Esercitazione di Meccanica Applicata alle Macchine – 30/04/2013

Esercitazione di Meccanica Applicata alle Macchine – 30/04/2013
Analisi dinamica inversa di un manovellismo deviato
Esercizio 22 – Capitolo 6 – Pagina 200
Con riferimento al manovellismo deviato rappresentato in
figura, si determini il valore della coppia Cm che è
necessario applicare alla manovella AB quando il pattino
attraversa l’asse Y affinché questa si muova con la
assegnata velocità angolare (costante) ; si trascuri
l’effetto dell’attrito ed il contributo di tutte le masse ed
inerzie ad eccezione della massa m del pattino.
Dati:
AB = R = 50 mm
BC = L = 100 mm
a = 75 mm
= 60 giri/min
m = 5 kg
BOZZA DI SVOLGIMENTO
Si scriva l’equazione di chiusura del meccanismo, come mostrato in figura:
    
a s l r  0
che proiettata nelle 2 direzioni cartesiane fornisce:
(1)
s  L cos   R cos   0

 a  L sen   R sen   0
(2)
Quando il pattino attraversa l’asse delle Y (s=0) il sistema (2) diventa:
R cos   L cos 

R sen    L sen   a
(3)
per cui elevando al quadrato e sommando:


R 2 cos 2  sen 2  L2 cos 2   L2 sen 2  a 2  2aL sen 
(4)
R  L  a  2aL sen 
(5)
2
2
2
da cui si ricava facilmente il valore del seno dell’angolo :
sen  
 R 2  L2  a 2
 0,875
2aL
(6)
Pertanto, tenendo conto delle (3), il sistema ammette i seguenti 2 distinti modi di assemblaggio:



1  atan 2 sen , 1  sen 2  61


1  atan 2a  L  sen , L  cos 1   14

 2  atan 2 sen , 1  sen 2    1  119


 2  atan 2a  L  sen , L  cos  2   166


(7a)
(7b)
Nel seguito dello svolgimento si considera il meccanismo nella prima configurazione, che è mostrata in figura.
Derivando le equazioni di chiusura (2), si ottiene:
s  Lsen  Rsen  0



L cos   R cos   0
(8)
R cos  

   L cos  

s   Rsen  Lsen R cos     Rsen  cos  tan  
L cos 

(9)
e quindi:
Tenendo conto che in questa configurazione vale anche la (3a), si trova:
s 0    6,28 rad/s

ss 0  Rsen  Lsen   0,471 m/s
Si noti che:
 per le convenzioni scelte sui versi positivi di  e , si ha:   
   0 significa che l’angolo  cresce, ovvero la biella sta ruotando in verso antiorario

(10)
s  0 significa che s, il modulo dello spostamento del pattino, cresce, il che in questo caso non fornisce alcuna
indicazione sul verso della sua velocità
Infine, derivando la seconda equazione di velocità in (9) si ottiene l’accelerazione del pattino C:




s   R cos   sen tan   cos 1  tan 2     Rsen  cos tan 
s   R cos  sen tan  2  cos 1  tan 2    sen  cos tan 



(11)
che nel caso in esame vale:


 
s  R  cos  sen tan  2  cos 1  tan 2    5,35 m/s 2
(12)
Per determinare la coppia motrice istantanea, che deve vincere solo la forza di inerzia del pattino, si scrive il bilancio
energetico del sistema sotto forma di potenze:
d 1 2
 ms 
dt  2




Cm    m  s  s
s  s
Cm  m
 2,01 Nm
Cm   

(13)
(14)
(15)