Testo - Università di Trento

TERZA PROVETTA DI ALGEBRA A
TRENTO, 27 MAGGIO 2016
Nota: Questi sono gli esercizi delle quattro diverse versioni della provetta che
sono state assegnate. L’esercizio x.y è l’esercizio x della versione y.
Esercizio 1.1. Si consideri il seguente schema RSA.
Alice pensa i numeri primi p = 17 e q = 53, e calcola n = pq. Fatelo anche voi.
Notate che 262 ≤ n < 263 , dunque con questo n si possono cifrare coppie di
lettere, e così faremo nel seguito. Ogni lettera viene prima trasformata in un
numero pi fra 0 e 25, secondo lo schema A 7→ 0, B 7→ 1, . . . Z 7→ 25, e poi di ogni
coppia di lettere si fa un unico numero compreso fra 0 e n: spiegate come.
Alice calcola φ(n) (fatelo anche voi, spiegando come fate), e sceglie r = 119.
Verificate che sia (r, φ(n)) = 1, e calcolate s, t tali che rs + φ(n)t = 1.
Alice comunica r, n a Bob, che dopo un po’ le manda il messaggio
[550, 795].
Decifratelo.
Esercizio 1.2. Si consideri il seguente schema RSA.
Alice pensa i numeri primi p = 19 e q = 53, e calcola n = pq. Fatelo anche voi.
Notate che 262 ≤ n < 263 , dunque con questo n si possono cifrare coppie di
lettere, e così faremo nel seguito. Ogni lettera viene prima trasformata in un
numero pi fra 0 e 25, secondo lo schema A 7→ 0, B 7→ 1, . . . Z 7→ 25, e poi di ogni
coppia di lettere si fa un unico numero compreso fra 0 e n: spiegate come.
Alice calcola φ(n) (fatelo anche voi, spiegando come fate), e sceglie r = 535.
Verificate che sia (r, φ(n)) = 1, e calcolate s, t tali che rs + φ(n)t = 1.
Alice comunica r, n a Bob, che dopo un po’ le manda il messaggio
[281, 198].
Decifratelo.
Esercizio 1.3. Si consideri il seguente schema RSA.
Alice pensa i numeri primi p = 11 e q = 83, e calcola n = pq. Fatelo anche voi.
Notate che 262 ≤ n < 263 , dunque con questo n si possono cifrare coppie di
lettere, e così faremo nel seguito. Ogni lettera viene prima trasformata in un
numero pi fra 0 e 25, secondo lo schema A 7→ 0, B 7→ 1, . . . Z 7→ 25, e poi di ogni
coppia di lettere si fa un unico numero compreso fra 0 e n: spiegate come.
Alice calcola φ(n) (fatelo anche voi, spiegando come fate), e sceglie r = 703.
Verificate che sia (r, φ(n)) = 1, e calcolate s, t tali che rs + φ(n)t = 1.
Alice comunica r, n a Bob, che dopo un po’ le manda il messaggio
[170, 730].
Decifratelo.
2
PROVETTA DI ALGEBRA A
Esercizio 1.4. Si consideri il seguente schema RSA.
Alice pensa i numeri primi p = 23 e q = 41, e calcola n = pq. Fatelo anche voi.
Notate che 262 ≤ n < 263 , dunque con questo n si possono cifrare coppie di
lettere, e così faremo nel seguito. Ogni lettera viene prima trasformata in un
numero pi fra 0 e 25, secondo lo schema A 7→ 0, B 7→ 1, . . . Z 7→ 25, e poi di ogni
coppia di lettere si fa un unico numero compreso fra 0 e n: spiegate come.
Alice calcola φ(n) (fatelo anche voi, spiegando come fate), e sceglie r = 503.
Verificate che sia (r, φ(n)) = 1, e calcolate s, t tali che rs + φ(n)t = 1.
Alice comunica r, n a Bob, che dopo un po’ le manda il messaggio
[395, 689].
Decifratelo.
Esercizio 2.1. Sia F un campo, A = F [x] l’anello dei polinomi, a ∈ A.
Si mostri che sono equivalenti
• a è invertibile in F [x],
• a è un polinomio di grado 0, e
• a è una costante non nulla.
Si mostri che se a, b ∈ A, allora a | b e b | a se e solo se a = bε, con ε una
costante non nulla.
Esercizio 2.2. Sia F un campo, A = F [x] l’anello dei polinomi, a ∈ A.
Si mostri che sono equivalenti
• a è invertibile in F [x],
• a è un polinomio di grado 0, e
• a è una costante non nulla.
Si mostri che se a, b ∈ A, allora a | b e b | a se e solo se a = bε, con ε una
costante non nulla.
Esercizio 2.3. Sia F un campo, A = F [x] l’anello dei polinomi, a ∈ A.
Si mostri che sono equivalenti
• a è invertibile in F [x],
• a è un polinomio di grado 0, e
• a è una costante non nulla.
Si mostri che se a, b ∈ A, allora a | b e b | a se e solo se a = bε, con ε una
costante non nulla.
Esercizio 2.4. Sia F un campo, A = F [x] l’anello dei polinomi, a ∈ A.
Si mostri che sono equivalenti
• a è invertibile in F [x],
• a è un polinomio di grado 0, e
• a è una costante non nulla.
Si mostri che se a, b ∈ A, allora a | b e b | a se e solo se a = bε, con ε una
costante non nulla.
Esercizio 3.1. Sia A un dominio, e a, b ∈ A, che non siano né zero, né invertibili.
Si mostri che sono equivalenti:
PROVETTA DI ALGEBRA A
3
(1) a | b e b | a, e
(2) a = εb, con ε una unità.
Due elementi a, b che soddisfano queste condizioni si dicono fra loro associati.
Si mostri che le seguenti affermazioni sono equivalenti.
(1) I soli divisori di a sono gli elementi invertibili, e gli elementi associati ad
a.
(2) Se a = uv, allora o u o v è invertibile.
(3) Se a = uv, allora o u o v è associato ad a.
(4) Se a = uv, allora
• o u è invertibile, e v è associato ad a,
• o u è associato ad a, e v è invertibile.
Esercizio 3.2. Sia A un dominio, e a, b ∈ A, che non siano né zero, né invertibili.
Si mostri che sono equivalenti:
(1) a | b e b | a, e
(2) a = εb, con ε una unità.
Due elementi a, b che soddisfano queste condizioni si dicono fra loro associati.
Si mostri che le seguenti affermazioni sono equivalenti.
(1) I soli divisori di a sono gli elementi invertibili, e gli elementi associati ad
a.
(2) Se a = uv, allora o u o v è invertibile.
(3) Se a = uv, allora o u o v è associato ad a.
(4) Se a = uv, allora
• o u è invertibile, e v è associato ad a,
• o u è associato ad a, e v è invertibile.
Esercizio 3.3. Sia A un dominio, e a, b ∈ A, che non siano né zero, né invertibili.
Si mostri che sono equivalenti:
(1) a | b e b | a, e
(2) a = εb, con ε una unità.
Due elementi a, b che soddisfano queste condizioni si dicono fra loro associati.
Si mostri che le seguenti affermazioni sono equivalenti.
(1) I soli divisori di a sono gli elementi invertibili, e gli elementi associati ad
a.
(2) Se a = uv, allora o u o v è invertibile.
(3) Se a = uv, allora o u o v è associato ad a.
(4) Se a = uv, allora
• o u è invertibile, e v è associato ad a,
• o u è associato ad a, e v è invertibile.
Esercizio 3.4. Sia A un dominio, e a, b ∈ A, che non siano né zero, né invertibili.
Si mostri che sono equivalenti:
(1) a | b e b | a, e
(2) a = εb, con ε una unità.
4
PROVETTA DI ALGEBRA A
Due elementi a, b che soddisfano queste condizioni si dicono fra loro associati.
Si mostri che le seguenti affermazioni sono equivalenti.
(1) I soli divisori di a sono gli elementi invertibili, e gli elementi associati ad
a.
(2) Se a = uv, allora o u o v è invertibile.
(3) Se a = uv, allora o u o v è associato ad a.
(4) Se a = uv, allora
• o u è invertibile, e v è associato ad a,
• o u è associato ad a, e v è invertibile.
Esercizio 4.1. Si dia la definizione di elementi primi e irriducibili in un dominio.
(1) Si mostri che
√
N (a + b −5) = a2 + 5b2
√
è una norma speciale su Z[ −5]. (Dunque si tratta di far vedere √
che sia
una norma, e che poi si ha N (u) = 1 se e solo se u è una unità in Z[ −5].)
(2) Partendo dall’eguaglianza
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
√
√
si mostri che 1 + −5 è irriducibile, ma non primo, in Z[ −5].
Esercizio 4.2. Si dia la definizione di elementi primi e irriducibili in un dominio.
(1) Si mostri che
√
N (a + b −5) = a2 + 5b2
√
è una norma speciale su Z[ −5]. (Dunque si tratta di far vedere √
che sia
una norma, e che poi si ha N (u) = 1 se e solo se u è una unità in Z[ −5].)
(2) Partendo dall’eguaglianza
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
√
√
si mostri che 1 − −5 è irriducibile, ma non primo, in Z[ −5].
Esercizio 4.3. Si dia la definizione di elementi primi e irriducibili in un dominio.
(1) Si mostri che
√
N (a + b −5) = a2 + 5b2
√
è una norma speciale su Z[ −5]. (Dunque si tratta di far vedere √
che sia
una norma, e che poi si ha N (u) = 1 se e solo se u è una unità in Z[ −5].)
(2) Partendo dall’eguaglianza
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
√
si mostri che 3 è irriducibile, ma non primo, in Z[ −5].
Esercizio 4.4. Si dia la definizione di elementi primi e irriducibili in un dominio.
(1) Si mostri che
√
N (a + b −5) = a2 + 5b2
√
è una norma speciale su Z[ −5]. (Dunque si tratta di far vedere √
che sia
una norma, e che poi si ha N (u) = 1 se e solo se u è una unità in Z[ −5].)
PROVETTA DI ALGEBRA A
(2) Partendo dall’eguaglianza
√
√
−5) · (1 − −5).
√
si mostri che 2 è irriducibile, ma non primo, in Z[ −5].
6 = 2 · 3 = (1 +
Esercizio 5.1. Si scriva il numero primo 41 come somma di due quadrati.
(Attenzione! Si usi l’algoritmo esposto a lezione, illustrandone i passaggi.)
Esercizio 5.2. Si scriva il numero primo 53 come somma di due quadrati.
(Attenzione! Si usi l’algoritmo esposto a lezione, illustrandone i passaggi.)
Esercizio 5.3. Si scriva il numero primo 61 come somma di due quadrati.
(Attenzione! Si usi l’algoritmo esposto a lezione, illustrandone i passaggi.)
Esercizio 5.4. Si scriva il numero primo 109 come somma di due quadrati.
(Attenzione! Si usi l’algoritmo esposto a lezione, illustrandone i passaggi.)
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