Soluzione - Matematicamente

MONO VS. OLIGO
Autore: Hume
Monopolio od oligopolio? Questo è il problema. E' preferibile il primo oppure il secondo?
Risposta unanime: ” Né l'uno né l'altro. Vogliamo la libera concorrenza!”
Tuttavia è noto che a rigore la libera concorrenza non esiste. Una buona approssimazione, secondo i
testi di microeconomia, è data dai prodotti agricoli. Ad esempio si suppone che la produzione di
mele sia fatta da un numero grandissimo di piccoli/medi produttori nessuno dei quali ha dimensione
e potere tali da poter imporre le proprie condizioni commerciali. In questo caso il prezzo è - o
meglio sarebbe - stabilito dal mercato.
Tutti noi sappiamo che prezzo e quantità di un prodotto si formano, in linea di principio, dall'
incontro di due curve: domanda (consumatori) e offerta(produttori).
Torniamo alla domanda iniziale: Monopolio o oligopolio?
In numerose situazioni ci sono motivi solidi e convincenti perché il numero dei produttori debba
essere molto piccolo: 2, 3, 4 produttori. In questo caso si parla di Oligopolio(da oligo = poco, pochi).
Il caso limite avviene quando il produttore è uno solo: monopolio (da mono = uno solo).
Oligopolio e monopolio avvengono per decisione dello Stato, che stabilisce per legge quanti
produttori devono fornire un prodotto o servizio particolare. Oppure per motivi tecnologici: si tratta
di un prodotto a tecnologia particolarmente innovativa che ha richiesto complesse/costose ricerche
ed ha dato luogo a brevetti e/o know-how a protezione dei risultati per molti anni futuri. Conta
anche la dimensione dell'investimento: in certi casi sono richiesti enormi capitali che poche società
possono mettere insieme. Esempio di oligopolio: Boeing ed Airbus nel segmento grandi aerei.
E' piuttosto evidente che quando i produttori sono pochi, essi sono in grado di fare mercato. Ossia
di avere notevole forza per influenzare il prezzo.
La microeconomia ha lungamente studiato monopolio e oligopolio. La teoria del primo è ormai
consolidata. Mentre l'oligopolio, che pure ha dato luogo a notevoli sviluppi applicativi, è ancora
oggetto di studi, data la variabilità dei casi e dei possibili comportamenti competitivi. Di esso si
occupa anche le Teoria dei Giochi.
Vogliamo ora provare a sviluppare un esempio di monopolio/oligopolio.
Stati Uniti, far west, due grandi città in notevole espansione, distanti fra loro 110 miglia(circa 180
km). Le loro economie sono complementari. Entrambe possiedono importanti industrie e sono sedi
di grandi società. In una di queste sono situati uffici governativi. Esiste un intenso traffico di
persone nei due sensi: impiegati, operai, imprenditori, professionisti, commercianti, insegnanti,
politici, lobbisti, .... Tutti in auto. Il turnpike (autostrada a pedaggio) che unisce le due metropoli è
prossimo alla saturazione. Il Dipartimento Statale dei Trasporti è stato incaricato di proporre al
Governatore una soluzione adeguata per i prossimi decenni. Si potrebbe costruire una nuova
autostrada parallela a quella esistente, ma ciò aggraverebbe il problema dell'inquinamento, al quale
è sensibile una vasta fetta dell'elettorato. Soluzione alternativa: una linea ferroviaria alta velocità
che colleghi i due centri in 45 minuti, senza fermate intermedie. Il Dipartimento dopo analisi
accurate redige un progetto della nuova linea e decide di indire una gara per l'appalto e l'esercizio
della stessa. Si invitano, su base federale, tutti i gruppi del settore a presentare una dichiarazione di
interesse, corredata da un business plan preliminare Dopo alcuni mesi tre gruppi, attivi nel business
ferroviario sulla costa dell'est, inviano la loro proposta. Ognuno propone di formare una società ad
hoc, finanziata interamente con emissione di azioni che saranno quotate a Wall Street.
Il dipartimento, dopo un attento esame delle dichiarazioni e ulteriori valutazioni, formula una serie
di proposte alternative da sottoporre ai decisori. Si potrebbe stabilire di affidare tutto il business a
una sola società (monopolio) oppure a due o tre (oligopolio). In caso di oligopolio la ferrovia
potrebbe essere costruita in consorzio ed esercita separatamente in concorrenza (non certo perfetta).
Un primo passo fondamentale è cercare di capire la dimensione del mercato lato domanda. Per
questo serve la curva di domanda. Essa esprime il legame tra la quantità q che i consumatori
desiderano acquistare in funzione del prezzo p offerto dai produttori:
p = a – kq
In essa a e k sono due parametri positivi determinati per regressione. E' dunque una retta a
pendenza negativa. Tanto minore è il prezzo, tanto maggiore è la quantità che il consumatore
comprerebbe. Si vede facilmente che: 0 < p < a , mentre: 0 < q < a/k
Nel caso in esame il Dipartimento, ha costruito la curva di domanda sulla base di dettagliate
ricerche di mercato, ottenendo:
a = 170 ($/biglietto)
, k = 4*10-06 ($/biglietto2)
Dove p è il prezzo del biglietto one way (unidirezionale) espresso in $/biglietto, mentre la quantità
q è il numero(milioni) di biglietti venduti in un anno.
Notiamo incidentalmente che la ferrovia AV venderà un servizio (il trasporto del passeggero), non
certo un prodotto.
Il Dipartimento ha calcolato che l'investimento totale (comprensivo della costruzione della linea AV
completa della segnalazione, dell'acquisto del materiale rotabile e dei costi necessari alla
costituzione della società, incluso il capitale circolante) sia 85 M$/miglio( M sta per mega =
milioni). La ferrovia è un business complesso ed economicamente rischioso, perciò lo Stato si rende
disponibile a finanziare a fondo perduto metà dell'investimento.
DOMANDA 1
La prima alternativa considerata dal Dipartimento prevede che costruzione ed esercizio dalla linea
AV sia data in monopolio al gruppo più solido ed importante dei tre, che costituirà una società
denominata FASTRACK. Essa sarà creata emettendo azioni per creare il Capitale Sociale pari al 50%
dell'investimento (mentre il restante 50% sarà erogato dalla Stato). Si stima che il Costo Marginale
(MC) (*) di esercizio del business di FASTRACK (incluso ammortamenti) sia di 58 $/biglietto. In
tal modo il Costo di esercizio è dato da:
C = MC*q
Facendo uso della Teoria del Monopolio trovare prezzo e quantità di monopolio che saranno,
prevedibilmente, determinati e usati da FASTRACK. Calcolare anche Costo, Ricavo(**) e
Risultato Economico lordo (***) conseguiti dalla società. Assumendo infine che il Risultato
Economico lordo sia tassato con un’aliquota del 40% si determini l'Utile. Infine ipotizzando che gli
azionisti siano compensati con un dividendo annuo che, per semplicità, supponiamo sia esprimibile
come interesse del 5,50% sul Capitale Sociale, determinare quanto ricevono (in totale) gli azionisti
e quanto rimane disponibile come Utile non distribuito.
DOMANDA 2
La seconda alternativa prevista dal Dipartimento prevede che si crei un oligopolio costituito da
due società (FASTRACK e HSTRACK). In questo caso la linea AV sarà costruita in consorzio
dividendo a metà l'investimento richiesto ai privati. In definitiva lo Stato metterà il 50%, mentre i
due oligopolisti metteranno il 25% ciascuno. Si stima che i Costi Marginali siano diversi. Per
FASTRACK assumere quello a DOMANDA 1, mentre per HSTRACK si stima MC = 61 $/biglietto.
Come si determina l'equilibrio di mercato nel caso del duopolio? Nella realtà esistono diverse teorie,
ma il Dipartimento ritiene che la più aderente alla realtà, per questo tipo di oligopolio, sia quella di
Cournot.
Facendo uso della teoria di Cournot determinare il prezzo del biglietto (unico) di oligopolio, che
sarà applicato da entrambe le società e la quantità (vale a dire il numero di biglietti) che ciascuna
venderà.
Anche in questo caso calcolare Ricavo, Costo, Risultato lordo, Utile. Assumendo che HSTRACK
prometta di pagare agli azionisti un interesse del 5,75%, mentre FASTRACK paghi l'interesse di
DOMANDA 1, determinare infine, per ciascuna società, quanto ricevono( in totale) gli azionisti e
quanto rimane disponibile come Utile non distribuito.
DOMANDA 3
Infine il Dipartimento ha preso in considerazione l'alternativa - meno probabile - di un Tripolio. Le
società sarebbero FASTRACK, HSTRACK e SFTRACK. Il capitale sarebbe versato per il 50%
dallo Stato, mentre il rimanente 50% sarebbe diviso in parti uguali fra i tre oligopolisti.
Il Costo Marginale e l'interesse pagato agli azionisti sarebbero rispettivamente:
Società
MC ($/biglietto) Interesse
agli
azionisti
FASTRACK
58
5,50%
HSTRACK
61
5,75%
SFTRACK
63
6,00%
Applicando ancora la teoria di Cournot calcolare le stesse variabili di cui a DOMANDA 2.
*) Il Costo Marginale è la derivata del costo rispetto alla quantità. Nel nostro caso la derivata del
Costo di esercizio annuo rispetto al numero di biglietti.
(**) Il Ricavo è dato, ovviamente dal prodotto di prezzo e quantità: R = pq
(***) Risultato Economico lordo( vale a dire ante imposte): EBT = R – C
(EBT = Earning Before Tax)
Nota: i nomi delle tre società FASTRACK (binari veloci), HSTRACK (binari ad alta velocità),
SFTRACK(binari super-veloci) sono di pura fantasia
RISPOSTA 1
In caso di monopolio l'offerta dell'unico produttore coincide con l'intera offerta di mercato. Il
monopolista stabilisce il livello di produzione q tale da massimizzare il suo profitto.
Ecco come:
Le curva di domanda e di costo, ricavo sono date rispettivamente da:
p = a – kq
C = MCq
R = pq = (a – kq)q
Il Risultato Economico lordo (EBT) è dato dalla differenza tra ricavo e costo:
EBT = R – C = (a – kq)q – MCq = (a – MC)q - kq2
Il suo massimo si determina cercando il massimo relativo rispetto alla quantità prodotta:
dEBT/dq = a – MC – 2kq = 0
Quindi:
q = (a – MC)/(2k)
(a)
è punto di stazionarietà.
Inoltre
d2EBT/dq2 = - 2k < 0
Pertanto la soluzione trovata è un massimo relativo.
.
Gli economisti ottengono il medesimo risultato in modo più elegante, definendo la variabile MR,
(Ricavo Marginale = derivata del ricavo rispetto alla quantità):
Tornando alla definizione di profitto, sopra riportata:
EBT = R – C
Derivando il profitto rispetto alla quantità, per ricercare il suo massimo si ottiene:
dEBT/dq = MR – MC = 0
Questo vuol dire che il massimo profitto si determina quando:
vale a dire quando il ricavo marginale eguaglia il costo marginale.
Ma noi sappiamo che
MR = dR/dq = d[(a – kq)q]/dq = a-2kq
Dunque risulta:
MR = a-2kq =MC
MR = MC
Eguagliando ricavo e costo marginale si ottiene di nuovo la equazione (a)
Infine il prezzo di monopolio si deduce dalla curva di Offerta:
p = a – kq = a - k (a – MC)/(2k) = (a + MC)/2
(b)
In conclusione le equazioni (a) e (b) definiscono quantità e prezzo di monopolio.
I dettagli di calcolo ed i diagrammi, riferiti ai dati del monopolista FASTRAK, sono riportati nel file
EXCEL, SHEET MONOPOLISTA.
RISPOSTA 2
La Teoria del duopolio di Cournot si applica a situazioni in cui i due produttori hanno sostenuto
grandi investimenti per dotarsi degli impianti necessari e quindi sono abbastanza rigidi in merito al
livello di produzione q. Ognuno di loro cerca di manovrare nell'ambito dei limiti rispettivi di
produzione, al fine di ottimizzare il profitto(lordo). Il prezzo di duopolio è il risultato della strategia
di ottimizzazione che entrambi adottano indipendentemente. In conclusione si determinano due
quantità q1 e q2 ( la cui somma eguaglia la domanda totale di mercato) ed un prezzo solo p che sarà
applicato da entrambi i produttori.
Come si giunge a definire le quantità ed il prezzo nel duopolio di Cournot? In modo semplice: il
primo produttore cerca il massimo profitto in funzione della quantità q1 (che gli produce) per ogni
possibile livello di produzione q2 del produttore rivale. Il rivale si comporta in modo uguale e
simmetrico.
Si procede così:
EBT1 = R1 – C1 = pq1 – MC1q1 = (a – kq)q1 - MC1q1
ma q = q1 + q2
è la quantità totale prodotta e richiesta dal mercato.
Dunque:
EBT1 =[(a – k(q1 + q2 )]q1 - MC1q1
Per determinare il profitto massimo del primo produttore non resta che azzerare la derivata parziale
del suo profitto rispetto alla quantità q1 da lui prodotta:
∂EBT1/∂q1 = – kq1 + (a – k(q1 + q2 ) - MC1 = 0
Dalla quale si ottiene:
q1 = (a – MC1 – kq2 )/2k
(c)
Siamo sicuri che la quantità q1 così determinata individui davvero il profitto massimo? Prendiamo
la derivata seconda:
∂2EBT1/∂q21 = – 2k
che è certamente negativa. Dunque abbiamo un massimo.
La retta così ottenuta si chiama Curva di Reazione del primo produttore e definisce la sua
produzione ottimale – ai fini del profitto - per ogni valore di produzione q2 del rivale.
Quest'ultimo si comporta in modo uguale rispetto al primo produttore. Abbiamo:
EBT2 =[(a – k(q1 + q2 )]q2 – MC2q2
∂EBT2/∂q2 = – kq2 + (a – k(q1 + q2 ) - MC2 = 0
q2 = (a – MC2 – kq1 )/2k
(d)
che è la Curva di Reazione del secondo produttore rispetto al primo.
Per far modo che ciascun produttore ottenga il profitto massimo basta ora incrociare le due curve
(rette) di reazione (c) e (d). In termini matematici: risolvere il sistema costituito dalle due equazioni
lineari.
Si perviene, alla fine a:
q1 = (a – 2MC1 +MC2)/3k
q2 = (a – 2MC2+ MC1)/3k
E dunque:
q = q1 + q2 = (2a – MC1 -MC2)/3k
Mentre il prezzo(unico) di mercato si determina tramite la curva di domanda:
p = a - kq = a - (2a – MC1- MC2)/3 = (a + MC1+ MC2)/3
I dettagli di calcolo ed i diagrammi, riferiti ai dati di Domanda 2, sono riportati nel file EXCEL,
SHEET
RISPOSTA 3
In questo caso si considerano le tre società: FASTRAK, HSTRACK e SFTRACK. Ancora
assumiamo valido l'oligopolio di Cournot.
Il ragionamento fatto nel caso del duopolio si estende facilmente al caso del tripolio. In questo caso
si azzerano tre derivate parziali e si determinano tre curve di reazione.
Tralasciamo il procedimento un po' lungo e tedioso.
Si ottiene:
q1 = (a - 3MC1 + MC2 + MC3)/(4k)
q2 = (a - 3MC2 + MC1 + MC3)/(4k)
q3 = (a - 3MC3 + MC1 + MC2)/(4k)
q = (3a - MC1 - MC2 – MC3)/(4k)
p = a - kq = a - (3a - MC1 - MC2 – MC3)/4 = (a + MC1 + MC2 + MC3)/4
I dettagli di calcolo ed i diagrammi sono riportati nel file EXCEL, SHEET TRIPOLIO.
Mentre lo SHEET SOMMARIO E CONCLUSIONI confronta i risultati dei tre casi. Si vede
chiaramente che aumentando il numero di produttori il prezzo p scende e la quantità q aumenta: in
questo modo si avvantaggiano i consumatori (passeggeri) a detrimento dei produttori, e in definitiva
dei loro azionisti (alcuni dei quali potrebbero essere passeggeri). Questo può essere visto in termini
di numeri indice del prezzo del biglietto(lato consumatori) contro il numero indice dell'utile
complessivo delle società ferroviarie(lato produttori).
INDICI
INDICE PREZZO
BIGLIETTI
MONOPOLIO
INDICE UTILE
INDICI PREZZO E UTILE
100
DUOPOLIO
90
80
70
TRIPOLI
O
60
100
110
120
130
140
150
INDICE QUANTITA'
APPENDICE ALLE RISPOSTE
Il problema posto è stato risolto anche nel caso di un oligopolio fino a tre concorrenti. E' ben
difficile supporre che nella realtà una linea AV possa essere esercita da un numero maggiore di
società. Se tuttavia ci permettiamo di lasciare libera la fantasia, possiamo immaginare che ci
possano essere 5, 10, 100, … al limite infinite società. Come variano p e q in questi casi, sempre
nell'ambito della teoria di Cournot?
Possiamo vederlo, ma prima introduciamo un’ipotesi che ci permetta di semplificare le formule:
assumiamo che tutte le società abbiano lo stesso costo marginale, ad esempio la media del tripolio
che abbiamo appena visto. Dunque MC = costante per tutte le società, qualsiasi sia il loro numero.
Con questa ipotesi, per evidenti ragioni di simmetria, tutte venderanno lo stesso numero di biglietti.
Bene, la teoria di Cournot può essere generalizzata e si ottiene, per n società:
q =(n/n+1)(a-MC)/k
qi = q/n
p = (a + nMC)/(n+1)
I diagrammi sotto riportati mostrano l'andamento di q e di p al crescere di n.
Quando n tende a + ∞ si calcolano i due limiti cui tendono p e q con il teorema di de L'Hốpital:
qcp = (a-MC)/k
pcp = MC
Dunque il prezzo tende al costo marginale. Ma questo è il risultato fornito dalle teoria della
concorrenza perfetta! Ed è ben logico. Un numero infinito di concorrenti produce la concorrenza
perfetta. Con i dati forniti si ottiene: qcp = 27,3 M biglietti/anno, mentre pcp = MC =60,7
$/biglietto
Il file EXCEL allegato riporta nell'ultimo SHEET i calcoli di dettaglio, inclusa la tabella della
profitabiliy. Si vede chiaramente che è possibile pagare i dividendi desiderati agli azionisti fin
quando n = 4, poi non ci sarebbe modo di soddisfarli adeguatamente, cosa che metterebbe
seriamente a rischio il futuro delle società ferroviarie.
Prezzo e quantità sulla curva di Domanda di mercato
(al crescere del numero di oligopolisti la posizione di equilibrio di mercato si
sposta a destra)
100,00
2
p ($/biglietto)
90,00
80,00
5
70,00
60,00
100
50,00
40,00
16
18
20
22
q ( Mbiglietti)
24
26
28
30