soluzioni II esercitazione in classe

Soluzioni Esercitazione in classe n.2
Complementi di Probabilità a.a. 2016/2017
(
)
1. Se fosse p = 1 sarebbe P(Zn = n) = P ∩nk=1 (Yk = 1) = 1 essendo l’intersezione di eventi certa
un evento certo e quindi P(Bn ) = 0 per ogni n e quindi limP(Bn ) = 0 e P(limsup Bn ) = 0 poiché
limsup Bn ⊂ ∪n≥1 Bn e l’unione di eventi impossibile è evento impossibile. Se fosse p = 0 sarebbe
P(Zn = −n) = 1 e il risultato sarebbe lo stesso.
Per p ̸= 1, 0, poiché B2h+1 = ∅, h ≥ 0, allora limh→∞ P(B2h+1 ) = 0. Per h ≥ 1 si ha
( )
(2h)! h
2h h
P (B2h ) =
p (1 − p)h =
p (1 − p)h
h
(h!)2
e utilizzando la formula di Stirling
√
1
2π(2h)2h+ 2 e−2h h
22h h
1
h
∼
√
P (B2h ) = √
p
(1
−
p)
=
p (1 − p)h ≤ √
→h→∞ 0
1
πh
πh
( 2π(h)h+ 2 e−h )2
dove la disuguaglianza segue dal fatto noto: p(1 − p) ≤ 41 qualsiasi sia p ∈ (0, 1). Cosı̀ anche
limh→∞ P(B2h ) = 0 e in conclusione lim
∑n→∞ P(Bn ) = 0
Per il I enunciato di Borel-Cantelli se n P(Bn ) < +∞, allora
P(limsup Bn ) = 0. Si controlla il com∑
P(B
portamento della successione delle ridotte di indice pari 2n
k ). Essendo P(B2h+1 ) = 0 h ≥ 0,
k=1
si ha
n ( )
n
2n
∑
∑
∑
2h h
p (1 − p)h
P(B2h ) =
P(Bk ) =
h
h=1
h=1
k=1
( )
∑
2h h
e per n → +∞ si ha convergenza poiché +∞
p (1 − p)h tenendo conto dell’approssimazione
h=1
h
∑
ah
√
vista prima e del fatto che per ipotesi p ̸= 21 e quindi p(1 − p) < 14 , la serie si comporta come +∞
h=1 h
con a < 1 e il termine generale di quest’ultima∑
è maggiorato da∑
ah con a < 1 che è il termine generale di
2n+1
serie geometrica convergente. Infine, essendo k=1 P(Bk ) = 2n
k=1 P(Bk ), la successione delle ridotte
dispari converge allo stesso limite finito e quindi la serie converge.
∨
∨
2. a) Per definizione
σ(X,
Y,
Z)
=
σ(X)
σ(Y
)
σ(Z) e quindi σ(X, Y, Z) contiene σ(X) e σ(Y ) e quindi
∪
∨
contiene σ(X) σ(Y ) e anche σ(X) σ(Y ) = σ(X, Y )
∨
b) Si è dimostrato che se G1 , G2 , G3 sono σ-algebre indipendenti allora ∨
G1 G2 è indipendente da G3
(”indipendenza a pacchetti”): qui G1 = σ(X), G2 = σ(Y ), G3 = σ(Z), G1 G2 = σ(X, Y ).
c) Segue banalmente dalla definizione stessa di indipendenza di F e H e di G e H. Per ottenere
l’indipendenza di X + Y e Z si pone allora F = σ(X, Y ), G = σ(X + Y ) e H = σ(Z).
3. Si dimostra la condizione necessaria. Se X è simmetrica segue che LX (A) = LX (−A); qualsiasi sia
il boreliano A e posto −A := {−x, x ∈ A}: infatti per definizione LX∫ (A) = L−X (A) e inoltre
L−X (A) = P(−X ∈ A) = P(X ∈ −A)
= LX (−A). Allora se X ha densità R IA (x)fX (x) dx = LX (A)
∫
deve coincidere con LX (−A)
=
I
R −A (x)fX (x) dx, e essendo, per ogni x ∈ R, I−A (x) = IA (−x),
∫
deve
anche coincidere
con R IA (−x)fX (x) dx. Utilizzando il suggerimento (g ∫integrabile implica
∫
∫
g(x)dx
=
g(−x)dx),
si conclude che deve essere, qualsiasi sia il boreliano A, R IA (x)fX (x) dx =
R
∫R
I
(x)f
(−x)
dx,
ma
questo
implica fX (x) = fX (−x), q.o. Procedendo con lo stesso ragionamento
X
R A
a ritroso, si dimostra la condizione sufficiente.
−1
−1
4. a)ΛF ([0, 1]) = ΛF ([−∞, 1]) − ΛF (−∞, 0)) = F (1) − F (0− ) = 35 − e 5 = 3−e5 ,
−1
−1
ΛF ([0, 1)) = ΛF ([−∞, 1)) − ΛF ([−∞, 0)) = F (1− ) − F (0− ) = 51 − e 5 = 1−e5 ,
ΛF ((1, 3]) = ΛF ([−∞, 3]) − ΛF (−∞, 1]) = F (3) − F (1) = 45 − 53 = − 15 .
x−1
3
Fd (x) = 25 I[1,+∞) (x) e Fc (x) = F (x) − Fd (x) = e 5 I(−∞,1) (x) + 15 I[1,2) (x) + x−1
5 I[2,4)∫(x) + 5 I[4,+∞) (x).
x
′
La funzione Fc è assolutamente continua: infatti si verifica facilmente che Fc (x) = −∞ F (t) dt, dove
−(t−1)
F ′ (t) = e 5 I(−∞,1] (t)+ 15 I(2,4] (t). b) Una delle scelte possibili è ((0, 1), B((0, 1)), Leb(0,1) ) come terna
e come v.a. l’applicazione che ad ogni ω associa (ln(5ω) + 1)I(0, 1 ] (ω) + I( 1 , 3 ] (ω) + (5ω + 1)I( 3 ,1) (ω).
5
5 5
5
Modificando la v.a. precedente solo nel punto di discontinuità ω = 35 mantenendo uguale l’ampiezza
del salto, quindi rendendo la variabile continua a destra, si ottiene una v.a. di stessa legge. c) Dovendo
essere αFd (+∞) = 1 si deve scegliere α = Fd−1 (+∞) = 25 ; in modo analogo è β = Fc−1 (+∞) = 53 . Una
v.a. con d.f. αFd è la v.a. costante uguale a uno sulla terna ((0, 1), B((0, 1)), Leb(0,1) ) e una v.a. con
d.f. βFc è sulla stessa terna l’applicazione che ad ogni ω associa (ln(3ω)+1)I(0, 1 ] (ω)+(3ω +1)I( 1 ,1) (ω).
3
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