II Esercitazione di Matematica Finanziaria

II Esercitazione di Matematica Finanziaria
Esercizio 1. Si consideri l’acquisto di un titolo a cedola nulla con vita
a scadenza di 90 giorni, prezzo di acquisto (lordo) P = 98.50 euro e valore facciale C = 100 euro. Tale titolo è soggetto ad una ritenuta fiscale,
da pagarsi anticipatamente, del 12.50% sull’interesse lordo. Relativamente
all’operazione di acquisto del titolo, calcolare:
(a) il tasso di interesse lordo;
(b) l’intensità di interesse su base giornaliera;
(c) il prezzo di acquisto netto;
(d ) il tasso di interesse netto.
Assumendo durata commerciale dell’anno (360 giorni) ed ipotizzando un
regime di capitalizzazione esponenziale, calcolare al netto della ritenuta fiscale:
(e) il tasso di interesse su base annua;
(f ) l’intensità istantanea di interesse su base semestrale;
(g ) il tasso di interesse su base bimestrale.
Ipotizzando, poi, un regime di capitalizzazione semplice, calcolare, sempre al
netto della ritenuta fiscale
(h) il tasso di interesse su base annua;
(l ) il tasso di interesse su base quadrimestrale.
Soluzione Relativamente al periodo in oggetto, si ottengono le seguenti
grandezze:
(a) il tasso di interesse lordo
jl =
100 − 98.50
= 0.0152;
98.50
1
(b) l’intensità di interesse su base giornaliera
γ=
0.0152
= 0.000169 giorni−1 ;
90
(c) il prezzo di acquisto netto
Pn = 98.50 + 0.125 · (100 − 98.50) = 98.69;
(d ) il tasso di interesse netto
jn =
100 − 98.69
= 0.0133.
98.69
In regime di capitalizzazione composta, abbiamo:
(e) il tasso di interesse su base annua
i=
100
98.69
360/90
− 1 = 0.05427;
(f ) l’intensità istantanea di interesse su base semestrale
δsem =
1
ln(1.05427) = 0.026424;
2
(g ) il tasso di interesse su base bimestrale
ibim = (1.05427)1/6 − 1 = 0.00885.
In regime di capitalizzazione semplice, si ha:
(h) il tasso di interesse su base annua
100
360
i=
−1
= 0.0532;
98.69
90
(l ) il tasso di interesse su base quadrimestrale
iquad =
0.0532
= 0.01773.
3
2
Esercizio 2. Data l’operazione finanziaria
x/t := {−140, 50, 130}/{0, 3, 6}
con scadenzario in semestri, dire se l’operazione risulta equa in t = 0 valutandola al tasso di interesse annuo i = 5.2%, in regime di capitalizzazione
composta.
In caso di risposta negativa, calcolare la quota x0 in t = 0 affinché l’operazione risulti equa.
Soluzione L’operazione non è equa, infatti
−140 + 50 · (1.052)−1.5 + 130 · (1.052)−3 = 18 6= 0;
affinché l’operazione risulti equa, in t = 0 dobbiamo avere una quota x0 tale
che
x0 + 50 · (1.052)−1.5 + 130 · (1.052)−3 = 0,
dunque x0 = −158 euro.
Esercizio 3. Si consideri un BTP a scadenza t = 5 anni, cedola annua
I = 16 euro e valore nominale C = 200 euro. Determinare:
(a) il tasso cedolare dell’operazione considerata;
(b) il rateo generato qualora si acquisti il titolo in t = 0.25 anni;
(c) il rateo generato qualora si acquisti il titolo in t = 0.5 anni.
Soluzione Determiniamo:
(a) il tasso cedolare dell’operazione considerata
ic =
16
= 0.08;
200
(b) il rateo generato qualora si acquisti il titolo in t = 0.25 anni
A = 16
0.25 − 0
= 4;
1−0
(c) il rateo generato qualora si acquisti il titolo in t = 0.5 anni
A = 16
0.50 − 0
= 8.
1−0
3
Esercizio 4. Si consideri un titolo a cedola fissa annua, scadenza in
t = 9 anni, valore facciale C = 200 euro e tasso nominale annuo jnom = 8%
rinnovabile una sola volta in un anno.
Dopo aver determinato la cedola del titolo in esame, supponendo di sottostare
ad una legge di capitalizzazione composta con tasso annuo di interesse i =
6%, calcolare:
(a) il valore dell’operazione in t0 = 0;
(b) il valore dell’operazione in t = 4 anni;
(c) il valore finale dell’operazione;
(d ) il valore residuo dell’operazione in t = 5 anni;
(e) il valore montante dell’operazione in t = 4 anni.
E se il tasso annuo di interesse fosse i = 8% quale sarebbe il valore in dell’operazione in t0 = 0?
Soluzione Determiniamo, anzitutto, la cedola
I=
0.08 · 200
= 16,
1
dunque siamo in grado di calcolare:
(a) il valore dell’operazione in t0 = 0
W (0, BT P ) = 16 ·
1 − (1.06)−9
+ 100 · (1.06)−9 = 236.68;
0.06
(b) il valore dell’operazione in t = 4 anni
W (4, BT P ) = 236.68 · (1.06)4 = 298.80;
(c) il valore finale dell’operazione
W (9, BT P ) = 236.68 · (1.06)9 = 399.86;
(d ) il valore residuo dell’operazione in t = 5 anni
V (5, BT P ) = 16
1 − (1.06)−4
+ 200 · (1.06)−4 = 213.86;
0.06
4
(e) il valore montante dell’operazione in t = 4 anni
M (4, BT P ) = 16 ·
(1.06)4 − 1
= 69.99
0.06
Se il tasso fosse pari a i = 8%, allora il valore attuale del titolo a cedola fissa
sarebbe proprio W (0, BT P ) = 200.
Esercizio 5. Si consideri l’operazione finanziaria
x/t := {20, −80, 70, 50, −60, 50, −20, y}/{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
con scadenzario in anni. Supponendo di valutarla secondo una legge di capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo i = 4.5%, calcolare la cifra
y che si deve avere in t = 5 anni affinché l’operazione risulti equa.
Soluzione La cifra y da determinare affinché l’operazione risulti equa è
soluzione dell’equazione
20(1.045)5 − 80(1.045)4 + 70(1.045)3 + 40(1.045)2 − 60(1.045) + y = 0,
cioè
y = −9.62
Esercizio 6. Si consideri l’operazione finanziaria
x/t := {−80, 70, 50, −60, 50, −40, 60}/{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
supponendo di lavorare in regime di capitalizzazione composta secondo il
tasso di interesse annuo i = 3.8%, calcolare:
(a) il valore dell’operazione in t0 = 0;
(b) il valore finale dell’operazione;
(c) il valore dell’operazione in t = 3 anni;
(d ) il valore residuo ed il valore montante dell’operazione in t = 2 anni.
Soluzione In regime di capitalizzazione composta, calcoliamo:
(a) il valore dell’operazione in t0 = 0
W (0, x ) =
7
X
xk (1, 038)−k = 36.65;
k=1
5
(b) il valore finale dell’operazione
W (7, x ) = W (0, x ) · (1.038)7 = 47.58;
(c) il valore dell’operazione in t = 3 anni
W (3, x ) = W (0, x ) · (1.038)3 = 40.99;
(d ) il valore residuo ed il valore montante dell’operazione in t = 2 anni
V (2, x ) = 52.53, M (2, x ) = −13.04
.
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