Nuovi sviluppi dell`Analisi Matematica: lo studio di equazioni alle

Nuovi sviluppi dell’Analisi Matematica:
lo studio di equazioni alle derivate parziali nel
dominio tempo-frequenza
Fabio Nicola
Politecnico di Torino
Il Tempo della Scienza – Incontri del Giovedı̀ 2012
Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica
Torino, 3 Maggio 2012
Sommario
Analisi Tempo-frequenza
Sommario
Analisi Tempo-frequenza
Pacchetti d’onda ed equazione di Schrödinger
Sommario
Analisi Tempo-frequenza
Pacchetti d’onda ed equazione di Schrödinger
Decomposizione in pacchetti d’onda e ricostruzione
Sommario
Analisi Tempo-frequenza
Pacchetti d’onda ed equazione di Schrödinger
Decomposizione in pacchetti d’onda e ricostruzione
Compressione del propagatore di Schrödinger e delle onde
Oscillazioni e frequenze
Le oscillazioni di un segnale f (t) sono rilevate dalla sua trasformata di
Fourier:
Z +∞
b
f (ω) =
e −2πitω f (t) dt, ω ∈ R.
−∞
Le frequenze dominanti sono quelle ω per cui il modulo |fˆ(ω)| è grande:
Oscillazioni e frequenze
Le oscillazioni di un segnale f (t) sono rilevate dalla sua trasformata di
Fourier:
Z +∞
b
f (ω) =
e −2πitω f (t) dt, ω ∈ R.
−∞
Le frequenze dominanti sono quelle ω per cui il modulo |fˆ(ω)| è grande:
Sebbene la trasformata catturi tutte le informazioni contenute nel
segnale, il modulo |b
f (ω)| da solo non ci dice quando e per quanto tempo
tali frequenze sono presenti.
Sebbene la trasformata catturi tutte le informazioni contenute nel
segnale, il modulo |b
f (ω)| da solo non ci dice quando e per quanto tempo
tali frequenze sono presenti.
Short-time Fourier Transform
Possibile rimedio: si localizza il segnale vicino ad un istante t = x
moltiplicandolo per una finestra centrata in x:
Short-time Fourier Transform
Possibile rimedio: si localizza il segnale vicino ad un istante t = x
moltiplicandolo per una finestra centrata in x:
Allora se ne prende la trasformata di Fourier, ottenendo cosı̀ la
Short-time Fourier Transform (STFT) di f :
Z
+∞
Vg f (x, ω) =
−∞
e −2πitω f (t)g (t − x) dt,
x, ω ∈ R.
Le frequenze principalmente presenti in un intorno dell’istante x sono
quelle ω per cui |Vg f (x, ω)| è grande.
La funzione |Vg f (x, ω)|2 si dice spettrogramma di f .
Quando la finestra g è normalizzata in L2 , |Vg f (x, ω)|2 si interpreta
come densità di energia di f nel piano tempo-frequenza; vale infatti la
formula di Parseval
ZZ
Z
Z
|Vg f (x, ω)|2 dx dω =
|f (t)|2 dt
kg k2L2 :=
|g (t)|2 dt = 1 .
R2
R
R
Le frequenze principalmente presenti in un intorno dell’istante x sono
quelle ω per cui |Vg f (x, ω)| è grande.
La funzione |Vg f (x, ω)|2 si dice spettrogramma di f .
Quando la finestra g è normalizzata in L2 , |Vg f (x, ω)|2 si interpreta
come densità di energia di f nel piano tempo-frequenza; vale infatti la
formula di Parseval
ZZ
Z
Z
|Vg f (x, ω)|2 dx dω =
|f (t)|2 dt
kg k2L2 :=
|g (t)|2 dt = 1 .
R2
R
R
Esempio di un segnale vocale, nel dominio dei tempi e delle frequenze:
Esempio di un segnale vocale, nel dominio dei tempi e delle frequenze:
Corrispondente spettrogramma: una finestra più lunga (figura a destra)
migliora la risoluzione in frequenza ma peggiora quella nei tempi.
Principio di indeterminazione di Heisenberg (1927)
Per un segnale f normalizzato in L2 , l’indeterminazione nei tempi ∆t e
quella nelle frequenze ∆ω soddisfano la disuguaglianza
∆t · ∆ω ≥
1
.
16π 2
Principio di indeterminazione di Heisenberg (1927)
Per un segnale f normalizzato in L2 , l’indeterminazione nei tempi ∆t e
quella nelle frequenze ∆ω soddisfano la disuguaglianza
∆t · ∆ω ≥
1
.
16π 2
Non si può quindi definire un concetto di frequenza istantanea per segnali
arbitrari.
I segnali con indeterminazione minima sono le funzioni Gaussiane
2
φ(t) = e −At , A > 0, insieme alle loro traslate e modulate:
2
φx0 ,ω0 (t) = e 2πiω0 t e −A(t−x0 ) ,
A > 0, x0 , ω0 ∈ R.
Definendo gli operatori di traslazione e modulazione come
Tx0 f (t) = f (t − x0 ),
Mω0 f (t) = e 2πiω0 t f (t).
possiamo scrivere
φx0 ,ω0 = Mω0 Tx0 φ.
I segnali con indeterminazione minima sono le funzioni Gaussiane
2
φ(t) = e −At , A > 0, insieme alle loro traslate e modulate:
2
φx0 ,ω0 (t) = e 2πiω0 t e −A(t−x0 ) ,
A > 0, x0 , ω0 ∈ R.
Definendo gli operatori di traslazione e modulazione come
Tx0 f (t) = f (t − x0 ),
Mω0 f (t) = e 2πiω0 t f (t).
possiamo scrivere
φx0 ,ω0 = Mω0 Tx0 φ.
Pacchetti d’onda ed equazioni di evoluzione
Pacchetto d’onda: una funzione φ(t) ben localizzata in tempo e
frequenza, i.e. i suoi valori sono molto piccoli al di fuori di un certo
intervallo, mentre in tale intervallo è approssimativamente periodica con
frequenza determinata. Ad esempio, traslate e modulate della Gaussiana.
Nelle applicazioni alle equazioni alle derivate parziali si sostituisce il piano
tempo-frequenza col piano posizione-momento, i.e. lo spazio delle fasi.
Pacchetti d’onda ed equazioni di evoluzione
Pacchetto d’onda: una funzione φ(t) ben localizzata in tempo e
frequenza, i.e. i suoi valori sono molto piccoli al di fuori di un certo
intervallo, mentre in tale intervallo è approssimativamente periodica con
frequenza determinata. Ad esempio, traslate e modulate della Gaussiana.
Nelle applicazioni alle equazioni alle derivate parziali si sostituisce il piano
tempo-frequenza col piano posizione-momento, i.e. lo spazio delle fasi.
Strategia per studiare equazioni alle derivate parziali lineari di evoluzione:
I
Decomporre il dato iniziale in pacchetti d’onda
I
Studiare l’evoluzione di ciascun pacchetto
I
Ricostruire la soluzione per sovrapposizione
Pacchetti d’onda ed equazioni di evoluzione
Pacchetto d’onda: una funzione φ(t) ben localizzata in tempo e
frequenza, i.e. i suoi valori sono molto piccoli al di fuori di un certo
intervallo, mentre in tale intervallo è approssimativamente periodica con
frequenza determinata. Ad esempio, traslate e modulate della Gaussiana.
Nelle applicazioni alle equazioni alle derivate parziali si sostituisce il piano
tempo-frequenza col piano posizione-momento, i.e. lo spazio delle fasi.
Strategia per studiare equazioni alle derivate parziali lineari di evoluzione:
I
Decomporre il dato iniziale in pacchetti d’onda
I
Studiare l’evoluzione di ciascun pacchetto
I
Ricostruire la soluzione per sovrapposizione
Nel caso dell’equazione di Schrödinger l’evoluzione dei pacchetti d’onda
e’ stata studiata da Schrödinger (1927), Dirac (1930), e altri: i pacchetti
d’onda in prima approssimazione seguono la traiettoria classica nel piano
delle fasi, in accordo con il principio di corrispondenza di Bohr (1920), e
si disperdono.
Esempio: particella libera
Equazione di Schrödinger per la particella libera di massa m in
dimensione 1 (costante di Planck normalizzata ad 1)
(
1
∂x2 ψ
i∂t ψ = 4πm
t, x ∈ R
ψ(0, x) = ψ0 (x)
2
Stato iniziale: ψ0 (x) = Mp0 Tx0 e −πx . L’evoluzione per pacchetto nel
piano delle fasi (coordinate x, p) segue la retta x(t) = x0 + (p0 /m)t,
p(t) = p0
Esempio: particella libera
Equazione di Schrödinger per la particella libera di massa m in
dimensione 1 (costante di Planck normalizzata ad 1)
(
1
∂x2 ψ
i∂t ψ = 4πm
t, x ∈ R
ψ(0, x) = ψ0 (x)
2
Stato iniziale: ψ0 (x) = Mp0 Tx0 e −πx . L’evoluzione per pacchetto nel
piano delle fasi (coordinate x, p) segue la retta x(t) = x0 + (p0 /m)t,
p(t) = p0 (nella simulazione p0 = 1, x0 = 10, m = 1/(4π)):
Decomposizione rispetto ad una base
Basi finite In uno spazio vettoriale di dimensione finita ogni vettore x si
può decomporre rispetto ad una base {e1 , . . . , en }, come
x = x 1 e1 + x 2 e2 + . . . + x n en .
Se la base è ortonormale rispetto ad un prodotto scalare h·|·i, allora
xk = hek |xi.
Decomposizione rispetto ad una base
Basi finite In uno spazio vettoriale di dimensione finita ogni vettore x si
può decomporre rispetto ad una base {e1 , . . . , en }, come
x = x 1 e1 + x 2 e2 + . . . + x n en .
Se la base è ortonormale rispetto ad un prodotto scalare h·|·i, allora
xk = hek |xi.
Basi di Fourier Il concetto di “base” si generalizza a spazi di dimensione
infinita. Ad esempio, ogni segnale f periodico, di periodo 1 e a energia
finita su [0, 1], si scrive come
X
f =
ck ek ;
ek (t) := e 2πikt ,
k∈Z
con
Z
ck =
0
1
e −2πikt f (t) dt.
Basi di ondine In L2 (R), sono molto usate basi di ondine (wavelets):
ψk,j (t) = 2j/2 ψ(2j t − k),
k, j ∈ Z
(scala 2−j , risoluzione 2j ), con ψ opportuna; Haar (1910), Daubechies,
Stromberg, Meyer, Mallat, ....
Svariate applicazioni nell’elaborazioni di segnali e immagini (ad es.
compressione JPEG).
Decomposizione atomica di Gabor
Data una finestra g , e α, β > 0, consideriamo gli atomi di Gabor (1946)
gk,n := Mβn Tαk g ,
Vorremmo decomporre ogni segnale f
come
X
f (t) =
ck,n gk,n (t)
k, n ∈ Z.
ω
2β
k,n∈Z
β
per opportuni coefficienti ck,n .
α
2α
t
Decomposizione atomica di Gabor
Data una finestra g , e α, β > 0, consideriamo gli atomi di Gabor (1946)
gk,n := Mβn Tαk g ,
Vorremmo decomporre ogni segnale f
come
X
f (t) =
ck,n gk,n (t)
k, n ∈ Z.
ω
2β
k,n∈Z
β
per opportuni coefficienti ck,n .
Possiamo pensare di operare in due
tempi:
Cg
f −−−−→ {ck,n }
analisi
Dg
{ck,n } −−−−→
sintesi
n X
k,n∈Z
o
ck,n gk,n .
α
2α
t
L’analogia con le serie di Fourier suggerisce di prendere
Z +∞
ck,n = hgk,n |f i =
f (t)gk,n (t) dt
−∞
Z
+∞
=
f (t)e −2πiβnt g (t − αk) dt
−∞
= Vg f (αk, βn).
L’analogia con le serie di Fourier suggerisce di prendere
Z +∞
ck,n = hgk,n |f i =
f (t)gk,n (t) dt
−∞
Z
+∞
f (t)e −2πiβnt g (t − αk) dt
=
−∞
= Vg f (αk, βn).
Si vuole inoltre
I
unicità e stabilità della ricostruzione (sintesi):
X
Akf k2 ≤
|hgk,n |f i|2 ,
(1)
k,n∈Z
I
stabilità dell’analisi:
X
k,n∈Z
|hgk,n |f i|2 ≤ Bkf k2 .
(2)
L’analogia con le serie di Fourier suggerisce di prendere
Z +∞
ck,n = hgk,n |f i =
f (t)gk,n (t) dt
−∞
Z
+∞
f (t)e −2πiβnt g (t − αk) dt
=
−∞
= Vg f (αk, βn).
Si vuole inoltre
I
unicità e stabilità della ricostruzione (sintesi):
X
Akf k2 ≤
|hgk,n |f i|2 ,
(1)
k,n∈Z
I
stabilità dell’analisi:
X
|hgk,n |f i|2 ≤ Bkf k2 .
(2)
k,n∈Z
Il sistema di funzioni {gk,n } si dice Gabor frame se soddisfa a (1) e (2)
per qualche costante A, B > 0 (Duffin-Schaeffer, Janssen, Feichtinger,
Gröchenig, ...)
Tuttavia, anche se {gk,n } è un frame, gli atomi gk,n non sono in generale
ortogonali, quindi non vale la formula di ricostruzione ingenua
X
f = Dg Cg f =
hgk,n |f igk,n .
k,n∈Z
Tuttavia, anche se {gk,n } è un frame, gli atomi gk,n non sono in generale
ortogonali, quindi non vale la formula di ricostruzione ingenua
X
f = Dg Cg f =
hgk,n |f igk,n .
k,n∈Z
Tuttavia:
Esiste almeno una finestra γ (finestra duale di g ) tale che, per ogni
segnale f ,
X
f = Dγ Cg f =
hgk,n |f iγk,n .
k,n∈Z
Si può prendere, ad esempio, l’unica soluzione γ dell’equazione
Dg Cg γ = g .
Il problema della decomposizione atomica si riduce quindi a verificare
quando il sistema di vettori {gk,n } è un frame: per questo è
I
sufficiente che i passi α e β siano abbastanza piccoli e la finestra g
abbia un poco di regolarità e un poco di decadimento all’infinito;
I
necessario che αβ ≤ 1 (se αβ > 1 gli atomi gk,n sono troppo
rarefatti nel piano tempo-frequenza per poter rilevare ogni segnale).
Il problema della decomposizione atomica si riduce quindi a verificare
quando il sistema di vettori {gk,n } è un frame: per questo è
I
sufficiente che i passi α e β siano abbastanza piccoli e la finestra g
abbia un poco di regolarità e un poco di decadimento all’infinito;
I
necessario che αβ ≤ 1 (se αβ > 1 gli atomi gk,n sono troppo
rarefatti nel piano tempo-frequenza per poter rilevare ogni segnale).
Una applicazione tipica è la compressione di segnali (approssimazione non
lineare):
Cg
Dγ
analisi
sintesi
f −−−−→ {hgk,n |f i} −→ {N coefficienti più grandi} −−−−→ f compresso
Rappresentazione alias compressione di operatori
In algebra lineare ogni operatore lineare si rappresenta con una matrice,
una volta fissata una base {e1 , . . . , en }. Le rappresentazioni più utili sono
quelle (se esistono) in cui tale matrice è diagonale. In quel caso i vettori
e1 , . . . , en sono autovettori di A: A ek = λk ek , λk ∈ C.
Rappresentazione alias compressione di operatori
In algebra lineare ogni operatore lineare si rappresenta con una matrice,
una volta fissata una base {e1 , . . . , en }. Le rappresentazioni più utili sono
quelle (se esistono) in cui tale matrice è diagonale. In quel caso i vettori
e1 , . . . , en sono autovettori di A: A ek = λk ek , λk ∈ C.
Prototipo del caso di dimensione infinita: Fourier (1822) considera
l’equazione del calore ∂t u − ∂x2 u = 0 per un anello metallico di lunghezza
unitaria. Osserva che
d2
ek (x) = −4π 2 k 2 ek (x),
dx 2
(ek (x) = e 2πikx , k ∈ Z),
Rappresentazione alias compressione di operatori
In algebra lineare ogni operatore lineare si rappresenta con una matrice,
una volta fissata una base {e1 , . . . , en }. Le rappresentazioni più utili sono
quelle (se esistono) in cui tale matrice è diagonale. In quel caso i vettori
e1 , . . . , en sono autovettori di A: A ek = λk ek , λk ∈ C.
Prototipo del caso di dimensione infinita: Fourier (1822) considera
l’equazione del calore ∂t u − ∂x2 u = 0 per un anello metallico di lunghezza
unitaria. Osserva che
d2
ek (x) = −4π 2 k 2 ek (x),
dx 2
(ek (x) = e 2πikx , k ∈ Z),
e trova la soluzione
u(t, x) =
X
e −4π
2 2
k t
ck e 2πikx ,
k∈Z
dove ck sono i coefficienti di Fourier della distribuzione del calore al
tempo t = 0.
Nella rappresentazione di Fourier possiamo quindi leggere l’evoluzione
direttamente sui coefficienti:
ck 7−→ e −4π
2 2
k t
ck .
Nella rappresentazione di Fourier possiamo quindi leggere l’evoluzione
direttamente sui coefficienti:
ck 7−→ e −4π
2 2
k t
ck .
In generale è difficile se non impossibile trovare le autofunzioni di un
operatore esplicitamente. L’idea è che opportuni pacchetti d’onda,
adattati all’operatore in questione, possano essere delle autofunzioni
approssimate.
La rappresentazione dell’operatore rispetto a tali pacchetti risulta una
matrice quasi-diagonale: gli elementi di matrice numericamente non
trascurabili sono vicini alla diagonale principale.
Quasi-diagonalizzazione di operatori ellittici
Si consideri, come esempio, l’equazione
Hu := −
∂2u
+ x 2k u = f ,
∂x 2
k≥1
Dato f ∈ L2 , la soluzione è data da u = H −1 f , dove H −1 si rappresenta
coma una matrice rispetto a un Gabor frame:
Cg
f
hgk,n |f i
Matrice hgk 0 ,n0 |H −1 |γk,n i
H −1
H −1 f
Dγ
P
0 0
k,n hgk ,n |H
−1
|γk,n ihgk,n |f i
Quasi-diagonalizzazione di operatori ellittici
Si consideri, come esempio, l’equazione
Hu := −
∂2u
+ x 2k u = f ,
∂x 2
k≥1
Dato f ∈ L2 , la soluzione è data da u = H −1 f , dove H −1 si rappresenta
coma una matrice rispetto a un Gabor frame:
Cg
f
hgk,n |f i
Matrice hgk 0 ,n0 |H −1 |γk,n i
H −1
H −1 f
Dγ
P
0 0
k,n hgk ,n |H
−1
|γk,n ihgk,n |f i
Tale rappresentazione è quasi-diagonale: per ogni N ∈ N,
|hgk 0 ,n0 |H −1 |γk,n i| . (1 + |(k 0 , n0 ) − (k, n)|)−N
In termini geometrici l’operatore H −1 sostanzialmente non sposta i
pacchetti d’onda nel piano delle fasi, ma si limita ad alterarne l’ampiezza.
Questo vale in dimensione qualsiasi per equazioni ellittiche.
Rappresentazione di propagatori di Schrödinger rispetto ad
un Gabor frame
In generale, per equazioni di evoluzione si cercano rappresentazioni le cui
matrici sono
I
sparse: in ogni colonna ad in ogni riga c’è solo un numero finito di
elementi numericamente non trascurabili;
I
ben organizzate: gli elementi di matrice numericamente non
trascurabili si trovano in posizioni ben determinate.
Questo permette la selezione, a priori, degli elementi di matrice da
considerare e l’implementazione di algoritmi di calcolo veloci.
Consideriamo l’equazione di Scrödinger lineare in dimensione 1
i∂t ψ = H(x,
1
∂x )ψ,
2πi
con dato iniziale ψ(0, x) = ψ0 (x). Sia gk,n un Gabor frame, γ una
finestra duale, e indichiamo con |ψ0 i, |gk,n i gli stati aventi come funzioni
d’onda ψ0 e gk,n rispettivamente.
Possiamo rappresentare il propagatore U(t) = e −itH come una matrice
rispetto al Gabor frame gk,n :
|ψ0 i
Cg
hgk,n |ψ0 i
Matrice hgk 0 ,n0 |U(t)|γk,n i
U(t)
U(t)|ψ0 i
Dγ
P
0 0
k,n hgk ,n |U(t)|γk,n ihgk,n |ψ0 i
Sparsità della rappresentazione di Gabor per l’equazione di
Schrödinger
Se la finestra g è, ad esempio, una Gaussiana, e l’Hamiltaniana H(x, p)
cresce al più quadraticamente, allora gli elementi di matrice
numericamente non trascurabili sono quelli che si trovano vicino al
grafico del flusso Hamiltoniano classico χt : R2 → R2 .
In formule,
|hgk 0 ,n0 |U(t)|γk,n i| . (1 + |(αk 0 , βn0 ) − χt (αk, βn)|)−N
per ogni N ∈ N;
(Cordero, N., Rodino, 2009)
p
2β
β
α
2α
x
Sparsità della rappresentazione di Gabor per l’equazione di
Schrödinger
Se la finestra g è, ad esempio, una Gaussiana, e l’Hamiltaniana H(x, p)
cresce al più quadraticamente, allora gli elementi di matrice
numericamente non trascurabili sono quelli che si trovano vicino al
grafico del flusso Hamiltoniano classico χt : R2 → R2 .
In formule,
|hgk 0 ,n0 |U(t)|γk,n i| . (1 + |(αk 0 , βn0 ) − χt (αk, βn)|)−N
per ogni N ∈ N;
(Cordero, N., Rodino, 2009)
In termini geometrici: l’immagine
mediante il flusso Hamiltoniano
χt di un rettangolo contenente
il punto (αk, βn) si sovrappone solo
ad un numero (uniformemente)
finito di rettangoli, e questi sono
nelle vicinanze del punto χt (αk, βn).
p
2β
β
α
2α
x
Rappresentazioni sparse per equazioni iperboliche
Per l’equazione delle onde
∂t2 u − ∂x2 u = 0,
2
con dati iniziali u(0, x) = 0, ∂t u(0, x) = e 2πip0 x e −π(x−x0 ) , x0 = 2,
p0 = 0, abbiamo la seguente evoluzione nello spazio delle fasi:
Nel limite dell’ottica geometrica (lunghezza d’onda piccola), i raggi
percorrono nel piano delle fasi le rette
(
x(t) = x0 ± t |pp00 |
p(t) = p0 .
Questo flusso “rispetta” la partizione dello spazio delle fasi corrispondente
ad un Gabor frame: i raggi che partono da un “rettangolo di Gabor”
raggiungono al tempo t solo un certo numero fissato di rettangoli, nelle
vicinanze: la corrispondente matrice di Gabor è quasi-diagonale.
Nel limite dell’ottica geometrica (lunghezza d’onda piccola), i raggi
percorrono nel piano delle fasi le rette
(
x(t) = x0 ± t |pp00 |
p(t) = p0 .
Questo flusso “rispetta” la partizione dello spazio delle fasi corrispondente
ad un Gabor frame: i raggi che partono da un “rettangolo di Gabor”
raggiungono al tempo t solo un certo numero fissato di rettangoli, nelle
vicinanze: la corrispondente matrice di Gabor è quasi-diagonale.
Lo stesso accade in dimensione maggiore,
e dovrebbe generalizzarsi ad ogni equazione
iperbolica a coefficienti costanti.
x2
x(t)
x0
x1
Equazione delle onde a coefficienti variabili
Consideriamo l’equazione delle onde in un mezzo non omogeneo:
∂t2 u − c(x)2 ∂x2 u = 0.
Il corrispondente propagatore non ha una rappresentazione sparsa
rispetto ai Gabor frames.
Equazione delle onde a coefficienti variabili
Consideriamo l’equazione delle onde in un mezzo non omogeneo:
∂t2 u − c(x)2 ∂x2 u = 0.
Il corrispondente propagatore non ha una rappresentazione sparsa
rispetto ai Gabor frames.
Geometricamente la cosa si spiega come segue: nel limite dell’ottica
geometrica i raggi che partono dal rettangolo di Gabor contenente un
punto (αk, βn) al tempo t sono sparpagliati su N rettangoli con
N ∼ n → +∞ per n → +∞.
Una partizione dello spazio delle fasi adatta è invece quella mostrata nella
figura a lato. I corrispondenti pacchetti d’onda sono i cosiddetti atomi
d’onda (Cordoba-Fefferman 1978, Demanet 2006),
p
2
φx0 ,p0 (x) = c e 2πixp0 e −π|p0 |(x−x0 ) .
Essi sono essenzialmente supportati,
nello spazio delle fasi, in un rettangolo di
dimensioni |p0 |−1/2 × |p0 |1/2 e centro in (x0 , p0 ).
Nella partizione discreta, x0 = n2−j/2 , j ∈ N,
n ∈ Z, |p0 | ∼ 2j .
x
Una partizione dello spazio delle fasi adatta è invece quella mostrata nella
figura a lato. I corrispondenti pacchetti d’onda sono i cosiddetti atomi
d’onda (Cordoba-Fefferman 1978, Demanet 2006),
p
2
φx0 ,p0 (x) = c e 2πixp0 e −π|p0 |(x−x0 ) .
Essi sono essenzialmente supportati,
nello spazio delle fasi, in un rettangolo di
dimensioni |p0 |−1/2 × |p0 |1/2 e centro in (x0 , p0 ).
Nella partizione discreta, x0 = n2−j/2 , j ∈ N,
n ∈ Z, |p0 | ∼ 2j .
Vale qui la relazione
estensione spaziale = (lunghezza d’onda)1/2 .
A confronto, per gli atomi di Gabor,
estensione spaziale = (lunghezza d’onda)0 = costante.
x
Varie generalizzazioni in dimensione maggiore. Si ottengono, in
particolare, altri pacchetti d’onda, detti curvelets o shearlets, rispetto alla
quali le equazioni iperboliche hanno pure una rappresentazione sparsa
(Candes-Demanet 2005, Guo-Labate 2008).
Bibliografia essenziale
E. Candes and L. Demanet, The Curvelet Representation of Wave
Propagators is Optimally Sparse, Comm. Pure Appl. Math., 58 (2005)
1472-1528.
E. Cordero, F. Nicola and L. Rodino, Sparsity of Gabor representation of
Schrdinger propagators, Appl. Comput. Harmon. Anal., 26 (2009),
357-370.
A. Cordoba, C. Fefferman, Wave packets and Fourier integral operators,
Comm. PDE, 3(11), 979-1005, (1978).
L. Demanet, Curvelets, Wave Atoms and Wave Equations, Ph.D. Thesis,
California Institute of Technology, May 2006.
K. Guo and D. Labate, Representation of Fourier Integral Operators using
Shearlets, J. Fourier Anal. Appl., 14, (2008), 327-371.
K. Gröchenig , Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhäuser,
Boston, 2001.
S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999.