò l’equivalenza per definire i
numeri infiniti per mezzo delle corrispondenze biunivoche. Un procedimento
che sembra più sottile ed intelligente di una metafora arbitraria.
Dopo questo accenno a Cantor si passa subito alla teoria assiomatica
di Zermelo-Fraenkel85 , per dire che nella visione formalista [sic] del metodo
assiomatico si chiamano insiemi una qualunque struttura che soddisfi gli assiomi. In particolare gli insiemi non sono concepiti in base alla metafora
dei contenitori. Ma siccome nell’uso comune prevale questa metafora, che “è
coerente con gli assiomi” e che comporta x 6∈ x, “venne proposto” l’assioma
di fondazione che lo implica86 .
A sottolineare lo stacco dalla metafora dei contenitori, viene dato risalto
ad un’altra teoria, quella degli iperinsiemi87 . Di questa non sono elencati gli
assiomi se non per il cosiddetto assioma di anti-fondazione; gli altri ad ogni
modo sono come in ZF.
I modelli più interessanti e intuitivi della teoria degli iperinsiemi utilizzano
85
L’assioma di rimpiazzamento è chiamato assioma di specificazione, p. 142; l’assioma
nella letteratura qualche volta si trova chiamato assioma di sostituzione, ma specification
è una novità.
86
In questo modo sembra che l’assioma di fondazione non rientri tra quelli di ZermeloFraenkel. In realtà non è cosı̀ universale l’uso di separare l’assioma di fondazione da quelli
di ZF, anzi prevale la posizione contraria.
87
Questa teoria è iniziata con le ricerche di M. Boffa in Belgio sull’assioma di fondazione,
e con quelle fondazionali di E. De Giorgi e dei suoi allievi F. Honsell e M. Forti sull’antifondazione. Della teoria si è impossessato poi il mondo anglosassone attribuendola a P.
Aczel, ed essa è stata usata per formalizzare alcuni tipi di paradosso, visto che ammette
cicli, in particolare da J. Barwise e L. Moss, che tuttavia non sono i creatori della teoria,
come potrebbe sembrare dall’unico riferimento bibliografico di LN.
59
i grafi per rappresentare gli iperinsiemi, e lo stesso assioma di anti-fondazione
è formulato in termini di grafi, che ammettono cicli o catene discendenti
infinite. Non tutti i modelli sono necessariamente sistemi di grafi, come
potrebbe sembrare dalla metafora che LN mettono alla base della teoria, la
metafora che gli insiemi sono grafi88 .
Non vale l’equazione iperinsiemi uguale grafi, come non vale insiemi uguale
contenitori. Ma grazie al ricorso esclusivo alle metafore, LN tendono a vedere
un solo modello per ciascuna metafora.
LN considerano il fatto che la teoria soddisfi gli assiomi di ZF (meno
quello di fondazione), come prova che gli assiomi di ZF “non definiscono il
nostro concetto ordinario di insieme come contenitore”89 .
Dovrebbero perciò essere grati all’assiomatica formalista che permette
questa conclusione, ma non pare che lo siano.
Se avessero considerato l’esistenza di diversi modelli di ZF sarebbero potuti arrivare alla stessa conclusione anche senza dover ricorrere ad un’altra
teoria, che non ha assolutamente l’importanza che sembrano attribuirle.
Ma è esagerata l’affermazione che
Gli assiomi della “teoria degli insiemi” non si riferiscono, e non
hanno mai avuto intenzione di riferirsi a quelli che ordinariamente
chiamiamo “insiemi”, che concettualizziamo in termini di contenitori.90
LN sembrano suggerire che siccome gli assiomi sono formali, allora non corrispondono a nessuna intuizione (cosı̀ i matematici parlano di quelle che LN
chiamano metafore), anche se hanno appena riconsociuto che sono compatibili con quella dei contenitori.
Ma gli assiomi della teoria degli insiemi non sono stati inventati in un
colpo solo, come formule prive di significato, bensı̀ proprio con l’intento di
formalizzare discorsi intuitivi. Soltanto che sono nati dagli usi linguistici di
un termine che erano plurimi, dipendevano in realtà da diverse intuizioni e
producevano antinomie che derivavano dalla sovrapposizione di queste intuizioni; tra di esse un posto preminente ha avuto naturalmente quella delle
collezioni.
88
Sarebbe più corretto dire che gli iperinsiemi sono grafi, visto che questa è la teoria
degli iperinsiemi.
89
p. 148.
90
p. 148.
60
Altrettanto preminente è stato il ruolo delle proprietà. L’assioma di estensionalità ad esempio non ha senso per i contenitori, mentre è cruciale per
passare dalle proprietà alle loro estensioni. Le antinomime del principio di
comprensione di Frege mostrano che non si può associare a ogni proprietà un
contenitore.
Come abbiampo già visto, l’unione di due insiemi può corrispondere ad
un’operazione su contenitori, ma l’unione di un insieme di insiemi no, nonostante e la sua importanza e la semplicità della sua definizione. La definizione
dell’unione non sembra guidata (driven) da alcuna intuizione, ma dal linguaggio, che tratta il quantificatore esistenziale ∃ come una generalizzazione
della disgiunzione ∨.
Per tornare infine alla coppia ordinata, LN notano che con la definizione
di von Neumann per cui 1 = {∅} e 2 = {∅; {∅}}, la coppia {1, 2} è l’insieme
{{∅}, {∅, {∅}}}; questo insieme è anche la coppia ordinata h0, 1i. Che confusione! – secondo loro.
Avrebbero potuto sollevare un caso anche con la coppia ordinata hx, xi
che non è una coppia.
Si dimenticano di dire che questo è l’unico caso, con i numeri, che con
numeri maggiori non succede e neanche con le terne; che la definizione di
coppia ordinata presentata è solo una di quelle possibili; altre definizioni non
danno questo problema, anche se possibilmente altri, sempre contenuti in
uno o due casi91 .
Invece di dire che il caso è banale e non merita che vi si perda tempo,
il loro commento è che dal punto di vista cognitivo non c’è alcun problema,
perché differenti concetti metaforici possono avere la stessa origine. “Fuoco”
può significare sia che uno è innamorato, nella metafora dell’amore come
calore, sia che uno è vicino al successo (come nel gioco fuoco-acqua).
Questa del fuoco non sembra una situazione tanto innocua, a differenza
dell’esempio matematico. Come sarebbe a dire che l’ambiguità di “Fuoco”
non è un problema? può ad esempio essere pronunciato da o a proposito
di un gigolo che sta per piegare una donna alle sue voglie e invece si finge
innamorato.
Secondo LN dalla discussione si ricava che le metafore della coppia ordinata e quella dei numeri di von Neumann servono il loro scopo dando origine
a matematica interessante e quindi sono accettabili come metafore. Alla
91
Ad esempio si possono scegliere due insiemi distinti a e b e porre hx, yi =
{{a, x}, {b, y}}; si hanno allora anomalie con le coppie con componenti a o b.
61
faccia della chiarezza concettuale e dei meccanismi cognitivi.
Dunque tutta la discussione è stata una tempesta in un bicchiere d’acqua.
Se c’è di mezzo una metafora tutto va bene. Invece ci sarebbero problemi
nella definizione letterale della coppia ordinata. Quali non è detto, non se ne
vedono92 , e non è neanche detto cosa sia una definizione letterale.
La morale della trattazione, che confessiamo di non aver capito, è che
la matematica non è letteralmente riducible alla teoria degli insiemi preservando le differenze concettuali. Il problema segnalato a proposito della coppia
ordinaria metterebbe in crisi il riduzionismo insiemistico.
Una “definizione letterale” sembrerebbe indicare una definizione che non
è concepita come metafora.
È importante distinguere tra definizione letterale e definizione
metaforica. In verità ci sono talmente tante metafore concettuali
usate in matematica che è estremamente importante capire bene
cosa sono e tenerle distinte93 .
Non potrebbe essere detto meglio. Se solo tutti si attenessero a questo
precetto. Credevamo di aver capito però che l’indagine cognitiva non volesse essere un contributo alla matematica ma solo alla sua comprensione.
Le definizioni metaforiche non dovrebbero perciò essere un nuovo tipo di
definizioni da affiancare a quelle usuali, casomai solo un’intepretazione della
metafora soggiacente alla definizione. A quanto pare non è cosı̀.
92
LN avrebbero potuto aggiungere per tranquilizzare il lettore che la coincidenza tra
{1, 2} e h0, 1i non dà alcun fastidio matematico.
93
p. 152.
62
Commiato
Il libro continua con due parti consistenti. Una è la trattazione dell’infinito,
l’altra è una polemica ideologica contro la matematica moderna rappresentata dalla rigorizzazione e dall’aritmetizzazione dell’analisi.
La (scoperta della) metafora dell’infinito è stata per LN la spinta a scrivere
il libro e ad affrontare la matematica nella sua globalità. La metafora è press’a
poco cosı̀.
Da una parte il dominio origine è costituito da tutti i processi che terminano; dall’altra il dominio bersaglio è costituito da tutti i processi che vanno
avanti all’infinito. La mappa metaforica trasporta dall’origine al bersaglio la
fine dei processi, per cui tutti i processi che non terminano vengono ad avere
una fine. La mappa è creativa, trasportando tuttavia solo la fine dei processi.
Non si capisce perché porti solo quello e non trasferisca anche altro,
facendo sı̀ che le leggi degli insiemi infiniti siano le stesse di quelle degli
insiemi finiti.
Sarebbe bello seguire le fantasiose acrobazie che si prospettano. Ma
purtroppo non abbiamo tempo né, sinceramente, voglia di continuare la discussione, e ci fermiamo qui. Sulla polemica ideologica abbiamo già fatto
alcune osservazioni nella recensione di un precedente lavoro di LN, preparatorio dell’attuale libro94 , osservazioni che possono utilmente complementare
quelle qui presentate.
Dopo aver chiosato il libro fino a p. 150 possiamo esprimere tuttavia una
conclusione sostenuta dai riscontri testuali: mai abbiamo incontrato nella
letteratura della o sulla matematica un testo che assommi tanta presunzione e prosopopea a tanta ignoranza e ingenuità. Alla matematica ci si
dovrebbe avvicinare con timore e tremore, per le sue abissali difficoltà, tecniche e storiche. Se non si è in grado non dico di dominare la sua complessità,
ma anche solo di orientarsi in essa, ci si dovrebbe astenere dal pontificare.
A ciò si aggiunga un’esposizione sciatta, sloppy, approssimativa, ripetitiva, imprecisa, senza rispetto delle regole dei riferimenti puntali, incu94
La metafora in matematica, in La parola al testo, Scritti per Bice Mortara Garavelli,
a cura di G. L. Beccaria e C. Marello, Edizioni dell’Orso, Alessandria, 2002, pp. 22132. Il testo di LN è The Metaphorical Structure of Mathematics, in L. D. English (a
cura di), Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors, and Images, Lawrence Erlbaum
Associates, London, 1997, pp. 21-89.
63
rante della concordanza interna di quanto viene affermando con la massima
sicumera.
64
Presentazione di Da Euclide a Gödel
Accademia delle Scienze, Torino 13 giugno 2005
Interventi di Andrea Cantini e Ettore Casari
Replica di
Gabriele Lolli
Per il pubblico che non ha letto il libro aggiungo qualche informazione
generale a quelle proposte dai relatori.
La motivazione del libro è, come capita spesso, dettata dalle origini occasionali. A Euclide sono arrivato andando all’indietro. Dovevo fare alcune
lezioni al Master in Comunicazione scientifica dell’Università, e naturalmente a me di cosa chiedono di parlare se non di Gödel? Ma per inquadrare il
lavoro di Gödel occorre parlare del programma di Hilbert per la dimostrazione di non contraddittorietà, e per illustrare quest’ultimo occorre descrivere
la proliferazione delle teorie assiomatiche di fine Ottocento e la rivoluzione
nel metodo assiomatico allora verificatesi. Parlare di rivoluzione del metodo
assiomatico fa drizzare i capelli, tutti pensano che la matematica sia l’unico
luogo felice dove non ci sono rivoluzioni; viene la curiosità di sapere come
era la matematica prima della rivoluzione. Se si va ancora indietro si vede
che la pratica matematica non si adeguava al mito del metodo assiomatico
euclideo che tuttavia era sempre ritualmente riconosciuto come modello, e
questa divergenza si manifesta subito dopo Euclide: in tutti gli argomenti
non geometrici, dall’aritmetica di Archimede ai numeri negativi di Diofanto
al calcolo infinitesimale alla proiettiva i matematici si confrontano con la necessità di organizzare il loro lavoro basandosi molto di più su varie soluzioni
logiche via via inventate che non sulla evidenza dei postulati.
Questo lungo lavorio culmina a fine Ottocento, con una accelerazione
intrinsecamente guidata, nella codifica del metodo ipotetico deduttivo.
La storia dell’emergere della natura logica della matematica costituisce
tuttavia solo una metà del libro. L’altra è dedicata a ciò che dai risultati
di Gödel si irraggia verso il futuro, per due motivi. Uno è che in generale i
1
grandi risultati di solito non solo chiudono una problematica, evento che di
per sé potrebbe avere solo un interesse storico, ma aprono prospettive nuove,
e in questo sta il loro valore. L’altro motivo è che ciò è particolarmente vero
per Gödel, e che se non si riconosce la fecondità del suo lavoro si finisce per
darne una valutazione non solo riduttiva ma scorretta.
La ricezione dei teoremi di Gödel mostra un paradosso che è segno della
malattia della nostra cultura. Mentre Gödel realizza uno sconvolgente successo e potenziamento della ragione, il suo lavoro è spesso presentato come
una prova a sostegno del relativismo e della debolezza della stessa.
Quello che chiamo successo della ragione consiste nella capacità di riconoscere e trattare la distinzione tra linguaggio e metalinguaggio, nel domare
e dominare il fenomeno dell’autoriferimento piegandolo a strumento di ragionamento non paradossale, come era stato fino ad allora. E soprattutto
nel fornire gli strumenti per una trattazione precisa e rigorosa, addirittura
matematica di questo aspetto della nostra facoltà linguistica razionale.
Tale possibilità deborderà oltre i confini della matematica, anche con il
contributo di altri grandi pensatori, Alfred Tarski, Rudolf Carnap, . . . ma
sarà particolarmente feconda nella matematica, e con conseguenze epocali
per la nostra civiltà.
Si capisce allora perché, di nuovo come capita quasi sempre con i grandi
teoremi, quello che è veramente importante non è l’enunciato dei teoremi, e
neanche il problema a cui danno risposta, ma la loro dimostrazione, perché
è nella dimostrazione che si colgono i germi del nuovo.
In questo caso ciò è vero in modo particolare, dal momento che la dimostrazione è basata su tecniche e soluzioni del tutto originali usate per la
prima volta nella storia.
Tali tecniche, riassumibili nella cosiddetta aritmetizzazione, sono la parte
pesante di calcolo; occorre eseguirli, una volta, anche se ora con la saggezza di
poi sono disponibili trattazioni più dirette nella teoria dei linguaggi formali,
nata da quei calcoli per le esigenze dell’informatica (sempre, in matematica,
le prime tecniche sono perfezionate, trasformate e rese più accessibili - se non
altro per le necessità dell’insegnamento, prima forma di divulgazione); occorre eseguirli per lo stesso motivo per il quale si fanno esercizi di risoluzione
delle equazioni, non per allenarsi a risolverle, cosa che non si farà mai nella
vita, ma perché cosı̀ si impara che cosa sono le equazioni.
Il resto della dimostrazione, l’argomento che sfiora come un equilibrista il
paradosso, è noto, ed anche facile e divertente, soprattutto nella forma in cui
lo espongo, seguendo l’antinomia di Richard, che ha il merito di prestarsi be2
ne alle varianti delle analoghe dimostrazioni relative ai problemi indecidibili
dell’informatica.
Ma la parte veramente importante è quella hard , perché è in essa che sono
impliciti (e necessari perchè l’aritmetizzazione funzioni - non basta assegnare
numeri ai simboli, occorre definire in modo matematico tutte le nozioni e
le operazioni della sintassi) e in parte già espliciti gli argomenti che costituiranno la teoria della calcolabilità come un capitolo di quanto è definibile
nell’aritmetica.
Questo è il vero importante sottoprodotto della dimostrazione di Gödel.
La teoria matematica della calcolabilità è già pronta a disposizione prima che
compaiano i calcolatori. Succede come con le coniche rispetto alla meccanica
celeste; la differenza è che le coniche erano sepolte nel patrimonio matematico
e dimenticate, tant’è che Keplero per trovare la curva che interpolasse i suoi
dati la cercava nella forma dell’“ovale”; invece in questo caso le stesse persone che hanno costruito la teoria hanno anche subito costruito le macchine
(Turing e l’ACE ).
Detto questo sulla struttura del libro, è vero che in esso si può rilevare,
come ha notato Casari, una vena polemica, che si può cercare di spiegare.
La polemica è rivolta non tanto al mondo della cultura in senso lato
o alla filosofia della matematica quanto proprio all’ambiente matematico.
Io non ci tengo a difendere una particolare filosofia della matematica; per
rispondere a Cantini che me lo ha chiesto, è vero che nel libro si respira una
valorizzazione della posizione nota come “deduttivismo ”o “if-thenism”(la
concezione della matematica fondata sulla conseguenza logica: i teoremi sono
le proposizioni che sono conseguenza logica degli assiomi, presentati come un
sistema formale), ma solo perché la filosofia ufficiale la snobba come poco
raffinata, come una delle posizioni del working mathematician, quale in effetti
è; ad esempio è teorizzata da Enriques e da tutti i sostenitori del metodo
assiomatico.
Io ritengo che la matematica sia una produzione umana; Cantini ha ricordato con giusta svalutazione le filosofie della matematica neo-empiriste o
orientate al sociale che sono fiorite negli ultimi anni; il tratto curioso delle
posizioni genericamente dette “umaniste”(Reuben Hersh) nei confronti della matematica è che tutte danno per scontato che nel parlare di “umano”si
debba automaticamente eliminare e combattere la ragione e la logica. A me
sembra invece che l’essenza dell’umano, naturalmente quando acquisisce l’anima intellettiva, per dirla con Tommaso, non certo quando è un agglomerato
di otto cellule, sia la ragione. Di conseguenza il potenziamento della ragione
3
realizzato come abbiamo detto da Gödel rappresenta una grande opportunità,
non ancora del tutto sfruttata, e penso che nei confronti della matematica ci
si debba porre nella disposizione di coltivare la metamatematica, cercando
di cogliere tutte le illuminazioni che ci può dare.
La metamatematica è uno sviluppo coerente della impostazione assiomatica della fine dell’Ottocento. Allora si contrapponevano due atteggiamenti,
entrambi con radici e giustificazioni nella storia immediatamente precedente,
ma sostanzialmente inconciliabili.
Con drastiche semplificazioni, da una parte si trovavano i sostenitori del
metodo genetico: per questi le nozioni matematiche, soprattutto quelle moderne astratte, ma innanzi tutto i sistemi numerici, erano (una costruzione
della mente che tuttavia dava un’impressione di solidità, e veniva esternizzata e reificata in) una realtà oggettiva, che permetteva al matematico un
accesso diretto e privilegiato di conoscenza. Sempre semplificando, si tratta
della posizione poi qualificata come platonista1 .
L’altra corrente era quella del metodo assiomatico. Su questa, con l’invenzione da parte di Hilbert della metamatematica come strumento e strategia per dimostrare, in primo luogo, la non contraddittorietà delle teorie
fondamentali, si è innestata la logica matematica che con le sue tecniche e i
suoi risultati (non solo quelli di Gödel) rende sempre più difficile la vita al
platonismo.
I platonisti muovono ai logici l’accusa di relativismo, per quel che riguarda
le idee matematiche (la logica insegna che non c’è una nozione univoca di
“numero naturale”) contrapponendo agli insegnamenti della logica la loro
esperienza. I matematici, non solo i platonisti, forniscono resoconti di una
sensazione cogente di realtà per gli oggetti di cui si occupano, qualcosa che
si vede e si tocca, si conosce. Questi resoconti sono familiari, condivisibili,
ma non possono essere presi come una prova, neanche filosofica, di esistenza
di quella realtà. Altrimenti i resoconti dei mistici, o anche solo delle persone
credenti, sarebbero una prova dell’esistenza di Dio. Qualcuno ha cercato di
usare tale argomento, ma si tratta di una nota fallacia, di un argomento ad
populum. Gli ontologi sostengono l’esistenza degli oggetti sociali astratti, ma
questi oggetti, la cui realtà è sperimentata da tutti, si incontrano sempre e
solo in qualche ufficio con una pratica da sbrigare.
1
In verità il metodo genetico ha molto a che fare anche con il logicismo - questo è
il motivo della parentesi di sopra, che vuole alludere a un’alternativa - ma questo a sua
volta, dopo l’epoca d’oro, si è diluito in forme meno raffinate di realismo. Si veda G. Lolli,
Filosofia della matematica, Il Mulino, 2002.
4
Prendere sul serio i resoconti di sensazioni significa studiarli per capirli,
indipendentemente dalla adesione a quanto viene riportato; cosı̀ ad esempio si
può studiare scientificamente la psicologia del misticismo religioso. La logica
della metamatematica è lo strumento principale per lo studio delle teorie, le
quali sono i resoconti di quelli che dicono di descrivere una realtà oggettiva.
La metamatematica insegna che nessuna teoria (seria) è categorica, che
quasi tutte quelle importanti sono incomplete, . . . e cosı̀ via. La teoria degli
insiemi non solo non è completa, ma tra le proposizioni indecidibili ce ne sono
che riguardano proprietà di base delle strutture fondamentali: non possiamo
neanche sapere quanti sono i numeri reali. Quale è allora l’universo degli
insiemi che il platonista dice di conoscere e per la cui descrizione si limita ai
largamente insufficienti, dimostrabilmente, assiomi di Zermelo-Frankel?
Il matematico allora con fastidio si scuote di dosso questi noiosi grilli parlanti. Lo ha mostrato Bourbaki con la sua strategia schizofrenica: dichiarare
negli scritti sui fondamenti la sua adesione al metodo assiomatico, premettere
agli Éléments un linguaggio formale, e gli assiomi di una teoria, quella degli
insiemi, e poi dimenticarsene.
Ma dimenticandosene, si perdono anche i contributi positivi, perché la
metamatematica non ha prodotto solo i teoremi limitativi; realizzando in
parte, o in alcune direzioni, e in altre non previste, gli auspici del suo fondatore Hilbert, la metamatematica ha fornito risultati e strumenti importanti
per la comprensione dell’attività matematica e anche per l’ottenimento di
teoremi classici. Cito soltanto i cosiddetti metodi non standard, o tutti i
nuovi concetti elaborati dalla metamatematica dell’algebra.
Per esorcizzare il male, i matematici danno la colpa del relativismo alla
logica, e quindi come tutti i fondamentalisti non la studiano e non la fanno studiare. Per evitare i suoi insegnamenti, ne escludono l’insegnamento.
In questo modo impediscono di svolgere un’analisi scientifica di una delle
più importanti attività umane, che resta opportunamente circondata del suo
alone di mistero.
Si potrebbe in effetti sostenere che la colpa è della logica, ma questo
significa che è colpa di come siamo fatti e la politica dello struzzo non risolve
nulla. È vero che la logica del secondo ordine permette di definire in modo
categorico le strutture fondamentali dei numeri e degli insiemi, ma a questo
proposito vale l’antinomia della ragion pura cosı̀ ben formulata da Casari:
dilemma: o si riesce a dimostrare tutto (quello che è logicamente
valido) riguardo a enti che però non si sa dire cosa sono, oppure si
5
riesce a definire ciò di cui si vuole parlare ma allora non si hanno
metodi per dimostrare tutto quello che è valido.
Il problema è intriguing e merita di essere al primo posta nell’agenda della
filosofia della matematica, ma intanto i fatti sono questi: innanzi tutto la
logica del secondo ordine richiede una dose di teoria degli insiemi su cui
la nostra ignoranza è profonda ed essenzialmente ineliminabile, il che getta
un’ombra sulla affidabilità delle definizioni di cui parla il secondo corno del
dilemma; si può sempre dubitare che siano solo impressioni. In secondo luogo
molte teorie sono formalizzate nella logica del primo ordine e la pluralità dei
loro modelli è una ricchezza a cui i matematici non rinuncerebbero; rifiutare
infine, o sottostimare i procedimenti meccanici disponibili per la deduzione
nella logica del primo ordine sembra un atteggiamento strano nell’era dei
calcolatori.
Il modo giusto di lavorare è quello di passare all’occorrenza secondo
necessità da una logica all’altra, ma per farlo occorrerebbe conoscerle.
L’indicazione di base che deriva dalla metamatematica hilbertiana (liberalizzata) è quella di assumere le teorie come oggetto di studio matematico
- gli oggetti simbolici del linguaggio e le strutture delle loro interpretazioni senza vincoli precostituiti sulla metalogica.
A questo proposito viene opportuna una precisazione mai sufficientemente (e inutilmente) ripetuta. Considerare le teorie matematiche come sistemi
formali per iniziare a fare metamatematica non significa sposare alcuna versione di formalismo; Hilbert stesso pensava che gli strumenti della metamatematica dovessero essere i metodi finitisti, vale a dire combinatori, cioè una
matematica dotata di senso. Era per l’impossibilità di dare un senso all’infinito che egli proponeva il suo programma: prendere come oggetto di studio
la struttura linguistica delle teorie (infinitiste), quindi quello che si chiama
un sistema formale, e cercare di dimostrarne la non contraddittorietà, con
una matematica contenutistica. Con il secondo teorema di incompletezza di
Gödel si è preso atto che i metodi della metamatematica dovevano essere più
forti delle teorie che si vogliono assumere come oggetto di studio. Questi
stessi discorsi sulla forza delle rispettive teorie testimoniano che si pensa a
teorie non formali: solo nel momento in cui diventano oggetto di studio le
teorie sono rimpiazzate dalla loro struttura linguistica simbolica. La differenza tra noi e Hilbert è che non siamo più tanto preoccupati della affidabilità
dei metodi, perché non pensiamo che il compito della matematica sia di dare
certezze assolute, ma piuttosto chiarificazioni concettuali.
6
L’introduzione alla e della metamatematica sarebbe facile e naturale nel
contesto ad esempio di un primo corso di algebra: invece di svolgere la trattazione in un linguaggio sostanzialmente naturale, basta inserire la distinzione
tra formule e assiomi e discorso da una parte, e il loro significato (le strutture) dall’altra: entrambi tuttavia oggetti matematici, gli uni discreti, gli
altri astratti. Si stabilisce quindi l’accostamento di due tipi di tecniche e una
forma di ragionamento che nello svolgersi simultaneamente si interroga sul
proprio svolgersi. Ogni passo comporta una sospensione2 , una epoche, che ci
induce a guardare il passo che facciamo.
Questa piccola integrazione della disposizione mentale ordinaria fa scattare tesori di nuove intuizioni e punti di vista; per poterlo fare bisogna studiare
e usare tante logiche, non nessuna. Siamo invece purtroppo di fronte a una
chiusura totale (che sul piano filosofico si accompagna alla stantia ripetizione
di posizioni pasticciate e indifendibili come il bourbakismo e i suoi eredi ancora più poveri) e che è preoccupante per il futuro. Non è la prima volta che
si perdono conquiste del pensiero, e si devono aspettare secoli per riscoprirle.
La polemica dunque è del tutto motivata, e per quanto mi riguarda
continuerò a farla nei limiti delle mie capacità.
2
Come quando si sente una extrasistole.
7
Che cosa sono i numeri∗
di
Gabriele Lolli
Insistere sempre e solo sui numeri, come nel titolo stesso del Festival1 è
fuorviante, la matematica non è fatta solo di e con i numeri.
Una volta, e per lungo tempo, si diceva che la matematica tratta di numeri e figure. Ma per gli antichi greci i numeri erano figure. Già questo
fatto lascia intuire che non ci sono risposte univoche alla domanda “che cosa
sono i numeri”. Nella storia del pensiero occidentale si sono succedute molte
definizioni che non è il caso di passare in rassegna, dalle idee nell’iperuranio alla dichiarazione neopositivista di Carnap (che la parola “numero” non
appartiene alla matematica, essa è una parola di un linguaggio materiale,
cosale, abituato a reificare tutti i termini). Le dichiarazioni sulla natura dei
numeri sono inconclusive, si ripetono e sono del tutto inefficaci, senza alcuna
influenza sulla matematica.
A essere precisi, di numeri che esistono veramente ce ne sono solo due,
lo 0 e l’1, cioè i bit. Il libro della natura è scritto in linguaggio matematico,
come voleva Galileo, ma le sue parole non sono “triangoli” e “cerchi”, ma i
bit. I numeri, tutti i sistemi da N a Z, Q, R, C,∗R sono una sovrastruttura
(strutture mentali) che ci aiuta a dipanare la trama dei bit, non essendo in
grado noi, a differenza dei calcolatori elettronici, di elaborarli direttamente.
Spiegare la formazione di questi sistemi di concetti sarebbe la prima
questione della filosofia della matematica.
I numeri naturali in particolare servono a rappresentare la ripetizione di
un pattern. Ma l’idea della ripetizione non è un’idea chiara e distinta. La
difficoltà di dire che cosa sono i numeri è ben illustrata dal fatto che non
abbiamo un’immagine univoca dei numeri naturali, che la stessa persona è
in grado di coltivare rappresentazioni divergenti.
∗
Intervento alla tavola rotonda sul tema al Festival della matematica, Roma, 18 marzo
2007. La prima domanda del coordinatore A. Massarenti è stata “Che cosa sono i numeri?”.
1
“La bellezza dei numeri, i numeri della bellezza”.
1
Usiamo un’immagine concreta: se siamo all’inizio di un bosco, vediamo
alcuni alberi, i primi più vicini, e li possiamo anche contare, ma quanto più lo
sguardo si spinge in avanti verso il fitto del bosco tanto più la visione diventa
indistinta e buia, e gli alberi si possono solo immaginare. Noi rappresentiamo
questa situazione con i puntini
0, 1, 2, 3 . . .
per esprimere l’idea che andando avanti nel bosco possiamo continuare a
vedere progressivamente qualche nuovo albero e contarlo.
Ma si può immaginare una situazione diversa; se uno è paracadutato
nel mezzo di un bosco, davanti a sé vede qualche albero, e di nuovo la sua
visione si fa indistinta quanto più spinge in avanti la vista; ma anche se si
volta indietro vede qualche albero distintamente, e poi la visione si confonde
a uno sguardo più lontano.
Si potrebbe pensare allora che i numeri naturali contengano anche, nella
parte sconosciuta, dei numeri grandi, del blocchi di tipo Z
t
s s
s s r qqq q r s t s r q
q r s ts rq
che si prolungano in avanti e all’indietro.
La questione è collegata ai cosiddetti numeri infiniti. Eulero, uno dei più
grandi matematici di tutti i tempi, del quale celebriamo ad aprile il terzo
centenario della nascita, aveva una immagine dei numeri nella quale erano
contemplati i numeri infiniti.
Insieme agli infiniti, se si prende il loro reciproco, si hanno numeri (reali)
piccolissimi, più piccoli di quelli usuali, detti infinitesimi, che hanno avuto un
ruolo importante nel calcolo detto appunto “infinitesimale”. Grazie all’immagine sicura che ne aveva, Eulero era in grado di presentare dimostrazioni di
risultati mirabili e sorprendenti; i suoi contemporanei erano a disagio, perché
non erano in grado di dire dove fossero sbagliate–non erano (solo) i pasticci
con gli infinitesimi che il vescovo Berkeley poteva rinfacciare a Newton–ma
neanche che fossero accettabili.
Siccome pochi erano in grado di dominare come Eulero questa diversa
rappresentazione dei numeri, nella storia si è scelto di eliminarli, sostituendo
agli infinitesimi la definizione di limite, quella con -δ che fa sudare gli studenti, e dimenticando gli infiniti. I meno fantasiosi alla lunga sono riusciti a
impedire che si coltivasse questa intuizione.
2
Ma nel 1965 Abraham Robinson è stato in grado di far vedere come sia
possibile parlare di numeri infiniti, e di infinitesimi, in un modo coerente, con
tecniche ben definite e facilmente operative, e con una immagine armoniosa
del sistema ampliato, e del suo rapporto con quello tradizionale. I metodi di
Eulero sono stati rivalutati, e compresi.
Robinson ha ottenuto la sua costruzione servendosi di un risultato generale che è stato ottenuto nel Novecento da “una scienza autonoma di incontestabile interesse” che si chiama “metamatematica”2 . Il risultato è il teorema
di completezza logica di Gödel (1930), che spiega le condizioni sotto le quali
è possibile farsi un’immagine di un concetto, o concludere che esiste in senso
matematico, cioè come una struttura concepita nei termini nei quali nel Novecento si esprime l’intuizione matematica, cioè la teoria degli insiemi. Basta
per questo che il concetto sia caratterizzato o descritto (in modo parziale)
da una serie di caratteristiche logicamente coerenti tra loro, dove coerenti
significa che localmente ogni gruppo finito di caratteristiche non ingenera
contraddizioni.
I metodi di Eulero, o di Robinson, detti “metodi non standard”, rappresentano un’alternativa a quelli sviluppati negli ultimi duecento anni, un’alternativa equivalente e forse più vantaggiosa, perché permette di lavorare con
due tipi di intuizioni diverse e coordinate. In realtà tanta fatica è stata messa
nel perfezionare i metodi dell’analisi, e con tale successo, che ora la proposta
dei metodi non standard viene considerata quasi solo una curiosità storica,
e non può essere presentata come un’alternativa realistica, ma al massimo
come un’integrazione.
Dal punto di vista filosofico tuttavia si ricava una lezione importante. A
chiunque affermi di avere una immagine precisa dei numeri naturali si può
obiettare che sono possibili, che si hanno, e che lui stesso è in grado di avere,
immagini diverse, non isomorfe.
In particolare è del tutto legittimo immaginarsi la successione dei numeri
naturali come prolungata oltre tutti i numeri finiti, quelli che si ottengono
da 0 iterando il successore, o il +1, e ricca di una complicata struttura di
numeri infiniti.
Non c’è nessuna superiorità ontologica o logica dalla successione di tipo ω
rispetto a queste altre strutture. Al massimo una priorità logica del modello
assunto in partenza per la costruzione dei linguaggi rispetto alle estensioni
ottenibili, ma anche quello di partenza potrebbe essere uno di quelli non
2
N. Bourbaki, Elementi di storia della matematica, Feltrinelli, Milano, 1963, p. 56.
3
standard, e non la serie semplice che si pensa sia fondamentale (Eulero non
la riteneva tale).
Il fatto è che le prime esperienze innate ci fanno mettere i punti subito
dopo i primi tre o quattro numeri, e si pensa che quei punti siano tutti del
tipo del segmento iniziale, cioè ogni numero raggiungibile con il successore e
tale che guardando indietro si vedano solo un numero finito di numeri. Ma
la trattazione logica smentisce questa eccessiva semplificazione.
Non solo non possiamo dire che cosa sono i numeri, ma neanche quali
sono.
L’esempio serve anche, rispetto alla nostra discussione presente3 , a illustrare il lavoro che viene fatto in filosofia della matematica.
Non è vero che in filosofia della matematica niente funziona. La storia
degli infinitesimi prova che si possono ottenere risultati positivi e di valore
permanente. Si può parlare di fallimenti solo se si concepisce la filosofia della
matematica come una serie di dichiarazioni di credenze, che pretendono di
dare spiegazioni onnicomprensive–qualunque cosa ciò significhi–della matematica. Ma la filosofia della matematica non è una religione, con le divisioni
in sette che si combattono per sopraffarsi. La filosofia della matematica può
dare risposte stabili, se non definitive, che rappresentano vere acquisizioni di
conoscenze.
Non sempre naturalmente, e non per qualunque tipo di domanda, ma solo
quando ci sono problemi reali, quando ci sono tecniche adeguate, quando ci
sono persone in grado di usare queste tecniche. Nel caso discusso si tratta
di strumenti della logica. In altri casi sono altri. Molte conoscenze possono confluire nello studio del fenomeno matematica, dalle neuroscienze alla
psicologia alla storia, ma quando si vogliono costruire strumenti matematici
occorre la matematica, direbbe Lapalisse.
3
La seconda domanda del coordinatore della tavola rotonda riguardava la filosofia della
matematica in generale e la terza l’efficacia della matematica nella conoscenza del mondo.
Massarenti ha citato una dichiarazione di Hilary Putnam sul fatto che in filosofia della
matematica niente funziona, nel senso che nessuno dei recenti programmi del Novecento
ha avuto successo. Alla terza domanda non c’è stato tempo di rispondere.
4
Ambiguità∗
In Lakoff e Nuñez1 la metafora era il deus ex machina. In questo libro
“ambiguità” è la parola magica, o più banalmente come il prezzemolo, sta
dappertutto. Il sottotitolo dice che è usata per creare matematica, ma poi la
si trova anche dentro ai risultati consolidati (come 1+1 = 2); con lo scorrere
delle pagine ambiguità è chiamata l’incertezza (tra due soluzioni) come anche
il conflitto di opinioni; ambigua è vaghezza; addirittura c’è una ambiguità
dell’ambiguità, o una ambiguità di secondo livello, nella situazione di classe
dove ambiguo è il modo di considerare un problema, chiaro per il docente, ma
. . . ambiguo per lo studente. La ricerca, con la sempre presente possibilità di
fallimento, è ambigua. Imparare è dunque ambiguo.
In fisica teoria ed esperimento costituiscono una ambiguità; l’esistenza
di due teorie non compatibili, come la teoria della relatività e la meccanica
quantistica è un’ambiguità; la teoria delle stringhe è ambigua sia per il contesto, ora accennato, nel quale si colloca, sia perché la M-teoria unifica cinque
precedenti teorie delle stringhe (altro che due). Ma addirittura l’equazione
E = mc2 è ambigua perché mette in relazione due concetti diversi, massa ed
energia, e lo stesso le altre equazioni della fisica.
Recentemente dalle scienze cognitive sono venute secondo l’autore considerazioni ambigue sulla matematica; non si capisce dove stia l’ambiguità,
perché il contributo delle scienze cognitive è riassunto nella sola introduzione
della nozione di metafora (la quale naturalmente è massimamente ambigua).
William Byers sarebbe contento che si denunci l’ambiguità del suo uso di
“ambiguità”, ma forse meno se la si chiamasse come è solo confusione. Un
peccato, perché il libro porta l’attenzione su molti fenomeni interessanti.
∗
Recensione di W. Byers, How Mathematicians Think , Princeton University Press,
Princeton, 2007; il sottotitolo è Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create
Mathematics.
1
G. Lakoff, R. E. Nuñez, Where Mathematics comes from, Basic Books, New York,
2000.
1
1
Ambiguità
Il testo è un continuo reiterare affermazioni che l’autore sembra credere ripetizioni equivalenti o che si rinforzino a vicenda, senza accorgersi che dicono
cose diverse.
A p. 77 ad esempio si dice che l’ambiguità nella matematica è una ambiguità controllata, perché è sotto il controllo della logica: “la potenza e la
profondità della matematica è conseguenza del suo avere una profonda ambiguità sotto il più rigido controllo logico”. Ma nella stessa pagina si cita
Thurston che ricorda come ci siano almeno otto (a sua conoscenza) modi di
pensare alla derivata, e il suo commento che “a meno che grandi sforzi non
siano fatti per conservare il tono e il sapore delle intuizioni umane originarie,
le differenze tendono a evaporare non appena i concetti mentali sono tradotti
in definizioni precise, formali ed esplicite”. Allora Byers interviene a correggere: le differenti intuizioni possono ridursi alla stessa definizione formale in
casi specifici, ma esse mantengono tutto il loro valore. La precisione della
matematica formale, logicamente precisa è un valore, ma solo “in quanto essa
è al centro di un insieme più lassamente definito di idee associate che sono
anche matematicamente valide”.
Subito dopo, nella stessa pagina, invece del centro viene l’inclusione: le
ambiguità si risolvono non con la precisazione ma creando un significato più
ampio di cui i significati originari, conservati, sono casi speciali.
La sua tesi di sfondo è che la matematica non è una entità fissa e statica
che può essere strutturata in modo definitivo, ma è dinamica e viva; il dinamismo è alimentato da una interazione tra due poli, la logica che si muove
nella direzione della chiarezza e coerenza, l’ambiguità che è fluida e aperta.
Per cui “la matematica stessa è ambigua”.
In termini cosı̀ generali come non essere d’accordo, salvo per la retorica.
Il guaio deriva dall’eccesso di zelo che invece di limitarsi agli esempi, e sono
tanti, significativi, vuole vedere l’ambiguità dappertutto. Tipico è il caso di
1+1 = 2, che è detta ambigua perché l’uno e il due sono due concetti importanti, legati alla religione, alla metafisica, alle capacità percettive, quindi
l’affermazione della uguaglianza è molto interessante. Dunque ambigue sono
anche le affermazioni chiare e precise.
All’esordio è proposta una definizione di ambiguità, ambiguamente presa
dalla definizione di creatività di Arthur Koester: la creatività si manifesta in
una situazione nella quale “una singola idea o situazione è percepita in due
schemi di riferimento auto-consistenti ma incompatibili”. Per Byers
2
L’ambiguità comporta una singola idea o situazione che è percepita in due schemi di riferimento auto-consistenti ma incompatibili.
Che questa sia (talvolta) una fonte, o almeno una occasione di creatività in
matematica è qualcosa di cui tutti sono consapevoli, anche se Byers ritiene
che una situazione di ambiguità fornisca addirittura un “meccanismo” (mai
spiegato, ma l’uso delle parole è spesso sloppy nell’autore) per atti di creatività. Gli esempi
√ non mancano. Il primo che Byers espone, è quello della
irrazionalità di 2 e del contrasto tra i domini numerico e geometrico.
Quello che Byers non spiega è che l’inconsistenza viene dalla dimostrazione, perché prima i due domini coesistevano pacificamente nella credenza dei
matematici; anzi sostanzialmente ce ne era uno solo. Dunque l’ambiguità nel
senso byersiano non è solo necessariamente alla origine, ma può essere creata dalla dimostrazione. La circostanza è particolarmente evidente in alcune
dimostrazioni della incommensurabilità di lato e diagonale del quadrato.
A partire da un quadrato con diagonale d e lato l interi si costruisce,
supponendo per assurdo 2l2 = d2 , un quadrato più piccolo con diagonale l e
lato d/2 interi.
H
@
@
K @G
E@
A
@@
F
(Nel quadrato EF GH sia il lato EF = l e la diagonale F H = d. Il quadrato
AF KE ha lato d/2 e diagonale l.)
Ora la costruzione si può ripetere, e geometricamente si può ripetere
all’infinito, mentre aritmeticamente in un numero finito di passi, dividendo
per 2, si arriva a 1. I pitagorici scoprirono che “mentre le grandezze sono
divisibili ad infinitum, i numeri, divisi, lasciano sempre una parte minima
non suscettibile di ulteriore divisione”.
La creatività ha portato poi, alla lunga, molto lunga, alla definizione dei
numeri reali. L’ambiguità in questa invenzione è stata solo una condizione iniziale; gli strumenti della creatività, e l’urgenza dell’atto creativo sono
dipesi da altri sviluppi.
3
Non si può non consentire comunque alla affermazione che “le situazioni
ambigue hanno sempre due punti di vista – prima e dopo. Prima che ‘si
accenda la lampadina’, perché i due quadri di riferimento sono visti in conflitto; dopo, esiste una flessibilità che deriva dall’essere in grado di muoversi
liberamente da un punto di vista a un altro”. La flessibilità è ambiguità.
Meno o del tutto non convincente appare l’esempio del calcolo integrale e
del calcolo differenziale: è vero che sono stati sviluppati indipendentemente
e poi riuniti attraverso il teorema fondamentale del calcolo, ma in origine si
riferivano appunto a due problematiche diverse, e non c’è – prima – l’elemento
della ambiguità.
Lo stesso si può dire della nozione di funzione. La definizione insiemistica
di funzione non è stata creata per risolvere l’ambiguità tra curva e metodo
di calcolo, come sostiene Byers, ma per esprimere nel modo più ampio possibile il concetto di corrispondenza arbitraria, dopo una serie di estensioni
analitiche (dalle formule algebriche alle serie alle successioni transfinite di
Baire).
Sono poi interessanti, e da distinguere, cosa che non fa Byers (ma questo
non lo diremo più) i casi di interpretazioni intuitive o metaforiche diverse di
uno stesso concetto: l’uguale come bilancia e come trasformazione, o le otto
intepretazioni della derivata elencate da Thurston. Nel caso dell’uguale vale
la pena tuttavia di osservare che a un certo punto, recentemente, i due significati sono stati separati, anche nel simbolismo, e l’idea della trasformazione si
esprime (nella dimostrazione automatica ad esempio, o nella logica combinatoria) non più con gli assiomi dell’uguaglianza ma con le regole di riscrittura.
Spesso un simbolo matematico, nella storia e nella pratica, esprime l’ambiguità tra processo e oggetto (Byers dedica molto spazio alle osservazioni che
sull’argomento sono state fatte negli studi di educazione matematica2 ), ma
qualche volta come si vede si va nella direzione opposta di eliminare anche
simbolicamente l’ambiguità.
Questo è il primo capitolo sull’ambiguità, che ha fatto dire a un recensore
che l’unica cosa di cui era certo alla fine dela sua lettura era che non sapeva
più cosa fosse l’ambiguità3 .
Non tutti coloro che hanno indicato la presenza di ambiguità in matematica ne sono cosı̀ entusiasti. Ad esempio Philip Davis4 , uno degli autori cari
2
Ad esempio da Eddie Gray, David Tall, Anna Sfard.
D. J. Stucki, in www.maa.org/reviews/MathematiciansThink.html.
4
Ph. J. Davis, Mathematics and Common Sense, A K Peters, Wellesley MA, 2006, con
il capitolo “On ambiguity in mathematics”.
3
4
a Byers, elenca diverse forme di presenza di ambiguità: polisemia di simboli,
o al contrario diverse rappresentazioni per lo stesso concetto, risultati con
conclusioni ambigue, dove non si sa quale di due casi valga, le opzioni sul
tipo di matematica, costruttiva o no, da sviluppare, l’ambiguità dovuta alla
non coincidenza di vero e provabile, le applicabilità dei modelli formali alle
situazioni più disparate e lontane tra di loro (matematica come metafora),
il cambiamento di concetti nel corso dei secoli. Davis ritiene tuttavia che
tali situazioni vadano semplicemente disambiguate, anche se magari non è
possibile farlo una volta per tutte.
Il secondo capitolo è dedicato alla contraddizione.
2
Contraddizioni
La contraddizione è legata all’ambiguità, o è presente in essa. Si distingue
per il suo carattere assoluto, per il non esserci una singola idea o situazione
che possa mettere in relazione i due corni dell’ambiguità. La coerenza è la
condizione imprescindibile per la possibilità del pensiero, e dell’essere, e la
contraddizione è da evitare a tutti i costi. Tuttavia due pagine dopo (p. 83)
si può assumere un altro punto di vista, secondo il quale la contraddizione
non è assoluta.
Nonostante dica che la coerenza è la condizione imprescindibile dell’essere,
Byers ritiene che la contraddizione sia presente, insieme ovviamente all’ambiguità, come un elemento irriducibile della vita umana: consiste nel fatto che
abbiamo una natura duplice di mente e di corpo caduco. Ognuno di noi si
sente infinito, e nello stesso tempo si rende conto che agli occhi del prossimo
è invece finito, piccolo. Non ci aspettiamo, sarebbe troppo, una risposta alla
domanda, che pure viene posta, non si capisce con quali aspettative: “come
tratta la matematica questo fattore irriducibile della esperienza umana?”,
ma siamo curiosi di imparare come “la matematica tratta la contraddizione
in un suo modo unico” (p. 81). La speranza come si vedrà è illusoria.
Nella concezione usuale della matematica, la contraddizione è da evitare,
ricorda Byers, il quale tuttavia ribadisce che il suo intento è quello di diffondere un nuovo modo di concepire la matematica e il ruolo che in essa è
assegnato alla logica e alla coerenza. Byers trova che la contraddizione ha
un uso “come un principio generativo positivo all’interno della matematica formale. Quindi 5 la matematica va oltre la logica. E tuttavia la logica
5
C.vo nostro.
5
è proprio il linguaggio della matematica. Come può essere? Sembra una
contraddizione”.
Per ricercare la funzione positiva della contraddizione, Byers inizia a presentare dei casi precisi, a cominciare da Euclide. Viene esaltato il fascino che
il suo sistema esercita, come un sogno della ragione, esprimendo l’ambizione
di raccogliere come un prodotto della mente umana un corpo di conoscenze
completo sul mondo. Sono descritti i primi sviluppi del sistema, avvertendo
tuttavia che a un certo punto Euclide non può più andare avanti a costruire
il suo sistema di conoscenze, perché deve usare le dimostrazioni per assurdo, mentre per un primo tratto di strada sono state sufficienti dimostrazioni
dirette.
Naturalmente le dimostrazioni per assurdo “sono intrise di ambiguità”.
Gli studenti non si capacitano di cosa voglia dire assumere falsa una tesi che
si vuole dimostrare, e cosı̀ via con le prevedibili osservazioni. Le dimostrazioni per assurdo sarebbero quindi una tecnica della logica ma porterebbero
la contraddizione dentro la matematica. Mai che siano distinte le diverse
accezioni della parola “dentro”: una contraddizione può essere scritta come
illustrazione in un testo matematico, può comparire all’interno di una dimostrazione per assurdo, può essere dedotta in una teoria. Nella forma in cui
compaiono nelle dimostrazioni per assurdo, le contraddizioni non sono asserite, né dimostrate, per cui non pare sensato dire che portano la contraddizione
dentro la matematica.
Nelle dimostrazioni per assurdo, o in quelle per contrapposizione che
Byers tratta giustamente come equivalenti6 , non si tratta di assumere come vera o falsa nessuna tesi. Il ragionamento è alla portata di chiunque,
di qualsiasi età, sia in grado di controllare i condizionali. Se un bambino
non vuole mandare giù la medicina perché dice che è amara, gli si può dire,
allenandolo alla contrapposizione, “se non la prendi è perché non è dolce,
se fosse dolce la prenderesti?” ed egli o ella risponderebbe di sı̀. Per capire
non c’è bisogno di chiedergli di assumere che la medicina sia dolce, cosa che
certamente non sarebbe disposto a fare.
Poi Euclide è abbandonato al suo destino, come capita spesso all’autore,
di perdere il filo dei discorsi iniziati. Ad esempio aveva all’inizio (p. 82) posto
il problema se si possa sostenere che la coerenza è un aspetto fondamentale
della realtà, ma l’argomento è lasciato cadere. Invece è ripreso quello della
6
Per maggiori informazioni sulle dimostrazioni per assurdo si veda G.Lolli, QED, Bollati
Boringhieri, Torino, 2005.
6
√
irrazionalità di 2 per osservare (p. 97) che siccome la dimostrazione è per
assurdo “vi è in essa qualcosa di problematico”.
La matematica è caratterizzata dall’assenza di contraddizioni. “Ma è
vero?”. Ci sono “altri modi più sottili in cui la contraddizione appare in
matematica . . . trova la via per infiltrarsi nella matematica (finds its way
into mathematics)” (p. 99). Ad esempio “quello che in una certa epoca
appare una contraddizione può essere trasformata in un potente concetto
matematico”: è il caso dello zero.
Come un processo può essere trasformato in un oggetto (discusso nel
capitolo 1) cosı̀ “una contraddizione può essere reificata”. Lo zero sta per il
nulla, è una presenza che implica un’assenza (sembra Lacan) e cosı̀ via. Ma
cosa dire del commento che “cosı̀ benché le regole della logica bandiscano la
contraddizione dalla matematica formale, la contraddizione trova il modo di
infilarsi tra i concetti della matematica”? L’autore vuole dire che le regole
della logica subiscono uno scacco, oppure che tale infiltrazione è compatibile
con le regole della logica? Ambiguità.
Dopo aver ricordato, in modo inconcludente, il delicato ruolo giocato
dallo zero, o dalla divisione per zero, nelle prime formulazioni del calcolo
infinitesimale, il capitolo termina con un fuoco di artificio di retorica, di
difficile interpretazione.
Il significato matematico preciso di zero è affermato essere al centro di una
ampia nuvola di percezioni e cognizioni (non è detto quale, essendo stato solo
ricordato che zero corrisponde al nulla, e che gli indiani avevano un concetto
per il nulla, mentre Parmenide ne aveva indicato la natura paradossale, in
quanto non si poteva dire che non è senza dire che è). Ad ogni modo lo zero
sarebbe una idea con due incompatibili quadri di riferimento: uno di questi
ci porta nel dominio della coerenza, l’altro in quello della contraddizione.
“Questa è un’altra ambiguità. Coerenza e contraddizione sono componenti
fondamentali dell’ambiguità – nessuna delle due può essere omessa. La conclusione verso cui siamo spinti è che è l’ambiguità e non la coerenza logica
che è fondamentale” (p. 109).
3
Paradossi
Il terzo capitolo è dedicato ai paradossi. Da un dizionario: “un paradosso è
una situazione o proposizione che appare assurda o contraddittoria, ma che
7
è o può essere vera”. Può essere vera in un contesto più ampio, stimolando
la creazione di un nuovo paradigma.
Mentre una contraddizione logica è un caso chiuso, un paradosso pur
presentando una contraddizione chiede che la contraddizione sia riconciliata
in un altro contesto. Questo è vero e comprovato da molti casi; non nel
primo che Byers ci propone, con il solito intento di far vedere che le sue
nozioni appartengono alla realtà, oltre che alla matematica, vale a dire il
paradosso che noi viviamo, lavoriamo, abbiamo comportamenti etici nella
vita quotidiana, mentre la vita, alla luce della morte, non ha nessun valore.
Byers non ci dice come in questo paradosso si concilia la contraddizione
(ammesso che ci sia), ma ovviamente c’è puzza di incenso.
Per spiegare la funzione dei paradossi, il fatto che “c’è una contraddizione,
ma ci può anche essere una verità”, l’autore si volge ai paradossi dell’infinito. Molti di quelli che presenta “portano una idea matematica profonda”,
checché di nuovo voglia dire “portano” (carry).
L’autore ricorda come diverse immagini ed idee siano legate al concetto di
infinito, dallo scorrere del tempo senza fine allo spazio senza confini, al molto
grande, all’iterazione dell’autoriferimento. Quindi osserva che “c’è qualcosa
di misterioso nell’uso umano del linguaggio . . . L’infinito evoca qualcosa di
reale – dietro la nozione di infinito sta una reale esperienza umana, una reale
intuizione umana” – quale non dice, forse si riferisce al fatto che noi siamo
infiniti ai nostri occhi, e finiti agli occhi del prossimo. Come ogni concetto
che è una intuizione di un aspetto della realtà, secondo Byers è facile vedere
che è intrinsecamente ambiguo.
Nel trattare i concetti si dovrebbe incominciare con una definizione, ma
una delle primi problemi è se una definizione di infinito sia mai possibile.
In effetti Byers deve pensare di no, perché in 62 pagine dedicate all’argomento non compare mai una definizione di infinito, in particolare non compare la definizione matematica (benché affermi con forza che “deve essere
concettualizzato” (p. 126)).
L’infinito è ciò che non può essere messo in parole, e d’altra parte è la
caratteristica definitoria della divinità.
Ci sono tuttavia due gruppi di idee che lo sostanziano, da una parte quelle
dell’assenza di confini, della illimitatezza, dall’altra quelle della completezza,
perfezione. Questa è l’ambiguità dell’infinito (p. 118), incompleto e nello
stesso tempo completo, perché ne parliamo. Non si capisce perché le stesse
considerazioni non siano state adottate per il nulla, vista la somiglianza: un
8
concetto di cui parliamo, anche se di difficile e forse impossibile definizione;
tuttavia lo zero è stato messo tra le contraddizioni e non tra i paradossi.
La natura incompleta e completa dell’infinito è illustrata da relazioni
come
1 = .999 . . .
e altre analoghe. Questa illustra anche la ambiguità dell’uguale. Gli studenti
che conosce Byers sono a disagio di fronte all’uguaglianza, non riescono ad
ammetterla, arrivano solo ad affermare che la differenza è molto piccola.
Noi crediamo che il disagio sia dovuto alla infelice notazione dei puntini;
sono per l’appunto ambigui, tra infinito potenziale e infinito attuale. Se si
scrivesse
1=
P∞
9
1 10i
la risposta non sarebbe magari immediata, si dovrebbe calcolare la serie,
ma non sarebbe sbagliata. Non è l’unico caso in cui una espressione che
comporta complicate operazioni, in particolare infinite, ha come valore un
numero intero.
Byers ricorda come Hermann Weyl abbia definito la matematica scienza
dell’infinito, e abbia ammirato i Greci per il loro audace tentativo di catturare
l’infinito con mezzi finiti. Tuttavia “se l’infinito in matematica è davvero un
tentativo di afferrare l’ineffabile” allora un tale tentativo deve andare incontro
a una rottura. “La rottura avviene nella struttura logica della matematica e
quello che distingue tale tipo di rottura è l’apparire di paradossi” (p. 120).
Un primo paradosso è quello dell’induzione (sic). Essa comporta la riduzione dell’infinito al finito e “dimostra il grande potere che risiede nella
nozione ambigua di variabile” (su cui si è soffermato nel primo capitolo). Se
bastasse usare le variabili saremmo a cavallo. Provi Byers a fare qualcosa del
genere, con tutte le variabili che vuole, per R.
Altri paradossi discussi sono quello di Achille e la tartaruga, e quelli delle
serie. La tesi è che ogni stadio dello sviluppo della teoria moderna dei reali è
stato accompagnato da paradossi. Una serie infinita è sia un processo che un
oggetto e quindi paradossale. Appena interviene l’infinito si materializza la
minaccia dell’incoerenza. Allora perché introdurre l’infinito? “La risposta è
che l’infinito è imposto alla mente umana nei suoi tentativi di venire a capo
della comprensione della realtà”. Ma perché?
9
Ancor più sorprendente, da parte di un matematico, l’affermazione che
“il mistero dell’infinito risiede nella impossibilità di ridurlo completamente a
un ben definito concetto che si inserisca in una teoria rigorosa” (p. 145). Mai
sentito parlare della teoria di Zermelo-Fraenkel? In effetti molti matematici
non la conoscono.
Altri paradossi discussi sono quelli dei punti all’infinito, del numerabile e
più che numerabile, dell’insieme di Cantor, degli infinitesimi. Sono riassunti
un po’ sciatti e inconcludenti.
La seconda parte del libro si appoggia alle conclusioni della prima parte
(che ambiguità, contraddizioni e paradossi sono la fonte della matematica,
ma anche ambiguamente dentro di essa) per sviluppare una visione alternativa della matematica. Una visione che sia generativa, lasciando spazio allo
sviluppo dinamico della stessa scandito dalla apparizione di idee, invece di
fissare l’attenzione su assiomi, definizioni e dimostrazioni. La nuova visione
include sia la logica sia l’ambiguo. Tuttavia il ruolo della logica e del rigore
deve essere riesaminato, perché la logica aborre l’ambiguo. Curiosamente
Byers contrappone sempre la chiarezza della logica all’ambiguità, ma non
considera che anche l’intuizione aborre l’ambiguo, anzi non lo vede affatto,
vede solo una cosa chiara e distinta.
Tuttavia data l’ampiezza della trattazione, la seconda parte richiede di
essere discussa a parte, forse in una seconda puntata.
Noi speriamo che gli eventuali lettori di questo libro abbiano la maturità
di ritenere che chi vuole fare della filosofia della matematica in modo originale e provocatorio è benvenuto, purché rispetti alcune condizioni: ricordare
che c’è di più nella matematica di quello che ogni nostra filosofia può immaginare, e non è mai con un solo concetto che la si può spiegare tutta; che per
riconoscere l’importanza di un fattore, o di un concetto, non c’è bisogno di
affermare che tutta la matematica si riduce a quello; il (tentare di) farlo non
può portare che a forzature ridicole; che non si può pretendere di appellarsi
alla matematica reale (contrapposta alle sue rappresentazioni ideologiche) e
nello stesso tempo trattarla in modo approssimativo, grossolano, sbagliato;
che la logica (naturale) del discorso sulla matematica deve essere altrettanto
controllata e rigorosa di quella del suo oggetto.
Per quel che riguarda l’ambiguità, è meglio leggere G. Suri e H. Singh
Bal, A Certain Ambiguity, Princeton University Press, 2007, un romanzo
matematico, dove le contraddizioni riguardano la matematica e le varie e
contrastanti affiliazioni, religioni, famiglie dei protagonisti.
10
Matematica e omosessualità∗
Gabriele Lolli
luglio 2008
David Leavitt si è aperto a un nuovo interesse, dopo essere diventato
famoso per la trattazione lieve e disinvolta della problematica dell’omosessualità, in racconti largamente apprezzati, che lo hanno fatto indicare come
una delle voci più importanti della letteratura americana contemporanea. Il
nuovo interesse è rivolto alla matematica, a iniziare dal saggio L’uomo che
sapeva troppo. Alan Turing e l’invenzione del computer (Codice, 2007). “I
matematici sono creativi di un tipo molto diverso dagli scrittori, i pittori o
i registi. Probabilmente, ciò che mi attrae maggiormente nel loro lavoro è il
suo completo distacco dall’esperienza umana . . . Ci sono una purezza e una
bellezza, nel mondo matematico, che lo rendono subito estremamente interessante e consolatorio: un meraviglioso antidoto alla pazzia della comunità
umana”. Cosı̀ si è espresso in una intervista a P. Odifreddi (L’Espresso, 24
giugno 2008). Ora ha addirittura scritto un romanzo, che si può definire
storico o biografico; naturalmente l’autore riconosce che “come la maggior
parte [di quelli] basati su fatti veri – si prende delle libertà rispetto alla verità storica, mescola fatti autentici e invenzioni, e trasforma figure storiche
in personaggi romanzeschi” (p. 587).
Il matematico indiano del titolo è Srinivasa Ramanujan (1887-1920), che
nel 1913 mandò a G. H. Hardy (1877-1947), e ad altri professori di Cambridge, da Madras una lettera con alcuni squarci sui suoi risultati, incredibili
e insospettabili, frutto insieme di una mente visionaria e della mancanza di
una preparazione convenzionale.
A differenza dei colleghi Hardy riconobbe i segni della creatività matematica, e si adoperò per farlo venire a Cambridge, dove iniziò una collaborazione
∗
Recensione di D. Leavitt, Il matematico indiano (2007), traduzione di Delfina Vezzoli,
Mondadori, Milano, 2008, pp. 595, €20. Una versione ridotta è apparsa su L’Indice,
XXV, n. 10, ottobre 2008, p. 10.
1
proficua per entrambi: Hardy cercò di educare l’istinto selvaggio di Ramanujan, e di insegnargli a dimostrare le verità misteriosamente intuite, gli fece
pubblicare i risultati più importanti e gli fece ottenere gli onori desiderati,
dalla laurea alla elezione alla Royal Society a una fellowship al Trinity College. Per parte sua Hardy ne ebbe stimoli importanti, pari a quelli del suo
lungo e mitico lavoro congiunto con John E. Littlewood (1885-1977). Alla
fine della vita Hardy si gloriava di aver avuto la fortuna di lavorare insieme a
Littlewood (come dice la traduttrice, p. 20, “una delle uniche collaborazioni
riuscite”) e a Ramanujan. Il sodalizio con questi si protrasse fino al 1918,
quando Ramanujan ammalato tornò in India per morire all’età di 33 anni.
Il Matematico indiano è un romanzo basato su un accurato rispetto della
cronaca; solo i pensieri e i sentimenti dei personaggi, e qualche incidente
minore, sono frutto della fantasia dell’autore. Sarà tuttavia una sorpresa per
il lettore scoprire che il protagonista non è Srinisa Ramanujan, ma Godfrey
Harold Hardy. Ramanujan è solo il pretesto per seguire la vita di Hardy negli
anni 1913-1918, più di quanto creda l’autore quando concede che “il mio libro
è più sul rapporto di Ramanujan con Hardy, che su di lui solo. Volevo anche
esplorare la particolare intimità dell’amicizia che si instaurò tra lui e Hardy:
un’intimità che da molti punti di vista resiste ai nostri sforzi di definirla”.
Una sorpresa più curiosa è il titolo originale The Indian Clerk , che allude
al lavoro da contabile di Ramanujan a Madras prima di trasferirsi in Inghilterra. Si capisce che l’editore italiano abbia voluto un titolo più attraente,
non si riesce a immaginare invece cosa intendesse l’autore. Forse che non
è importante che Ramanujan sia un matematico? Che il suo essere stato
un impiegato è significativo nella storia che viene raccontata? O che Ramanujan porta con sé indelebile il marchio del contabile? Nessuna di queste
spiegazioni ha senso né riscontro nel romanzo.
La storia è la storia di Hardy, ma non del matematico Hardy, che nella
prima parte del Novecento è stato considerato uno dei migliori studiosi di
analisi, la sua specialità all’interno della disciplina essendo le serie asintotiche e la teoria dei numeri. Naturalmente nel libro si parla abbastanza di
matematica, e anche in una forma accettabile, pur nella necessità di limitarsi
ad allusioni o a facili esempi. I pochi e brevi incisi matematici dovrebbero
esprimere l’importanza di questa esperienza nella vita dei protagonisti e giustificare forse il loro presunto “distacco dall’esperienza umana”. Per questo
si insiste sulla presenza del mistico nella matematica, con episodi come l’aneddoto di Littlewood che racconta della matita che gli scrive da sola una
formula (p. 399), o la ripetizione della credenza che le formule di Ramanujan
2
gli fossero rivelate dalla dea Namagiri.
La storia non è la storia di Hardy matematico, ma la storia di Hardy
omosessuale. Veramente nell’intervista a Odifreddi Leavitt ha dichiarato che
“l’omosessualità di Hardy è stata [. . . ] solo un fattore secondario nella mia
decisione di scriverlo: quello che mi interessava era piuttosto l’atmosfera
sessualmente permissiva e sperimentale della Cambridge d’inizio Novecento,
esemplificata dagli Apostoli”.
Gli Apostoli erano una società o confraternita di uomini di Cambridge
alla quale appartenevano anche Keynes, Russell, G. E. Moore, Lytton Strachey, J. McTaggart, Oskar Browning e vari altri personaggi che si ritrovano
anche nel circolo di Bloomsbury. Si riunivano periodicamente a chiacchierare
in libertà e a discutere la relazione di uno dei membri (Leavitt ci informa di
due di queste: “È possibile la conversione?” di Moore e “Viole o fiori d’arancio?” di McTaggart sulla superiorità dell’amore omosessuale). Il gruppo
di amici si configurava come una specie di consorteria occulta, ma solo per il
fatto che erano tutti persone influenti e di vedute comuni. Alcuni dei membri, non tutti, non Russell, erano omosessuali e Leavitt accenna ad alcune
relazioni, come quella tra Ferenc Békássy e Bliss che finiscono a combattersi
su fronti opposti nella grande guerra. Ma sono pochi accenni, si riducono
alla descrizione della naturalezza con cui le persone quando sono insieme si
toccano o accarezzano, e pettegolano sulle varie tresche. Leavitt è considerato uno scrittore di tematiche omosessuali, ma non ci pare abbia ancora
trovato il registro giusto; a parte la frequenza con la quale parla e fa parlare
di contatti fisici, il suo linguaggio suona ancora allusivo e corrivo, come se
ammiccasse al lettore (una “seguace di Saffo”, p. 163, gli “ovvi motivi” di
Hardy per restare scapolo, p. 78, i “drudi di Keynes”, p. 379).
Viene in effetti descritta una seduta degli Apostoli nella parte iniziale
(pp. 60-77), con la partecipazione di Wittgenstein introdotto da Russell, e
poi D. H. Lawrence di passaggio, e un’altro incontro informale degli amici
quando molti stanno per partire per la guerra; ma per il resto della storia di
circa 600 pagine gli Apostoli sbiadiscono e il centro della scena è saldamente
occupato da Hardy.
E cosa fa Hardy, cosa pensa, che tipo è? Una vita regolare fino alla monotonia, priva di sorprese, scandita dal lavoro matematico al mattino, dal
criket al pomeriggio, dalle consuetudini del Trinity e caratterizzata da innocenti manie (come l’abitudine di comunicare esclusivamente per lettera con il
suo collaboratore Littlewood). Ramanujan si inserisce come un tassello perfetto nella vita di Hardy, con il lavoro comune mattutino, e nessun disturbo
3
alla sua routine. Con lo scoppio della guerra qualcosa si muove intorno a
Hardy, e nel romanzo, non dentro di lui: amici e colleghi che partono, o che
muoiono, altri che si impegnano contro la guerra (Russell), paesaggio umano e fisico che cambia per i feriti che sono alloggiati in ospedali da campo
attrezzati a Cambridge.
Per chi è familiare con il personaggio, l’ambiente e i tempi, è spontaneo
e inevitabile fare un confronto con quello che si sa ed è assodato dalle testimonianze. In particolare per Hardy vale la commossa commemorazione che
C. P. Snow ha premesso alla Apologia di un matematico di Hardy (Garzanti,
1989), dalla quale peraltro Leavitt ha preso quasi tutti gli episodi e aneddoti
reali inseriti nel libro.
Snow parla della riservatezza di Hardy nell’esprimere emozioni ed affetto,
salvo che per due o tre relazioni di altro tipo: “Queste furono affezioni forti,
assorbenti, non fisiche ma di intensa felicità”.
Invece l’interpretazione di Leavitt è fissata subito, a p. 13, quando fa
pronunciare a Hardy, nel corso di una più tarda reminiscenza intercalata alla
storia, la dichiarazione (effettivamente scritta da Hardy) che “il mio rapporto
con lui [Ramanujan] è stata l’unica vicenda (incident) romantica della mia
vita”. La frase è presentata con una sfumatura allusiva inequivocabile, e cosı̀
colta dal pubblico che Leavitt immagina assistere alla conferenza. Soltanto
che nel corso di tutta la storia non una volta c’è la minima indicazione di
un interesse sessuale di Hardy nei confronti del matematico indiano, per non
parlare del reciproco. Hardy è sempre solo fissato, anche quando Ramanujan
è distratto o impedito da suoi problemi, sull’obbligo morale di condurre in
modo regolare gli incontri mattutini di lavoro. Ramanujan non ha alcuna
funzione maieutica al di fuori della matematica. Leavitt non ha fatto molti
sforzi per “esplorare la particolare intimità” tra i due uomini. Dal suo rapporto con Ramanujan, Hardy emergerebbe come un essere asessuato, capace
soltanto di magnificare “l’erotismo di lavorare con i numeri” (p. 270). Lo
stesso Leavitt contraddice tuttavia questa immagine introducendo elementi dissonanti: una vecchia relazione poco significativa con un matematico
scadente, ripresa estemporaneamente e distrattamente, forse per mero sfogo
fisico, una attrazione platonica con Moore e una storia coinvolgente con un
soldato ferito ricoverato a Cambridge, l’unica descritta con particolari di sesso, e inventata (per ammissione dell’autore). Ugualmente inventata, e senza
giustificazione, è ovviamente la scena dell’ultima pagina, a suggello della storia, nella quale Hardy si inginocchia per appoggiare la testa alla patta di un
poliziotto. Un ruolo portante per l’architettura del racconto svolge invece
4
il ricordo di una intensa amicizia giovanile con Russell Kerr Gaye, morto
suicida, che continua a materializzarsi e a parlare con Hardy il quale, razionalista come era, sembra accettare il fenomeno come del tutto naturale (per
compiacere il proprio autore che se ne serve come utile artificio per esprimere
i pensieri del suo personaggio, e qualche volta per raccontare il passato, ad
esempio la dichiarazione di Gaye di essere morto per l’amore non ricambiato,
p. 544).
Snow ricorda che “in un circolo brillante, [Hardy] era uno dei giovani più
brillanti e, in un modo tranquillo, uno dei più incontrollabili [. . . ] Ogni cosa
che faceva [. . . ] era illuminata dalla grazia, dall’ordine, da un senso dello
stile”.
Poco o nulla di questa personalità si ritrova nel quadro dipinto da Leavitt,
le cui prevenzioni su quello che crede il “distacco dall’esperienza umana” gli
fanno dire che un matematico ha orrore della fisicità (Ramanujan, p. 103),
o che Neville non diventerà mai qualcuno perché non abbraccia la solitudine
e tanto meno la sofferenza (p. 125).
Hardy aveva la fama di “eccentrico, radicale, pronto a parlare di qualsiasi
argomento”, ma dal romanzo questo carattere non emerge, a parte la passione per il cricket, o le reiterate “scommesse” con Dio (andare alla partita con
impermeabile e ombrello quando c’è il sole, per prendere in contropiede Dio
se vuole fargli un dispetto con la pioggia), o l’attribuzione di manie nevrotiche, quali quella di non mescolare mai i cibi nei piatti (p. 107). Hardy è
descritto come contrario alla guerra, ma rassegnato dopo qualche incertezza
a dare la disponibilità all’arruolamento; è disgustato dal razzismo dei colleghi, ma in modo passivo e impotente (ad esempio nel caso della cacciata di
Russell e della vendita all’asta dei suoi beni al Trinity), salvo per un episodio, l’insistenza a proporre una fellowship per il “negro” Ramanujan contro
l’opposizione dei colleghi razzisti.
Il disgusto e l’insofferenza di Hardy devono invece essere stati ben forti se
nel 1919 accettò il trasferimento a Oxford. Il fatto esce appena dal quadro
temporale del libro, ma Leavitt non ci prepara a questa traumatica decisione
da parte di un uomo di Cambridge. Analogamente non ci dice nulla sulla
esperienza che Hardy ebbe quando a 12 anni vinse una borsa di studio per la
prestigiosa scuola di Winchester, considerata da tutti “a pretty rough place”,
e di cui in seguito non volle mai parlare, se non ironicamente come occasione
perduta di perfezionare la battuta di cricket.
Leavitt non riesce a inserire nel ritratto di Hardy la connotazione sottolineata da Snow che, nonostante la frequentazione degli Apostoli, egli preferiva
5
le persone umili, quelle che avevano difficoltà e impedimenti, di classe o di
razza, e disdegnava quelli che chiamava con trasparente allusione i “culi larghi” (large bottomed ). Gli fa sı̀ dire che i giochi sono truccati, a favore dei
ricchi (p. 94), che il successo è dei grandi deretani (p. 134), che il Winnie
the Pooh di A. A. Milne è preferibile a Virginia Woolf (p. 324), ma poi gli fa
tenere un comportamento perbenista e classista dalle disastrose conseguenze
con l’amico soldato (p. 387).
L’Hardy di Leavitt appare in definitiva una persona monocorde, scialba,
egoista, incapace di piangere i morti, che spinge al suicidio le persone che
gli stanno vicino (p. 541), Gaye e Ramanujan stesso. Quando Alice Neville,
moglie di un collega, gli rimprovera (p. 413) di aver ignorato l’infelicità di
Ramanujan, Hardy la corregge in peggio, confessando che non la rispettava,
non si chiedeva cosa ci fosse dietro. Ramanujan tentò il suicidio per la disperazione prodotta da un cumulo di problemi, il disagio del tempo di guerra,
la difficoltà di trovare il cibo indiano vegetariano, con l’inevitabilità della
violazione delle regole della sua casta, i difficili rapporti con i compatrioti a
Cambridge, una malattia dolorosa incomprensibile, non curata e peggiorata
dal freddo dei sanatori, la situazione a casa, dove la madre gelosa e possessiva
intercettava le lettere della nuora in modo che Ramanujan era tagliato fuori
da ogni rapporto con la moglie, cumulo che non solo Hardy, ma i lettori stessi
vengono a conoscere solo verso la fine.
E Ramanujan, che in fondo dà il titolo al romanzo? Visto quasi esclusivamente con gli occhi degli ospiti inglesi, appare ovviamente buffo e incomprensibile con le sue abitudini e credenze; è riconosciuto di animo gentile (p.
257), ma anche egoista, quando con lo scoppio della guerra e i pericoli dei
viaggi attraverso l’Europa si preoccupa più del tamarindo che gli dovevano
portare che del rischio della vita dei suoi corrieri (p. 225). Assilla Hardy, non
per aiuti materiali ma per pubblicare e per ottenere riconoscimenti: vuole
prendere la laurea, e poi concorrere a un premio che Hardy giudica insignificante rispetto alla gloria che già si è conquistata; ritiene cosı̀ di ricambiare
quanti lo hanno aiutato in India, mentre sembra indifferente al significato dei
risultati che ottiene, che giudica secondo criteri suoi propri.
Quelle che dovrebbero essere le figure principali del romanzo, Ramanujan
e Hardy, non arrivano a essere delineate a tutto tondo, ma solo per viste
parziali, spesso incoerenti. Si potrebbe pensare a una scelta ispirata dalla fenomenologia husserliana, mentre forse è piuttosto il frutto dello stile
letterario di Leavitt.
Lo scrittore Leavitt è ben noto e analizzato dalla critica. La sua scrittura
6
è piana e fattuale (matter of fact), a frasi brevi, descrittive di azioni semplici,
in genere a ritmo serrato. La si ritrova solo a tratti in questa ultima fatica, e
dà luogo allora ad alcune pagine di grande scrittura: scene umoristiche tipiche
della sua impietosa capacità di osservazione (p. 383, Hardy che scopre Alice
Neville nel suo appartamento di Londra), qualche bel dialogo (tra Hardy e
Littlewood, p. 373), una intensa descrizione fisica della madre morente di
Hardy (p. 426). Ma in generale, la scrittura matter of fact non sembra la
più adatta a comporre una personalità, attraverso incidenti slegati, e forse
corrisponde alla convinzione di Leavitt che non sia possibile.
Leavitt ha dichiarato che nel suo lavoro è interessato soprattutto ai contrasti, ad accostare gli opposti. In questo caso si direbbe che gli opposti
siano Hardy e Alice Neville, perché sono le sole due persone delle quali Leavitt ci fa entrare nella testa, raccontandoci i loro pensieri e stati d’animo,
non Littlewood, non l’amante di Littlewood, non Russell, non certamente
Ramanujan, un oggetto esotico.
Alice è una creatura convenzionale, sposa felice, vivace e curiosa. Ha un
ruolo nel convincere Ramanujan a venire in Inghilterra, e lo ospita all’arrivo.
Senza peli sulla lingua, dà voce al sospetto che Hardy sfrutti Ramanujan (p.
309). Si innamora di Ramanujan, prima in modo materno, poi sul serio, e il
suo universo entra in crisi, capisce di non amare più suo marito, e non sopporta che lui non se ne accorga; cerca di realizzarsi con una attività indipendente
durante la guerra. Alla fine, dopo la crisi del marito scaricato da Cambridge,
rientra nell’ordinario corso della vita, non si sa come, e la ritroviamo incinta
e remissiva, e più tardi tutta compresa del suo ruolo tradizionale di moglie.
Lo stile matter of fact di Leavitt ci risparmia una dose ulteriore di luoghi
comuni con la descrizione del travaglio della sua rassegnazione.
Con il personaggio di Alice, Leavitt sembra tornare su un terreno a lui più
familiare e confacente. Conferma che la sua dimensione è quella delle storie
brevi su persone comuni, mentre questa impegnativa fatica sembra eccedere
la sua capacità di dominare intenzioni più ambiziose.
Recensioni addomesticate ed enfatiche (ad esempio sul sito del TLS ) hanno dichiarato che “il suo controllo su questo materiale denso e ramificato è
impressionante”, mentre al contrario si ha la sensazione talvolta di una redazione non del tutto attenta, o revisionata, come in certi gialli affrettati. Nella
storia ci sono ripetizioni di informazioni, quasi l’autore si fosse dimenticato
di averne già parlato (ad esempio il gesto compulsivo del rettore Butler di
girarsi la fede nel dito, p. 48 e p. 111, le notizie sulla vita di Ramanujan in
India prima inserite nella storia e poi duplicate in una lettera di Alice Neville,
7
p. 151, la descrizione dell’iniziativa di Mrs. Buxton della pubblicazione delle
“Note della stampa estera”, p. 329 e p. 349); dopo il tentativo di suicidio,
Hardy non si sente, “date le circostanze”, di portare Ramanujan dalla sua
affezionata pensionante londinese, che senza volerlo gli ha dato da mangiare
Ovaltine con uova tra gli ingredienti facendo traboccare la disperazione di
Ramanujan, quando ancora non conosce tali circostanze, che invece al lettore sono state descritte nel precedente capitolo (p. 536). Il titolo della terza
parte “Fatti allegri sul quadrato dell’ipotenusa” è un mistero, dal momento
che in questa parte del libro non si riesce a trovare alcun accenno o allusione
neppure metaforica a triangoli rettangoli. Hugo Barnacle sul New York Times del 17 febbraio ha notato, sulla base degli orari del tempo, come fosse
impossibile la regolare visita di fine settimana di Littlewood da Cambridge a
Treen dalla sua amante (una giornata di viaggio e non dal tardo pomeriggio
all’ora di cena).
Qualcuno ha voluto trovare un significato profondo “focalizzato sui suoi
grandi temi della inconoscibilità e dell’identità”, sicché il libro sarebbe “una
meditazione al di fuori del tempo sulla ricerca della conoscenza e del sé, e
come spesso le due sono intrecciate” (TLS ). Ugualmente discutibile è che la
matematica risuoni emotivamente ed intellettualmente (TLS ). Non c’è nessuna “ossessione dei numeri primi” nei protagonisti, ma solo l’impegno regolare
nello studio, e il desiderio di arrivare a qualcosa di importante. Svolgono, visti dall’esterno, un lavoro come un altro; Leavitt evidentemente non è riuscito
a entrare nella mente dei grandi matematici, se mai è capace o ha voglia di
entrare nella mente di qualcuno, e si lascia guidare dai soliti frusti stereotipi.
Qualche discorso serio sulla matematica è introdotto riproducendo alcuni dei
pensieri diventati cult di Hardy, ma di solito in modo posticcio. Ad esempio (p. 415) la descrizione della matematica come la contemplazione di un
paesaggio montano con vette ben visibili, altre nascoste tra le nuvole, e gli
incerti crinali che le uniscono è inserita in continuazione, senza neanche andare a capo, alla riflessione attribuita a Hardy che “non sono mai stato un
uomo incline a scavare a fondo nei motivi e nei processi”: Leavitt si è lasciato
evidentemente fuorviare dalla parola “contemplazione”.
In conclusione, sembra di poter convenire con il giudizio di A. Robinson
su The Times che l’opera è complessivamente non convincente, anche se mai
sotto il livello dell’intelligenza e del coinvolgimento. Ma per il coinvolgimento,
giudicheranno i lettori (da avvertire che i fluoni a p. 34 non sono una nuova
particella, ma i fluenti di Newton; e il teorema di Fermat, p. 33, non dice
che la soluzione di xn + y n = z n non è mai un numero maggiore di 2, ma
8
che per un esponente maggiore di 2 non ci sono soluzioni; H. G. Wells non è
l’autore di Alice nel paese delle meraviglie, p. 124, il suo “ultimo romanzo”,
visto che siamo nel 1913, potrebbe essere Tono Bungay; l’ospedale Fitzroy
House dove viene ricoverato Ramunjan, p. 567, non è un posto indifferente,
ma un posto né buono né cattivo).
9

Da dove viene la matematica

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