appunti di fisica aggiunta marzo 2011

PROP – PROPORZIONI
Nota. La maggior parte delle persone, quando sente parlare di “proporzione”, pensa subito ad una
scrittura del tipo
a:b=c:d
Nonostante non sia scorretto, in fisica questo tipo di formalismo non è utilizzato.
PROP.1
Consideriamo le seguenti situazioni.
a) Un pentolino d'acqua viene riscaldato su un fornello, e viene misurata la temperatura
dell'acqua al passare del tempo
b) Una palla da tennis viene fatta cadere da diverse finestre di un palazzo, e viene
cronometrato il tempo di caduta dal primo piano, dal secondo e così via
c) Un grosso recipiente viene via via riempito di alcol e viene misurato il peso del
recipiente al variare del volume d'alcol che esso contiene
d) Un'automobile viaggia su un'autostrada e viene misurato il tempo che ha impiegato a
percorrere via via 10 km, 20 km, 30 km etc.
Negli esempi elencati, si possono distinguere:
- una grandezza il cui valore può essere scelto arbitrariamente; questa grandezza viene chiamata
variabile indipendente; nell'esempio 1, la temperatura dipende dal tempo di riscaldamento,
possiamo decidere di misurarla dopo due minuti, dopo un quarto d'ora....; quindi è il tempo la
variabile indipendente
- una grandezza il cui valore dipende dalla scelta precedente; questa grandezza viene chiamata
variabile dipendente; nell'esempio 1, è la temperatura la variabile dipendente
Quasi sempre il ruolo delle due variabili dipendente e indipendente può essere scambiato
apportando delle piccole modifiche alle osservazioni sperimentali: ad esempio nella situazione 1
potremmo decidere di misurare il tempo necessario a raggiungere le temperature di 50°, 60° e così
via. In questo caso la variabile indipendente sarebbe la temperatura e il tempo quella dipendente.
ESERCIZIO.
Individua le variabili dipendenti e indipendenti negli esempi 2, 3 e 4. Spiega come dovrebbe essere
modificato l'esperimento in modo da scambiare variabile indipendente e dipendente.
PROP.2
Negli esempi del paragrafo precedente, un aumento della variabile indipendente provoca sempre un
aumento di quella dipendente. Ovviamente non è sempre così; come esempio possiamo considerare
il caso in cui si voglia misurare come varia la temperatura al variare della distanza da un
termosifone. Ovviamente aumentando la distanza (variabile indipendente), la temperatura
diminuisce.
ESERCIZIO
Escogita almeno altri due esempi in cui aumentando la variabile indipendente, la variabile
dipendente diminuisce.
PROP.3
In alcuni casi, la dipendenza è di un tipo molto speciale.
Nell'esempio 3, ogni volta che aggiungiamo la stessa quantità d'alcol sulla bilancia, il peso aumenta
della stessa quantità.
Questo non avviene assolutamente negli altri casi:
• Se fosse vero che lasciando sul fuoco il pentolino dell'esempio 1 la sua temperatura aumentasse
ogni minuto sempre della stessa quantità, allora aspettando abbastanza tempo si potrebbe
raggiungere qualsiasi temperatura, mentre l'acqua non può superare i 100°
• Gli scienziati che hanno studiato il fenomeno dicono che non è vero, in generale, che un
oggetto che cade da un'altezza di quattro metri impiega il doppio del tempo che impiega a
cadere da due metri. Forse riuscirai a verificarlo anche tu a scuola, anche se non è un
esperimento di facile esecuzione
• È facile capire che è molto raro che un'automobile impieghi lo stesso tempo a percorrere la
stessa distanza: ci possono essere ostacoli, rallentamenti eccetera
Quando la dipendenza è del tipo dell'esempio 3, essa si chiama PROPORZIONALITÀ DIRETTA.
Siccome è un argomento importantissimo in fisica, ne diamo qui di seguito la definizione
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se
quando la variabile indipendente raddoppia, oppure triplica, oppure si dimezza etc,
anche la variabile dipendente raddoppia, triplica, si dimezza; in altre parole il
rapporto tra i valori della variabile dipendente e i corrispondenti valori della variabile
indipendente risulta sempre lo stesso
In questo caso rappresentando i diversi dati su un grafico cartesiano, con la variabile
indipendente sull'asse delle ascisse e la variabile dipendente sulle ordinate, i punti risultano
tutti allineati tra loro e con l'origine
Nelle attività di laboratorio dedicherai certamente un ampio spazio all'approfondimento di questa
definizione. Nei paragrafi che seguono ci limitiamo a trattare lo svolgimento degli esercizi sulle
proporzioni.
PROP.4
Ritorniamo all'esempio 3 del paragrafo PROP.1.
Un contenitore si trova su una bilancia, e viene via via riempito di alcol; ogni volta che viene
aggiunto il contenuto di una bottiglietta da 0,50 litri d'alcol, la bilancia segna un aumento del peso
di 0,40 kg. Supponiamo di chiederci
a) quanto pesano 7,50 di alcol?
b) quale volume occupano 100,0 kg di alcol?
In fisica gli esercizi di questo tipo si risolvono in questo modo.
Prima di tutto conviene riportare i dati in una tabella
Volume
Peso
O,50
0,40 kg
7,50
?
?
100,0 kg
Un errore molto comune, che devi assolutamente evitare, è scrivere nelle intestazione delle colonne
“litri” invece che volume, o “kilogrammi” invece di peso.
NON SCRIVERE MAI L'UNITÀ DI MISURA AL POSTO DELLA GRANDEZZA FISICA
Per rispondere alla prima domanda, un fisico prima di tutto calcola il rapporto di proporzionalità: in
questo caso esso vale
0,40 kg
kg
= 0,80
0,50 l
l
Perché tu abbia una buona consapevolezza del procedimento risolutivo, è necessario che, oltre a
calcolarlo, tu ne scriva esplicitamente il significato fisico: in questo caso esso è
kg
0,80
= peso di ogni litro di alcol
l
A questo punto, visto che conosciamo il peso di ogni litro di alcol, possiamo determinare il peso di
7,50 litri:
E' fondamentale che tu scriva le unità di misura e le semplifichi come in questo esempio; tutti i
fisici fanno così.
Risolviamo ora la seconda parte del problema.
Anche qui calcoliamo il rapporto di proporzionalità, che questa volta vale
0,50 /0,40 kg = 1,3 / kg (volume occupato da ogni kilogrammo di alcol)
Infine il volume occupato da 100,0 kg è
100,0 kg x 1,3 /kg = 1,3 102
PROP.5
Lo ripetiamo, tutti gli esercizi sulle proporzioni di questa dispensa vanno fatti in questo modo:
• si riportano i dati in una tabella, facendo attenzione alle intestazioni delle colonne
• si calcolano separatamente i due rapporti di proporzionalità, specificando a fianco il loro
significato fisico
• si moltiplica il rapporto di proporzionalità per la grandezza opportuna, riportando e
semplificando le unità di misura.
Da ultimo, una precisazione: alcuni rapporti di proporzionalità sono molto importanti, e i fisici
hanno loro dato dei nomi particolari. Ad esempio, il “peso di ogni litro” si chiama “peso specifico”,
così come la “distanza percorsa in ogni ora” (o “in ogni minuto”, o, come dicono spesso i fisici, “in
un'unità di tempo”) si chiama “velocità”. Sicuramente alcuni di questi nomi ti sono già noti, altri ne
studierai durante questo e i prossimi anni.
ESERCIZI
Negli esercizi che seguono, si suppone che le grandezze in gioco siano direttamente proporzionali.
Ovviamente, in molti casi questo è vero solo approssimatamente.
PROP.6.1
Da un rubinetto escono 0,75 l di acqua in 10,0 secondi.
a) quanto tempo è necessario per riempire un secchio della capacità di 15,0 l?
e di 45 dl?
b) quante bottiglie da 1,00 l si riempiono in 20 minuti? e in un'ora e mezza?
PROP.6.2
Un corridore impiega 18 minuti per correre 5000 m
a) in quanto tempo percorre 10.000 m? e 6000 m?
b) in un quarto d'ora quanto ha percorso? e in 20 minuti?
PROP.6.3
Un disco di vinile ruota 100 volte in 3,00 minuti
a) in quanto tempo fa 3,0 giri? E 12,0 giri?
b) quanti giri fa in un'ora? e in un secondo?
PROP 6.4
Una lavatrice consuma 3,90 kWh in un ciclo di funzionamento della durata di 2,0 h.
a) in quanto tempo consuma 100 kWh?
b) dopo un funzionamento di 60 ore, quanto avrà consumato?
PROP 6.5
Un filo elettrico lungo 50,00 m ha una resistenza di 0,032 Ώ.
a) qual è la resistenza di un pezzo di filo di 3,00 m?
b) qual è la lunghezza massima di un filo di questo tipo, se si vuole che la resistenza non
superi 1,00 Ώ ?
PROP. 6.6
Un ascensore impiega 56 secondi a salire 30 piani di un grattacielo.
a) dopo quanto tempo passa davanti al decimo piano?
b) di quanti piani potrebbe salire in 90 secondi?
EQV - EQUIVALENZE
EQV.1
In questo capitolo ci occuperemo di tre tipi di equivalenze:
• quelle tra multipli della stessa grandezza (paragrafo EQV.2)
• quelle tra aree e quelle tra volumi (paragrafo EQV.3)
• quelle delle costanti di proporzionalità (paragrafo EQV.4)
• quelle tra misure decimali e sessagesimali (paragrafo EQV.5)
Prima di tutto, però, introduciamo il termine “fattore di conversione”.
Nelle equivalenze
1 m = 100 cm
3,572 m = 357,2 cm
si ottiene la misura in centimetri spostando di due posti a destra la virgola, cioè moltiplicando per
100, la misura in metri. Il numero 100 si chiama FATTORE DI CONVERSIONE da metri a
centimetri: "fattore" perché va moltiplicato, di "conversione" perché permette di trasformare i metri
in centimetri.
Il fattore di conversione da centimetri a metri sarà invece 0,01, cioè
1 cm = 0,01 m
26,3 cm = 0,263 m etc.
E' ovvio che se il numero k rappresenta il fattore di conversione da una unità di misura ad un'altra,
il fattore della conversione inversa sarà il reciproco di k, cioè
1
k' =
k
Per la conversione m cm il fattore k vale 100
per la conversione cm m il fattore k' = 0,01 = 1/100.
Scrivi qui sotto i fattori di conversione che tu sicuramente già conosci
1° Unità
g (grammi)
h (ore)
m
km
mm
° (gradi)
'(primi)
t (tonnellate)
q (quintali)
2° Unità
kg
min
mm
cm
cm
'(primi)
” (secondi)
kg
kg
fattore di conversione
EQV.2
Ricordando il significato dei prefissi dei multipli e sottomultipli (capitolo NS), non è certo difficile
effettuare le equivalenze del tipo
(trasforma in mg)
0,043 kg
In questo caso, infatti, il fattore di conversione è 1.000 x 1.000: il primo "mille" per la conversione
da kilogrammi a grammi, e un altro "mille" per la conversione da grammi a milligrammi.
(trasforma in mg)
0,043 kg = 43.000 mg
Facciamo però queste osservazioni:
• come hai imparato nel capitolo CS, non è del tutto corretto scrivere "quarantatremila" con
tutti quegli zeri: è meglio esprimere il risultato in notazione scientifica
(trasforma in mg)
0,043 kg = 4,3 104 mg
• se non ti dovessi sentire sicuro nell’effettuare l’equivalenza in un solo passaggio, è
decisamente consigliabile trasformare prima in grammi, e poi in milligrammi come riportato
qui sotto
(trasforma in mg)
0,043 kg = 0,043 (103 g) = 0,043 [103 (103 mg)] = 4,3 104 mg
(le parentesi servono solo per migliorare la leggibilità, ma possono benissimo essere omesse)
Vediamo un altro esempio
(trasforma in kg)
2,21 104 µg = 2,21 104 10-6 g = 2,21 104 10-6 10-3 kg = 2,21 10-5 kg
ESERCIZI
Esegui le equivalenze, per iscritto, con tutti i passaggi necessari, come nell’esempio precedente.
(trasforma in s)
8,65 108 ns
(trasforma in kHz)
3,68 10-3 GHz
(trasforma in µg )
2,21 10-4 t
(trasforma in mg)
4,48 10-3 q
(trasforma in W)
2,67 10-2 MW
(trasforma in MW)
3,15 10-3 KW
(trasforma in cm)
2,37 nm
EQV.3
Per le unità di misura geometriche, conviene comportarsi nel modo seguente.
2,56 108 cm2
(trasforma in m2)
Siccome 1 centimetro è un centesimo di metro, scriviamo, al posto di cm, 10-2 m, senza
dimenticare di trascrivere l’esponente a cui è elevata l’unità “cm”
(trasforma in m2)
2,56 108 cm2 = 2,56 108 (10-2 m)2
Ora, applicando le proprietà delle potenze, si porta a termine l’equivalenza
(trasforma in m2)
2,56 108 cm2 = 2,56 108 (10-2 m)2 = 2,56 108 10-4 m2 = 2,56 104 m2
ESERCIZI
Esegui le equivalenze, per iscritto, con tutti i passaggi necessari, come nell’esempio precedente.
(trasforma in m3)
3,98 1013 cm3
(trasforma in mm2)
1,02 10-4 m2
3
(trasforma in mm )
8,09 10-3 m3
(trasforma in km2)
4,51 103 cm2
3
(trasforma in km )
1,92 1023 cm3
(trasforma in µm2)
2,56 102 mm2
(trasforma in µm3)
3,98 1013 cm3
EQV.3.1
Come saprai, il decimetro cubo si chiama anche litro (simbolo l). Devi quindi imparare A
MEMORIA queste uguaglianze, di cui ti devi servire con dimestichezza nelle equivalenze relative
ai volumi.
dm3= l
cm3= ml
dl = 100 cm3
cl = 10 cm3
ESERCIZI
(trasforma in cm3)
(trasforma in cl)
(trasforma in l)
(trasforma in ml)
2 dm3
4 dm3
2,32 dm3
2,301 dm3
(trasforma in l)
2,1 dm3
(trasforma in ml) 2 dm3
(trasforma in dl)
3,61 dm3
(trasforma in dm3) 2,98 cm3l
EQV.4
Per le equivalenze nei rapporti di proporzionalità, ci si comporta in un modo molto simile. Basta
seguire le regole dell’algebra ricordando che la scrittura
m
(metri al secondo)
s
m
km
è a tutti gli effetti una frazione. Determiniamo allora il fattore di conversione da
a
s
h
0, 001 km
km
m
1
(trasforma in
)
1
=1
h
h
s
3 . 600
In questo primo passaggio, abbiamo sostituito, al posto dell’unità m, la sua espressione in km; la
stessa cosa abbiamo fatto per l’unità s, che è un tremilaseicentesimo di ora. Adesso possiamo
separare i coefficienti numerici e svolgere i calcoli necessari
0, 001 km
0, 001
km
m
km
km
km
1
1
(trasforma in
)
1
=1
=
= 0,001 x 3.600
= 3,6
h
h
s
h
h
h
3 . 600
3 . 600
Vediamo un altro esempio.
kg
g
corrisponde?
3 . A quanti
m
cm3
1000 g
kg
1000 g
g
-3
13.600 3 = 13.600
=
3 = 13.600
6
3 = 13.600 10
( 100 cm )
m
10 cm
cm3
La densità del mercurio è 13.600
(trasforma in
g
)
cm3
= 13,6
g
3
cm
ESERCIZI
(trasforma in
km
)
h2
9,8
m
s2
(sapendo che 1 kcal = 4,186 kJ trasforma in
kJ
)
s
3,8 103
kcal
giorno
EQV.5.1
Per trasformare una misura espressa in notazione sessagesimale in notazione decimale, basta
ricordare che un primo è un sessantesimo di grado, quindi
o
40
3°40’ = 3° +
= 3° + 0,67° = 3,67°
60
ESERCIZI: trasforma in notazione decimale con due cifre dopo la virgola
42°10’
38°20’
17°30’
76°50’
32°12’
21°6’
88°3’
23°18’
55°36’
65°42’
12°54’
77°48’
23°25’
44°13’
74°45’
15°37’
( )
EQV.5.2
Per trasformare una misura espressa in notazione decimale in notazione sessagesimale, basta
ricordare che un grado equivale a sessanta primi, quindi
5,40° = 5° + 0,40° = 5° + 0,40 x 60’ = 5° + 24’ = 5°24’
ESERCIZI: trasforma in notazione sessagesimale
34,30°
11,20°
41,90°
87,60°
21,50°
32,10°
44,70°
34,80°
32,25°
15,15°
32,45°
54,75°
43,11°
65,06°
77,09°