LA TRASFORMATA DI LAPLACE risposta libera e forzata

LA TRASFORMATA DI LAPLACE
I sistemi dinamici invarianti e lineari (e tali sono le reti elettriche) possono essere studiati , nel dominio del
tempo, attraverso le equazioni differenziali nelle quali l'incognita non è un numero reale, come nelle
equazioni algebriche, bensì una funzione del tempo.
e(t)
Ad esempio la condizione d’equilibrio (legge generalizzata di Ohm)
per una rete elettrica costituita dalla serie di un condensatore di
capacità C ed una resistenza di valore R, alimentata da un
generatore di tensione qualsiasi avente f.e.m. e(t), si scrive:
che costituisce appunto una equazione differenziale dove l’incognita è vc(t), ovvero una funzione del tempo
(che oltretutto dipende anche dal valore che nell’istante iniziale aveva la tensione ai capi del
condensatore vc(0¯), ovvero che dipende dalle condizioni iniziali). Lo studio analitico di una simile
equazione sarà visto nel corso di matematica ove si impareranno le regole per la risoluzione delle equazioni
differenziali.
Lo studio dei transitori, tuttavia, diventa più
agevole, pur restando rigoroso, se si
trasferisce il calcolo dal campo reale, ove le
variabili sono funzione del tempo t , al campo
complesso, ove le variabili sono funzione di s
= s + j w ed s è chiamata frequenza
complessa.
Tale operazione avviene mediante la trasformazione di Laplace
L:
dove deve essere f(t)=0 per t<0 , f(t) definita per ogni t ³ 0 , f(t) soddisfacente alle condizioni di Dirichlet
in ogni intervallo finito di tempo (ovvero presentare un numero finito di discontinuità, oscillare tra un
valore massimo e minimo un numero finito di volte, assumere solamente valori finiti). Tali condizioni sono,
almeno nelle applicazioni che ci interessano, sempre soddisfatte.
E' possibile anche la antitrasformazione
L -1
ossia il passaggio dalla F(s) alla f(t):
Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra le funzioni f(t) trasformabili secondo Laplace e le loro
trasformate F(s). Nei casi più comuni non è necessario calcolare l'integrale ma è sufficiente consultare la
tabella riportata nelle pagine seguenti.
Le regole fondamentali di trasformazione, utilizzate nelle applicazioni che ci interessano, sono le seguenti:
1) La trasformata di Laplace del prodotto di una costante K per la funzione f(t) è data dal prodotto fra la
costante stessa e la trasformata F(s) della f(t):
L[ K·f(t) ] = K·F(s)
2) La trasformata della derivata di una funzione f(t) è data dalla trasformata F(s) della funzione
moltiplicata per s e diminuita del valore f(0-) che la funzione assume all'istante t = 0- (condizioni iniziali);
in detto enunciato è anche riassunto il cosiddetto teorema della trasformata della derivata generalizzata:
3) La trasformata dell'integrale di una funzione f(t) corrisponde alla F(s) divisa per s:
dove, nei casi pratici, l’integrale scritto a secondo membro altro non è che la grandezza f(t)·t calcolata
nell’istante iniziale.
4) Teorema del valore iniziale: il valore assunto dalla funzione f(t) all'istante t=0 si ottiene moltiplicando
s per la trasformata della funzione stessa e calcolandone successivamente il limite per s tendente
all'infinito:
5) Teorema del valore finale: il valore assunto dalla funzione f(t) quando t tende a infinito si ottiene
moltiplicando s per la trasformata della funzione stessa e calcolandone successivamente il limite per s che
tende a 0. Questo teorema vale solo se il denominatore della s·F(s) ha radici tutte a parte reale minore di
zero.
Questi due teoremi consentono di valutare rispettivamente il valore iniziale e quello finale (condizione
di regime statico) della grandezza assoggettata ad un fenomeno transitorio, nota che sia latrasformata della
grandezza stessa.
6) La trasformata della somma di due funzioni f1(t) e f2(t) è data dalla somma delle trasformate delle due
funzioni (la stessa regola vale anche per le antitrasformate):
L [ f1(t) + f2(t) ] = F1(s) + F2(s)
7) Teorema della moltiplicazione per t:
8) Teorema della traslazione in s:
Ovvero una traslazione a nel dominio della variabile s corrisponde nel tempo a moltiplicare per la
quantità e-a·t .
9) Teorema della traslazione nel tempo:
Ovvero una traslazione t nel dominio del tempo corrisponde a moltiplicare per il termine e-s·t nel
dominio della s.
Il grande vantaggio di condurre l'analisi del transitorio nel dominio della frequenza complessa consiste nel
fatto che la trasformazione di Laplace consente di ricondurre operazioni con derivate ed integrali ad
operazioni algebriche ovvero di ricondurre equazioni differenziali ad equazioni algebriche. Quindi, in linea
del tutto generale, possiamo concludere che assegnata una qualsiasi equazione differenziale, purché siano
rispettate le condizioni sopra richiamate, è possibile mediante la trasformata di Laplace passare dal
dominio del tempo al dominio della frequenza complessa, risolvere algebricamente l’equazione in s così
ottenuta, ed infine antitrasformare per avere la soluzione nel dominio del tempo.
Risposta libera e risposta forzata di un sistema lineare
Abbiamo in precedenza ricavato
vi = RC
dvc
+ vc nel dominio del tempo t
dt
Ora trasformo con Laplace
L applicando i teoremi e le proprietà :
Vi = RC ( sVc − vc (0 − ) + Vc nel dominio di s
Notiamo che l’uscita Vc(s) dipende sia dall’ingresso Vi che dalla condizione iniziale vc(0).
Ricavo la risposta libera ossia l’uscita che dipende dalle sole condizioni iniziali con ingresso nullo Vi=0.
0 = RC ( sVc − vc (0 − ) + Vc
−
0 = sRCVc − RCvc (0 ) + Vc
ed infine V
lib
c
RCvc (0 − )
=
1 + RCs
risposta libera
Ricavo la risposta forzata ossia l’uscita che dipende dal solo ingresso e condizioni iniziali vc(0-)=0.
Vi = RCsVc + Vc
ed infine
V for c =
Vi
. risposta forzata
1 + RCs
Applicando la sovrapposizione si ha che la risposta totale è la somma della risposta libera e di quella
forzata:
Vc =
RCvc (0 − )
Vi
+
.
1 + RCs 1 + RCs
Esercizio Analizzare un circuito RL e ricavare la risposta libera e forzata nel dominio di s relativa alla
corrente imposta da un generatore di tensione in ingresso vi.
Relazioni costitutive
componente
Relazione costitutiva
Con condizione iniziale
In s trasformando si ha
capacità
V = v (0 − ) +
I = sCV
Xc =
1
sC
I = i (0 − ) +
induttanza
I
sC
In s trasformando si ha
V = sLI
X L = sL
v(t ) = Ri (t )
In s trasformando si ha
V = RI
resistenza
In pratica rispetto le reattanze in alternata al posto di jω si sostituisce s.
Tutte le leggi dell’elettrotecnica continuano a valere nel dominio trasformato.
V
sL
Il serbatoio termico
Per un corpo dotato di capacità termica CTh esiste la seguente relazione fra quantità di calore Q accumulata
e temperatura assoluta T raggiunta:
Q = CTh · T
La capacità termica è una grandezza fisica che si misura in Watt · secondo/°C [W · s/°C].
Pertanto, la legge che lega le variazioni di quantità di calore alle variazioni di temperatura è data da:
ΔQ = CTh · ΔT
Dividendo entrambi i membri per l'intervallo di tempo in cui tali variazioni avvengono, facendo tendere a
zero tale intervallo e sostituendo gli incrementi finiti con gli infinitesimi, si ottiene il modello matematico di
un serbatoio termico:
dQ/dt = CTh · dT/dt
Questa formula mette in relazione la potenza accumulata (o ceduta) ad un certo istante dal sebatoio
termico con la velocità di variazione della sua temperatura.
La trasmissione termica
Se l’interno e l’esterno di un corpo sono poste rispettivamente a temperatura T e Ta, al suo interno si
stabilisce un flusso di calore, dall'estremità più calda verso quello più fredda, dato da:
dQ/dt = (1/RTh) (T - Ta)
Il flusso di calore rappresenta la quantità di energia che attraversa il corpo nell'unità di tempo e si misura in
Watt [W]. La resistenza termica è un parametro che dipende dal tipo di materiale che costituisce il corpo,
dalla sua forma e dalle sue dimensioni. Si misura in °C/Watt
[°C/W]. Per calcolare, ad esempio, la resistenza termica di un cavo di superficie A e coefficiente globale i
trasmissione termica λ, si deve utilizzare la formula seguente:
RTh = 1/λA
Il modello complessivo
Per ottenere il modello complessivo di un sistema termico bisogna impostare la cosiddetta equazione
delbilancio energetico:
Tradotta in formule, diventa:
CTh · dT/dt + (1/RTh) [ T - Ta] = P (t)
T e Ta sono rispettivamente la temperatura interna del sistema e la temperatura esterna (ambiente). Se
assumiamo che la temperatura ambiente abbia valore costante, sfruttando una nota proprietà delle
derivate che pone:
d [ T - Ta]/dt = dT/dt
si ottiene :
CTh · d [ T - Ta]/dt + (1/RTh) [ T (t) - Ta] = P (t)
Sostituendo θ (t) = T (t) - Ta :
CTh · dθ/dt + (1/RTh) θ (t) = P (t)
Moltiplicando tutto per RTh :
RTh CTh · dθ/dt + θ (t) = RTh · P (t)
Sostituendo la costante di tempo τ definita come τ = RTh CTh , si ottiene infine:
τ · dθ/dt + θ (t) = RTh · P (t)
Questa equazione costituisce il modello matematico di un sistema termico e risulta analoga all’equazione
già vista di un sistema RC elettrico.
Sistema elettrico RL.
E (t ) = vr + vL
e ricordando che
vr = Ri
vL = L
di
dt
si ottiene di nuovo un’equazione differenziale del primo ordine:
di
E (t )
L di
=i+
⇒
dove la τ=L/R.
dt
R
R dt
E (t ) = Ri + L
Soluzione generale dei sistemi del primo ordine al gradino.
−
y (t ) = Yin ⋅ e
t
τ
−
+ Y fin − Y fin ⋅ e
t
τ
Dove Yin è il valore iniziale del transitorio e Yfin è quello finale.