Esercizio di statistica sul Box-plot (grafico a

Esercizio di statistica sul Box-plot (grafico a scatola)
Nella seguente tabella sono riportate le durate di un gruppo di mutui. Disegna il Box-plot.
Durata in anni Freq. assolute
0 -| 4
10
4 -| 8
53
8 -| 12
51
12 -| 16
30
16 -| 20
15
Svolgimento
Occorre calcolare la mediana, il primo e terzo quartile. Le formule da utilizzare sono
( X − X i −1 )( 0,5 − Fi −1 )
Med = Q2 = X i −1 + i
( Fi − Fi −1 )
( X i − X i −1 )( 0, 25 − Fi −1 )
( Fi − Fi −1 )
( X − X i −1 )( 0, 75 − Fi −1 )
Q3 = X i −1 + i
( Fi − Fi −1 )
Q1 = X i −1 +
Predisponiamo allora la seguente tabella che ci permette di eseguire i calcoli in modo sistematico
X
Freq. Ass. Freq. Relative Freq. Relat. Cumulate
classi
ni
fi
Fi
10/160=0.0625 0,0625
0 -| 4 10
25/160=0.1563 0.1563+0,0625=0.2188
4 -| 8 25
50/160=0.3125 0.2188+0.3125=0.5313
8 -| 12 50
45/160=0,2813 0.5313+0.2813=0.8126
12 -| 16 45
30/160=0,1875 0.8126+0.1875=1
16 -| 20 30
totali 160
Per calcolare la mediana trovare la classe con frequenza relativa cumulata Fi immediatamente
superiore al 0,5. In questo caso la classe è 8 -| 12, quindi Xi=12 e Xi-1=8; Fi=0,5313; Fi-1=0,2188.
( X − X i −1 )( 0,5 − Fi −1 ) = 8 + (12 − 8) ⋅ ( 0,5 − 0, 2188) = 11,5994
Med = Q2 = X i −1 + i
0,5313 − 0, 2188
( Fi − Fi −1 )
Per calcolare il primo quartile Q1 occorre considerare la classe con frequenza relativa cumulata
immediatamente superiore a 0,25. In questo caso la classe è ancora la 8 -| 12, quindi Xi=12 e Xi-1=8;
Fi=0,5313; Fi-1=0,2188.
( X − X i −1 )( 0, 25 − Fi −1 ) = 8 + (12 − 8) ⋅ ( 0, 25 − 0, 2188) = 8,3994
Q1 = X i −1 + i
0,5313 − 0, 2188
( Fi − Fi −1 )
Per calcolare il terzo quartile Q3 si prende la classe con frequenza relativa cumulata
immediatamente superiore a 0,75. In questo caso la classe è la 12 -| 16, quindi Xi=16 e Xi-1=12;
Fi=0,8126, Fi-1=0,5313.
( X − X i −1 )( 0, 75 − Fi −1 ) = 12 + (16 − 12 ) ⋅ ( 0, 75 − 0,5313) = 15,1098 .
Q3 = X i −1 + i
0,8126 − 0,5313
( Fi − Fi −1 )
Si calcolano il limite inferiore Linf e il limite superiore Lsup:
Linf=Q1-1,5(Q3-Q1) = 8,3994-1,5·(15,1098-8,3994) = -1,6662
Lsup=Q3+1,5(Q3-Q1) = 15,1098+1,5·(15,1098-8,3994) = 25,1754
Infine rappresentiamo su un segmento i valori Xmin, Xmax, Q1, Q2, Q3, Linf, Lsup, tenendo conto che:
se Linf < Xmin rappresentiamo Linf, altrimenti Xmin;
se Lsup > Xmax rappresentiamo Lsup, altrimenti Xmax.
Linf
Lsup
0
min
8,4
Q1
10
11,6
Q2
mediana
15,1
Q3
20
max