CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO Lo studio della geometria degli

CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO
Lo studio della geometria degli spostamenti dei punti di un sistema materiale ipotizzato come rigido
rientra in quella parte della Meccanica Classica che è la Cinematica.
La cinematica studia i possibili movimenti di un corpo indipendentemente dalle cause che li
possono generare. In particolare la cinematica delle strutture si occupa sostanzialmente di
spostamenti, cioè di identificare le posizioni che un dato sistema materiale assume nello spazio
senza precisare la successione temporale con cui si susseguono.
Occorre innanzitutto definire la geometria del sistema materiale, detta anche configurazione del
sistema. La configurazione di un sistema materiale consiste nell’insieme di coordinate di tutti i suoi
punti materiali, in un dato sistema di riferimento.
Considerando un generico corpo in una generica configurazione di riferimento C0, si tratta di
definire l’insieme di tutti i possibili spostamenti dei punti del sistema da una configurazione C0 ad
una qualsiasi altra C.
C
C0
P
s(P)
P’
Spostamento del sistema o campo degli spostamenti s(P) è l’insieme di tutti i possibili spostamenti
(P’-P) dei punti P. Il vettore spostamento così definito è funzione soltanto delle coordinate di P e P’
in un dato sistema di riferimento.
Spostamento di un corpo rigido è un campo di spostamenti in cui tutte le mutue distanze restano
invariate. Un sistema di punti materiali, o un sistema materiale, si definisce infatti rigido quando si
possono considerare invariabili le mutue distanze tra due qualunque dei suoi punti, per qualunque
spostamento d’assieme subisca.
Un corpo rigido può avere solo spostamenti rigidi.
Se in uno spostamento piano si conoscono gli spostamenti di due punti, il campo di spostamenti è
definito.
Solitamente i punti di un sistema materiale, anziché mobili liberamente, possono essere, come
vedremo, obbligati ad assumere solo le posizioni compatibili con certe condizioni, dette di vincolo.
Qualunque dispositivo atto a limitare la mobilità di un corpo nel piano o nello spazio assume il
generico nome di vincolo. Un vincolo rappresenta una connessione del sistema con l’ambiente
esterno (vincolo esterno) o di parti del sistema tra di loro (vincolo interno), che analiticamente si
esprime con qualche equazione nelle coordinate del sistema che fa diminuire il numero di
coordinate libere (gradi di libertà del sistema).
Si definisce spostamento traslatorio uno spostamento in cui tutti i punti subiscono lo stesso
spostamento. Conseguenza di tale definizione è che lo spostamento traslatorio è rigido piano (tutte
le direzioni sono direzioni principali, cioè rimangono invariate).
1
Un corpo rigido ha un moto di traslazione se si sposta in modo tale che le traiettorie di tutti i punti
del corpo sono linee parallele e i vettori che definiscono gli spostamenti sono paralleli e di uguale
modulo. Il campo vettoriale formato dagli spostamenti di tutti i punti risulta così uniforme.
La successione dei punti occupati dal punto costituisce una linea che si chiama traiettoria, la quale,
a seconda della sua forma, può essere rettilinea, curvilinea, o mista.
Si dice spostamento rotatorio uno spostamento rigido in cui a tutti i punti di una retta compete
spostamento nullo. Tale retta dicesi asse di rotazione. L’asse di rotazione e il corrispondente angolo
di rotazione determinano lo spostamento rotatorio.
P’
O
P
O≡C = centro di rotazione.
Ogni spostamento rigido piano non traslatorio è rotatorio. Se in uno spostamento rigido un punto è
fisso, allora tutti i punti di un asse restano fissi, e quindi lo spostamento è rotatorio.
Per descrivere lo spostamento rigido nello spazio occorrono 6 parametri indipendenti (tre
componenti della traslazione e tre componenti della rotazione), mentre nel piano ne occorrono 3
(due componenti della traslazione e una componente della rotazione).
La rotazione non è con tutti i diritti un vettore, in quanto non segue le regole dell’algebra vettoriale.
Due successive rotazioni non si compongono secondo le regole del parallelogramma. Diversamente
si verifica se gli spostamenti sono infinitesimi.
Siano OXYZ e O’xyz due terne di assi cartesiani ortogonali, la prima solidale con lo spazio di
riferimento e la seconda solidale con il sistema. Per la definizione di rigidità non variano le
coordinate dei punti materiali del sistema rispetto alla terna O’xyz. Pertanto la posizione del sistema
è fissata quando sia fissata quella della terna O’xyz rispetto alla terna OXYZ. E’ noto che per
stabilire la posizione della terna di assi O’xyz rispetto alla terna OXYZ è necessario e sufficiente
fissare i valori di 6 parametri tra loro indipendenti quali ad esempio le tre coordinate di O’ rispetto
ad OXYZ e i tre angoli di Eulero che determinano la posizione di rispetto a O’ x y z .
Per definire le posizioni di un sistema rigido nello spazio occorre quindi individuare 6 parametri
indipendenti q1 ,…., q6 che descrivono le posizioni occupate dal corpo rigido rispetto alla terna di
riferimento OXYZ. Tali parametri sono denominati coordinate generalizzate o coordinate
lagrangiane. Nello spazio le coordinate generalizzate della posizione del corpo sono: 3 coordinate
dell’origine O di un sistema di assi locali di riferimento rispetto ad una terna fissa; 3 parametri
angolari che definiscono le rotazioni degli assi locali rispetto alla terna fissa.
Ogni possibile variazione di questi parametri dicesi grado di libertà del sistema. Quindi il concetto
di grado di libertà è associato alla possibilità di un determinato spostamento del corpo. Il numero di
gradi di libertà di un sistema rigido è uguale al numero di parametri tra loro indipendenti che
definiscono la posizione del sistema. Essendo 6 le coordinate generalizzate del corpo rigido nello
spazio, ne segue che lo stesso possiede 6 gradi di libertà. Nel piano un corpo rigido ha 3 gradi di
libertà. La posizione di un corpo rigido nel piano è definita da tre soli parametri indipendenti
(coordinate generalizzate) q1, q2, q3. Infatti tre sono i parametri necessari per fissare la posizione
degli assi locali xy rispetto ad un sistema di riferimento fisso XY.
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Y
x
y
θ
YO1
A
B
O1
X
XO1
Per l’ipotesi fatta sulla rigidità del corpo non cambiano le distanze relative O1A, O1B, AB.
Le coordinate necessarie a definire la posizione del corpo rigido sono: 2 coordinate (XO1, YO1)
dell’origine O1 degli assi locali rispetto agli assi fissi; 1 parametro angolare che definisce
l’orientamento degli assi locali rispetto agli assi fissi (ad esempio l’angolo θ che forma l’asse x con
l’asse X). Le coordinate generalizzate che definiscono la posizione del corpo sono quindi:
q1 = XO1
q3 = θ
q2 = YO1
quindi un corpo rigido nel piano ha tre gradi di libertà.
Uno spostamento rigido si considera piano se gli spostamenti di tutti i punti del sistema risultano
paralleli ad uno stesso piano α. Essendo rigido il sistema, gli spostamenti di tutti i punti di una retta
b perpendicolare ad α, risultano uguali e quindi possono essere descritti nel piano α considerando
gli assi di riferimento xy.
b
z
α1
s1
α1 || α || α2
y
s1 = s = s2
α
α
x
s
α2
s2
b⊥α
Spostamento rigido piano
Y
Spostamento s del corpo
y
A1
Posizione 1
B1
y
A2
x
Posizione 2
O1
sO
O2
θ
B2
Il vettore relativo alla Posizione 1 è: M1 = { q11 q12 q13 }
Il vettore relativo alla Posizione 2 è: M2 =
{ q12
q 22
q 32 }
x
X
(tre componenti)
(tre componenti)
3
La variazione delle coordinate generalizzate dai valori q11 ; q12 ; q13 ai valori q12 ; q 22 ; q 32 definiscono
uno spostamento generalizzato s del corpo rigido piano: {s} = { M2 − M1}, ovvero:
⎧ ∆q1 ⎫
⎧s Ox ⎫
⎪⎪ ⎧⎪s O ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪
{s} = ⎨∆q 2 ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨s Oy ⎬
⎪ ⎪⎩ θ ⎪⎭ ⎪ ⎪
⎪
⎩⎪∆q 3 ⎭⎪
⎩⎪ θ ⎭⎪
dove sO è lo spostamento dell’origine degli assi, sOx e sOy sono le componenti di sO, e θ è la
rotazione (vettore normale al piano xy).
Rotazioni infinitesime
L’ipotesi di spostamenti infinitesimi permette di effettuare significative semplificazioni nella
caratterizzazione degli spostamenti, sia che si tratti di rotazioni che di traslazioni.
a ≡ asse di rotazione
P’
θ=θa
O≡C
θ
θ
P’
O≡C
st
s
sr
st
P
P
Nella rotazione sono nulli gli spostamenti dei punti di una retta propria a chiamata asse di
rotazione. Gli spostamenti di tutti i punti Pi che giacciono su piani ortogonali ad a descrivono archi
di circonferenza con centro nell’intersezione tra l’asse di rotazione e la circonferenza (punto C) e
raggio uguale alla distanza CPi.
Lo spostamento s può esprimersi come la somma di un vettore st tangente alla traiettoria
(circonferenza) ed un vettore sr diretto secondo il raggio verso il centro.
s = st + sr
sr = CP (1 - cosθ) r
(r è il versore della direzione radiale, diretto verso il centro di rotazione C)
st = CP senθ t
(t è il versore della direzione tangenziale, diretto nel verso dello spostamento)
s = st + sr = CP (1 - cosθ) r + CP senθ t
Se sviluppiamo il cosθ e il senθ in serie di McLaurin, e trascuriamo gli infinitesimi di ordine
superiore al primo, si ottiene:
cosθ = 1 −
θ2
−………….. ≅ 1
2
senθ = θ −
θ3
+ ………..… ≅ θ
6
Pertanto si ottiene:
s = CP θ t
che può essere anche espresso come:
4
s = (C − P) ∧ θ a
L’espressione generale per definire lo spostamento di un generico punto Pi è:
si = (C − Pi) ∧ θ a
essendo C il centro di rotazione.
Quindi se l’angolo di rotazione è piccolo si può trascurare la componente radiale dello spostamento
del punto Pi assimilandolo alla sola componente tangenziale alla traiettoria.
Detto altrimenti, una rotazioni infinitesima di ampiezza θ intorno all’asse di rotazione a produce
uno spostamento s in direzione perpendicolare al raggio CPi, di grandezza pari al prodotto della
distanza CPi per la rotazione θ. Il vettore rotazione è ortogonale al piano formato dai vettori
spostamento e distanza di C da Pi.
P’i
s ≅ st
Pi
⎢PiPi’⎢= ⎢CPi ⎢θ
θ
C
Le componenti di spostamento di due punti secondo la loro congiungente sono uguali.
x
C
y
θ
θ
d
P’
θ
d
sP
sPx
sQx
P
t
Q
Q’
sQ
sPx ≡ sQx
sP = (C − P) ∧ θ a
sQ = (C − Q) ∧ θ a
sQx = θ d
sPx = θ d
⇒
sPx = sQx
E’ una conseguenza dell’inestensibilità del segmento PQ.
Per la trattazione di spostamenti infinitesimi non è più necessario distinguere tra assi locali e assi
fissi.
Nell’ambito della cinematica linearizzata vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Una
successione di spostamenti rigidi infinitesimi determina uno spostamento risultante indipendente
dall’ordine di applicazione dei singoli spostamenti.
Spostamento infinitesimo piano di traslazione
Si consideri un corpo rigido piano che subisce una traslazione infinitesima caratterizzata dallo
spostamento sO dell’origine.
Le componenti sOx e sOy del vettore sO possono essere considerate come parametri della traslazione
rigida infinitesima.
5
y
Pi’
Pi
si = sO
si
sO
O’
x
O
Lo spostamento generalizzato di un corpo rigido piano soggetto ad una traslazione infinitesima è:
⎧s Ox ⎫
⎧ sO ⎫ ⎪ ⎪
s= ⎨
⎬ = ⎨s Oy ⎬
⎩θ = 0⎭ ⎪ 0 ⎪
⎩ ⎭
Lo spostamento di un punto qualsiasi Pi del sistema rigido piano che subisce una traslazione
infinitesima è uguale allo spostamento dell’origine sO, quindi:
⎧s ix ⎫ ⎧s Ox ⎫
si = sO = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎩s iy ⎭ ⎩s Oy ⎭
L’espressione si può anche scrivere in forma maticiale:
⎧s ix ⎫ ⎡1 0⎤ ⎧s Ox ⎫
si = ⎨ ⎬ = ⎢
⎥ ⎨s ⎬ = [I] {sO}
s
0
1
iy
⎣
⎦ ⎩ Oy ⎭
⎩ ⎭
Spostamento infinitesimo piano di rotazione
Si consideri ora un corpo rigido piano che subisce una rotazione infinitesima attorno ad un punto C.
y
θ // asse z
si
yi
θ
C
yC
O
xC
Pi
xi
x
Nello spostamento di sola rotazione infinitesima si ha sO = 0, quindi lo spostamento generalizzato
del corpo rigido piano è:
⎧0 ⎫
⎧s O = 0⎫ ⎪ ⎪
s= ⎨
⎬ = ⎨0 ⎬
⎩ θ ⎭ ⎪θ⎪
⎩ ⎭
Lo spostamento si di un generico punto Pi (xi; yi) dovuto ad una rotazione infinitesima θ può essere
determinato considerando il risultato del prodotto vettoriale del vettore (C − Pi) per il vettore
rotazione θ applicato in C e perpendicolare al piano xy.
si = (C − Pi) ∧ θ
Essendo xC e yC le coordinate del punto C e xi e yi le coordinate del punto Pi, le componenti del
vettore (C − Pi) sono:
(C − Pi)y = yC − yi
(C − Pi)z = 0
(C − Pi)x = xC − xi
6
Il vettore θ ha componente soltanto nella direzione z, quindi:
θx = 0 θy = 0 θz = θ
z
θ
α
(C − Pi) ⊥ θ
y
(C − Pi) ⊥ si
θ
C
si
Pi
x
Lo spostamento si del punto Pi dovuto alla rotazione infinitesima θ risulta:
i
si = (C − Pi) ∧ θ = (x C − x i )
0
j
k
0
0
θ
(y C − y i )
si ottiene quindi:
si = (yC − yi) θ i − (xC − xi) θ j
six = (yC − yi) θ
siy = − (xC − xi) θ
Ponendo l’origine degli assi in C≡O, risulta:
six = − yi θ
siy = xi θ
y
si
siy
six
yi
six
θ
Pi
θ
siy
θ
O
xi
x
La formulazione matriciale dello spostamento si del punto Pi dovuto alla rotazione infinitesima θ
risulta in questo caso:
i
si = (C − Pi) ∧ θ = (O − Pi) ∧ θ = − x i
0
j
k
− yi
0
0
θ
Come si può vedere dalla figura e ricordando che le componenti di spostamento di due punti
secondo la loro congiungente sono uguali, si ha che le componenti dello spostamento di Pi
coincidono con i moduli degli spostamenti delle proiezioni di P sugli assi x e y, a causa
dell’inestensibilità dei segmenti all’interno di un corpo rigido.
Centro istantaneo di rotazione
Poiché ogni spostamento rigido piano infinitesimo può essere considerato come una rotazione
intorno ad un certo punto del piano, si riconosce l’esistenza di un centro istantaneo di rotazione
(C.R.), che corrisponde a quel punto in cui l’asse istantaneo del moto incontra il piano xy. In altre
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parole, un generico spostamento piano infinitesimo di un corpo può intendersi come generato da
una rotazione infinitesima intorno al centro istantaneo di rotazione. Il C.R. è caratterizzato dal fatto
che il suo spostamento è nullo.
y
P2
O C.R. ⊥ sO
s2
P1 C.R. ⊥ s1
P 1 s1
P2 C.R. ⊥ s2
sO
x
xCR
O
yCR
C.R.
six = sOx − yi θ
siy = sOy + xi θ
Se cerchiamo le coordinate del centro istantaneo di rotazione si ha:
sCRx = sOx − yCR θ = 0
sCRy = sOy + xCR θ = 0
in quanto il C.R. ha spostamento nullo.
s
yCR = Ox
θ
s Oy
xCR = −
θ
Le precedenti forniscono le coordinate del centro istantaneo di rotazione.
Lo spostamento piano infinitesimo del sistema rigido OPi può essere visto anche:
y
Pi*
sOi
si
C.R.
yCR
si = (C.R. − Pi) ∧ θ
sO
θ
θ
O*
sO
θ
si = sO + sOi
Pi
x
O
xCR
1. Come composto da una traslazione sO e da una rotazione θ intorno a O*.
2. Come generato da una rotazione θ intorno al centro istantaneo di rotazione C.R.
Si osservi che, per l’ipotesi di spostamenti infinitesimi, il centro istantaneo di rotazione è
individuato dall’intersezione delle normali agli spostamenti dei punti condotti per la loro posizione
iniziale.
Conoscendo i parametri dello spostamento del corpo, le coordinate del C.R. si possono determinare
immediatamente, utilizzando le espressioni:
s
yCR = Ox
θ
8
xCR = −
sOy
θ
Poiché ogni spostamento rigido piano infinitesimo può essere considerato come una rotazione
attorno al centro istantaneo di rotazione, una traslazione rigida può essere vista come caso limite di
rotazione il cui centro di rotazione tende al punto improprio (cioè all’infinito) in direzione
perpendicolare a quella della traslazione.
Nel caso più generale quindi lo spostamento si di un generico punto Pi(xi,yi) sarà composto di una
traslazione più una rotazione, cioè si ricade nel caso più generale di spostamento rototraslatorio. Si
può dimostrare che per gli spostamenti infinitesimi vale il principio di sovrapposizione degli effetti,
per il quale il generico spostamento rigido infinitesimo rototraslatorio può essere ottenuto dalla
sovrapposizione di una traslazione pura e di una rotazione. Si può quindi scrivere:
i
s
⎧
⎫
Cx
1
0
⎡
⎤⎪ ⎪
si = sC + (C − Pi) ∧ θ = ⎢
⎥ ⎨ ⎬ + xC − xi
⎣0 1⎦ ⎪⎩s Cy ⎪⎭
0
j
k
yC − yi
0
0
θ
semplificando ulteriormente la precedente espressione si ottiene:
⎧s ix ⎫ ⎡1 0 ( y C − y i ) ⎤
si = ⎨ ⎬ = ⎢
⎥
⎩s iy ⎭ ⎢⎣0 1 − ( x C − x i )⎥⎦
⎧s Cx ⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎨s Cy ⎬ = [Vi] {s}
⎪ ⎪
⎪⎩ θ ⎪⎭
La matrice [Vi] è formata dalla submatrice unitaria e dalla differenza tra le coordinate del punto C e
quelle del punto Pi.
Ponendo l’origine degli assi in coincidenza con il punto C precedentemente considerato le relazioni
si semplificano. In questo caso la traslazione risulta caratterizzata dallo spostamento sO dell’origine
e la rotazione avviene attorno ad O. Lo spostamento generalizzato del corpo risulta quindi:
⎧s Ox ⎫
⎪⎪ ⎪⎪
s = ⎨s Oy ⎬
⎪ ⎪
⎪⎩ θ ⎪⎭
si = sO + (O − Pi) ∧ θ
⎧s ix ⎫ ⎡1 0 − y i ⎤
si = ⎨ ⎬ = ⎢
⎥
⎩s iy ⎭ ⎢⎣0 1 x i ⎥⎦
⎧s Ox ⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎨s Oy ⎬ = [Vi] {s}
⎪ ⎪
⎪⎩ θ ⎪⎭
six = sOx − yi θ
siy = sO + xi θ
Componente dello spostamento di un generico punto secondo una assegnata direzione
Sia si lo spostamento di un generico punto Pi(xi,yi) appartenente ad un corpo rigido piano soggetto
ad uno spostamento generalizzato infinitesimo. Si vuole determinare la componente sir dello
spostamento si secondo una direzione r.
9
y
βr
r
αr
sir
sir
yi
ϕ
si
ϕ
Pi
si
r
Pi (xi; yi)
r
Pi
sir
ϕ
si
x
ϕ < π/2 sir è positiva
xi
O
ϕ > π/2 sir è negativa
Essendo sir = sir r , il valore della componente sir si ottiene proiettando si ortogonalmente sulla retta
orientata r. Risulta quindi:
sir = |si| cosϕ
Ciò corrisponde al risultato del prodotto scalare tra il versore r e il vettore spostamento si:
sir = r × si
Le componenti del versore r secondo gli assi sono date dai coseni direttori αr e βr della sua
direzione, che si ricorda essere i coseni degli angoli formati dalla direzione r con gli assi x e y
rispettivamente. Si ottiene quindi:
sir = rT × si = {α r
⎧s ix ⎫
β r } ⎨ ⎬ = αr six + βr siy
⎩s iy ⎭
βr siy
sir
αr six
si
Pi
siy
six
r
La componente di spostamento sir si può anche esprimere in funzione dei parametri dello
spostamento generalizzato del corpo: Infatti, essendo:
six = sOx − yi θ
siy = sOy + xi θ
si ha:
sir = αr six + βr siy = αr (sOx − yi θ) + βr (sOy + xi θ) = αr sOx + βr sOy + (−αr yi + βr xi) θ
Il termine (−αr yi + βr xi) = dir rappresenta la distanza dalla retta r passante per Pi(xi,yi) dall’origine
O degli assi di riferimento.
sir = αr sOx + βr sOy + dir θ
distanza del punto O dalla retta r
dir = βr xi − αr yi
Il segno della distanza dir è positivo se è positivo, cioè antiorario, il momento di r rispetto al polo O.
Lo stesso risultato trovato precedentemente può essere raggiunto operando in termini matriciali:
sir = r × si = {α r
T
βr }
⎧s Ox ⎫
1 0 − yi ⎪ ⎪
⎨s Oy ⎬ = [αr; βr; (−αr yi + βr xi)]
0 1 xi ⎪ ⎪
⎩ θ ⎭
⎧s Ox ⎫
⎪ ⎪
⎨s Oy ⎬
⎪ θ ⎪
⎩ ⎭
10
⎧s Ox ⎫
⎪ ⎪
sir = r × si = [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = [Vir] {s}
⎪ θ ⎪
⎩ ⎭
T
y
r
βr
yi
αr
αr
βr
αr
αr
sir
y
r
si
+
Pi
O
Pi
dir
βr xi
x
x
O
xi
αr yi
dir
La matrice [Vir] ha una riga e tre colonne. I suoi termini sono di natura geometrica.
Se si vogliono calcolare le componenti dello spostamento di un punto secondo gli assi del sistema
di riferimento Oxy, si ricorre alle seguenti espressioni:
⎧s Ox ⎫
⎪ ⎪
six = [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = [1; 0; dir]
⎪ θ ⎪
⎩ ⎭
⎧s Ox ⎫
⎪ ⎪
⎨s Oy ⎬
⎪ θ ⎪
⎩ ⎭
⎧s Ox ⎫
⎪ ⎪
siy = [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = [0; 1; dir]
⎪ θ ⎪
⎩ ⎭
⎧s Ox ⎫
⎪ ⎪
⎨s Oy ⎬
⎪ θ ⎪
⎩ ⎭
CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO VINCOLATO
Dal punto di vista cinematico, un vincolo è qualsiasi condizione o legame che limiti qualche
possibilità di movimento del corpo rigido o del sistema di corpi rigidi. Quindi un vincolo costituisce
una limitazione alle possibilità di spostamento. Allo scopo di evitare ogni spostamento che
comprometta la funzionalità e la stabilità della costruzione vengono realizzate fondazioni che sono
rappresentati mediante dispositivi attivi sul contorno del corpo rigido.
Il vincolo può anche essere considerato come una connessione del sistema con l’ambiente esterno
(vincolo esterno) o di parti del sistema tra di loro (vincolo interno) che analiticamente si esprime
con qualche equazione nelle coordinate del sistema, riducendo in tale modo i gradi di libertà del
sistema stesso. I vincoli che si riferiscono ad una particolare configurazione geometrica, e quindi
impongono una restrizione alla sola posizione, si definiscono vincoli di posizione o vincoli
olonomi. Essi sono indipendenti dal tempo e costituiscono legami che limitano le possibilità di certe
forme di spostamento del sistema. Si consideri ad esempio il sistema rigido piano definito dai tre
punti A, B, C rappresentato nella figura seguente. Se il punto B è costretto a rimanere aderente alla
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retta y = ax + b, si è imposto un vincolo al sistema in quanto il punto B non può spostarsi
liberamente, ma è costretto a rimanere aderente alla retta. Tale limitazione implica una relazione
analitica indicata dalla seguente relazione:
yB = a xB + b
In altri termini le coordinate del punto B devono soddisfare una relazione di vincolo olonomo
bilaterale.
y
C
y = ax + b
A
B
b
x
O
Caratteristiche dei vincoli
Si è visto che i vincoli costituiscono condizioni imposte al sistema o al generico corpo rigido. Essi
possono essere:
Olonomi: se comportano soltanto condizioni tra le coordinate dei punti vincolati, senza intervento
del tempo.
Unilaterali: se sono efficaci in un solo verso. Ad esempio impediscono lo spostamento in una
assegnata direzione, ma in un solo verso.
s
s
s
Spostamento impedito
Bilaterali: se sono efficaci in due versi opposti. Ad esempio impediscono gli spostamenti in una
assegnata direzione, sia che siano un verso che nell’altro opposto.
Spostamento impedito
s
s
Spostamento impedito
Lisci: cioè privi di attrito. Un corpo che si sposta su vincoli lisci non è soggetto a nessuna forza
reattiva nella direzione dello spostamento.
Perfetti: cioè non cedevoli, capaci quindi di bloccare completamente lo spostamento a cui si
oppongono.
Fissi: cioè indipendenti dal tempo.
Puntiformi: cioè privi di estensione.
Inoltre i vincoli possono anche classificarsi in:
Vincoli di appartenenza: un punto o un elemento del sistema rigido è costretto a rimanere aderente
ad una superficie ,o a una linea, o a un punto. Naturalmente tali vincoli sono bilaterali.
Vincoli di appoggio: ad un punto o a un elemento del sistema è impedito l’attraversamento di una
superficie, una linea, un punto. Tali vincoli sono unilaterali.
Nel trattamento dei problemi di statica e cinematica dei corpi rigidi si opererà in generale con
vincoli olonomi bilaterali. Si ammetterà inoltre nella maggior parte dei casi che i vincoli siano lisci.
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In sintesi la limitazione alle possibilità di spostamento esercitata dal vincolo si traduce in una o più
condizioni del tipo:
Vincolo Esterno
F (sx; sy; sz) = 0
Vincolo Interno
G (six; siy; siz; sjx; sjy; sjz) = 0
Questi vincoli possono essere espressi anche in funzione degli spostamenti generalizzati:
Vincolo Esterno
f (sOx; sOy; sOz; θx; θy; θz) = 0
Vincolo Interno
g (siOx; siOy; siOz; θiOx; θiOy;θiOz; sjOx; sjOy; sjOz; θjOx; θjOy;θjOz;) = 0
Un vincolo è detto semplice se è esprimibile attraverso una delle condizioni sopra indicate; è detto
molteplice se è esprimibile attraverso più condizioni. Un vincolo esterno limita gli spostamenti
assoluti dei punti del corpo cui è applicato; un vincolo interno limita gli spostamenti relativi tra due
punti dei corpi che collega.
Gli spostamenti generalizzati non possono essere scelti in modo arbitrario, ma devono soddisfare le
suddette condizioni o relazioni di vincolo, che quindi riducono il numero di gradi di liberà del
sistema. Una configurazione individuata da parametri che soddisfano tutte le relazioni di vincolo è
detta compatibile o congruente.
Modelli meccanici dei vincoli piani
Nei problemi di cinematica e statica i vincoli di un sistema rigido vengono rappresentati mediante
opportuni modelli meccanici. Il vincolo più elementare è il carrello che non permette lo
spostamento di un punto del corpo in una assegnata direzione.
Asse del carrello, r
θ
θ
θ
Corpo rigido
B
Corpo rigido
s
θ
s
B
s
B
Asse del carrello, r
sBr=0
Spostamenti impediti
s
r
θ≠0
s≠0
Schema
Un tale vincolo permette la rotazione attorno all’asse passante per B (asse del carrello), normale al
piano medio, e la traslazione secondo una retta che è la traccia sul piano medio del piano di
scorrimento.
La situazione corrispondente a quella di un punto appartenente ad un sistema rigido costretto a
rimanere aderente ad una retta si può rappresentare mediante un carrello che si sposti in modo tale
che le coordinate del punto assumano soltanto valori che soddisfano l’equazione della retta.
C
y
r
y = ax + b
sBr=0
B
A
b
x
O
Il punto B non si può spostare nella direzione ortogonale alla retta y = ax +b. Il carrello sottrae un
grado di libertà al corpo rigido e può quindi essere considerato come vincolo semplice. Affinché il
comportamento reale del vincolo sia il più possibile prossimo a quello dello schema è necessario
che la realizzazione tecnica sia tesa effettivamente al manifestarsi delle due componenti di
spostamento che il vincolo deve poter consentire.
13
Classificazione dei vincoli piani
Con riferimento alla figura illustrata nel seguito, si analizzano i diversi tipi di vincolo esterno che
verranno utilizzati nelle nostre applicazioni. I vincoli sono assunti bilaterali, per cui il vincolo non
consente il distacco dalla retta di scorrimento. I vincoli esterni agiscono sugli spostamenti assoluti
di un dato corpo.
Vincolo Esterno
Rappresentazione
Condizione sugli spostamenti
y
CARRELLO
sAy = 0
sAy
A
x
y
CERNIERA
sAx = 0
sAy = 0
sAy
A
sAx
x
y
GLIFO
θA
sAy = 0
θA = 0
sAy
A
x
y
INCASTRO
θA
sAx = 0
sAy = 0
θA = 0
sAy
A
sAx
x
Il carrello è un vincolo semplice, che impedisce la componente di spostamento del punto A del
corpo nella direzione normale a quella di scorrimento del carrello. Si ricordi che a un corpo
vincolato da un carrello restano due gradi di libertà, una traslazione parallela alla retta di
scorrimento e la rotazione.
La cerniera è un vincolo doppio, che impedisce lo spostamento del punto del corpo cui è applicata.
Al corpo resta un solo grado di libertà, la rotazione. Il glifo, o pattino, è un vincolo doppio, che
impedisce la traslazione in direzione normale alla retta di scorrimento e la rotazione del corpo. Al
corpo resta una sola componente di traslazione. Il glifo equivale dunque ad una cerniera posta
all'infinito.
L’incastro è un vincolo triplo, che impedisce la traslazione di A e la rotazione del corpo cui A
appartiene. Al corpo non restano gradi di libertà.
14
I vincoli interni agiscono sugli spostamenti relativi tra due corpi. Ad esempio, esaminando il primo
caso illustrato nella seguente figura, la condizione di vincolo impone che lo spostamento sAi del
punto Ai del primo corpo nella direzione dell’asse del carrello sia uguale allo spostamento sAxj del
punto Aj del secondo corpo nella stessa direzione. In sintesi, le condizioni di vincolo impongono
che gli spostamenti relativi tra i punti Ai e Aj nelle direzioni vincolate devono annullarsi. Se lo
spostamento relativo vincolato è una rotazione le rotazioni dei due corpi devono essere uguali.
Vincolo Interno
Rappresentazione
A
sAi
CARRELLO
Aj
Ai
Ai
CERNIERA
sAj
sAyj
A
sAxi
sAj - sAi = 0
sAxj
sAxj - sAxi = 0
sAyj - sAyi = 0
sAxj
sAxj - sAxi = 0
θAi - θAj = 0
sAxj
sAxj - sAxi = 0
sAyj - sAyi = 0
θAi - θAj = 0
Aj
sAyi
θAi
Condizione sugli spostamenti
θAj
sAxi
GLIFO
Ai Aj
A
sAyj
sAxi
INCASTRO
θAj
θAi
sAyi
A
Un vincolo equivalente al carrello è la biella o pendolo, che impedisce lo spostamento di un punto
del sistema in una direzione prefissata. Esso è supposto costituito da un’asta rigida collegata da una
parte a un punto fisso del suolo e dall’altra ad un punto del sistema.
In generale, un vincolo di molteplicità m equivale, da un punto di vista analitico, a m vincoli
semplici (ad esempio m pendoli o carrelli).
Quando più corpi rigidi sono collegati tra di loro (mediante vincoli interni) e/o anche con il suolo
(mediante vincoli esterni) si è in presenza di un sistema articolato di corpi rigidi (SACR).
Un sistema costituito da nc corpi rigidi ha, come già detto, 6nc gradi di libertà nello spazio e 3nc
gradi di libertà nel piano.
Ricordando l’espressione che permette di determinare la componente di spostamento di un generico
punto secondo una data direzione:
⎧s Ox ⎫
⎪ ⎪
sir = rT × si = [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = αr sOx + βr sOy + (−αr yi + βr xi) θ =[Vir] {s}
⎪ θ ⎪
⎩ ⎭
15
La condizione di vincolo semplice è espressa dalla relazione:
⎧s Ox ⎫
⎪ ⎪
[Vir] {s}= [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = sir = 0
⎪ θ ⎪
⎩ ⎭
essendo nullo lo spostamento nella direzione r,impedito dal vincolo.
La relazione precedente esprime una condizione fra i tre parametri (sei nello spazio), gli
spostamenti generalizzati, che descrivono lo spostamento del sistema rigido. Se nv vincoli semplici
vincolano il sistema di corpi rigidi secondo r direzioni, si possono scrivere altrettante matrici del
tipo [Vir], ciascuna di una riga e tre colonne (6 nello spazio).
Raccogliendo le nv righe [Vir] in un’unica matrice [A] il sistema di spostamenti impediti dai vincoli
è espresso dalla relazione:
[A] {s}= 0
Se i vincoli non sono in grado di annullare una o più componenti di spostamento nella direzione
della loro retta di azione, r, l’espressione precedente si modifica in:
[A] {s}= {q}
ovvero
As = q
in cui q è un vettore che contiene tutti gli spostamenti imposti nei vincoli, detti anche cedimenti
vincolari. Tramite l’inversione della matrice A (detta anche matrice cinematica) si determinano i
parametri dello spostamento rigido delle sistema, cioè le sue coordinate generalizzate che ne
definiscono la posizione.
Ad esempio, consideriamo il seguente corpo rigido nel quale viene assegnato un cedimento
vincolare in B pari a δ.
p
δ
C
B
sBx
L
sAy
A
sAx
L
Considerando come polo di riferimento A. Si assumono come positive le rotazioni antiorarie.
Assegniamo, in corrispondenza dei vincoli le componenti di spostamento sAx, sAy, sBx con i versi
indicati in figura (tali versi sono stati presi concordi con gli assi di riferimento x e y). Tali
spostamenti saranno tutti uguali a zero, ad eccezione di sBx che sarà invece pari a δ.
⎧sOx ⎫
⎧sOx ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
sir = [α r β r (− α r y i + β r xi )]⎨sOy ⎬ = [α r β r d ir ]⎨sOy ⎬
⎪ϑ ⎪
⎪ϑ ⎪
⎩ ⎭
⎩ ⎭
Per cui, ad esempio, lo spostamento sBx sarà dato da (α e β sono i coseni dell’angolo formato dalla
direzione di spostamento di B con gli assi x e y rispettivamente del sistema di riferimento Axy
centrato nel polo A):
16
s Bx = [α x
βx
⎧s Ax ⎫
⎧s Ax ⎫
⎪
⎪
(− α x y B + β x x B )]⎨s Ay ⎬ = [1 0 0]⎪⎨s Ay ⎪⎬ = δ
⎪ ϑ ⎪
⎪ ϑ ⎪
⎩
⎭
⎩
⎭
Procedendo allo stesso modo per le altre due componenti di spostamento, siamo ora in grado di
costruiamo ora la matrice cinematica A
s Ax →
s Ay ↑
s Bx →
⎡α Ax
⎢α
⎢ Ay
⎢⎣ α Bx
(− α Ax y A + β Ax x A )⎤ ⎧s Ax ⎫
β Ax
⎧0⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎥
(− α Ay y A + β Ay x A )⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬
(− α Bx y B + β Bx x B )⎥⎦ ⎪⎩ ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩δ ⎪⎭
β Ay
β Bx
s Ax → ⎡1
As = q
s Ay ↑ ⎢⎢0
s Bx → ⎢⎣1
Risolvendo il sistema di equazioni (s=A-1q), si
generalizzato:
s Ax = 0
0 ⎤ ⎧s Ax ⎫ ⎧0⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
1 0 ⎥⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬
0 − L ⎥⎦ ⎪⎩ ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩δ ⎪⎭
0
ricavano le componenti dello spostamento
s Ay = 0
ϑA = −
δ
L
Una volta noto lo spostamento generalizzato si può procedere al calcolo degli spostamenti degli alti
punti del corpo mediante le note relazioni:
six = sOx − yi θ
siy = sOy + xi θ
in cui O≡A. Ad esempio, le componenti di spostamento del punto C sono:
sCy = sAy + xC θA
sCx = sAx − yC θA
sCx = 0 − L ( −
δ
)= δ
L
sCy = 0 + 0
δ
=0
L
Il centro di rotazione sarà dato da:
yCR =
s Ax
θA
xCR = −
s Ay
θA
e quindi avrà le seguenti coordinate:
yCR =
0
=0
θA
xCR = −
0
=0
θA
Per cui coinciderà con il polo di riferimento A.
Se i vincoli semplici vengono disposti tra due punti appartenenti a due corpi rigidi distinti, gli
spostamenti relativi tra i due punti sono condizionati ad assumere il valore imposto dal vincolo.
La condizione di vincolo imposta da un pendolo (o una biella) che collega due punti appartenenti a
due corpi rigidi differenti può ancora essere espresso da:
s irI = [Vir] {s }
I
s irII = [Vir] {s }
II
Dove gli apici I e II stanno ad indicare i due diversi corpi rigidi. La condizione di vincolo impone
che lo spostamento relativo tra i due punti collegati dal vincolo, cioè l’allontanamento dei due corpi
nella direzione del pendolo, sia uguale a ∆ ir :
[
s irI + s irII = VirI
]
⎧sI ⎫
VirII ⎨ II ⎬ = ∆ ir
⎩s ⎭
La matrice che compare nell’espressione precedente contiene in un’unica riga le due matrici di
vincolo relative ai due corpi. La relazione di vincolo per il sistema articolato di corpi rigidi è
ancora:
As = q
17
dove il vettore s contiene i parametri di spostamento generalizzato di tutti i corpi rigidi che
costituiscono il sistema articolato: 3nc (nc=numero di corpi) nel piano e 6nc nello spazio. La matrice
A si costruisce assemblando assieme le matrici corrispondenti a ciascun corpo in relazione ai
vincoli esterni, e a coppie per i vincoli interni. Il vettore q raccoglie gli spostamenti imposti, che
saranno spostamenti assoluti nella direzione del vincolo per i vincoli esterni, o spostamenti relativi
tra punti vincolati di due corpi, convenzionalmente positivi se comportano allontanamento, presi
anch’essi nella direzione del vincolo.
Consideriamo il seguente esempio di sistema articolato di corpi rigidi costituito da due corpi AB
(corpo 1) e BC (corpo 2) vincolati a terra ciascuno con una cerniera rispettivamente in A e C, e
vincolati reciprocamente con una cerniera interna in B. Questo schema è noto come arco a tre
cerniere. In figura sono indicati le direzioni e i versi, quest’ultimi ipotizzati, delle componenti di
spostamento in corrispondenza dei vincoli. E’ assegnato un cedimento vincolare in C in direzione
verticale con il verso indicato in figura.
sBy
p
sBx
B
sBx
sBy
2
1
L
y
+
x
M
sAy
A
sCy
sCx
sAx
C
δ
L
L
Per ciascun corpo deve essere definito uno spostamento generalizzato in corrispondenza di un polo
qualsiasi per mezzo del quale esprimere gli spostamenti di tutti i suoi punti. Si possono usare
indifferentemente gli stessi assi di riferimento, con la stessa origine, per tutti i corpi, o riferimenti
differenti. In genere è più comodo scegliere un riferimento proprio per ogni corpo. Fissiamo come
poli di riferimento i punti A e C. Per determinare quindi il campo di spostamento di tutti i punti del
corpo è necessario calcolare preventivamente gli spostamenti generalizzati dei due poli. Per questo
motivo dobbiamo risolvere il sistema di equazioni As=q. Per valutare la matrice A, è necessario
calcolare le componenti di spostamenti dei punti vincolati mediante:
⎧sOx ⎫
⎧sOx ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
sir = [α r β r (− α r y i + β r xi )]⎨sOy ⎬ = [α r β r d ir ]⎨sOy ⎬
⎪ϑ ⎪
⎪ϑ ⎪
⎩ ⎭
⎩ ⎭
e poi assemblare i coefficienti noti nella matrice A. Ad esempio, lo spostamento sBx sarà dato da (α
e β sono i coseni dell’angolo formato dalla direzione di spostamento di B, una volta supposto
appartenente al corpo 1 e una volta al corpo 2, con gli assi x e y rispettivamente del sistema di
riferimento Oxy centrato rispettivamente nel polo A e in C):
18
= [α x
βx
II
s Bx
= [α x
βx
I
s Bx
⎧s Ax ⎫
⎧s Ax ⎫
⎪ ⎪
(− α x y B + β x x B )]⎨s Ay ⎬ = [− 1 0 L]⎪⎨s Ay ⎪⎬
⎪ϑ ⎪
⎪ϑ ⎪
⎩ A⎭
⎩ A⎭
⎧s Cx ⎫
⎧s Cx ⎫
⎪ ⎪
(− α x y B + β x x B )]⎨sCy ⎬ = [1 0 − L]⎪⎨sCy ⎪⎬
⎪ϑ ⎪
⎪ϑ ⎪
⎩ C⎭
⎩ C⎭
Assembliamo i due contributi e otteniamo:
I
II
s Bx
+ s Bx
⎧s Ax ⎫
⎪s ⎪
⎪ Ay ⎪
⎪⎪ ϑ ⎪⎪
= = [− 1 0 L 1 0 L ]⎨ A ⎬ = 0
⎪s Ax ⎪
⎪s Ay ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩ ϑ A ⎪⎭
Cioè lo spostamento relativo tra i due corpi in direzione x è nullo. Procedendo allo stesso modo per
gli altri spostamenti dei vincoli e assemblando i coefficienti nella matrice A, si ha:
s Ax →
0
⎡1 0
⎢
s Ay ↑
⎢0 1
0
⎢
← s Bx → ⎢− 1 0
L
⎢
↓ s By ↑ ⎢ 0 − 1 − L
⎢
s Cx → ⎢ 0 0
0
⎢
⎢0 0
s Cy ↑
0
⎣
0 0
0 0
1 0
0 1
1 0
0 1
⇓
[A]
che permette di ricavare lo spostamento generalizzato:
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
− L⎥
⎥
− L⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥⎦
⎧s Ax ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎪s ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎪ Ay ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪ θ A ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪
⎨ ⎬=⎨ ⎬
⎪ s Cx ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎪ s Cy ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎩ θ C ⎪⎭ ⎪⎩− δ⎪⎭
⇓
{s}
⇓
{q}
⎧ 0 ⎫
⎪ 0 ⎪
⎪ δ ⎪
⎪−
⎪
{s} = ⎪⎨ 02 L ⎪⎬
⎪
⎪
⎪ −δ ⎪
⎪ δ ⎪
⎪⎩− 2 L ⎪⎭
PROBLEMA CINEMATICO NEL PIANO
Si consideri un sistema di corpi rigidi costituito da nc corpi, mutuamente vincolati, e di norma
vincolato al suolo. Sia nv il numero globale dei vincoli semplici, interni ed esterni. Si considerino
poi dei cedimenti vincolari, che vengono applicati a partire da una data configurazione di
riferimento. Si formula il seguente problema cinematico (di congruenza o compatibilità
cinematica): assegnati i cedimenti vincolari, determinare, se esistono, le configurazioni compatibili
del sistema.
Riprendiamo la condizione As=q. A è la matrice di compatibilità cinematica del sistema, di
dimensioni nv × 3nc, s è il vettore degli spostamenti generalizzati incogniti, di dimensioni 3nc ×1, e
q è il vettore dei cedimenti vincolari noti, di dimensioni nv ×1. Con questa formulazione analitica la
natura del problema fisico viene a dipendere dalle proprietà della matrice A. Infatti, per trovare i
19
parametri dello spostamento generalizzato, che definiscono la posizione del corpo o dei corpi rigidi
nel piano (o nello spazio), dobbiamo invertire la matrice cinematica A:
s = A-1q
La possibilità quindi di trovare una soluzione del sistema di equazioni sopra indicato dipende dalla
invertibilità della matrice A. Può accadere che ciò non sia possibile in quanto la matrice cinematica
può presentare delle singolarità. Ad esempio è noto che se due righe di una matrice quadrata sono
proporzionali il suo determinante è nullo, e l’inversione è impossibile.
Classificazione cinematica
In base alle caratteristiche della matrice A è possibile procedere ad una classificazione dei Sistemi
di Corpi Rigidi (SCR). Si distinguono quattro casi fondamentali.
a) nv = 3nc: il numero dei vincoli è pari ai gradi di libertà del sistema. Il sistema si definisce sistema
cinematicamente determinato, o isocinematico. La matrice A è quadrata ed ha rango massimo,
poiché det A ≠ 0 . Il problema cinematico ammette una ed una sola soluzione.
I vincoli devono essere “ben disposti”, nel senso che non devono ripetere delle condizioni già
espresse da altri vincoli e quindi ciascuno di essi deve essere rappresentato da una equazione che
sia linearmente indipendente dalle altre nv −1 equazioni. Un sistema cinematicamente
determinato non può assumere configurazioni diverse da quella di riferimento se non
intervengono cedimenti vincolari. Qualunque essi siano, il sistema trova sempre una nuova
configurazione cinematicamente ammissibile.
Consideriamo un sistema cinematicamente determinato, o isocinematico, costituito da un solo
corpo, in cui si ha:
[A]
{s}
nv × 3nc
{q}
3nc × 1 nv × 1
p
C
B
sBx
L
sAy
A
sAx
L
Costruiamo la matrice cinematica A considerando come polo di riferimento A.
s Ax → ⎡α Ax β Ax (− α Ax y A + β Ax x A )⎤ ⎧s Ax ⎫ ⎧0⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
s Ay ↑ ⎢⎢α Ay β Ay − α Ay y A + β Ay x A ⎥⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬
s Bx → ⎢⎣α Bx β Bx (− α Bx y B + β Bx x B )⎥⎦ ⎪⎩ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
(
)
s Ax →
s Ay ↑
s Bx →
⎡1 0 0 ⎤ ⎧s Ax ⎫ ⎧0⎫
⎢0 1 0 ⎥ ⎪s ⎪ = ⎪0⎪
As = q
⎥ ⎨ Ay ⎬ ⎨ ⎬
⎢
⎢⎣1 0 − L ⎥⎦ ⎪⎩ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
La matrice A è quadrata e non singolare per cui può essere invertita.
b) nv < 3nc: Il numero di vincoli è inferiore ai gradi di libertà del sistema per cui il sistema si
definisce come sistema labile, o cinematicamente indeterminato, o ipercinematico.
La matrice A è rettangolare “bassa”, con un numero di colonne maggiore del numero delle righe,
20
per cui il sistema di equazioni è indeterminato. In questo caso i vincoli lasciano al sistema di
corpi rigidi 3nc - nv gradi di libertà ai quali corrispondono altrettante possibilità di spostamento.
Anche in assenza di cedimenti vincolari il sistema può assumere configurazioni diverse da quella
di riferimento, e per questo motivo è detto labile.
Consideriamo il seguente sistema labile costituito da un solo corpo.
p
sBx
C
B
L
A
sAy
L
Come nell’esempio precedente costruiamo la matrice cinematica A considerando come polo di
riferimento A.
s Ay ↑
s Bx →
As = q
⎧s Ax ⎫
⎡0 1 0 ⎤ ⎪ ⎪ ⎧0⎫
⎢1 0 − L ⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬
⎣
⎦⎪ϑ ⎪ ⎩ ⎭
⎩ A⎭
In questo caso la matrice A è rettangolare con un numero di colonne maggiore del numero di righe,
per cui il sistema è indeterminato:
⎧ s Ay = 0
⎨
⎩s Ax − Lϑ A = 0
Il sistema di equazioni può essere risolto assegnando valori arbitrari a sAx o ϑ A e calcolare il
rimanente.
c) nv > 3nc. Il numero di vincoli è maggiore del numero di gradi di libertà per cui il sistema si
definisce come sistema cinematicamente impossibile, o ipocinematico.
La matrice A è rettangolare “alta”, con numero di righe maggiore del numero di colonne, per cui
il sistema di equazioni è sovradeterminato. Il sistema ha più equazioni che incognite. In questo
caso è impossibile assegnare ai punti vincolati spostamenti arbitrari. Il problema cinematico, in
generale, non ammette soluzione.
Consideriamo il seguente sistema cinematicamente impossibile costituito da un solo corpo.
p
C
B
sBx
sBy
L
sAy
A
sAx
L
21
Costruiamo la matrice cinematica A considerando come polo di riferimento A.
s Ax → ⎡1
s Ay ↑ ⎢0
⎢
s Bx → ⎢1
⎢
s By ↑ ⎣0
As = q
⎤
⎧0⎫
⎥ ⎧s Ax ⎫ ⎪0⎪
⎥ ⎪⎨s ⎪⎬ = ⎪⎨ ⎪⎬
Ay
0 − L ⎥ ⎪ ⎪ ⎪0⎪
⎥ ϑA
1 L ⎦ ⎩ ⎭ ⎪⎩0⎪⎭
0
1
0
0
⎧ s Ax = 0
⎪ s =0
⎪
Ay
⎨
s
−
⎪ Ax Lϑ A = 0
⎪s Ay + Lϑ A = 0
⎩
⇒
d) nv = 3nc e vincoli mal disposti. Il sistema è cinematicamente degenere. E' il caso di matrici A
quadrate, con detA=0. Il sistema degenere è quindi essenzialmente cinematicamente impossibile.
Sono cinematicamente degeneri quei sistemi in cui i vincoli, pure in numero pari ai gradi di
libertà dei corpi, non sono “ben disposti”, nel senso che alcuni impongono condizioni
cinematiche già espresse da altri vincoli.Il problema cinematico non ammette soluzione.
Consideriamo il seguente sistema cinematicamente degenere costituito da un solo corpo.
sCx
p
B
C
sBx
L
sAy
A
L
As = q
L
s Cx → ⎡1 0 − L ⎤ ⎧s Ax ⎫ ⎧0⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
s Ay ↑ ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬
s Bx → ⎢⎣1 0 − L ⎥⎦ ⎪⎩ ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
Come si può vedere la prima e la terza riga sono uguali, per cui la matrice A è singolare e non può
essere invertita. La ragione di ciò risiede nella errata disposizione dei vincoli (tre carrelli i cui assi
convergono in un punto).
22