Radici quadrate Radici cubiche

RADICALI
Radici quadrate
La radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con √ , è quel numero, positivo o nullo,
che, elevato al quadrato, da come risultato a. In simboli:
√ ⇔
√
√
√
√
√
( )
√
√
√
Teorema: Non esiste la radice quadrata di un numero reale negativo.
√
√
√
√
Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non periodico.
√
√
L’argomento del radicale può essere, oltre che un numero, anche un polinomio. In tal caso si parla di radicale
algebrico.
√
√
√
Radici cubiche
La radice cubica di un numero reale a, e si indica con √ , è quel numero, che, elevato al cubo, da come
risultato a. In simboli:
⇔
√
A differenza della radice quadrata, esiste anche la radice cubica di un numero reale negativo.
√
√
√
√
√
√
( )
√
√
√
1
Radici n-esime
Sia n un numero naturale diverso da zero.
Se n è pari, la radice n-esima di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con √ , è quel numero, che,
elevato a n, da come risultato a.
Se n è dispari, la radice n-esima di un numero reale a, e si indica con √ , è quel numero, che, elevato a n, da
come risultato a.
⇔ {
√
Se n è pari, la radice n-esima di un numero reale negativo non esiste, se invece n è dispari, la radice n-esima di
un numero reale negativo esiste.
√
√
√
√
√
√
(
)
√
√
√
√
√
Il numero n è l’indice del radicale, un naturale diverso da zero. Nel caso particolare n = 1 si ha √
nel caso particolare n = 2 l’indice viene solitamente omesso: √
√ .
, mentre
Due radicali si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero reale.
√
√
√
√
Ricorderai la proprietà invariantiva delle frazioni: moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una
frazione per un numero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente. La proprietà invariantiva è alla base
della semplificazione di una frazione.
In modo analogo, esiste anche una proprietà invariantiva per i radicali, che consente di semplificare un radicale.
La proprietà invariantiva
Consideriamo un radicale, il cui radicando è non negativo.
Moltiplicando l’indice del radicale e l’esponente del suo radicando per uno stesso numero naturale diverso da
zero, oppure dividendo l’indice e l’esponente per un divisore comune, si ottiene un radicale equivalente a quello
originario. In simboli: √
√
√
√
Una importante applicazione della proprietà invariantiva, è quella di permettere la semplificazione di un
radicale. Semplificare un radicale, significa passare a un radicale equivalente ma con un indice e un radicando
più semplice.
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Un radicale si dice irriducibile (cioè non semplificabile), quando l’indice del radicale e l’esponente del
radicando non hanno fattori comuni (diversi da uno).
2
La moltiplicazione fra radicali
Il prodotto di due radicali quadratici è un radicale quadratico che ha per radicando il prodotto dei radicandi,
ossia √ √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
La divisione fra radicali
Il quoziente di due radicali quadratici (il secondo diverso da zero) è un radicale quadratico che ha per radicando
il quoziente dei radicandi, ossia
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
La potenza di un radicale
La potenza n-esima di un radicale quadratico è un radicale quadratico che ha per radicando la potenza n-esima
del radicando, ossia (√ )
√
(√ )
√
(√ )
√( )
Trasporto fuori dal segno di radice
A volte è utile, specie nelle addizioni e sottrazioni tra radicali, effettuare l’operazione di portare un fattore fuori
dal segno di radice. Osserva il seguente esempio:
√
√
√
√
√
Per trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di una radice quadrata, occorre scomporre il radicando in
modo da mettere in evidenza i fattori che sono quadrati perfetti e poi procedere come nell’esempio precedente.
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Trasporto sotto il segno di radice
A volte è utile effettuare l’operazione contraria a quella appena vista: invece di portare un fattore fuori dal
segno di radice, può essere utile portare un fattore sotto il segno di radice. Consideriamo un’espressione
costituita da un numero moltiplicato per un radicale, per esempio:
√
√
√
Ovviamente è possibile trasportare sotto il segno di radice quadrata, solamente fattori positivi. La regola
generale per trasportare un fattore sotto il segno di radice quadrata è la seguente: √
√
3
Addizioni e sottrazioni di radicali
Per le somme e le differenze di radicali non valgono proprietà analoghe a quelle relative al prodotto e al
quoziente. In generale, infatti: √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Tuttavia, è possibile semplificare espressioni che presentano somme o differenze di radicali (eventualmente
moltiplicati per un coefficiente), a condizione che questi siano simili, cioè abbiano lo stesso indice e lo stesso
radicando.
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Espressioni irrazionali
Le espressioni algebriche, numeriche o letterali, in cui ci sono dei radicali sono chiamate espressioni
irrazionali.
(√
√ )
(
√ )(
√ )
Per semplificare espressioni irrazionali, oltre a utilizzare le regole di calcolo con i radicali studiate finora, si
possono utilizzare tutte le ordinarie proprietà di calcolo: proprietà distributiva, prodotti notevoli, ….
Per cui le due espressioni irrazionali scritte nell’esempio, si semplificano nel modo seguente:
(√
√ )
(√ )
√
(
√ )(
(√ ) (√ )
√
√ )
√
(√ )
√
√
√
√
√
√
√
√
Razionalizzazioni
A volte, può capitare di incontrare frazioni che contengono dei radicali al denominatore. Per esempio:
√
√
Per effettuare i calcoli, è molto spesso utile trasformare espressioni di questo tipo in altre equivalenti, ma prive
di radicali al denominatore: questo procedimento viene detto razionalizzazione del denominatore di una
frazione. Quindi, diciamo che:
razionalizzare una frazione avente un radicale a denominatore, vuol dire trasformare la frazione in un’altra
equivalente priva di radicali al denominatore.
Il caso più semplice, per razionalizzare il denominatore di una frazione, è quello in cui il denominatore è un
radicale. Esempio:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
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