Un esercizio natalizio1

Un esercizio natalizio1
inutilmente scritto da Corrado Mascia
Nel piano (s, t) si disegni il grafico della funzione
t = f (s) :=















1
2
s
1
4
([s] + 1) {s} +
0 ≤ s < 1,
1
4
1
,
4
1 ≤ s < 4,
4 ≤ s ≤ 5,
dove [s] indica la parte intera di s e {s} := s − [s] la parte frazionaria di s.
Successivamente disegnare, nel piano (x, y), l’insieme definito da
Γ = {(x, y) ∈ R2 : x2 = f (5 − y)2 }.
Nell’aula scese il silenzio. Probabilmente il cervello del giovin docente aveva fatto
cortocircuito. Un esercizio cosı̀ può essere pensato e proposto solo da una mente
malata. Figuriamoci... già la parte intera è un oggetto assolutamente incomprensibile, e questo qui ci mette in mezzo pure la parte frazionaria! Poi c’è ancora chi
dice che l’università non è allo sbando... Li farei venire tutti qui a vedere questi che
roba ci fanno fare!
La parte intera ha una sua definizione ben chiara: per s ≥ 0, [s] non è altro che l’intero
n più grande per cui valga n ≤ s:
[s] := max{n ∈ N : n ≤ s}
s ≥ 0,
dopodiché la funzione viene prolungata in modo dispari per s < 0: cioè per s < 0 si pone
[s] := −[−s]. La parte frazionaria non è altro che quel che resta una volta che si sottragga
la parte intera, in altre parole, è “quello che c’è dopo la virgola”.
“Forse gli spaventosi oggetti parte intera e parte frazionaria non sono cosı̀ terribili”,
pensò qualcuno nell’aula. “A capire la definizione sono capaci tutti, il problema è
ad usarle le cose. Stiamo a vedere...” disse tra sé e sé un ragazzetto della seconda
fila a destra. I più continuarono a domandarsi il perché di un esercizio cosı̀ bislacco
e perverso... E se l’evidente follia del tipo dietro la cattedra si fosse di lı̀ a poco
trasformata in un’improvvisa aggressione violenta contro qualche incauto studente
della prima fila?
1
Dedicato alle vittime della mia docenza universitaria, con particolare riguardo per gli studenti di
Informatica del mio “anno d’esordio”.
1
Quindi, valgono
[s] =


 1
2


3
1 ≤ s < 2,
2 ≤ s < 3,
3 ≤ s < 4,
{s} = s − [s] =
e


 s−1
s−2


s−3
1 ≤ s < 2,
2 ≤ s < 3,
3 ≤ s < 4,
e inserendo nella definizione della funzione f si ottiene
t = f (s) :=


s/2





 s/2 − 1/4
0 ≤ s < 1,
1 ≤ s < 2,
2 ≤ s < 3,
3 ≤ s < 4,
4 ≤ s ≤ 5,
3s/4 − 5/4



s − 11/4




1/4,
Il grafico della funzione f quindi è composto da cinque segmenti che congiungono i punti:
(0, 0) e (1, 21 ), (1, 41 ) e (2, 34 ), (2, 14 ) e (3, 1), (3, 41 ) e (4, 45 ), (4, 14 ) e (5, 14 ), cioè quello che si
vede in Fig.1.
t
5/4
1
3/4
1/2
1/4
1
2
3
4
5
s
Figure 1: Il grafico della funzione f .
La follia ha sempre una sua logica. Alla fine questo esercizio delirante li aveva portati
da qualche parte: un grafico fatto di segmenti sconnessi. “ ‘Sta parte intera non era
poi cosı̀ terribile come sembrava apparire a prima vista.” disse sottovoce il ragazzo
della terza fila centrale che ancora non si era tolto il cappelletto di lana per il freddo
che faceva nelle aulette blu. “Vero... ma ora come la mettiamo con il disegnare
l’insieme Γ? Ma chi l’ha mai viste cose del genere!? Questo è proprio scemo...”,
replicò la vicina di posto, come sempre imbellettata di tutto punto. L’esercitatore
riprese a risolvere l’esercizio, ma adesso cominciava a sfoderare un accenno di sorriso,
che, evidentemente, non riusciva a contenere.
Ora dobbiamo di disegnare l’insieme Γ definito dalla proprietà
x2 = f (5 − y)2 .
Dato che si tratta di quantità√non negative si può prendere la radice quadrata a destra e
sinistra ottenendo (dato che y 2 = |y|)
|x| = |f (5 − y)|
e cioè
2
x = ±|f (5 − y)|.
Quindi l’insieme Γ è composto da due grafici di funzioni: x = −|f (5 − y)| e x = |f (5 −
y)| che sono della forma x = ±Φ(y) e che si possono ottenere l’uno dall’altro con un
ribaltamento attorno all’asse y.
y
x=- ! (y)
x=+ ! (y)
x
Figure 2: Un insieme della forma {(x, y) : x2 = Φ(y)2 }.
Capirai! Pure un ribaltamento... e chi ci avrebbe mai pensato? “Ma esercizi cosı̀
possono capitare pure al compito?” cominciò a domandarsi buona parte dell’aula.
Un certo sgomento si diffuse rapidamente... “Beh.. dai! Questo giochetto del
ribaltamento non è poi cosı̀ impossibile.” A parlare era ovviamente lo studente del
primo banco, quello che fin dal primo giorno aveva fatto tutti gli esercizi assegnati e
anche qualcuno di più. Per lui, anche se all’esame gli avessero chiesto di andare sulla
Luna e tornare portando un campione di suolo, non ci sarebbero stati problemi.
t
5/4
1
3/4
1/2
1/4
1
2
3
4
5
s
Figure 3: Il grafico della funzione t = f (5 − s).
Rimane solo il problema di capire come sia fatto il grafico della funzione t = Φ(s) =
f (5−s), cioè la funzione di partenza calcolata in 5−s anziché in s. La risposta è semplice,
osservando che
s = 0 7→ 5 − s = 5,
s = 1 7→ 5 − s = 4,
3
s = 2 7→ 5 − s = 3,
···,
si deduce che il grafico di Φ si ottiene ponendo in 0 il valore che il grafico di f ha in 5, in
1 il valore che il grafico di f ha in 4 e cosı̀ via, cioè ribaltando attorno alla retta s = 5/2.
Ora basta disegnare il grafico della funzione x = f (5 − y) (cioè disegnare “in verticale”
il grafico della funzione f ) e ribaltare all’asse delle y, in modo da ottenere...
y
x
Figure 4: “...ma è un albero di Natale!”
“...ma è un albero di Natale!” gridò una voce da una delle ultime file. Tra lo
stupore degli studenti, il docente si caricò sulle spalle un enorme sacco di yuta
dal contenuto non meglio precisato, salutò rapidamente (augurando buon Natale
a tutti), uscı̀ rapido dall’aula e, salito a bordo della slitta del nonno, partı̀ per
destinazione ignota, incoraggiando le sue renne a correre rapide per i cieli, per
evitare ripercussioni violente da parte degli astanti.
4