test di autovalutazione sulla sintesi dei controllori
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Settimo test di autovalutazione di CONTROLLI AUTOMATICI A.A. 2016/2017 Data: 11 Gennaio 2017 1. Con riferimento al processo di funzione di trasferimento 100 , 1 + 0.1s G(s) = si progetti un controllore C(s) ∈ R(s) proprio in modo tale che il risultante sistema retroazionato i) sia di tipo 1; e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s), ∗ = 100 rad/sec; ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ωA iii) abbia margine di fase pari almeno a 45o . 2. Con riferimento al processo di funzione di trasferimento G(s) = 10(1 + s) , 1 + 0.1s si progetti un controllore C(s) ∈ R(s) proprio in modo tale che il risultante sistema retroazionato i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente (alla rampa lineare) al più di 0.01; e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s), ∗ = 100 rad/sec; ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ωA iii) abbia margine di fase pari almeno a 45o . 3. Con riferimento al processo di funzione di trasferimento G(s) = 1 , 1 + 0.1s si progetti un controllore C(s) ∈ R(s) proprio in modo tale che il risultante sistema retroazionato i) sia di tipo 0 con errore di regime permanente (al gradino unitario) all’incirca pari a 0.01; e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s), ∗ = 10000 rad/sec; ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ωA iii) abbia margine di fase pari almeno a 70o . 1 4. Con riferimento al processo di funzione di trasferimento G(s) = 1 , 1+s si progetti un controllore C(s) ∈ R(s) proprio in modo tale che il risultante sistema retroazionato i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente (alla rampa lineare) pari a 0.1; e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s), ∗ = 1 rad/sec; ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ωA iii) abbia margine di fase pari di circa 80o . 5. Con riferimento al processo di funzione di trasferimento G(s) = 10 , 1+s si progetti un controllore C(s) di tipo PI (proporzionale integrativo), e quindi con la seguente struttura Ki C(s) = Kp + , s in modo tale che il risultante sistema retroazionato i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente (al gradino unitario) all’incirca pari a 0.01; e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s), ∗ = 1000 rad/sec; ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ωA iii) abbia margine di fase pari almeno a 70o . 2 RISPOSTE 1. Il requisito sul tipo richiede l’introduzione di un polo semplice nell’origine. Non essendoci vincoli sull’errore di regime permanente alla rampa lineare, possiamo assumere C 0 (s) = 1s . I diagrammi di Bode di C 0 (s)G(s) = 100 s(1+0.1s) sono i seguenti: Diagramma di Bode − Modulo 60 40 20 dB 0 −20 −40 −60 −80 −1 10 0 10 1 10 pulsazione 2 10 3 10 Diagramma di Bode − Fase −90 −100 −110 −120 gradi −130 −140 −150 −160 −170 −180 −1 10 0 10 1 10 pulsazione 2 10 3 10 ∗ = 102 rad/s e m (ω ∗ ) := 180◦ + arg(C 0 (jω ∗ )G(jω ∗ )) Si trova 103/2 rad/s = ωA < ωA ψ A A A ∗ ) < m∗ = 45◦ . Possiamo quindi applicare un’azione anticipatrice in soddisfa 5◦ ≈ mψ (ωA ψ ∗ )G(jω ∗ )| e da sollevare modo da sollevare il diagramma delle ampiezze di 20 dB = −|C 0 (jωA A ◦ il diagramma delle fasi di almeno 40 . Di fatto a questo risultato è possibile pervenire mettendo uno zero stabile una decade prima ∗ = 102 rad/s, ovvero cancellando il polo in −10, e inserendo un polo stabile della pulsazione ωA 3 a pulsazioni molto elevate, ad esempio in −1000. Per effetto del controllore complessivo C(s) = 1 1 1 + 0.1s · Cant (s) = · s s 1 + 0.001s il sistema in catena aperta C(s)G(s) presenta i seguenti diagrammi di Bode Diagramma di Bode − Modulo 60 40 20 0 dB −20 −40 −60 −80 −100 −120 −1 10 0 10 1 2 10 3 10 pulsazione 10 4 10 5 10 Diagramma di Bode − Fase −90 −100 −110 −120 gradi −130 −140 −150 −160 −170 −180 −1 10 0 10 1 10 2 10 pulsazione 3 10 4 10 5 10 2. Il requisito sul tipo richiede l’introduzione di un polo semplice nell’origine. Il vincolo sull’errore di regime permanente impone 1 erp = ≤ 0.01 KB (C)10 da cui segue KB (C) ≥ 10. Prendiamo KB (C) = 10 a cui corrisponde C 0 (s) = I diagrammi di Bode di C 0 (s)G(s) = 100 1+s s(1+0.1s) 4 sono i seguenti: 10 s . Diagramma di Bode − Modulo 70 60 50 40 dB 30 20 10 0 −10 −20 −30 −1 10 0 10 1 2 10 10 3 10 4 10 pulsazione Diagramma di Bode − Fase 0 −10 −20 −30 gradi −40 −50 −60 −70 −80 −90 −1 10 0 10 1 2 10 10 3 10 4 10 pulsazione ∗ = 102 rad/s e 95◦ ≈ m (ω ∗ ) > m∗ = 45◦ . Possiamo quindi Si trova 103 rad/s = ωA > ωA ψ A ψ applicare un’azione attenuatrice in modo da abbassare il diagramma delle ampiezze di 20 dB ∗ )G(jω ∗ )| e da abbassare il diagramma delle fasi di non più di 50◦ . = |C 0 (jωA A ∗ = 102 rad/s senza abbassare troppo la fase, dobbiamo Per abbassare il modulo di 20 dB per ωA ∗ una coppia polo/zero con il polo collocato esattamente una decade inserire alla sinistra di ωA prima dello zero. Scegliendo come rete attenuatrice Catt (s) = 1 + 0.1s 1+s che corrisponde ad una doppia cancellazione polo/zero stabili, otteniamo il risultato desiderato. I diagrammi di Bode della funzione complessiva C(s)G(s) = 100 s sono i seguenti: 5 Diagramma di Bode − Modulo 60 50 40 30 dB 20 10 0 −10 −20 −30 −40 −1 10 0 10 1 2 10 10 3 10 4 10 pulsazione Diagramma di Bode − Fase −90 −90 gradi −90 −90 −90 −90 −1 10 0 10 1 2 10 10 3 10 4 10 pulsazione 3. Il requisito sul tipo non richiede l’introduzione di poli nell’origine. Il vincolo sull’errore di regime permanente impone 1 ≈ 0.01 erp = 1 + KB (C) da cui segue KB (C) ≈ 99. Prendiamo KB (C) = 100 a cui corrisponde C 0 (s) = 100. I diagrammi di Bode di C 0 (s)G(s) sono i seguenti: 6 Diagramma di Bode − Modulo 40 35 30 25 dB 20 15 10 5 0 −5 −1 10 0 1 10 10 pulsazione 2 10 3 10 Diagramma di Bode − Fase 0 −10 −20 −30 gradi −40 −50 −60 −70 −80 −90 −1 10 0 10 1 10 pulsazione 2 10 3 10 ∗ = 104 rad/s e 95◦ ≈ m (ω ∗ ) > m∗ = 70◦ . Saremmo tentati Si trova 103 rad/s = ωA < ωA ψ A ψ di applicare un’azione puramente proporzionale, tuttavia in questo caso il vincolo sull’errore di regime permanente vincola il valore del guadagno di Bode in catena aperta e pertanto non possiamo accrescerlo. Il soddisfacimento dei vincoli su pulsazione di attraversamento e margine di fase sono tuttavia soddisfacibili attraverso una rete anticipatrice. Una soluzione ad occhio consiste nell’inserire uno zero in −105/2 e successivamente un polo in −107/2 . In tal modo si ottiene 1 + 10−5/2 s C(s) = 100 . 1 + 10−7/2 s I diagrammi di Bode di C(s)G(s) sono i seguenti: 7 Diagramma di Bode − Modulo 40 35 30 25 dB 20 15 10 5 0 −5 −2 10 −1 10 0 1 10 10 pulsazione 2 10 3 10 4 10 Diagramma di Bode − Fase 0 −10 −20 −30 gradi −40 −50 −60 −70 −80 −90 −2 10 −1 10 [Soluzione alternativa: C(s) = 100 0 10 1 10 pulsazione 2 10 3 10 4 10 1+10−1 s .] 1+10−2 s 4. Il requisito sul tipo richiede l’introduzione di un polo semplice nell’origine. Il vincolo sull’errore di regime permanente impone 1 erp = ≈ 0.1 KB (C) da cui segue KB (C) ≈ 10. Prendiamo KB (C) = 10 a cui corrisponde C 0 (s) = I diagrammi di Bode di C 0 (s)G(s) = 10 1 s(1+s) 8 sono i seguenti: 10 s . Diagramma di Bode - Modulo 60 40 |W| [dB] 20 0 -20 -40 -60 -80 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 1 10 2 pulsazione [rad/s] Diagramma di Bode - Fase -90 -100 -110 arg(W) [?] -120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 10 -2 10 -1 10 0 pulsazione [rad/s] ∗ = 1 rad/s e 45◦ ≈ m (ω ∗ ) < m∗ = 90◦ . Dobbiamo Si trova 101/2 rad/s = ωA > ωA ψ A ψ quindi applicare una rete a sella in modo da abbassare il diagramma delle ampiezze di 20 dB ∗ )G(jω ∗ )| e da alzare il diagramma delle fasi di circa 35◦ . = |C 0 (jωA A Scegliendo Csella (s) = s 1 + 0.1 1+s s s 1 + 0.01 1 + 100 otteniamo il duplice obbiettivo di abbassare il modulo di 20 dB e di alzare la fase di quasi ∗ = 1 rad/sec. I diagrammi di Bode della funzione complessiva 90o in corrispondenza a ωA (1+s/0.1) C(s)G(s) = 10 s(1+s/0.01)(1+s/100) sono i seguenti: 9 Diagramma di Bode - Modulo 60 40 |W| [dB] 20 0 -20 -40 -60 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 1 10 2 pulsazione [rad/s] Diagramma di Bode - Fase -90 -100 -110 arg(W) [?] -120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 10 -2 10 -1 10 0 pulsazione [rad/s] 5. Un controllore PI può essere riscritto nel seguente modo Kp C(s) = 1 + Ki s Kp s + Ki = Ki s s e pertanto consta di un polo in 0 con cui accresco il tipo (da 0 a 1), un guadagno di Bode, con cui sistemo l’errore di regime permanente (in questo caso alla rampa lineare) e, infine, mi rimane uno zero con cui devo aggiustare, se possibile, pulsazione di attraversamento e margine di fase. Il vincolo sull’errore di regime permanente impone erp = 1 ≈ 0.01 Ki 10 10 da cui segue Ki ≈ 10. Prendiamo Ki = 10 a cui corrisponde C 0 (s) = 10. I diagrammi di Bode di C 0 (s)G(s) sono i seguenti: Diagramma di Bode − Modulo 80 60 40 20 dB 0 −20 −40 −60 −80 −100 −2 10 −1 10 0 1 10 10 2 10 3 10 pulsazione Diagramma di Bode − Fase −90 −100 −110 −120 gradi −130 −140 −150 −160 −170 −180 −2 10 −1 10 0 1 10 10 2 10 3 10 pulsazione K Mettendo uno zero in −0.1 ovvero assumendo Kpi = 10, si soddisfano proprio le specifiche assegnate. I diagrammi di Bode della funzione complessiva C(s)G(s) sono, infatti, i seguenti: 11 Diagramma di Bode − Modulo 100 80 60 dB 40 20 0 −20 −40 −2 10 −1 10 0 10 1 10 pulsazione 2 10 3 10 4 10 Diagramma di Bode − Fase 0 −10 −20 −30 gradi −40 −50 −60 −70 −80 −90 −2 10 −1 10 0 10 1 10 pulsazione Pertanto Ki = 10 e Kp = 100. 12 2 10 3 10 4 10