Influenza della sequenza delle informazioni nella risoluzione dei

Pubblicato in: L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate,
vol.23°, N.1, Gennaio 2000, 7-26
INFLUENZA DELLA SEQUENZA DELLE INFORMAZIONI
NELLA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA
A. Archetti, S. Armiento, E. Basile, L. Cannizzaro, P. Crocini, L. Saltarelli
Our purpose was to investigate to what extent difficulties in solving word
problems could be attributed to the interlace of different time structure (time of
literal text, time of real action treated in the text, time procedure choose for
resolving the problem). Results show a considerable facilitative effect for solving
problems based on the coincidence of the time of action with the time of literal
text. The development of diachronic thinking and prospective structure of the
problematic situation could be an useful help for students in all level of ability in
solving problems.
A. Archetti - Scuola Media Buonarroti, Roma; S. Armiento - Scuola Media Amaldi, Roma; E. Basile - Scuola Media
Platone, Roma; L. Cannizzaro - Dipartimento di Matematica, Università La Sapienza, Roma; P. Crocini - 1° Circolo
Didattico, Aprilia (LT); L. Saltarelli - 3° Circolo Didattico Aprilia (LT).
INFLUENZA DELLA SEQUENZA DELLE INFORMAZIONI
1
NELLA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA
A. Archetti, S. Armiento, E. Basile, L. Cannizzaro, P. Crocini, L. Saltarelli
1. Premessa
Molto è già stato scritto riguardo alle difficoltà incontrate da alunni tra gli 8 e i 13
anni in attività di risoluzione di problemi verbali.
Le conoscenze attuali sulle modalità con le quali alunni, in fase evolutiva,
impegnati in soluzione di problemi collegano e mettono in interazione varie
capacità sono il frutto di tante esperienze e osservazioni per certi versi di
carattere locale; queste, come piccoli tasselli, ci restituiscono una
rappresentazione di una realtà complessa che non è uniformemente definita nei
dettagli e presenta ancora numerose aree grigie e che sarà quindi, ancora per
molto tempo, campo d’indagini diverse.
Una rassegna delle ricerche italiane condotte nell’ambito dei gruppi legati al
Seminario Nazionale di Ricerca in Didattica della Matematica si trova in
D’Amore-Zan (1996).
In ambito internazionale, ricerche in didattica della matematica che hanno
prodotto interessanti osservazioni riguardano, ad esempio, l’effetto della
leggibilità di un testo (Douglas, Nibbelink, Hoover, 1986), circa il grado
d’assimilazione possibile tra attività di risoluzione di un problema ed attività di
tipo retorico concernente la comprensione o scrittura di un testo (Adams 1992),
circa le difficoltà di decodifica del linguaggio naturale con il quale un problema
viene comunicato per scritto oppure oralmente (Laborde, 1990 e Pimm, 1994),
sul ruolo giocato sia dalla sintassi della lingua madre che dalla punteggiatura
(Laborde, 1995), sull’influenza del contesto evocato dal problema (Schoenfeld,
1989), sul depistaggio esercitato da ambiguità lessicali che sollecitano l’uso di
alcune operazioni piuttosto che di altre (Nesher e Teubal, 1975), sulle difficoltà
derivanti dall’operare con numeri grandi o piccoli (Bell, Fischbein, Greer, 1984),
1 Lavoro eseguito con il contributo del Consiglio Nazionale delle Ricerche e del MURST, U.O. di Roma, responsabile prof.
C. Bernardi.
sull’uso concettuale o procedurale di alcune operazioni rispetto ad altre (Gray e
Tall, 1994), sulla funzione giocata da informazioni espresse in forma implicita, o
da altre superflue o addirittura contraddittorie tra loro (Semadeni, 1966), sul
ruolo dei fattori metacognitivi (Lester 1989; Shoenfeld, 1987).
Per quanto ci risulta sono, invece, molto meno numerose le ricerche specifiche
sull’attività di risoluzione dei problemi verbali in relazione al concetto di tempo:
tempo ed uso dei verbi, tempo ed uso degli stili letterari, tempo e
rappresentazioni schematiche, tempo e strategie risolutive, tempo ed algoritmi,
tempo e posizione dell’incognita, tempo e svolgimento delle azioni reali evocate.
Un’analisi interessante delle possibili varietà delle accezioni di tempo per un
soggetto che apprende si trova in Scali (1994) e Boero-Scali (1996) che
analizzano alcune situazioni didattiche relative alla fascia d’età della scuola
dell’obbligo.
Crepault e Samartzis (1989) operano, invece, una netta distinzione tra situazioni
ipotetiche (ovvero, situazioni che non possono essere manipolate, ma solo
immaginate) e situazioni concrete ed analizzano l’incidenza di aspetti qualitativi
e quantitativi sui ragionamenti coinvolgenti strutture temporali.
Lo scopo del presente lavoro è stato quello di indagare se e come influisca sulla
risolubilità di un problema la coincidenza della sequenza con la quale vengono
fornite nel testo le informazioni con la sequenza temporale relativa all’azione
reale evocata dal problema.
L’ipotesi che sottende l’esperienza descritta è quella che, in problemi di “azione”
nei quali gli aspetti di progettualità sono minimi, per avviare l’attività di
risoluzione occorra conoscere il contesto descritto dal problema, non solo
globalmente, ma occorra, anche, dominare tale contesto da un punto di vista
temporale e saper ricostruire la successione delle singole azioni così come
avvengono nella realtà.
In generale ipotizziamo che la ricostruzione dell’azione, si svolga in maniera
implicita soprattutto nel caso dei problemi scolastici proposti attraverso un testo
scritto e che la ricostruzione sia, in ogni caso, favorita da un testo che fornisce le
singole informazioni nella stessa sequenza temporale con la quale le azioni si
svolgono nella realtà. Al contrario, se la sequenza temporale delle informazioni è
diversa da quella delle azioni reali, il problema presenta una difficoltà in più da
dover superare per arrivare ad una corretta soluzione.
Per una sintesi delle ricerche sul ruolo della continua riformulazione di un
problema operata da chi è impegnato a risolverlo, si può utilmente vedere Zan,
1995.
Si parlerà nel seguito di tempo cronologico (TC) per intendere la successione
cronologica con la quale, nella realtà dell’evento evocato dal problema, le azioni
si susseguono; di tempo testo (TT) per la successione con la quale nel testo del
problema le azioni vengono raccontate.
Prima di entrare nel merito dell’esperienza condotta non ci sembra superfluo
esplicitare che sia la letteratura (Pesci, 1991) che l’esperienza fatta ci inducono
ad annotare che la posizione dell’incognita o delle incognite rispetto alla
situazione reale descritta ha influenza ai fini di una corretta risoluzione del
problema. Tale influenza, però, nel presente lavoro, è stata tenuta in secondo
piano rispetto all’indagine centrale riguardante il ruolo giocato dalla coincidenza
tra le sequenze del tempo cronologico e del tempo testo. Nell’analisi dei risultati
si farà riferimento alla posizione dell’incognita solo in quei problemi nei quali si
è ritenuto che questa abbia rappresentato effettivamente un’ulteriore difficoltà.
2. Descrizione dell’esperienza
L’esperienza qui descritta è stata condotta durante l’anno scolastico 1996/97, con
quattro classi di quinta elementare (alunni di 10-11 anni) e cinque classi di prima
media (alunni di 11-12 anni), in scuole sia di Roma che della provincia, ed ha
coinvolto 171 alunni.
2.1. Prima fase
Gli alunni sono stati divisi in tre gruppi “formali” cioè, l’appartenenza ad un
gruppo o ad un altro non era né a conoscenza dell’insegnante né dei singoli
alunni e la composizione dei gruppi non coincideva né con una singola classe né
con una parte di essa. I gruppi formali erano omogenei tra di loro ma eterogenei
al loro interno per la presenza di alunni di diverse capacità risolutive, di diverse
classi e di diverse scuole frequentate.
Rispetto alle capacità risolutive, la distribuzione degli alunni nei tre gruppi è stata
operata considerando quattro diversi livelli, per individuare i quali sono stati
utilizzati tre problemi di diversa difficoltà. I tre problemi utilizzati per
individuare i risolutori con differenti abilità sono stati presi, insieme ad altri, da
libri di testo di scuola elementare e media in uso ed sono stati, in precedenza,
testati in classi della stessa fascia di età non coinvolte dall'esperienza e
selezionati come i più efficaci allo scopo.
La tabella che segue riporta i risultati ottenuti da 156 alunni dei gruppi formali.
Lo scarto quantitativo tra gli alunni effettivamente coinvolti nell’esperienza e
quelli i cui procedimenti risolutivi sono stati analizzati è determinato dalla scelta
di eliminare gli elaborati sia degli alunni di lingua straniera (che avrebbero
introdotto altre tipi di variabili che non si volevano per il momento prendere in
esame), sia di quelli alunni ai quali non sono stati somministrati tutti e tre i
problemi a causa di assenze scolastiche.
TOTALE
ALUNNI
ALUNNI
DI SCUOLA
ELEMENTARE
ALUNNI
DI SCUOLA
MEDIA
LIVELLO 0
Nessun problema risolto
54
36
18
LIVELLO 1
Un problema risolto
42
21
21
LIVELLO 2
Due problemi risolti
36
15
21
LIVELLO 3
Tre problemi risolti
24
3
21
Ognuno dei tre gruppi omogenei formali, individuati con le lettere A, B, C, era
costituito da 18 alunni di Livello 0, 14 alunni di Livello 1, 12 alunni di Livello 2
e 8 alunni di Livello 3.
2.2. Seconda fase
Per la conduzione dell’esperienza vera e propria sono stati scelti, sempre dai libri
di testo in uso corrente, cinque problemi e per ognuno di essi sono state elaborate
tre versioni tra loro diverse unicamente per il tempo-testo, cioè per la sequenza
temporale con la quale venivano fornite le informazioni. Per ogni problema una
delle versioni formulate era sempre costruita in modo da far coincidere il tempo
testo con il tempo cronologico, tali versioni saranno in seguito indicate con TTC
(tempo testo cronologico); un’altra versione presentava un tempo testo
coincidente con il tempo soluzione (le informazioni nel testo si susseguivano con
la stessa sequenza con la quale dovevano essere usate nell’algoritmo risolutivo),
tali versioni saranno in seguito indicate con TTS (tempo testo soluzione); una
terza versione, infine, era costruita in modo che il tempo del testo fosse diverso
dalle prime due versioni; queste versioni saranno in seguito indicate con TTD
(tempo testo differente). Si è cercato, per quanto lo consente la lingua italiana, di
lasciare inalterate tutte le altre caratteristiche linguistiche dei testi dei problemi;
in particolare, la domanda è stata sempre posta alla fine del testo del problema e
sempre espressa in forma esplicita.
Per ogni problema, a rotazione, uno dei gruppi ha lavorato sulla versione TTC,
uno sulla versione TTS ed uno su quella TTD.
3. Analisi dei risultati
Nella correzione degli elaborati si è evidenziata una notevole varietà nella
tipologia degli errori: uso di operazioni non adeguate, procedimento incompleto,
errori di calcolo e di logica, trascrizione errata dei dati, risultati inaccettabili nel
contesto del problema, ecc.. Si è convenuto di annoverare tra le soluzioni corrette
anche quelle che presentavano banali errori di calcolo o imprecisioni ma
comunque coerenti nel procedimento.
È stata studiata la distribuzione delle soluzioni corrette per ogni singolo problema
in funzione dei livelli degli alunni tenendo sempre separati i risultati ottenuti
nelle tre versioni.
Esaminiamo in dettaglio le tre formulazioni del testo di ciascun problema ed i
risultati ottenuti.
Problema 1: LA PAGHETTA
Versione TTC
• La mamma dà a Roberto 5 settimane di paghetta in anticipo.
• Roberto va a comprarsi un videogioco nuovo che costa L 42.000 e gli
avanzano ancora L. 5.500.
• Quanto prende Roberto come paghetta settimanale?
Versione TTS
• Roberto compra un videogioco nuovo che costa L 42.000 e gli avanzano
ancora L. 5.500.
• Per fare questo acquisto la mamma gli ha anticipato la paghetta di 5
settimane.
• Quanto prende Roberto come paghetta settimanale?
Versione TTD
• Roberto compra un videogioco nuovo che costa L 42.000 e chiede un
prestito alla mamma che gli anticipa la paghetta di 5 settimane.
• Dopo aver comprato il videogioco a Roberto avanzano ancora L. 5.500.
• Quanto prende Roberto come paghetta settimanale?
LA PAGHETTA
% RISPOSTE ESATTE
90,0
80,0
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
TTC
LIV.0
TTS
TIPO DI TESTO
LIV.1
LIV.2
TTD
LIV.3
In questo problema la versione TTC è quella che ha fatto registrare il maggior
numero di svolgimenti corretti sia complessivamente sia, se si confrontano i
risultati per livelli, rispetto alle diverse abilità dei solutori. Tutti appaiono
avvantaggiati da un testo che rispetta la sequenza cronologica dei fatti.
Occorre però sottolineare che anche la versione TTS raccoglie oltre il 60% di
risposte esatte mentre la versione TTD appare decisamente di più difficile
gestione per gli alunni.
In effetti l’unica differenza che sembra emergere come significativa dal confronto
di queste due ultime versioni è la vicinanza o lontananza dei due dati relativi,
rispettivamente, alla spesa effettuata ed al resto: nella versione TTS queste
informazioni compaiono vicine e nell’ambito della stessa frase, nella versione
TTD sono invece, in due frasi distinte, separate tra loro dall’informazione circa la
paghetta di 5 settimane. La lettura di un testo “disordinato” potrebbe essere più
difficile perché l’alunno deve coordinare logicamente dati che non sono uno
seguente immediatamente all’altro. Circa il 60% degli alunni appartenenti al
gruppo a cui è stata somministrata la versione TTD è rimasto confuso e non è
stato in grado di riordinare mentalmente le informazioni dal punto di vista
cronologico né logico.
E’ opportuno annotare che la dimensione temporale in questo problema
risulta, per certi versi, debole in quanto il dato relativo alla paghetta di 5
settimane rappresenta un totale che va connesso logicamente con le altre
informazioni ma nel quale ha poca influenza l’informazione relativa al tempo (5
settimane): è come se la variabile temporale potesse essere contratta in un unico
dato attualizzato.
In conclusione dai risultati complessivi divisi per livelli ci sembra di poter
affermare che gli abili solutori hanno controllato un tempo testo “disordinato”
mentre i deboli risolutori sono stati favoriti da un testo che riporta le informazioni
in modo cronologico.
Problema 2: LA GITA
Versione TTC
• E’ stata organizzata una gita di fine anno per tutte le quarte e quinte classi
di una scuola elementare.
• Gli alunni sono in tutto 75.
• Gli alunni di quinta devono portare L 9.600 ciascuno perché essi visiteranno
anche un museo.
• Gli alunni di quarta hanno già raccolto la loro somma totale che è di
L 280.500.
• Il costo della gita è in tutto di L 683.700.
• Quanto ha pagato ogni alunno di quarta?
Versione TTS
• E’ stata organizzata una gita di fine anno per tutte le quarte e quinte classi
di una scuola elementare.
• Il costo della gita è in tutto di L 683.700.
• Gli alunni di quarta hanno già raccolto la loro somma totale che è di L
280.500.
• Gli alunni di quinta devono portare L 9.600 ciascuno perché essi visiteranno
anche un museo.
• Gli alunni sono in tutto 75.
• Quanto ha pagato ogni alunno di quarta?
Versione TTD
• E’ stata organizzata una gita di fine anno per tutte le quarte e quinte classi
di una scuola elementare.
• Gli alunni sono in tutto 75.
• Il costo della gita è in tutto di L 683.700.
• Gli alunni di quinta devono portare L 9.600 ciascuno perché essi visiteranno
anche un museo.
• Gli alunni di quarta hanno già raccolto la loro somma totale che è di L
280.500.
•
Quanto ha pagato ogni alunno di quarta?
LA GITA
% RISPOSTE ESATTE
30
25
20
15
10
5
0
TTC
LIV.0
TTS
TIPO DI TESTO
LIV.1
LIV.2
TTD
LIV.3
Le tre versioni del problema LA GITA, equivalenti dal punto di vista
matematico, sono anche identici dal punto di vista linguistico differenziandosi
effettivamente solo per il Tempo Testo non essendo stato necessario apportare
nessuna variazione di tipo lessicale per la loro formulazione.
Tutte le versioni presentano una frase “Gli alunni di quinta devono portare L
9.600 ciascuno perché essi visiteranno anche un museo” che ha dato luogo ad
interpretazioni differenti, come è stato possibile rilevare anche dalla discussione
che si è svolta in classe ad elaborati consegnati. Alcuni solutori hanno
interpretato la quota di L. 9.600 per gli alunni di V come complessiva, altri come
quota da aggiungere alla quota individuale degli alunni di IV; l’errore commesso
da alcuni è stato quello di riferire l’avverbio “anche” non a ciò che gli alunni di V
avrebbero fatto in più degli altri, ma alla quota da pagare.
In genere il problema è risultato difficile e ciò si evidenzia sia dalla bassa
percentuale di risposte esatte in tutte e tre le versioni (non si supera il 25% in
nessuna versione), sia dalle risposte esatte distribuite soprattutto tra gli abili
solutori (LIV. 2 e 3) mentre sono poco numerosi gli elaborati corretti dei deboli
risolutori (LIV: 0 e 1).
Le versioni TTC e TTD hanno fatto registrare una percentuale di risposte esatte
maggiore di quella registrata per la versione TTS. È opportuno notare
esplicitamente che, vi è un solo elaborato esatto di un alunno debole risolutore (di
livello 0) registrato nella versione TTS.
Il confronto tra i dati ottenuti dalle versioni TTC e TTD è significativo: la
percentuale di risposte esatte registrate dalla versione TTD è costituita quasi
completamente da abili risolutori mentre la versione TTC che, per altro, ha
totalizzato un valore complessivo di risposte esatte lievemente minore, vede al
suo interno crescere la percentuale di risposte esatte date dai deboli risolutori. La
versione TTD, che è risultata più facile per gli abili solutori, presenta all’inizio i
due dati complessivi e tutte le altre informazioni nel seguito del testo.
L’ipotesi che ci sembra di poter formulare è che l’abile solutore domini con
sicurezza la situazione, probabilmente in maniera quasi implicita, sia dal punto di
vista del tempo che da quello del contesto, sia, ancora, da quello della conoscenza
delle reciproche relazione tra i dati, tanto da poter innescare immediatamente un
processo risolutivo finalizzato a dare risposta alla domanda; il suo non è un
ragionamento di tipo sequenziale in funzione del tempo, ma subito logicooperativo finalizzato alla risposta da dare. In un approccio di questo tipo avere
all’inizio i dati complessivi della situazione e solo dopo quelli parziali può
effettivamente risultare maggiormente utile per avviare il processo di risoluzione.
I deboli risolutori, maggiormente presenti invece nella versione TTC,
probabilmente hanno maggiore difficoltà a mettere in relazione i dati sia in senso
temporale che logico-operativo, in loro non scatta fin dall’inizio una chiara
formulazione del progetto risolutivo. In questa situazione un testo che presenti i
dati in ordine cronologico sembra fornire loro quella lettura sequenziale di una
situazione che può fare, se le relazioni fra le varie informazioni vengono colte
correttamente, da trampolino di lancio all’avvio del processo di risoluzione.
Problema 3: IL LIBRO
Versione TTC
• Patrizia ha preso in biblioteca un libro e lo ha tenuto per dieci giorni.
• Il libro è di 210 pagine.
• Il primo giorno ha letto 10 pagine.
• Per i primi tre giorni ha letto sempre il doppio delle pagine lette il giorno
precedente.
• Quante pagine al giorno ha letto in media nei giorni rimasti?
Versione TTS
• Patrizia ha preso in biblioteca un libro e il primo giorno ha letto 10 pagine.
•
Per i primi tre giorni ha letto sempre il doppio delle pagine lette il giorno
precedente.
• Questo libro è di 210 pagine.
• Ha tenuto questo libro per dieci giorni.
• Quante pagine al giorno ha letto in media nei giorni rimasti?
Versione TTD
• Patrizia ha preso in biblioteca un libro e per i primi tre giorni ha letto
sempre il doppio delle pagine lette il giorno precedente.
• Il libro è di 210 pagine.
• Ha tenuto questo libro per dieci giorni.
• Il primo giorno ha letto 10 pagine
• Quante pagine al giorno ha letto in media nei giorni rimasti?
IL LIBRO
% RISPOSTE ESATTE
35,0
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
TTC
LIV.0
TTS
TIPO DI TESTO
LIV.1
LIV.2
TTD
LIV.3
Per questo testo occorre fare preliminarmente una osservazione inerente la
costruzione della versione TTC. L’informazione riguardante il periodo del
prestito di dieci giorni è stata messa all’inizio considerando che nella situazione
reale la regola di una biblioteca sia quella di prestare i libri solo per un tempo
determinato In realtà tale norma molto probabilmente non è conosciuta dagli
alunni e quindi anche se la posizione dell’informazione nella versione TTC è
corretta, la scelta operata è probabilmente ininfluente per gli alunni ai fini di una
lettura cronologica della situazione.
La difficoltà del problema, peraltro presente in tutte e tre le versione, si annida
nella comprensione della frase "per i primi tre giorni ha letto sempre il doppio
delle pagine lette il giorno precedente" che ha determinato la maggior parte degli
errori registrati.
Alcuni solutori non sono riusciti ad interpretare l’aumento progressivo di pagine
lette al passare dei giorni e quindi hanno eseguito il doppio solo del primo giorno
ripetendolo poi uguale anche per i giorni successivi; altri invece non hanno
contato il primo giorno nel numero dei 'primi tre giorni'.
In questo problema la dimensione temporale ha un’incidenza molto forte in
quanto il nodo risolutivo del problema è rappresentato proprio da
un’informazione di tipo temporale; solo con una sua corretta interpretazione si
può avviare infatti una strategia risolutiva corretta.
Il problema, come appare chiaramente dal grafico, è stato risolto correttamente
da una bassa percentuale complessiva di alunni: i deboli risolutori (Liv. 0 e 1)
risultano completamente assenti dagli esiti positivi nelle versione TTS e TTD. La
versione TTC risulta efficace per i deboli risolutori per aver consentito di cogliere
con più chiarezza le reciproche relazioni tra i dati del problema mettendo in
grado alcuni di loro di formulare un procedimento risolutivo corretto.
Il grafico sollecita un confronto tra le versioni TTS e TTD sulle quali, come già
detto, sono presenti solo gli abili risolutori. Le due versioni presentano due
significative differenze conseguenti al cambiamento del TT. La prima differenza
riguarda la diversa posizione della frase di più difficile interpretazione: "Per i
primi tre giorni ha letto sempre il doppio delle pagine del giorno precedente".
Tale frase nella versione TTD è posta all’inizio mentre nella versione TTS è
posta in seconda posizione. Si può ipotizzare che una informazione iniziale di
difficile interpretazione concentri maggiormente l’attenzione dell’alunno su di
essa e, se il nodo interpretativo viene superato, è probabile che si inneschi
facilmente il procedimento risolutivo. La seconda differenza riguarda la reciproca
posizione delle due informazioni che è necessario correlare per avviare il
processo di risoluzione: "Per i primi tre giorni ha letto sempre il doppio delle
pagine del giorno precedente" e "Il primo giorno ha letto dieci pagine". Nella
versione TTD queste informazioni sono lontane e ciò può aver facilitato
l’includere correttamente nei primi tre giorni il giorno nel quale si sono lette le
prime dieci pagine. Nella versione TTS (come per altro nella TTC) tali
informazioni, messe vicine e invertite di ordine rispetto alla versione TTD, sono
entrate probabilmente tra loro in conflitto temporale: “il primo giorno”, presente
in entrambe le frasi, non è stato incluso nei primi tre giorni di lettura.
Notiamo inoltre, a posteriori, che se invertissimo nella versione TTS l’ordine fra
le due prime informazioni si otterrebbe sempre un testo TTS, ovvero un testo nel
quale le informazioni si susseguono con la stessa sequenza con la quale devono
essere usate nell’algoritmo risolutivo. Sarebbe stato interessante analizzare i
risultati ottenuti da questa nuova versione; un eventuale aumento delle risposte
esatte avrebbe infatti avvalorato la tesi che le due informazioni date nell’ordine
da noi scelto entrano effettivamente in conflitto ed hanno indotto in errore alcuni
solutori.
Problema 4: L’INSERZIONE
Versione TTC
• Il signor Piccioni ha scritto il seguente annuncio:
• “Ventiduenne, milite esente, esperienza triennale, verniciatore macchine
utensili e imbianchino offresi”.
• Le inserzioni su un quotidiano per richieste di lavoro costano L. 300 a
parola nei giorni feriali e L. 320 nei giorni festivi. (La punteggiatura è
gratuita).
• Lo ha fatto pubblicare il venerdì, il sabato e la domenica.
• Quanto ha speso?
Versione TTS
• Il signor Piccioni ha scritto il seguente annuncio:
• “Ventiduenne, milite esente, esperienza triennale, verniciatore macchine
utensili e imbianchino offresi”.
• Lo ha fatto pubblicare il venerdì, il sabato e la domenica.
• Le inserzioni su un quotidiano per richieste di lavoro costano L. 300 a
parola nei giorni feriali e L. 320 nei giorni festivi. (La punteggiatura è
gratuita).
• Quanto ha speso?
Versione TTD
• Il signor Piccioni ha fatto pubblicare il venerdì, il sabato e la domenica un
annuncio.
• Le inserzione su un quotidiano per le richieste di lavoro costano L 300 a
parola nei giorni feriali e L 320 nei giorni festivi (la punteggiatura è
gratuita).
• Il testo dell’annuncio era il seguente:
• “Ventiduenne, militesente, esperienza triennale, verniciatore macchine
utensili e imbianchino offresi.”
• Quanto ha speso?
L'INSERZIONE
% RISPOSTE ESATTE
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
TTC
LIV.0
TTS
TIPO DI TESTO
LIV.1
LIV.2
TTD
LIV.3
Dall’analisi dei risultati ottenuti in questo problema appaiono subito evidenti due
caratteristiche: l’alta percentuale di risposte esatte, soprattutto se confrontate con
quelle rilevate ai problemi LA GITA e IL LIBRO, e una distribuzione abbastanza
omogenea dei livelli degli studenti in tutte e tre le versioni somministrate,
caratteristica comune al problema LA PAGHETTA.
Confrontando le versioni TTC e TTS si nota che la differenza del TT è relativa
solo all’inversione tra i giorni scelti per la pubblicazione e il differente costo
delle singole parole nei giorni feriali e festivi.
La decisione di considerare l’informazione della scelta dei giorni di
pubblicazione come cronologicamente successiva a quella di reperire
informazioni riguardo ai costi delle singole parole è stata presa nell’assunto che
chi decide di pubblicare un annuncio prima calcola quanto può costargli e poi
decide quali giorni utilizzare per la pubblicazione: solo giorni festivi, solo giorni
feriali, più giorni festivi che feriali ecc..
La versione TTS può avere anch’essa una spiegazione cronologica se riteniamo
che chi decide di fare un’inserzione, non avendo problemi di badget data
l’esiguità della somma da impegnare, prima stabilisca in quali giorni farla, in
funzione della probabilità di un maggior numero di lettori in determinati giorni, e
poi calcoli quanto viene a costargli l’annuncio.
Analogamente la versione TTC può essere considerata una versione TTS in
quanto il dato relativo ai giorni di pubblicazione può essere utilizzato per ultimo
nel processo risolutivo dall’alunno. In effetti, dalla analisi dei protocolli emerge
che i procedimenti più frequenti sono identici in sequenza a quelli della versione
TTC. In definitiva, anche se con logiche diverse, entrambe le versioni, TTC e
TTS, rispettano sia il tempo cronologico che quello risolutivo e quindi
l’inversione del TT in questo caso non risulta significativa, come del resto
emerge analizzando i risultati ottenuti da queste due versioni.
La versione TTD, di poco inferiore come risposte esatte rispetto alle altre due, si
avvicina molto alla versione TTC. La differenza è che il testo dell’annuncio è
data come ultima informazione così come è accaduto nelle altre due versioni; le
due informazioni principali del problema, costo delle parole e giorni di
pubblicazione, sono comunque vicine e quindi facilmente correlabili tra di loro.
Sarebbe stato interessante vedere come si sarebbero distribuite le soluzioni in un
testo che avesse tenuto separate questi due dati frapponendo tra di loro il testo
dell’annuncio. Questo avrebbe permesso di verificare se la relazione tra questi
due dati veniva colta con la stessa spontaneità con la quale sembra essere stata
colta nelle tre versioni somministrate che le vede sempre vicine.
In conclusione si può affermare che in questo problema l’inversione del TT è
stata poco influente ai fini della risoluzione sia, forse, per la comparsa di elementi
di progettualità, come appena messo in risalto, sia forse per l’esiguo numero di
correlazioni da effettuare tra i dati del problema per la formulazione di una
procedura risolutiva corretta.
Problema 5: GIORGIO SI FA I REGALI
Versione TTC
• Giorgio riceve L. 37.000 dalla mamma e prende L. 55.000 dei suoi risparmi.
• Con questi soldi esce per comprarsi dei regali e compra 3 libri a L. 12.000
l’uno e un modellino da L. 19.000.
• Compra anche 5 macchinine di cui non ricorda il prezzo.
• Al ritorno a casa gli restano ancora L. 17.750.
• Quanto ha pagato ogni macchinina?
Versione TTS
• Giorgio riceve L. 37.000 dalla mamma e prende L. 55.000 dei suoi risparmi.
• Con questi soldi esce per comprarsi dei regali e compra 3 libri a L. 12.000
l’uno e un modellino da L. 19.000 e delle macchinine.
• Al ritorno a casa gli restano ancora L. 17.750.
• Le macchinine che ha comprato sono 5 ma non ricorda il prezzo.
• Quanto ha pagato ogni macchinina?
Versione TTD
• Giorgio dopo essersi fatto dei regali torna a casa con L. 17.750.
• Ha comprato 3 libri a L. 12.000 l’uno e un modellino da L. 19.000 e 5
macchinine di cui non ricorda il prezzo.
• Per questi regali Giorgio aveva L. 37.000 ricevute dalla mamma e prende L.
55.000 dei suoi risparmi.
• Quanto ha pagato ogni macchinina?
GIORGIO SI FA I REGALI
% RISPOSTE ESATTE
60
50
40
30
20
10
0
TTC
LIV.0
TTS
TIPO DI TESTO
LIV.1
LIV.2
TTD
LIV.3
Prima di analizzare i risultati ottenuti in questo problema è bene precisare che in
questa situazione l’ordine delle operazioni da eseguire per giungere ad una
soluzione non è univoco e quindi la versione TTS da noi costruita corrisponde
solo ad uno di questi possibili ordini di esecuzione delle operazioni. La bassa
percentuale di risposte esatte ottenuta dai risolutori che si sono cimentati con
questa versione fa supporre che l’ordine da noi prescelto è, forse, diverso da
quello che loro avrebbero scelto.
Analizzando i risultati di quest’ultimo problema sembra che il TT abbia inciso
nell’aiutare gli alunni a formulare un progetto risolutivo; la versione TTC
raccoglie una buona percentuale di risposte esatte distribuite maggiormente sui
livelli degli abili risolutori; le altre due versioni sono state correttamente
dominate da un numero inferiore di alunni. Diversamente da quanto successo per
gli altri problemi, l’influenza del TT sembra aver inciso maggiormente sui
risolutori più abili (liv. 2 e 3) che fanno registrare un notevole incremento nella
versione TTC, che non sui deboli risolutori (Liv. 0 e 1). La scarsa e omogenea
presenza dei deboli risolutori in tutte e tre le versioni ci porta a ritenere che per
essi la diversità del TT non abbia influito in maniera determinante.
La situazione presentata dal problema era effettivamente intricata: soldi
posseduti, soldi avuti in regalo, soldi spesi, soldi avanzati, spesa conosciuta per
alcuni oggetti, spesa sconosciuta per altri; il solutore doveva dominare dal punto
di vista logico-concettuale la relazione spesa-resto, la relazione costo unitariocosto totale per mettere insieme tutte le informazioni date dal problema. Sembra
quasi che, soprattutto per i deboli solutori, l’aiuto ricevuto nella versione più
ordinata dal punto di vista temporale (TTC) non sia stata sufficiente a superare
gli ostacoli che erano, invece, presenti a livello concettuale.
4. Conclusioni
Questo primo esame dei risultati permette di trarre alcune conclusioni
sull’influenza che la sequenza temporale con cui vengono fornite le informazioni
(TT) ha in attività di problem solving.
La prima conclusione è che la ricostruzione temporale di una azione ha una
marcata rilevanza nell’economia complessiva delle risorse per la risoluzione di
un problema. Quando il tempo testo coincide con la sequenza temporale con cui
le azioni si svolgono nella realtà (TTC) il problema presenta una minor difficoltà,
pur essendo identico dal punto di vista della strategia risolutiva.
L’alunno non deve impegnarsi in una ricostruzione mentale dell’azione perché
questa viene descritta già “in ordine” nel testo del problema. Quando tale
coincidenza viene eliminata, l’alunno deve impegnarsi anche in un’opera di
ricostruzione mentale dell’azione rimettendo in ordine temporale le informazioni.
La lettura fatta dei risultati consente di assumere in prima istanza che la
ricostruzione mentale dell’azione descritta da un problema viene svolta dagli abili
risolutori in maniera implicita e quasi istintiva: così il primo ostacolo viene
immediatamente superato e l'attenzione viene concentrata su altre difficoltà
presenti nel problema. Per i deboli risolutori questa prima fase non è così istintiva
ed immediata, e un problema nel quale il TT è diverso dal TC presenta una
difficoltà in più che può essere d’impedimento all’avvio dell’attività di
risoluzione.
Sembra quindi importante che l’insegnante abbia consapevolezza che una
modifica del tempo testo, lasciando inalterata la struttura matematica, può
rendere più o meno accessibile il processo di risoluzione.
È opportuno però, per certi versi, relativizzare l’osservazione appena illustrata.
La ricostruzione temporale dell’azione, favorita o ostacolata dal TT, è una
condizione determinante, vorremmo dire ‘necessaria’ ma, non certo sufficiente
per una risoluzione corretta di un problema; infatti, intervengono anche altre
condizioni di tipo logico, interpretativo, matematico, che possono influenzare in
modo determinante il successo nell’attività di soluzione.
Un'analisi più fine meriterebbe, comunque, la situazione degli abili risolutori i cui
risultati sembrano per lo più non influenzati dal tempo del testo. L'esame dei
protocolli dei singoli alunni, che vada ad osservare i dettagli delle loro strategie
risolutive, potrebbe permettere di ricostruire i processi mentali seguiti e verificare
così, effettivamente, se la ricostruzione temporale è eseguita in maniera implicita
ed istintiva, per lasciare subito la mente libera di impegnarsi sulle relazioni
logico-matematiche tra le varie informazioni possedute, o se viene addirittura
saltata perché implicitamente ritenuta non influente ai fini dell’applicazione di
schemi risolutivi ormai interiorizzati.
Una seconda conclusione è relativa al fatto che il cambiamento del TT da noi
effettuato per la costruzione delle tre versioni, apporta delle modifiche non solo
nella struttura globale del tempo ma, cambia anche la posizione reciproca dei
dati. Come è stato osservato nell’analisi dei risultati alcune volte la vicinanza di
due dati (come nel caso della GITA) può favorire il loro collegamento logico,
altre volte (come nel caso del LIBRO) può invece indurre in errore mettendo in
conflitto due informazioni. L’influenza della struttura temporale si intreccia
strettamente con quella relativa alla posizione reciproca dei dati.
Prima di indicare alcuni possibili sviluppi della ricerca vale la pena di riprendere
ed evidenziare due osservazioni. La dimensione temporale non ha la stessa
influenza in tutti i problemi da noi proposti. Per alcuni problemi la dimensione
temporale è più debole, come nel caso de LA PAGHETTA, per altri invece, come
nel caso de IL LIBRO, la dimensione temporale è struttura portante del problema
e deve essere pienamente dominata, proprio dal punto di vista del tempo, per una
corretta interpretazione del problema. Cogliamo l’occasione per sottolineare che
nel lavoro sono state prese in esame solo alcune delle possibili dimensioni
temporali. Non abbiamo, ad esempio, considerato aspetti relativi ai tempi della
mente ovvero al fluire delle attività che ci fanno collegare un’informazione
all’altra, una situazione problematica a situazioni simili già affrontate nel passato
che possono far emergere possibili strategie di soluzione.
La seconda osservazione da annotare è relativa alla pluralità delle possibili
versioni. Innanzi tutto, le stesse versioni TTC, TTS non sono sempre univoche
ma possono avere più formulazioni a seconda della logica che le sottende. Inoltre
i risultati ottenuti nella ricerca e la considerazione che le versioni TTD possono
essere più di una ci inducono a credere che differenti TTD avrebbero raccolto
diversi risultati.
Sulla base delle conclusioni e delle osservazioni fin qui fatte intendiamo, nella
nuova fase di esame dei dati, procedere ad una lettura dei protocolli per cercare di
dare risposte ad alcune domande emerse.
La prima questione in sospeso è relativa all’influenza che, la vicinanza o
lontananza di coppie di dati ha sulla costruzione di una positiva strategia
risolutiva.
La seconda riguarda la genesi dei processi mentali degli abili risolutori rispetto
alla ricostruzione temporale dell’azione: andare ad indagare se questa viene
svolta implicitamente o viene addirittura saltata.
Un ulteriore approfondimento riguarda la possibilità di correlare alcune tipologie
di errori più frequenti con le diverse formulazioni temporali.
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