GEOMETRIA DESCRITTIVA 11 LUGLIO 2006 Cognome

GEOMETRIA DESCRITTIVA
11 LUGLIO 2006
Istruzioni.
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Scrivere cognome, nome, numero di matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi.
Scrivere la risposta alle singole domande degli esercizi nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio
in maniera ordinata e motivando ogni risposta.
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Il tempo assegnato per la prova è di 90 minuti. Durante la prova non si possono utilizzare fogli
personali, appunti, libri, calcolatrici.
Cognome (stampatello):
Nome (stampatello):
Matricola:
Non scrivere nelle caselle seguenti
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
Voto Finale
Esercizio 4
Esercizio 5
Commenti
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GEOMETRIA DESCRITTIVA
Esercizio 1.
(1) Scrivere la definizione di relazione di equivalenza spiegando esplicitamente
il significato delle tre proprietà richieste.
(2) Considerare la relazione ∼ sulle matrici reali invertibili 17 × 17 definita
ponendo M ∼ N se e solo se M = kN per k ∈ Q e dimostrare che ∼ è una
relazione di equivalenza.
(3) Scrivere la definizione di piano proiettivo e illustrare le sue varie interpretazioni geometriche.
Svolgimento dell’esercizio 1.
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Svolgimento dell’esercizio 1.
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GEOMETRIA DESCRITTIVA
Esercizio 2.
(1) Scrivere l’enunciato del teorema del binomio e sviluppare il polinomio (x +
y)4 in somma di monomi.
(2) Enunciare e dimostrare la proprietà di partizione dell’unità per i polinomi
di Bernstein.
(3) Enunciare la proprietà di invarianza per trasformazioni affini di una curva
di Bézier e scrivere l’equazione parametrica della curva ottenuta applicando
una rotazione oraria di un angolo π/2 intorno all’origine alla curva di Bézier
di secondo grado con punti di controllo b0 = (0, 0), b1 = (2, 1), b2 = (0, 1).
Svolgimento dell’esercizio 2.
GEOMETRIA DESCRITTIVA
Svolgimento dell’esercizio 2.
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GEOMETRIA DESCRITTIVA
Esercizio 3. Nello spazio ordinario con fissato sistema di riferimento cartesiano
ortogonale Oxyz è data la retta r di equazioni parametriche:
(x, y, z) = (1 + 2t, 3t − 1, 1 − t).
(1) Determinare le equazioni di un piano α perpendicolare ad r e passante per
A = (1, 1, 1).
(2) Sia β il piano d’equazione x − y − z = 0 e sia s = α ∩ β: stabilire se r ed s
sono coincidenti, incidenti in un unico punto, parallele distinte, sghembe.
(3) Individuare l’equazione di un piano γ contenente r e parallelo ad s.
(4) Determinare delle equazioni cartesiane e parametriche della retta u passante per A e perpendicolare ad s.
Svolgimento dell’esercizio 3.
GEOMETRIA DESCRITTIVA
Svolgimento dell’esercizio 3.
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GEOMETRIA DESCRITTIVA
Esercizio 4. Si considerino le matrici


−h 1 −1
Ah =  −1 h
1 ,
−1 −1 −h

1−h
Bh =  −2
−3 + h2

0 −1
0 1 .
0 −h
(1) Determinare i valori del parametro h ∈ R per cui l’equazione Ah X = Bh
non ha soluzioni, ha un’unica soluzione, ha infinite soluzioni, individuando,
in quest’ultimo caso, il numero di parametri indipendenti da cui dipendono
tali soluzioni.
(2) Risolvere l’equazione A2 X = B2 .
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(3) Calcolare det(A71 ), det(A20 B√
), det(A−1 + B−1 ).
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(4) Determinare la matrice A−1
0 .
Svolgimento dell’esercizio 4.
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Svolgimento dell’esercizio 4.
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GEOMETRIA DESCRITTIVA
Esercizio 5. Sia dato il numero complesso
√
2 3
√ .
w =i−
1 − 3i
(1)
(2)
(3)
(4)
Determinare la forma polare di w5 .
Determinare la forma cartesiana di w5 .
Calcolare le radici quarte di w4 .
Determinare tutti i polinomi p(x) ∈ R[x] di grado 2 aventi w3 come radice.
Svolgimento dell’esercizio 5.
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Svolgimento dell’esercizio 5.
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