Esercizi di Calcolo delle Probabilita` (Spazi di probabilit`a - Iac-Cnr

Esercizi di Calcolo delle Probabilita’ (Spazi di
probabilità ed eventi)
Alessandro De Gregorio
“Sapienza” Università di Roma
[email protected]
1. Dimostrare che valgono le leggi di De Morgan
(∪ni=1 Ai )c = ∩ni=1 Aci ,
(∩ni=1 Ai )c = ∪ni=1 Aci
2. T
Data una famiglia di σ-algebre {Ai }i sullo stesso insieme Ω, dimostrare che
i Ai rappresenta ancora una σ-algebra.
3. Dato lo spazio campionario Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} definire la più piccola σalgebra G contenente l’evento A = {numero pari}.
4. Dimostrare che dato lo spazio campionario Ω = {a, b, c, d, e}
A = {∅, {c}, {a, b}, {d, e}, {a, b, c}, {c, d, e}, {a, b, d, e}, Ω}
rappresenta una σ-algebra di eventi.
5. Scegliamo a caso uno studente tra quelli presenti in aula. Come è definito lo
spazio campionario Ω? Definiamo gli eventi:
Lj =lo studente è iscritto al corso di Laurea di j-esimo livello (j = 1, 2)
V =lo studente è iscritto al vecchio ordinamento
R =lo studente è nato a Roma
J = lo studente è tifoso della Juventus
D = lo studente è donna
Descrivere i seguenti eventi: L2 ∩ D, D ∩ V c , R ∩ J, (L2 ∪ V )c , Lc2 . Dire se
la seguente relazione è vera
J = (∪2j=1 (J ∩ Lj )) ∪ (J ∩ V )
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A. De Gregorio
6. Dati gli eventi A, B, C, esprimere gli eventi che seguono sotto forma di ∩ e
∪. (a) si verifica almeno uno dei 3; (b) si verifica almeno due dei tre eventi;
(c) nessuno dei 3 si verifica; (d) si verificano tutti e 3; (e) si verificano A e
B ma non C; (d) si verifica uno solo dei 3.
7. Si lancia 4 volte la stessa moneta, mostrare lo spazio campionario Ω e rappresentare gli eventi: (a) teste e croci si alternano; (b) il primo e il quarto
lancio danno testa; (c) ci sono tante teste quante croci; (d) tre lanci successivi
hanno dato lo stesso risultato.
8. Si lancia una moneta ripetutamente sino a quando non appare testa. In
quel momento si interrompe la prova. (a) Dire se T T è uno possibili risultati; (b) scrivere l’insieme Ω; (c) rappresentare come punto di Ω l’evento
Tk = (l’esperimento termina al k-esimo lancio) (d) rappresentare l’evento
c
(l’esperimento termina entro il k-esimo lancio) (e) descrivere (∪∞
k=1 Tk ) .
9. Si lanciano contemporaneamente un dado ed una moneta e si registrano
i risultati ottenuti. (a) Descrivere lo spazio dei risultati della prova; (b)
descrivere gli eventi A ={il dado dà un numero pari}, B ={il dado dà un
numero divisibile per 3} e C ={esce testa oppure croce} mediante i punti di
Ω.
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A. De Gregorio
Soluzioni
1. Dimostriamo la prima uguaglianza. Se ω ∈ (∪ni=1 Ai )c allora ω non appartiene
a ∪ni=1 Ai , ovvero ω non appartiene ad Ai per ogni i = 1, 2, ..., n. Questo
implica che ω ∈ Aci per ogni i = 1, 2, ..., n e quindi ω ∈ ∩ni=1 Aci .
Dimostriamo l’implicazione opposta. Supponiamo che ω ∈ ∩ni=1 Aci allora
ω è contenuto in Aci per ogni i = 1, 2, ..., n. Questo implica che ω non
è contenuto in Ai per ogni i ovvero che ω non appartiene a ∪ni=1 Ai . In
conclusione ω ∈ (∪ni=1 Ai )c .
Considerazioni simili portano alla seconda legge di De Morgan.
T
2. (i) Ovviamente ∅ and Ω apparterranno a i Ai .
T
(ii) SeTA ∈ i Ai allora A ∈ Ai e quindi Ac ∈ Ai per ogni i. In defintiva
Ac ∈ i Ai .
T
(iii)
An ∈ AiTper ogni n ed i. Quindi
S Se An ∈ i Ai per ogni n allora S
n An ∈ Ai per ogni i da cui segue che
n An ∈
i Ai .
3. In questo caso la più piccola σ-algebra contenente A = {pari} = {2, 4, 6} è
data da
G = {∅, Ω, A, Ac }.
4. Non è complicato dimostrare che A è chiusa rispetto alla negazione. Per
dimostrare che A è chiusa rispetto all’unione numerabile degli eventi, si dimostri la chiusura prima per le unioni di due eventi, poi per quelle di tre
insiemi e cosı̀ via, aggiungendo sempre più eventi.
5. Ω è rappresentato da tutti gli studenti presenti in aula.
L2 ∩ D = {lo studente risulta iscritto alla laurea di secondo livello ed è
donna}.
D ∩ V c = {lo studente è donna ed iscritto alla laurea di primo o secondo
livello}.
R ∩ J = {lo studente è nato a Roma e tifa per la Juventus}.
(L2 ∪ V )c = Lc2 ∩ V c = L1 = {lo studente risulta iscritto alla laurea di primo
livello}.
Lc2 = (L1 ∪ V ) = {lo studente è iscritto alla laurea di primo livello oppure al
vecchio ordinamento}.
Abbiamo che
∪2j=1 (J ∩ Lj )) ∪ (J ∩ V ) = J ∩ (L1 ∪ L2 ∪ V ) = J ∩ Ω = J
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6. (a) A ∪ B ∪ C
(b) (A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ B c ∩ C) ∪ (Ac ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
(c) Ac ∩ B c ∩ C c
(d) A ∩ B ∩ C
(e) A ∩ B ∩ C c
(f) (A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B c ∩ C)
7. Lo spazio campionario in questo caso è definito da tutte le sequenze possibili
di teste (T) o croce (C), che sono 24 = 16. Quindi
Ω = {T T T T, T T T C, T T CC, ..., T CCT, CT CT, ..., CCCC}
(a) {teste e croci si alternano}={T CT C, CT CT }
(b) {il primo e il quarto lancio danno testa}={T T T T, T CT T, T T CT, T CCT }
(c) {ci sono tante teste quante croci}
= {T T CC, T CT C, CT CT, CCT T, CT T C, T CCT }
(d) {tre lanci successivi hanno dato lo stesso risultato}
= {T T T C, CCCT, CT T T, T CCC, T T T T, CCCC}
8. (a) No.
(b) Ω = {T, CT, CCT, CCCT, ..., CCCCCC · · · }
(c) Tk = {CC
· · · C} T }
| {z
k−1 volte
(d) T1 ∪ T2 ∪ ... ∪ Tk
∞
c
(e) ∪∞
k=1 Tk rappresenta l’evento esce testa; mentre (∪k=1 Tk ) = {CCCC · · · }
è l’evento non esce testa oppure escono solo croci.
9. (a)
Ω = {(1, T ), (2, T ), (3, T ), (4, T ), (5, T ), (6, C), (1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C)}
(b)
A = {(2, T ), (2, C), (4, T ), (4, C), (6, T ), (6, C)}
B = {(3, T ), (3, C), (6, T ), (6, C)}
C=Ω
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