i quesiti - Festa della Matematica

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CON IL PATROCINIO DELLA REGIONE PIEMONTE
E
DEL COMUNE DI TORINO
GARA PER IL PUBBLICO
8 Gallery – Venerdì 9 marzo 2012
OLIMPIADI DI MATEMATICA
Problema 1 – Problema di bottoni
20 punti
Il figlio del sarto è daltonico. Suo padre gli chiede di andare a prendere in soffitta la scatola dei
bottoni perché gliene servono 4. Non importa di che colore siano i bottoni, basta che siano dello
stesso colore. La scatola contiene 120 bottoni blu, 31 grigi, 98 rossi e 4 verdi. Tutti sono della stessa
forma e della stessa grandezza. Il ragazzo però non vuole portare tutta la scatola al padre. Qual è il
numero minimo di bottoni che dovrà prendere per essere sicuro di averne preso almeno una serie di
4 di uguale colore?
Problema 2 – La maga e le galline
20 punti
Correva voce che una maga, con un incantesimo, riuscisse a raddoppiare il numero di galline che le
fossero indicate. Un contadino incredulo andò da lei e le chiese se poteva raddoppiare le sue. La
maga gli disse di sì ma in compenso chiese 8 galline. Il contadino accettò e lei fece l'incantesimo
che ebbe successo. Visto che la cosa funzionava egli chiese alla maga di rifarlo per una seconda
volta e poi per una terza, naturalmente pagando 8 galline per ogni incantesimo. Alla fine, però, il
contadino rimase senza alcuna gallina. Tenendo conto che il pagamento alla maga avveniva dopo
l’incantesimo, quante galline aveva il contadino all'inizio?
1
Problema 3 − Il numero esatto
25 punti
Di un numero sconosciuto si sa che è formato da dieci cifre tutte diverse tra loro, quindi da 0 a 9.
Con le stesse cifre sono stati formati i seguenti 4 numeri contraddistinti dalle lettere A, B, C, D:
A)
B)
C)
D)
1069824537
4217530869
1657834029
1937568024
Su questi quattro numeri si hanno i seguenti dati in relazione al numero sconosciuto: in A ci sono
due cifre in posizione esatta, in B ugualmente ci sono due cifre in posizione esatta, in C vi sono due
cifre in posizione errata, in D due in posizione esatta. Quali sono le prime 4 cifre del numero
sconosciuto?
Problema 4 − Discoteca 2012
25 punti
Marco, Matteo, Luca e Giovanni decidono di aprire una discoteca, al Lingotto di Torino,
denominandola “2012”. Per realizzare l’insegna luminosa si incarica una ditta la quale stabilisce un
prezzo proporzionale alla superficie dell’insegna stessa. In figura è rappresentato il progetto. Esso è
redatto su una griglia i cui quadratini misurano 1 dm di lato. Si tenga conto che il contorno dei
numeri “2” è realizzato con segmenti e semicirconferenze, quello dello zero è composto da due
ellissi, l’uno naturalmente solo da segmenti.
Basandosi sulla figura suddetta e qui riprodotta, calcolare l’area dell’insegna in dm2. Porre p = 3,14.
Dare la risposta utilizzando (ovviamente nell’ordine) le prime quattro cifre significative del
risultato.
2
Problema 5 − Che giorno è?
25 punti
Uno smemorato ha perso la cognizione del tempo. Chiede a sette persone che giorno sia oggi, ma
una sola gli risponde dicendo il vero.
Ecco le risposte ricevute nell’ordine.
1) Oggi non è giovedì, venerdì o sabato.
2) Sono sicuro che dopodomani non è venerdì.
3) Ieri era domenica.
4) Dopodomani è sabato.
5) Domani è sabato.
6) Domani è domenica.
7) L’altro ieri era giovedì.
Sia lunedì = 1, martedì = 2, …, domenica = 7. Dare la risposta componendo un numero di 4 cifre
così definite: la prima riguarda il giorno esatto, la seconda attiene al giorno più suggerito
(implicitamente, da chi risponde) per primo (secondo l’ordine delle risposte), la terza al giorno più
suggerito per secondo, la quarta al giorno mai suggerito: se non ce ne fossero usare lo zero.
Problema 6 – Sedie e tavoli
30 punti
Una fabbrica che produce sedie e tavoli è dotata di 10 seghe, 6 torni e 18 macchine levigatrici. Per
fabbricare una sedia occorrono 10 minuti di lavorazione ad una sega, 5 minuti ad un tornio e 5
minuti di levigatura. Per fabbricare un tavolo 5 minuti ad una sega, 5 minuti ad un tornio e 20
minuti di levigatura. Una sedia viene venduta a 10 euro e un tavolo a 20 euro. Qual è il massimo
ricavo (in euro) che la fabbrica può realizzare ogni ora?
Problema 7 − Il tartufo in fuga
30 punti
Sulle colline delle Langhe un tartufo sta fuggendo a gambe levate, avendo sentito l’avvicinarsi di un
segugio dall’olfatto sopraffino in compagnia del suo padrone Giorgio. Il tartufo parte venti minuti
prima dei suoi inseguitori, ma procede costantemente a “soli” 3 km/ora contro i 12 km/ora del cane
inseguitore. Quando il cane raggiunge il tartufo, subito si volta indietro e ritorna dal suo padrone
Giorgio che li sta inseguendo trafelato a sua volta ad una velocità di 6 km/ora. Dopo aver raggiunto
Giorgio, il cane si volta di nuovo e riprende a correre dietro al tartufo, proseguendo così avanti e
indietro finché anche Giorgio raggiunge il tartufo. Quanti chilometri sono stati percorsi in totale dal
cane?
3
Problema 8 - Orinare nel lago
35 punti
Un fisico si trova a bordo di un traghetto in mezzo ad un lago. Tutte le toilettes sono occupate ed
egli ha assolutamente bisogno di orinare. Siccome è notte e nessuno lo vede, soddisfa l'impellente
bisogno orinando dal bordo del traghetto direttamente nel lago. Quando ha finito si chiede: di quanti
picometri (cioè di quanti miliardesimi di millimetro) il livello dell'acqua del lago sarà aumentato
(supponendo che il peso specifico della pipì sia uguale a quello dell’acqua del lago, che il volume
della stessa sia di 22,5 centilitri, che la superficie del lago sia di 11.324 m2 e che la sua profondità
media sia di 120 m)?
Problema 9 − Un sentiero trafficato
35 punti
Percorrendo un sentiero alla velocità costante di 12 m/h, un serpente sorpassa, in 20 minuti, 40
coccinelle che passeggiano ad una velocità costante di 8 m/h, mantenendosi equidistanti l’una
dall’altra. Se ci si pone in un punto del sentiero, quante coccinelle si vedono transitare in due ore?
Problema 10 – Impatto imminente
40 punti
Un meteorite cade sulla Terra. Con quale probabilità (scrivere le prime quattro cifre significative)
colpirà la fascia a cui appartiene l’Italia, compresa tra la latitudine Nord 47° 05' 31" e la latitudine
Nord 35° 29' 24" (si consideri la Terra perfettamente sferica)?
Problema 11 – Oh, che bel castello!
40 punti
C'è un castello circondato da un muro circolare. Il muro ha un cancello a Nord e un cancello a Sud.
Una casa gialla si trova 3 km a Nord del cancello Nord. Una casa blu si trova 9 km ad Est del
cancello Sud. Una damigella della casa gialla vede appena il suo principe nella casa blu (il
segmento che idealmente unisce le due case è tangente al muro circolare). Qual è il raggio del
cerchio, in metri, formato dal muro?
Problema 12 − Malviventi
40 punti
Qualche giorno fa nel centro di Torino si è verificata una rapina in banca. Un anziano testimone,
con qualche problema di vista, afferma agli inquirenti di aver visto il ladro fuggire su un’auto la cui
targa gli è parsa terminare con 3ZA o 3SA o 8ZA o 8SA. Un altro testimone afferma invece che la
targa dell’auto conteneva le due cifre 5 e 8 affiancate. Il celebre rapinatore Augusto possiede
un’auto targata DX 358 SA. Sulla base delle due testimonianze, qual è la probabilità che sia
proprio lui l’autore della rapina? Si scrivano le prime quattro cifre non nulle della soluzione in
forma decimale e si ricordi che le targhe automobilistiche sono realizzate impiegando tutte le
ventisei lettere dell’alfabeto inglese ad eccezione delle lettere I,O,Q,U.
4
Problema 13 − Il maialino nel recinto
45 punti
Un maialino è entrato in un recinto a forma di scacchiera dal cancello aperto presente nel quadrato
indicato dalla freccia e, dopo aver toccato tutti i riquadri cambiando direzione solo ad angolo retto,
è uscito dal quadrato bianco sottostante il quadrato da cui è entrato, come mostrato nel disegno.
Così facendo ha cambiato direzione 20 volte. Qual è il numero minimo di cambi di direzione se si
entra ed esce dai quadrati indicati, si cambia direzione solo ad angolo retto, si toccano tutte le
caselle una sola volta e non si attraversa la sbarra presente nella seconda casella della seconda riga?
Problema 14 − Calcolo enigmatico
45 punti
▢▧□ × ▢ = ▣▨▧
+
+
−
▢▨ ▦ : □ =
▩▦
________________________
▣▣□ − ▤▤ = ▣⊠▧
A segno uguale corrisponde cifra uguale (e a segno diverso cifra diversa).
Quale numero corrisponde alla stringa
▣▤▩▢?
Problema 15 − La mucca e il treno
50 punti
Una mucca pezzata si trova tranquilla a guardare il fiume su un ponte a 5 metri dalla metà del ponte.
Improvvisamente scorge un treno, distante dall’estremità più vicina del ponte due volte la lunghezza
del ponte stesso, che sta piombando verso di lei a tutta velocità. Senza perdere un attimo si mette a
correre verso il treno e riesce a salvarsi con un metro di scarto. Se avesse seguito l’istinto e non la
ragione, correndo in direzione opposta, 25 centimetri della sua coda sarebbero rimasti schiacciati
sul ponte. Quanti metri è lungo il ponte?
5
Problema 16 − Il problema dei tagli
50 punti
Il figlio del ministro dell’economia è appassionato di enigmi e, per distrarre il padre dalle
preoccupazioni relative alla recente crisi economica, ha posto al genitore questo problema. Ho un
foglio rettangolare diviso a quadretti con i lati di 48 e 55 quadretti. Qual è il numero minimo di tagli
che occorre fare con una forbice per avere 48ä55 = 2640 fogliettini di lato un quadretto? Le regole
prevedono che ciascun taglio debba essere fatto lungo i bordi dei quadretti, debba essere rettilineo e
dividere il rettangolo che si taglia in altri due rettangoli (senza escludere i quadrati come casi
particolari).
Problema 17 − Un problema di mediane
60 punti
Le mediane di un triangolo sono lunghe rispettivamente 3, 4 e 5. Quanto vale l’area del triangolo?
Problema 18 − Un campo da recintare
60 punti
Occorre recintare un campo a forma di triangolo rettangolo utilizzando delle sbarre di uguale
lunghezza. Se un lato è lungo 47 sbarre, quante sbarre sono necessarie a recintare il campo? (In altre
parole occorre trovare il perimetro di un triangolo rettangolo avente i tre lati interi di cui uno uguale
a 47).
Problema 19 – Punti su circonferenza
90 punti
Disponendo 16 punti in modo casuale su di una circonferenza, qual è la probabilità che stiano tutti
su una semicirconferenza comune? Indicare, nella risposta, le prime 4 cifre significative del
risultato.
Problema 20 − La fine del mondo
95 punti
Pare che un archeologo abbia da poco scoperto un antico testo esoterico Maya recante la seguente
profezia. Sia data la successione di numeri così definita: a0 = 22012 – 4, an+ 1 = an / 2 + n. L’anno
della fine del mondo è uguale al valore minimo che assume an. Quale sarà l’anno della fine del
mondo, secondo la profezia?
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