Appunti di fisica dei semiconduttori

Appunti di fisica dei semiconduttori
11 giugno 2004
Indice
1 Proprietà di conduzione di un semiconduttore
1.1 Bande, elettroni e lacune . . . . . . . . . . . . .
1.2 Drogaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Massa efficace di elettroni e lacune . . . . . . .
1.4 Mobilità e conducibilità . . . . . . . . . . . . .
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1
1
2
2
3
2 Trattamento statistico all’equilibrio
2.1 Statistica e concentrazione dei portatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Semiconduttori intrinseci e legge di azione di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Semiconduttori estrinseci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
6
3 Semiconduttori fuori equilibrio
3.1 Processi diffusivi . . . . . . . .
3.2 Iniezione . . . . . . . . . . . . .
3.3 Processi di ricombinazione . . .
3.3.1 Ricombinazione SRH . .
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4 Giunzione p-n
4.1 Giunzione non polarizzata . . . .
4.1.1 Andamento del potenziale
4.2 Giunzione polarizzata . . . . . .
4.3 Correnti nella giunzione . . . . .
1
1.1
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8
8
9
9
10
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chimico
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12
12
14
15
15
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Proprietà di conduzione di un semiconduttore
Bande, elettroni e lacune
I semiconduttori sono solidi caratterizzati da avere una struttura a bande con una banda di valenza
piena, ed una banda di conduzione vuota separata da un gap con un’energia dell’ordine di uno o
pochi elettronvolt. A temperatura ambiente solo pochi elettroni hanno un’energia sufficiente per
accedere alla banda vuota, in modo da potere condurre. La conducibilità di un semiconduttore
puro (intrinseco) è quindi bassa, dell’ordine di 10−1 Ω−1 · cm−1 .
Una caratteristica importante dei semiconduttori è inoltre quella di avere, oltre agli elettroni,
un secondo tipo di portatori di carica, in grado di generare una corrente: gli elettroni eccitati
in banda di conduzione lasciano degli stati liberi in banda di valenza, che permettono una certa
mobilità agli altri elettroni rimasti. Il moto concertato di tutti gli elettroni della banda di valenza
è descritto in modo molto più efficace come il moto di una lacuna positiva, il livello lasciato libero
dall’elettrone eccitato.
Si distinguono semiconduttori a gap diretto, per i quali il massimo della banda di valenza
ed il minimo di quella di conduzione hanno lo stesso momento cristallino, e semiconduttori a gap
indiretto, per i quali minimo e massimo corrispondono a diversi valori di k; in questo caso per avere
1
E
donori
accettori
Figura 1: Struttura a bande di semiconduttori puri e drogati
una transizione è necessaria la produzione o l’assorbimento di un fonone, in modo da garantire la
conservazione del momento cristallino.
1.2
Drogaggio
Seconda prerogativa dei semiconduttori è quella di variare di svariati ordini di grandezza la propria
conducibilità con l’aggiunta di piccole quantità (dalle ppm fino a pochi percento) di elementi del
gruppo III (drogaggio p) o del V (drogaggio n). Questo fenomeno si può spiegare ammettendo
che tali impurezze generino degli stati elettronici localizzati, con un’energia che ricade nel gap del
semiconduttore. É poi sufficiente un’energia termica anche contenuta per eccitare gli elettroni da
o verso tali stati, generando elettroni o lacune in grado di condurre.
In particolare i droganti n hanno un elettrone in più degli atomi di semiconduttore (in genere
del IV gruppo) che lo circondano. Generano stati nella parte alta del gap, da dove gli elettroni
vengono facilmente eccitati in banda di conduzione. Al contrario di droganti p hanno un elettrone
in meno del loro intorno; generano stati vuoti nella parte bassa del gap, che “catturano” gli elettroni
della vicina banda di valenza, lasciandovi delle lacune responsabili della conduzione.
1.3
Massa efficace di elettroni e lacune
Nell’ambito dell’approssimazione degli elettroni non interagenti (l’unica nella quale si possa a
rigore parlare di stati di particella singola e quindi di onde di Bloch) ogni stato di particella
singola è caratterizzato da un vettore d’onda k e da un indice di banda n. Con tale nomenclatura,
la funzione d’onda dello stato si può scrivere come ψn,k = eik·r un,k (r), dove un,k (r) individua
una funzione con la stessa periodicità del reticolo, e ad ogni stato è associata un’energia n (k)
(qui k viene scritta come se fosse una variabile continua, visto che gli stati sono molto ravvicinati
ed ha senso parlare di operazioni di derivazione, lecite a rigore solo su una funzione di variabile
continua). La forma della n (k) dipende radicalmente dalle caratteristiche del solido, ma bastano
poche informazioni per poter caratterizzare in prima approssimazione le proprietà elettriche.
Consideriamo innanzi tutto che un elettrone in moto venga descritto da un pacchetto d’onde
di Bloch, e che quindi abbia una velocità pari alla velocità di gruppo del pacchetto,
vg =
∂ω
1 ∂
1 X ∂
=
=
êi
∂k
~ ∂k
~ i
∂ki
2
Sotto l’azione di una forza esterna l’energia dell’elettrone varierà (con una trattazione classica)
come
d
1 X ∂
= F · vg =
Fi
dt
~ i ∂ki
e, dato che sviluppando
d (k) X ∂ ∂ki
=
dt
∂ki ∂t
i
per confronto ricaviamo che k̇ = F/~; il risultato non è del tutto banale, visto che ~k non è un
momento nel senso proprio del termine. L’accelerazione subita dall’elettrone sarà invece
v̇ =
Il termine con
∂ ∂kj
∂t ∂ki
1X
∂ ∂
1X
∂ X ∂ ∂kj
êi
=
êi
~ i
∂ki ∂t
~ i
∂ki j ∂kj ∂t
sommerà a zero, e ci resta quindi
v̇ =
1 X
∂2
1X
∂ 2 ∂kj
êi
= 2
êi
Fj
~ ij
∂ki ∂kj ∂t
~ ij
∂ki ∂kj
É evidente l’analogia formale con la classica legge di Newton: l’elettrone si comporterà sotto
l’azione di forze esterne come se fosse dotato di una massa efficace (in questo caso un tensore, ma
che diventa uno scalare nel caso monodimensionale) definita da
m?ij
=~
2
∂2
∂ki ∂kj
−1
P
tale che vi = ij Fj /m?ij .
Basta quindi conoscere la massa efficace degli elettroni in prossimità del minimo della banda
di conduzione per descriverne in modo semiclassico il moto. In pratica di solito ci si limiterà a
considerare una massa efficace scalare, pari ad una qualche “media” dei valori nelle varie direzioni
cristallografiche.
Un apparente paradosso è che la massa efficace di elettroni in prossimità di un massimo è
negativa; in effetti in questo caso ci interesseremo alla massa efficace delle lacune, che si può
ricavare essere uguale all’opposto della massa efficace di un elettrone vicino al massimo della
banda di valenza (e quindi è positiva).
1.4
Mobilità e conducibilità
Consideriamo un conduttore al quale sia applicato un campo elettrico; limitandosi a trattare la
massa efficace come uno scalare, i portatori saranno sottoposti ad un’accelerazione
v̇d =
q
E
m?
Consideriamo però che il moto dei portatori sia ostacolato da “collisioni” istantanee con il
reticolo, e che tale interazione si traduca in un termine di attrito viscoso. Abbiamo quindi
v̇d =
q
k
q
1
E − ? vd = ? E − vd
m?
m
m
τ
dato che k/m? ha le dimensioni dell’inverso di un tempo, e τ si può interpretare come tempo
medio che intercorre tra due collisioni.
In regime stazionario
q
1
v̇d = 0 = ? E − vd
m
τ
3
e quindi
qτ
E
m?
Il termine qτ /m? = µ prende il nome di mobilità.
Ricordando la definizione di densità di corrente,
vd =
J = nqvd = nqµE =
nq 2 τ
E = σE
m?
si ritrova la legge di Ohm, e si definisce conducibilità il fattore σ = nq 2 τ /m? dipendente oltre
che dalla mobilità dalla densità di portatori. Dato che nei semiconduttori la corrente è dovuta ai
contributi di elettroni e di lacune, la conducibilità totale si esprimerà come
σ = σn + σp =
2
2.1
pe2 τp
ne2 τn
+
m?n
m?p
Trattamento statistico all’equilibrio
Statistica e concentrazione dei portatori
La probabilità di occupazione degli stati di particella singola per delle particelle con spin semiintero
(gli elettroni, appunto) è data dalla distribuzione di Fermi-Dirac
f (, T ) =
1
1+
e(−µ)/kB T
dove µ è il potenziale chimico, scelto in modo da normalizzare la distribuzione. In pratica è sempre
approssimato con il suo valore per T → 0, detto energia di Fermi F .
f
1
Î
ÎF
Figura 2: Distribuzione di Fermi
Inoltre gli stati accessibili sono quantizzati, ma è possibile approssimarli ad una densità di stati
continua D (). Per un elettrone libero tale densità si esprime come
D () = 4π
2m0
~2
3/2
√
√
=γ Nel caso di una struttura a bande reale, è sempre possibile esprimere la densità di stati alla
sommità o al fondo di una banda rispettivamente come
DC () = γ
m?
n
m0
3/2 √
DV () = γ
m?
p
3/2 √
m0
4
− C
V − (1)
La concentrazione di elettroni in banda di conduzione si può quindi esprimere come
Z +∞
n (T ) =
DC () f (, T ) d
C
mentre quella di lacune in banda di valenza come
Z −∞
p (T ) =
DV () [1 − f (, T )] d
V
D
ÎV
ÎC
Î
Figura 3: Densità di stati in prossimità del gap
Gli integrali sono estesi a più e meno infinito, anche se le bande sono limitate e la densità di
stati (1) è valida solo in un intorno dei limiti delle bande; in effetti f è diversa da zero solo per
− F & kB T , ed 1 − f è non nullo solo per F − & kB T .
Gli integrali sopra non sono risolubili analiticamente. Se però sviluppiamo al primo ordine
f (, T ) ≈ e−(−F )/kB T
valida per F
1 − f (, T ) ≈ e−(F −)/kB T
valida per F
(2)
si ricava in qualche passaggio
Z
+∞
n (T ) =
γ
C
m?n
m0
3/2
√
− C e−(−F )/kB T d =
1
γ
2
m?n
kB T
m0
3/2
√
πe−(C −F )/kB T = NC (T ) e−(C −F )/kB T
(3)
e, analogamente,
p (T ) =
2.2
1
γ
2
m?p
kB T
m0
3/2
√
πe−(F −V )/kB T = NV (T ) e−(F −V )/kB T
(4)
Semiconduttori intrinseci e legge di azione di massa
In un semiconduttore intrinseco la concentrazione di elettroni deve eguagliare la concentrazione di
lacune (visto che ogni lacuna è lasciata libera da un elettrone eccitato termicamente in banda di
conduzione). Eguagliando (3) e (4) otteniamo
NC (T ) e−(C −F )/kB T = NV (T ) e−(F −V )/kB T
ovvero
ln
NC
V + C − 2F
=
NV
kB T
5
Ricaviamo quindi un’espressione per la posizione del livello di Fermi al variare della temperatura
F =
V + C
kB T
NC
−
ln
2
2
NV
In effetti la definizione del livello di Fermi è chiara per i metalli, dove esprime l’energia del livello
a più alta energia occupato a temperatura nulla, mentre per i semiconduttori la definizione è più
vaga, visto che a temperatura nulla F potrebbe posizionarsi in qualsiasi posizione all’interno del
gap. Con una buona approssimazione, per temperature sufficientemente basse, possiamo porre
F ≈
V + C
2
cioè il livello di Fermi (che nel nostro caso in effetti corrisponde piuttosto al potenziale chimico in
senso stretto, visto che l’abbiamo ricavato imponendo la normalizzazione della distribuzione degli
stati) si dispone a metà del gap.
La variazione con la temperatura dipende dal fatto che in generale m?n 6= m?p e quindi la densità
di stati non è simmetrica rispetto al centro del gap (Figura 3); F varia in modo da compensare
questa asimmetria.
npnpHΕG L
1.02
1
0.98
0.96
0.94
ΕC
ΕV
Î
Figura 4: Andamento del prodotto n · p in funzione dell’energia di Fermi, a varie temperature e
normalizzato sul valore centrale. Il calcolo è svolto con un gap di 2 eV e temperature (dalla linea
più scura alla più chiara) di 300 K, 500 K, 1500 K, 10000 K
Osserviamo inoltre che
n (T ) p (T ) = α
m?n m?p
2
(kB T )
m20
3/2
e−(C −V )/kB T = n2i
è indipendente da F ; in effetti una legge del tipo n·p = n2i vale anche per i semiconduttori drogati,
ed è nota come legge di azione di massa. Vale la pena di osservare che tale legge vale soltanto
all’interno dell’approssimazione iniziale fatta sulla distribuzione di Fermi. Calcolando numericamente il valore “esatto” di n · p (Figura 4) si osserva come la relazione valga rigorosamente solo in
un intorno del centro del gap, e come l’approssimazione peggiori all’aumentare della temperatura.
Comunque, in un range di temperature abbastanza ragionevole, tale relazione è valida sulla quasi
tutto il gap.
2.3
Semiconduttori estrinseci
Consideriamo il caso di un semiconduttore n, con una concentrazione ND di drogante, che origina
livelli localizzati con un’energia D , situata all’interno del gap. Ad ogni temperatura, gli elettroni
in banda di conduzione proverranno sia dall’eccitazione di normali elettroni di valenza, sia dalla
ionizzazione dei donori. Avremo cioè n = nI + nD .
6
É possibile trattare analiticamente le proprietà elettroniche di un semiconduttore drogato solo effettuando varie approssimazioni, ciascuna valida in un determinato range di temperature.
Impostiamo piuttosto il calcolo esatto, descrivendo poi i risultati numerici.
ΕF
ΕC
ΕD
ΕG
ΕV
T
Figura 5: Andamento del livello di Fermi in funzione della temperatura, per diverse concentrazioni
di donori. Si è posto m?n = m?p , in modo da eliminare la dipendenza da T del livello di Fermi per
il semiconduttore intrinseco.
La presenza del drogante contribuisce alla struttura a bande con una densità di stati ND δ ( − D );
la normalizzazione della distribuzione di probabilità per gli elettroni impone che il numero di elettroni in banda di conduzione sia uguale alle lacune rimaste in banda di valenza più gli atomi di
donore ionizzati (che di fatto sono delle lacune “legate”. Abbiamo quindi
Z
+∞
n=
fF (, T ) DC () d =
C
Z
V
Z
+∞
[1 − fF (, T )] DV () d +
[1 − fF (, T )] ND δ ( − D ) d =
−∞
−∞
Z V
[1 − fF (, T )] DV () d + [1 − fF (D , T )] ND
−∞
Questa equazione impone implicitamente una condizione su F , ed è possibile risolverla implicitamente, ricavandone l’andamento in funzione della temperatura (Figura 5). Si nota come per
basse temperature F si posizioni a metà strada tra la banda di conduzione ed il livello del donore.
All’aumentare della temperatura, quando aumenta la probabilità di avere elettroni eccitati dalla
banda di valenza, il livello di Fermi si abbassa fino a coincidere ad alte temperatura con quello per
il semiconduttore intrinseco.
Se si riporta l’andamento della concentrazione di elettroni in banda di conduzione in funzione
della temperatura si osserva un comportamento analogo (Figura 6): a bassa temperatura le proprietà di conduzione sono dominate dal drogaggio, che determina quasi esclusivamente il numero
di portatori. A temperature più alte, quando l’eccitazione termica dalla banda di valenza diventa
significativa, questa predomina e il comportamento si avvicina a quello di un semiconduttore puro
alla stessa temperatura. Chiaramente, l’andamento dettagliato delle proprietà dipende dalle caratteristiche specifiche del materiale: ampiezza del gap, posizione dei livelli del donore, concentrazione
dello stesso.
Può essere comodo ricavare alcune relazioni approssimate, valide nell’ambito delle approssimazioni (2) e della legge di azione di massa: dalle
n (T ) = NC (T ) e−(C −F )/kB T
e
p (T ) = NV (T ) e−(F −V )/kB T
7
n
ND
T
Figura 6: Concentrazione di elettroni in banda di conduzione, in funzione della temperatura, per
un semiconduttore estrinseco
considerata la legge di azione di massa
hp
i2 h p
i2
np = n2i = NC NV e−(C −V )/kB T =
NC NV e−(I −V )/kB T =
NC NV e−(C −I )/kB T
dove I ≈ (C + V ) /2 è il livello di Fermi per un semiconduttore intrinseco (sempre nei limiti
delle approssimazioni fatte), si possono ricavare (nell’ulteriore approssimazione di avere m?n ≈ m?p ,
per cui si possa supporre che NC /NV ≈ 1) si può finalmente scrivere
√
n2i
NC NV e−(I −V )/kB T
n=
= ni
≈ ni e(F −I )/kB T
p
NV e−(F −V )/kB T
√
NC NV e−(C −I )/kB T
n2i
= ni
≈ ni e(C −F )/kB T
(5)
p=
n
NC e−(C −F )/kB T
3
Semiconduttori fuori equilibrio
3.1
Processi diffusivi
Consideriamo che all’interno di un semiconduttore si origini un gradiente di concentrazione di
portatori; ne deriva una corrente di diffusione, la cui intensità è data dalla legge di Fick
jn = −D∇n
Inoltre, impostando l’equazione di continuità
∇ · jn +
dn
=0
dt
si ricava un’equazione differenziale per l’evoluzione nel tempo della concentrazione:
dn
= D∇2 n
dt
La legge per la diffusione si può facilmente dimostrare in una dimensione, dando maggiore
significato fisico al coefficiente di diffusione D. Per questo, consideriamo un campione con una
dipendenza della concentrazione dei portatori da x, n = n (x), e una velocità termica dei portatori
medesimi vth . Se osserviamo una superficie posta in x0 , in un intervallo di tempo dt passeranno
da sinistra a destra fsx = 21 n (x0 − l) vth Sdt, dove l è il libero cammino medio, mentre da destra
a sinistra fdx = 12 n (x0 + l) vth Sdt. Avremo quindi un flusso totale
j=
fsx − fdx
1
= vth [n (x0 − l) − n (x0 + l)]
Sdt
2
8
sviluppando al primo ordine
j=
1
dn
dn
dn
vth n (x0 ) −
l − n (x0 ) −
vth l = −vth l
2
dx
dx
dx
Il coefficiente di diffusione dipende quindi dalla velocità termica dei portatori, e dal percorso che
possono fare senza essere disturbati dalle collisioni con il reticolo.
3.2
Iniezione
Il termine iniezione indica qualsiasi processo che produca in un semiconduttore una concentrazione
di portatori diversa da quella di equilibrio. Tale squilibrio si può produrre in molti modi ad esempio
illuminando o applicando campi elettrici; il sistema tenderà sempre ad evolvere in modo tale da
tornare all’equilibrio.
In un semiconduttore fuori equilibrio la statistica dei portatori non corrisponderà più alla
distribuzione di Fermi, ed in particolare non sarà più valida la legge di azione di massa, anche
negli intervalli in cui era applicabile (Sezione 2.2). Il problema di determinare il comportamento
di un semiconduttore fuori equilibrio è molto semplificato nel caso di un basso livello di iniezione,
quando cioè la concentrazione di portatori iniettati sia tale da fare variare in modo significativo la
quantità di portatori minoritari, mentre ha un effetto trascurabile sui maggioritari.
La descrizione dell’evoluzione del sistema si baserà in generale su equazioni di continuità, del
tipo
∂n
1
= Gn − R n + ∇ · J n
∂t
e
dove Gn corrisponde ad un tasso di generazione, dovuto all’iniezione, e Rn corrisponde invece ad
un tasso di ricombinazione, in eccesso rispetto ai normali processi all’equilibrio.
3.3
Processi di ricombinazione
Il rilassamento del semiconduttore fuori equilibrio avviene tramite una serie di meccanismi che
provocano la ricombinazione di una coppia elettrone-lacuna; si distinguono in particolare:
. ricombinazione banda-banda, un processo predominante nei semiconduttori a gap diretto: l’elettrone in banda di conduzione decade in banda di valenza, dissipando energia in
forma radiativa. Nel caso di gap indiretto, occorre che venga emesso anche un fonone, in
modo da conservare il momento; questo ulteriore contributo rende questo percorso meno
probabile.
. ricombinazione non radiativa banda-impurezza (SRH, Shockley-Read-Hall), un meccanismo che predomina nei semiconduttori a gap indiretto, che sfrutta la presenza di livelli
nel gap dovuti ad impurezze, e che dissipa l’energia di ricombinazione in forma non radiativa,
tramite fononi.
. ricombinazione Auger, piuttosto improbabile se non nel caso di materiali molto drogati:
si tratta di un processo a tre corpi, in quanto l’energia viene trasferita ad un altro elettrone.
In un semiconduttore all’equilibrio, i processi di generazione e di ricombinazione si bilanciano, ed
abbiamo quindi (in condizioni di correnti stazionarie, quindi con ∇ · J = 0)
∂n
= Gth − Rth = 0
∂t
mentre fuori equilibrio varrà la relazione
∂n
= G0 + Gth − Rtot
∂t
9
dove G0 e R0 rappresentano i tassi di generazione e ricombinazione, in eccesso rispetto all’equilibrio.
Supponiamo ora che sia possibile esprimere il tasso di ricombinazione fattorizzandolo come
R (n, p, T ) = r (T ) np, ipotesi ragionevole dal momento che (se si esclude la ricombinazione Auger)
si tratta di processi a due corpi e quindi si può ipotizzare una “cinetica” del secondo ordine. Se
all’equilibrio si hanno concentrazioni n0 e p0 e quindi Rth = r (T ) n0 p0 , con concentrazioni fuori
equilibrio n = n0 + δn, p = p0 + δp avremo
G0 + Gth = r (T ) (n0 + δn) (p0 + δp)
ammettendo di essere in condizione di bassa iniezione (consideriamo un semiconduttore n, quindi
n ≈ n0 )
Rtot = G0 + Gth = r (T ) n0 (p0 + δp) = Gth + r (T ) n0 δp
Consideriamo ora il rilassamento del sistema fuori equilibrio: rimossa l’iniezione ci troveremo
in una situazione descritta da
∂δp
= Gth − Rtot = −r (T ) n0 δp
∂t
che si risolve in modo elementare come
δp (t) = δp (0) e−n0 r(T )t
cioè un classico rilassamento esponenziale, con tempo caratteristico τ = 1/n0 r (T )
Facciamo notare che, avendo la presenza contemporanea di più vie diverse di ricombinazione, si
possono raggruppare i vari contributi ottenendo un tempo di vita complessivo, tramite una somma
del tipo
1 X 1
=
τ
τi
i
3.3.1
Ricombinazione SRH
εC
A
B
εT
C
D
εV
Figura 7: Processi di generazione e ricombinazione interessanti un livello di impurezza
Nell’ambito del meccanismo di ricombinazione banda-impurezza è possibile distinguere quattro
processi attivi, i cui rate relativi determinano l’efficacia complessiva della ricombinazione (Figura
7):
. cattura di elettroni (B): un elettrone si combina con un livello vuoto su un’impurezza nel
gap. La probabilità di un tale evento dipenderà dalla concentrazione di elettroni in banda
di conduzione n, dalla concentrazione di livelli di impurezze liberi (NT (1 − f (T ))), e dalla
sezione d’urto σn del centro di ricombinazione. In totale si avrà quindi un rate per questo
processo
rC = nσn vth NT (1 − f (T ))
10
. cattura di una lacuna (D): in modo analogo il centro di ricombinazione può “catturare”
una buca dalla banda di valenza. Questa volta il rate sarà dato da una relazione del tipo
rV = pσp vth NT f (T )
. emissione termica di elettroni (A): elettroni sui livelli dell’impurezza possono transire
in banda di conduzione, con un rate
gC = en NT f (T )
dove en rappresenta la probabilità di emissione termica
. emissione termica di una lacuna (C): elettroni in banda di valenza possono essere
eccitati sui livelli del centro (col risultato di generare una buca); il tasso di emissione sarà
gV = ep NT (1 − f (T ))
Considerando complessivamente tutti questi processi di ricombinazione, di può esprimere (sempre
in condizioni di correnti stazionarie) la variazione nel tempo delle concentrazioni dei portatori,
includendo anche un tasso di generazione dovuto a cause esterne G0 :
dn
= G0 − (rC − gC )
dt
dp
= G0 − (rV − gV )
dt
(6)
In condizioni di equilibrio possiamo porre G0 = 0, e non si ha variazione di concentrazione.
Vale quindi rC = gC e rV = gV ; possiamo quindi ricavare delle espressioni per i tassi di emissione:
nσn vth NT (1 − f (T ))
en
= en NT f (T )
1 − f (T )
= nσn vth
f (T )
e analogamente
pσp vth NT f (T )
ep
= ep NT (1 − f (T ))
f (T )
= pσp vth
1 − f (T )
Visto che siamo in condizioni di equilibrio, la statistica dei portatori sarà data dalla distribuzione di Fermi; inserendo le approssimazioni (5), e sfruttando il fatto che
h
i
1 − f (T )
1
=
− 1 = e(T −F )/kB T + 1 − 1 = e(T −F )/kB T
f (T )
f (T )
si ricavano
en = σn vth ni e(F −I )/kB T e(T −F )/kB T = σn vth ni e(T −I )/kB T = σn vth nT
ep = σp vth ni e(I −F )/kB T e(F −T )/kB T = σp vth ni e(I −T )/kB T = σp vth pT
valide in condizioni di equilibrio.
Il caso più importante fuori equilibrio è quello stazionario, che si può formalizzare imponendo
che le variazioni delle concentrazioni dei portatori nel tempo vadano a zero nelle (6); possiamo in
questo modo ricavare una espressione per la statistica dei portatori fuori equilibrio, eliminando G0
dal sistema:
0
G − (rC − gC ) = 0
→ (rV − gV ) − (rC − gC ) = 0
G0 − (rV − gV ) = 0
11
ipotizzando che i tassi di emissione non varino fuori equilibrio, abbiamo
pσp vth NT f − σp vth pT (1 − f ) NT = nσn vth NT (1 − f ) − σn vth nT f NT
f [pσp + σp pT + nσn + σn nT ] = nσn + σp pT
nσn + σp pT
f =
σp (p + pT ) + σn (n + nT )
e quindi il tasso di generazione (uguale alla componente non termica di ricombinazione in condizioni
stazionarie) sarà
pσp (nσn + σp pT ) + σp pT (nσn + σp pT − [σp (p + pT ) + σn (n + nT )])
=
σp (p + pT ) + σn (n + nT )
pσp (nσn + σp pT ) − σp pT (σp p + σn nT )
σp σn (np − nT pT )
vth NT
= vth NT
σp (p + pT ) + σn (n + nT )
σp (p + pT ) + σn (n + nT )
G0 = vth NT
considerando le espressioni per nT e pT , e σp ≈ σn = σ
np − n2i
r = G = vth NT σ
p + n + 2ni cosh [(T − I ) /kB T ]
0
É immediato osservare come tale tasso di ricombinazione sia tanto maggiore quanto più il
semiconduttore è fuori equilibrio (np 6= n2i ), e quanto più il centro di ricombinazione è collocato
al centro del gap (il coseno iperbolico a denominatore si annulla).
Infine si può definire come tempo di ricombinazione caratteristico, ad un livello di iniezione
−1
−1
δp/n0 = δn/n0 = h e definendo le quantità τn0
= σn vth NT e τp0
= σp vth NT
τSRH =
4
4.1
−1
−1
τp0
(p0 + δp + pT ) + τn0
(n0 + δp + nT )
τn0 (p0 + δp + pT ) + τp0 (n0 + δp + nT )
1
=
=
−1
−1
r
(n0 + p0 ) δp
τp0 τn0 (n0 p0 + (n0 + p0 ) δp − n2i )
Giunzione p-n
Giunzione non polarizzata
p
a−
a−
a−
a−
a−
a−
a−
a−
a−
a−
a−
a−
a− d+
a− d+
a− d+
lacune
d+
d+
d+
d+
d+
d+
d+
d+
d+
d+
d+
n
d+
elettroni
Figura 8: Giunzione p-n
Se si droga un cristallo di semiconduttore da un lato con atomi donori, e con atomi accettori
dall’altro, si determina all’interno del campione una discontinuità tra le due zone, e nella concentrazione di portatori. Si origina quindi una corrente di diffusione, con i portatori maggioritari
che attraversano la giunzione, ricombinandosi con i portatori maggioritari presenti sull’altro lato
(quindi di segno opposto). In prossimità della giunzione restano atomi di drogante ionizzati, e
si produce un campo elettrico che si oppone alla corrente di diffusione, fino a raggiungere una
condizione di equilibrio.
Si possono ricavare in modo semplice le proprietà della giunzione, sotto un paio di ipotesi: in
primo luogo che la giunzione sia a gradino, cioè che il passaggio dalla zona p alla n sia brusco, e poi
che la zona svuotata sia altrettanto ben delimitata: in un certo intervallo attorno alla giunzione
12
la concentrazione di portatori deve essere praticamente nulla, mentre al di fuori di tale intervallo
la concentrazione deve restare imperturbata.
Per l’equazione di Poisson deve valere ∇·E = −ρ/0 ; dato che la variazione delle varie quantità
per il nostro sistema si determina in una sola direzione, che chiameremo x, e che la densità di carica
nella zona n svuotata equivale alla concentrazione di donore possiamo scrivere
eND
∂E
=−
∂x
0
che si integra (considerando che il campo deve essere nullo ai limiti della zona svuotata, per x = xn )
E=−
eND
(xn − x)
0
In modo analogo, nella zona p si ricava
E=
eNA
(x − xp )
0
e, uguagliando i due risultati alla giunzione (per x = 0), si ottiene
ND xn = NA xp
l’estensione della zona svuotata è quindi inversamente proporzionale al livello di drogaggio; considerando che E = −∂φ/∂x è anche possibile ricavare il potenziale scalare associato al campo:
Z
Z xn
xn
eND eND xn
(xn − x0 ) dx =
xn x0 − x02 /2 x =
φn − φ (x) = −
E dx0 =
0 x
0
x
eND
eND 2
2
=
xn − 2xn x + x2 =
(xn − x)
20
20
cioè
φ (x) = φn −
eND
2
(xn − x)
20
in modo analogo nella zona p
eNA
2
(x − xp )
20
I due contributi φn e φp sono semplicemente costanti di integrazione. Possiamo ridurli ad una
e ricavare l’altezza della barriera imponendo che il potenziale sia continuo alla giunzione:
φ (x) = φp +
eND 2
eNA 2
x = φp +
x
20 n
20 p
e
φi = φn − φp =
ND x2n + NA x2p
20
φn −
(7)
relazione dalla quale possiamo anche ricavare l’ampiezza totale della zona svuotata: vale infatti
che xn = xp NA /ND e quindi
e
NA
2
φi = φn − φp =
NA xp
+1
20
ND
r
20 φi ND
−1
(NA + ND )
xp =
e NA
inoltre
s
xn + xp = xp (1 + NA /ND ) =
20 φi ND
−1
(NA + ND )
e NA
NA + ND
ND
2
=
s
13
20 φi
e
1
1
+
NA
ND
4.1.1
Andamento del potenziale chimico
Il problema di studiare la densità di portatori ed il potenziale elettrostatico φ (x) all’interno di
un semiconduttore drogato in modo non omogeneo si può affrontare con un altro approccio; la
sovrapposizione del potenziale alla struttura a bande farà sı̀ che (in un approccio semiclassico) le
energie delle bande siano shiftate di una quantità −eφ (x) attraverso la lunghezza del campione.
Di conseguenza, le (3) e (4) diventano
n (x) = NC (T ) e−(C −eφ(x)−F )/kB T
p (x) = NV (T ) e−(F −V +eφ(x))/kB T
(8)
Dato che il cristallo è supposto in equilibrio termico, il potenziale chimico non varia con la posizione; siccome il potenziale chimico è uguale a dEtot /dn, imporre un potenziale chimico costante
equivale ad imporre che sia completo il rilassamento per diffusione.
A questo punto, occorre un’equazione per il potenziale, e si può utilizzare l’equazione di Poisson
∇2 φ =
∂ 2 φ (x)
ρ (x)
=−
∂x2
considerando poi che la densità di carica dovuta alle impurezze e ai portatori è
ρ (x) = e [ND (x) − NA (x) + p (x) − n (x)]
Sostituendo in questa equazione le (8), e la densità di carica nell’equazione di Poisson, si trova una
equazione differenziale per il potenziale, che si può risolvere numericamente. Una condizione al contorno si può impostare richiedendo che lontano dalla giunzione il semiconduttore sia imperturbato,
e che quindi
n (∞) = ND (∞) ,
p (−∞) = NA (−∞)
ricavando F dalle 8, ed imponendo tale condizione si ottiene
C − eφ (∞) + kB T ln ND /NC = F
eφ (−∞) − V − kB T ln NA /NV = F
dato che il potenziale chimico F non varia all’interno del campione si ricava
ND NA
eφi = eφ (∞) − eφ (−∞) − = (C − V ) + kB T ln
NC NV
Per come è stato impostato il problema, la posizione di F è arbitraria, quello che importa
è che sia costante all’interno del campione. Definiamo inoltre eφn = C − eφ (∞) − F e eφp =
F + eφ (−∞) − V .
e φi
εC −e φ
eφn
εF
eφp
εV −e φ
p
n
Figura 9: Andamento delle bande lungo la giunzione non polarizzata
14
4.2
Giunzione polarizzata
Se si applica ad una giunzione una tensione esterna si modifica l’equilibrio tra il gradiente di
concentrazione di portatori ed il potenziale elettrostatico generato dallo svuotamento del depletion
layer. Si possono verificare due situazioni qualitativamente diverse, a seconda del segno della d.d.p.
applicata:
. Polarizzazione diretta: si consideri la situazione in cui si è applicato un potenziale positivo
al lato p, e negativo al lato n della giunzione. Il campo elettrico che ne risulta (che sarà
diretto da destra a sinistra nella figura 8) avvicinerà alla giunzione elettroni dalla zona n e
lacune dalla zona p; in questo modo si restringe il depletion layer, e di conseguenza si abbassa
la barriera di potenziale (Equazione (7)).
. Polarizzazione inversa: qualora si effettui il collegamento inverso, con il punto a potenziale
più elevato in corrispondenza del lato n, il campo elettrico svuoterà ulteriormente la regione
circostante la giunzione, alzando di conseguenza la barriera di potenziale.
4.3
Correnti nella giunzione
Jng
Jnr
εC −e φ
eφn
εF
eφp
Jpg
Jpr
εV −e φ
p
n
Figura 10: Correnti all’interno di una giunzione
Analizziamo ora in modo più quantitativo le correnti che circolano nella giunzione, qualora
vi si applichi una tensione esterna. La corrente circolante nella giunzione sarà composta contemporaneamente da elettroni e lacune, e dipenderà da vari processi; avremo infatti (Figura
10):
. una corrente di generazione di elettroni Jng , dovuta agli elettroni che, nel lato p, vengono
prodotti termicamente, e che sono accelerati dal campo della giunzione ed iniettati nel lato
n
. una corrente di ricombinazione di elettroni Jnr , che fluisce dal lato n al lato p, ostacolati dal
campo della giunzione (ma di fatto favoriti dal gradiente di concentrazione), cosı̀ che solo gli
elettroni con energia termica sufficiente possono attraversare la giunzione e ricombinarsi con
le lacune del lato p
. una corrente di generazione di lacune Jpg , prodotte termicamente come portatori minoritari
nel lato n, ed accelerate dal campo della giunzione.
. una corrente di ricombinazione di lacune Jpr , composta di portatori maggioritari del lato p,
in grado di superare per eccitazione termica la barriera di potenziale della giunzione.
All’equilibrio le correnti di generazione e ricombinazione sono uguali, in modo tale da avere risul(0)
(0)
(0)
(0)
tante nulla, Jpg = Jpr e Jng = Jnr . Le correnti di generazione non sono affette dall’imposizione
di un potenziale esterno (a meno che tale potenziale non sia sufficientemente forte da invertire il
(0)
(0)
sensi della barriera alla giunzione), e quindi anche fuori equilibrio Jpg = Jpg e Jng = Jng .
15
Al contrario, le correnti di ricombinazione dipendono dalla frazione di elettroni con energia sufficiente a superare la barriera di potenziale della giunzione e del potenziale imposto esternamente.
Usando le approssimazioni (2), il numero di elettroni con energia termica è e−(−F )/kB T , cosı̀ che
il rapporto tra la frazione di elettroni con energia sufficiente a superare la barriera della giunzione
all’equilibrio, e quella in grado di superare la barriera con il potenziale esterno V sovrapposto sarà
eeV /kB T . Da questo ricaviamo che
(0) eV /kB T
Jnr = Jnr
e
(con V positivo se la polarizzazione è diretta, negativo in caso contrario).
La probabilità di avere lacune con energia invece proporzionale a e−(F −)/kB T ; dato che però
hanno carica di segno opposto rispetto agli elettroni, si ottiene un risultato analogo
(0) eV /kB T
Jpr = Jpr
e
A questo punto è possibile ricavare la corrente totale che attraversa la giunzione dal lato p al
lato n
(0) eV /kB T
(0)
(0) eV /kB T
(0)
J = (Jpr − Jpg ) + (Jnr − Jng ) = Jpr
e
− Jpg
+ Jnr
e
− Jng
=
h
i
(0)
(0)
Jng
+ Jpg
eeV /kB T − 1
Dato che la densità di corrente e la corrente che fluisce nella giunzione vi è una relazione
di proporzionalità, variabile in base alla geometria del
campione, da questo risultato si può ricavare la curva I − V per una giunzione ideale, I = IS eeV /kB T − 1 ; in un diodo reale, a causa di
ricombinazione e generazione all’interno della zona svuotata (non considerati nella nostra
approssi
mazione) la curva I − V si discosterà da quella ideale, divenendo piuttosto I = IS eeV /ηkB T − 1 ,
dove η è un fattore compreso in genere tra 1 e 2.
16