Nome e Cognome → 03EOHET - Statistica applicata Politecnico di

Nome e Cognome →
03EOHET - Statistica applicata
Politecnico di Torino, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica
Prova d’esame del 17 Giugno 2008
Scrivere subito Nome e Cognome. Il tempo a disposizione è di 2 ore. Chi lo desidera può uscire
prima di mezz’ora dalla consegna del compito, consegnando questi fogli; ma non può rientrare.
Consegnare SOLO questi fogli. Riportare tutti i calcoli utili e le risposte nelle caselle relative
o in uno spazio bianco limitrofo. I risultati dello scritto verranno comunicati con un email agli
indirizzi studenti, poi i voti sufficienti potranno essere registrati
Venerdı̀ 20 Giugno 2008 tra le 15:00 e le 16:00
presso il Dipartimento di Matematica, entrata al terzo piano, ascensore centrale lato aule pari.
Esercizio 1 (12 punti)
Un tentativo di intrusione in un sistema protetto viene rilevato se scatta almeno uno di
due sensori A e B. Le loro probabilità di scatto sono pA = 0.6 e pB = 0.7 rispettivamente
e i due sensori funzionano in maniera indipendente.
1. Calcolare la probabilità p che un tentativo di intrusione sia rilevato.
Risposta:
2. Calcolare la probabilità che, su 10 indipendenti tentativi di intrusione, almeno 9 di
essi siano rilevati.
Risposta:
3. Sulla base del seguente output di R calcolare, con una approssimazione al massimo
di 0.005, il più piccolo valore di p tale che la probabilità che, su 10 indipendenti
tentativi di intrusione, almeno 9 di essi siano rilevati sia maggiore di 0.80. Cerchiare
il valore trovato.
1
> p <- seq(.7,1,by=0.005)
> p
[1] 0.700 0.705 0.710 0.715
[13] 0.760 0.765 0.770 0.775
[25] 0.820 0.825 0.830 0.835
[37] 0.880 0.885 0.890 0.895
[49] 0.940 0.945 0.950 0.955
[61] 1.000
> round(1-pbinom(8,10,p),3)
[1] 0.149 0.157 0.166 0.174
[13] 0.267 0.280 0.292 0.305
[25] 0.439 0.456 0.473 0.490
[37] 0.658 0.678 0.697 0.717
[49] 0.882 0.899 0.914 0.928
[61] 1.000
> round(1-pbinom(9,10,p),3)
[1] 0.028 0.030 0.033 0.035
[13] 0.064 0.069 0.073 0.078
[25] 0.137 0.146 0.155 0.165
[37] 0.279 0.295 0.312 0.330
[49] 0.539 0.568 0.599 0.631
[61] 1.000
>
0.720
0.780
0.840
0.900
0.960
0.725
0.785
0.845
0.905
0.965
0.730
0.790
0.850
0.910
0.970
0.735
0.795
0.855
0.915
0.975
0.740
0.800
0.860
0.920
0.980
0.745
0.805
0.865
0.925
0.985
0.750
0.810
0.870
0.930
0.990
0.755
0.815
0.875
0.935
0.995
0.183
0.318
0.508
0.736
0.942
0.192
0.332
0.526
0.755
0.954
0.202
0.346
0.544
0.775
0.965
0.212
0.361
0.563
0.793
0.975
0.222
0.376
0.582
0.812
0.984
0.233
0.391
0.601
0.830
0.991
0.244
0.407
0.620
0.848
0.996
0.255
0.423
0.639
0.866
0.999
0.037
0.083
0.175
0.349
0.665
0.040
0.089
0.186
0.369
0.700
0.043
0.095
0.197
0.389
0.737
0.046
0.101
0.209
0.411
0.776
0.049
0.107
0.221
0.434
0.817
0.053
0.114
0.235
0.459
0.860
0.056
0.122
0.248
0.484
0.904
0.060
0.129
0.263
0.511
0.951
4. Supponiamo di essere in grado di aumentare pA ma non pB . Quale deve essere il
minimo valore di pA affinché p raggiunga il valore calcolato al punto precedente?
Risposta:
2
Esercizio 2 (12 punti)
Il livello del metabolita X nel sangue di una persona con il genotipo A sia distribuito
normalmente con media 200 e varianza 16.
Il livello del metabolita X nel sangue di una persona con il genotipo B sia distribuito
normalmente con media 210 e varianza 16.
Il livello del metabolita X nel sangue di una persona con il genotipo C sia distribuito
normalmente con media 210 e varianza 25.
Le proporzioni dei tre genotipi A,B e C in una popolazione siano rispettivamente 0.50, 0.20
e 0.30. Si estragga una persona a caso dalla popolazione e la si analizzi per il metabolita
X.
1. Qual’è la migliore stima del genotipo di quella persona, in assenza di ulteriori informazioni?
Risposta:
2. calcolare la probabilità che il livello del metabolita X sia maggiore di 205.
Risposta:
3. calcolare le probabilità che la persona abbia il genotipo A, B e C rispettivamente,
sapendo che il livello del metabolita X è risultato maggiore di 205.
Risposta:
4. Qual’è la migliore stima del genotipo di quella persona in presenza dell’informazione
che il livello del metabolita X sia risultato maggiore di 205?
Risposta:
3
Esercizio 3 (9 punti)
Quattro misurazioni indipendenti su un certo valore incognito abbiano dato i seguenti
risultati: 3,149 3,000 2,045 12,514. Supponendo che lo strumento di misura sia tale che gli
errori di misura sono distribuiti normalmente con deviazione standard 1:
1. calcolare la migliore stima di punto per il valore incognito.
Risposta:
2. calcolare un intervallo di confidenza di livello 90% per il valore incognito.
Risposta:
3. A ben guardare, una delle misurazioni potrebbe essere il frutto di un errore di misura.
Ricalcolare la migliore stima di punto per il valore incognito escludendo la misurazione sospetta.
Risposta:
4