Compiti A.A. 2007-2008

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Prova in itinere di Metodi di Ottimizzazione AA 2007/2008: compito A
1
Un rinomato biscottificio italiano dispone di tre stabilimenti, ubicati nelle città di Ancona,
Belluno e Catanzaro e produce quattro tipologie di biscotti: gli Amarestri, i Biscozzi, i
Cuordipaglia e le Deluzie. In Tabella 1 sono riportati i costi di produzione (per quintale)
di ognuno dei tipi di prodotto a seconda dello stabilimento di produzione, ed il costo
di attivazione della produzione nei vari stabilimenti. Sono riportati inoltre la massima
quantità mensile che ogni stabilimento può produrre, e le produzioni minime richieste di
ogni tipologia di prodotto per soddisfare le richieste di mercato (ripettivamente nell’ultima
colonna e nell’ultima riga). Per vincoli tecnologici ogni stabilimento non può produrre più
di tre tipi diversi di biscotti. In generale, biscotti di un dato tipo possono essere prodotti
in diversi impianti. Formulare il problema di pianificare la produzione per il prossimo
mese come PLI, per minimizzare i costi totali e soddisfare le richieste di mercato.
Ancona
Belluno
Catanzaro
Prod. min.:
Amarestri
200 euro
250 euro
300 euro
20 qt.
Biscozzi Cuordipaglia Deluzie
170 euro
200 euro
170 euro
210 euro
120 euro
150 euro
220 euro
110 euro
280 euro
30 qt.
25 qt.
20 qt.
Costo Att.
2000 euro
3000 euro
1400 euro
Capacità Prod.
40 qt.
30 qt.
45 qt.
Table 1: Dati
2
Si consideri la rete in Figura 3. I due valori kij , xij associati ad ogni arco del grafo sono,
rispettivamente, la capacità dell’arco e il valore di un flusso. Verificare che il flusso dato
sia ammissibile. Applicare un opportuno algoritmo per trovare il flusso massimo dal nodo
1 al nodo 10. Determinare inoltre la sezione di capacità minima della rete.
3
Si consideri il seguente problema di PLI.
max x1 + 3x2
1
Figura 1:
13x1 + 30x2 ≤ 153
x1 ≥ 1
x1 ≤ 6
x 1 , x2 ∈ Z +
Si trovi la soluzione ottima:
• con il metodo dei tagli di Gomory. Si arresti comunque il metodo dopo la generazione
di due tagli.
• con il metodo del Branch&Bound.
4
Si consideri il seguente problema di PLI
max 5x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 + 3x5 + 2x6 + 4x7
4x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 2x6 + 5x7
≤ 13
xi ∈ {0, 1} i = 1, . . . , 7
Si calcoli il rilassamento lineare del problema. Stabilire inoltre se il problema intero può
avere una soluzione con valore almeno 17.
5
Si consideri il problema della copertura degli archi (”Node cover”). Formulare il problema
in termini di PLI. Cosa si può dire sulla complessità computazionale del problema?
2
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Prova in itinere di Metodi di Ottimizzazione AA 2007/2008: compito B
6
Il pirata Jack Sparrow vuole masterizzare illegalmente su DVD alcuni film che ha scaricato
da internet. In Tabella 6 sono indicati, per ognuno di tali film, la lunghezza in MegaByte
del file corrispondente ed il genere. Formulare come PLI il problema di utilizzare il minor
numero possibile di DVD (aventi capacità di 4700 MB) e facendo in modo che su uno
stesso DVD non siano registrati più di tre generi differenti.
#
01
02
03
04
05
06
Titolo
Odissea nello strazio
Gli Intaccabili
Esame Mortale
Vacanze in Armenia
Mars Riattacks
Se mi lasci ti scotenno
MB
730
830
630
660
860
760
Genere
SF
DRAM
HORR
COMM
SF
COMM
#
07
08
09
10
11
12
Titolo
MB
Rambo XV
650
Indiana Stones
750
NightMore
770
Tutti Pazzi per Lory
620
Mambo & Slash
720
Il silenzio degli studenti 640
Genere
AVV
AVV
HORR
COMM
COMM
DRAM
Table 2: I film del pirata
7
Si consideri la rete in Figura 3. I due valori kij , xij associati ad ogni arco del grafo sono,
rispettivamente, la capacità dell’arco e il valore di un flusso. Verificare che il flusso dato
sia ammissibile.
Applicare un opportuno algoritmo per trovare il flusso massimo dal nodo 1 al nodo 10.
Determinare inoltre la sezione di capacità minima della rete.
8
Si consideri il seguente problema di PLI.
max 9x1 + 3x2
60x1 + 26x2 ≤ 306
x2 ≥ 1
x2 ≤ 6
x 1 , x2 ∈ Z +
3
Figura 2:
Si trovi la soluzione ottima:
• con il metodo dei tagli di Gomory. Si arresti comunque il metodo dopo la generazione
di due tagli.
• con il metodo del Branch&Bound.
9
Si consideri il seguente problema di PLI
max 4x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 2x6 + 5x7
5x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 + 3x5 + 2x6 + 4x7
≤ 13
xi ∈ {0, 1} i = 1, . . . , 7
Si calcoli il rilassamento lineare del problema. Stabilire inoltre se il problema intero può
avere una soluzione ammissibile con valore almeno 16.
10
Si consideri il problema dello zaino. Descrivere l’algoritmo di soluzione basato sulla programmazione dinamica. Cosa si può dire sulla complessità computazionale dell’algoritmo?
4
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Appello d’esame di Metodi di Ottimizzazione del 06/12/2007
11
Un pattinatore artistico deve decidere quali salti inserire nel suo programma libero per le
Olimpiadi. Il programma è composto da due parti (A e B), e può contenere al massimo
8 salti per parte. I tipi di salto sono indicati con S = {1, ..., n}. Ogni tipo di salto può
essere ripetuto, ma un tipo di salto può essere effettuato solo in una delle due parti. Ogni
tipo di salto è caratterizzato da un coefficiente di difficoltá, di . Il coefficiente di difficoltà
aumenta del 10% se un salto viene eseguito nella parte B del programma. Il pattinatore
conosce i suoi limiti e sa quali salti gli riescono con maggior difficoltá: ha assegnato a
ciascun salto un coefficiente di rischio ri . Il pattinatore vuole massimizzare il coefficiente
di difficoltà del suo programma mantenendo il rischio complessivo al di sotto di una soglia
R. Formulare il problema utilizzando un modello di Programmazione Lineare Intera.
5
12
Si consideri il seguente problema di PLI.
min −8x1 − 7x2
4x1 + 3x2 ≤ 13
26x1 + 3x2 ≥ 26
xi ∈ Z +
1. Si risolva il problema attraverso il metodo dei tagli di Gomory (si generino al massimo due tagli).
2. Si risolva il problema attraverso il metodo del Branch&Bound.
13
Si consideri il seguente problema di PLI.
min −4x1 − 3x2 − 5x3 − 2x4 − 5x5
3x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 ≤ 8
xi ∈ {0, 1}
Si risolva il problema applicando la programmazione dinamica. Si discuta la complessità
del metodo utilizzato.
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Appello d’esame di Metodi di Ottimizzazione del 10/1/2008
14
Il centro di gestione delle emergenze sanitarie di Roma deve decidere dove allocare k autoambulanze, in modo tale che gli interventi di emergenza siano il più rapidi possibile.
Nell’area metropolitana sono stati individuati un insieme di punti C = {1, . . . , n} da cui,
con più probabilità, partiranno le chiamate di emergenza dei cittadini. Inoltre, è stato
individuato un insieme di potenziali siti P = {1, . . . , m} in cui posizionare le autoambulanze. Può essere posizionata al più una autoambulanza per ogni sito. Si suppongono
noti i tempi di spostamento t(i, j) che un’autoambulanza, se allocata nel generico sito
i ∈ P , impiegherebbe per arrivare al generico punto di emergenza j ∈ C. Usando la Programmazione Lineare Intera, si formuli il problema di determinare in quali siti allocare le
autoambulanze in modo tale che sia minimo il massimo tempo di spostamento.
7
15
Si consideri la rete in Figura 3. I due valori kij , xij associati ad ogni arco del grafo sono,
rispettivamente, la capacità dell’arco e il valore di un flusso. Verificare che il flusso dato
sia ammissibile. Applicare un opportuno algoritmo per trovare il flusso massimo dal nodo
1 al nodo 9. Determinare inoltre la sezione di capacità minima della rete.
Figura 3:
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Si consideri il seguente problema di PLI.
min −8x1 − 7x2
4x1 + 3x2 ≤ 26
26x1 + 3x2 ≥ 26
xi ∈ Z +
1. Si risolva il problema attraverso il metodo dei tagli di Gomory (si generino al massimo due tagli).
2. Si risolva il problema attraverso il metodo del Branch&Bound.
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