il problema della scacchiera mutilata

IL PROBLEMA DELLA SCACCHIERA MUTILATA
VALENTINA BATTISTINI - LIA ALFONSI - MAURIZIO CASTELLAN
INTRODUZIONE
Come è noto il problema di matematica ricreativa soprannominato ‘il problema della
scacchiera mutilata’ nasce dalla domanda:
“se si eliminano le due caselle bianche poste ai vertici di una scacchiera 8×8 è possibile
ricoprire esattamente senza sovrapposizioni la superficie restante con 31 tesserine
rettangolari di dimensioni 1 e 2 volte il lato di una casella?”
TESSERINA
La risposta è no e lo si può provare con il seguente semplice ragionamento [1].
Si parte dalla considerazione ovvia che ogni tesserina posta sulla scacchiera copre
sempre una casella nera e una casella bianca; ne segue che dopo aver utilizzato le prime
30 tesserine sono state coperte 30 caselle nere e 30 caselle bianche: restano scoperte
solo due caselle entrambe di colore nero che l’ultima tesserina non potrà mai ricoprire!
Con il medesimo ragionamento si prova che il problema non ha soluzione anche nel caso
le due caselle asportate, purché dello stesso colore, non siano ai vertici della scacchiera.
Ciò può essere espresso nel seguente modo:
PROPOSIZIONE 1
Condizione necessaria affinché la scacchiera mutilata sia ricoperta dalle tesserine è che le
due caselle tolte siano di colore differente.
LA CONDIZIONE È ANCHE SUFFICIENTE ?
Cosa succede se le due caselle da togliere hanno colore differente?
Se le due caselle si trovano, ad esempio, agli estremi della prima colonna, la scacchiera
mutilata si può banalmente ricoprire con le tesserine disposte tutte in verticale:
ma questo avviene comunque si scelgano le caselle? In altri termini la condizione
necessaria presente nella prop. 1 è anche sufficiente?
La risposta è affermativa ma prima di darne una prova premettiamo i seguenti lemmi.
LEMMA 1
Ogni rettangolo formato da caselle della scacchiera con un numero di righe o di colonne
pari si può ricoprire con le tesserine.
Dim.
I rettangoli di caselle con un numero di righe, o con un numero di colonne pari si possono
banalmente ricoprire con tesserine disposte rispettivamente in verticale e in orizzontale.
Es:
Per enunciare il prossimo lemma occorre numerare le righe e le colonne della scacchiera
nel seguente modo:
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Ogni casella è individuata dalla coppia di indici di riga e di colonna di appartenenza.
Prese due caselle di indici (h,k) e (l,m) resta determinato un rettangolo di caselle che ha
negli angoli le caselle di indici (h,k), (h,m), (l,m) e (l,k). Se h=l si ottiene un rettangolo con
una sola riga, e se k=m si ottiene un rettangolo con una sola colonna; se infine h=l e k=m
il rettangolo si riduce ad una sola casella.
Per tale rettangolo valgono le seguenti relazioni:
•
numero di righe = h − l + 1
•
numero di colonne = k − m + 1
8
7
l
6
CASELLE SCELTE
5
h
IL RETTANGOLO DA ESSE DETERMINATO HA 3
RIGHE E 4 COLONNE
4
3
2
1
1
2
3
4
k
5
6
7
m
8
LEMMA 2
Prese due caselle di colore di colore differente con indici (h,k) e (l,m), il rettangolo di
caselle da esse determinato ha numero di righe e numero di colonne di parità diversa.
Dim.
Prima di tutto osserviamo che:
• in ogni colonna di indice dispari le caselle nere si trovano sulle righe dispari e quelle
bianche sulle righe pari;
• in ogni colonna di indice pari le caselle nere si trovano sulle righe pari e quelle
bianche sulle righe dispari.
Prese ora le due caselle di colore differente con indici di riga e di colonna (h,k) e (I,m)
consideriamo il rettangolo da esse determinato. Possono presentarsi i seguenti casi:
1° caso: gli indici k e m di colonna delle due caselle hanno la stessa parità: per
l’osservazione fatta in apertura la casella nera e la casella bianca si trovano su righe con
indici h e l di diversa parità; ne segue che il rettangolo ha:
•
numero di righe = h − l + 1 pari;
•
numero di colonne = k − m + 1 dispari;
2° caso: gli indici k e m di colonna delle due caselle hanno parità diversa e quindi la
casella nera e la casella bianca si trovano su righe con indici h e l di uguale parità: il
rettangolo che si ottiene ha:
•
numero di righe = h − l + 1 dispari;
•
numero di colonne = k − m + 1 pari.
Siamo ora in grado di provare la seguente:
PROPOSIZIONE 2
Condizione sufficiente affinché la scacchiera mutilata sia ricoperta dalle tesserine è che le
due caselle tolte siano di colore differente.
Dim.
Scelte le due caselle bianca e nera da togliere consideriamo il rettangolo da esse
determinato. Per il lemma 2 si verificherà una delle due seguenti ipotesi:
1° caso: il rettangolo ha un numero pari di righe e un numero dispari di colonne: in questo
caso la parte di scacchiera privata delle due caselle si può decomporre nel seguente
modo:
8 COLONNE ( PARI)
NUMERO DI
RIGHE PARI
NUMERO DI
COLONNE
DISPARI
NUMERO DI
RIGHE PARI
NUMERO DI
COLONNE
DISPARI
8 COLONNE ( PARI)
dove i rettangoli oro hanno un numero di colonne pari e i rettangoli arancio un numero di
righe pari (nel caso in cui una o entrambe le caselle si trovassero sulle righe 1 e 8 o sulle
colonne 1 e 8, oppure entrambe su una medesima riga o colonna, alcuni dei rettangoli in
figura verrebbero a mancare). Applicando il lemma 1 ai rettangoli della decomposizione si
ottiene il ricoprimento di tutta la scacchiera mutilata;
2° caso: il rettangolo ha un numero dispari di righe e un numero pari di colonne: si ripete
la costruzione fatta per il caso 1° scambiando il ruolo delle righe e delle colonne.
ESEMPIO
BIBLIOGRAFIA
[1] M. Gardner, Enigmi e giochi matematici, Vol. 1, Sansoni, Firenze 1972.