2^ Esercitazione(soluzione) - Università degli studi di Pavia
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2^ Esercitazione(soluzione) - Università degli studi di Pavia
ESERCITAZIONI di MICROECONOMIA (A-K) a.a. 2008/2009 M. Bonacina - Università degli Studi di Pavia [email protected] 1 L’ELASTICITA’E LE SUE APPLICAZIONI - Soluzioni ESERCIZIO 1. (A) Si spieghi il concetto di elasticità della domanda al prezzo. (B) Si fornisca una rappresentazione gra…ca della curva QD = b aP con a; b > 0 speci…cando i valori delle intercette e della pendenza. (C) A quanto ammonta l’elasticità rispetto al prezzo della curva di domanda al punto (B)? (D) Si fornisca una rappresentazione gra…ca di una curva di domanda anelastica, ad elasticità unitaria ed elastica.1 ESERCIZIO 1. Svolgimento. (A) L’elasticità è una misura della sensibilità della quantità domandata e/o della quantità o¤erta a variazioni delle sue determinanti (ad esempio il prezzo e/o il reddito). In particolare, l’elasticità della domanda al prezzo misura la variazione della quantità domandata di un bene al variare del prezzo del bene stesso. Formalmente, l’elasticità della domanda al prezzo è "D (P ) = V ar:% della quantità dom andata V ar:% del prezzo = Q Q P P = Q P Q P = QP P Q (Considerazione) Poiché la quantità domandata di un bene è negativamente correlata al prezzo ( P " ! Q #), le variazioni percentuali della quantità avranno sempre segno opposto a quelle del prezzo ( Q= P < 0). Per questa ragione alcuni autori attribuiscono ai valori di elasticità della domanda al prezzo segno negativo. L’impiego dei valori assoluti consente di tralasciare il segno negativo e attribuire a tutti i valori di elasticità segni positivi. Quindi "D (P ) = QP P Q = QP P Q >0 (B) Essendo la curva di domanda QD = b aP con a; b > 0, la sua inversa è 1 P = ab a Q, da cui la seguente rappresentazione gra…ca D 1 Si noti che la curva di domanda impiegata in questo esercizio è diversa da quella usualmente impiegata a lezione. I valori di pendenza, le intercette e l’elasticità di¤eriscono quindi da quelli discussi ed ottenuti dal Prof. Bertoletti. 1 P b/a Intercetta orizzontale (b;0) Intercetta verticale (0;b/a) Pendenza curva di domanda inversa -1/a 1/a b Q (C) Volendo calcolare l’elasticità al prezzo della curva di domanda al punto (B) per intervalli molto piccoli ( Q ! dQ e P ! dP ) si ottiene "D (P ) = dQ P dP Q dQ P dP Q = D dove dQ aP ) dP è la pendenza della curva di domanda, che nel nostro caso (Q = b è data da a. Sostituendo il valore della pendenza e della quantità domandata (QD = b aP ), si ottiene il seguente valore "D (P ) = dQ P dP Q = P b aP a = aP b aP (D) Sulla base del valore dell’elasticità della domanda al prezzo, si può stabilire se una curva di domanda è tendenzialmente ripida o piatta. Sono possibili le tre seguenti de…nizioni: 1. Domanda anelastica "D (P ) < 1 (Domanda perfettamente anelastica "D (P ) = 0); 2. Domanda ad elasticità unitaria "D (P ) = 1; 3. Domanda elastica "D (P ) > 1 (Domanda perfettamente elastica "D (P ) = 1). Di seguito la rappresentazione gra…ca di curve di domanda anelastiche, ad elasticità unitaria ed elastiche. Domanda anelastica ⇔ εD(P) < 1 Domanda perfettamente anelastica Domanda anelastica εD(P) = 0 P 5 εD(P) < 1 P PD(Q) 5 ∆P/P > 0 4 4 ∆Q/Q = 0 0 100 ∆Q/Q < ∆P/P ∆P/P > 0 PD(Q) ∆Q/Q > 0 0 Q 2 90 100 Q Domanda ad elasticità unitaria ⇔ εD(P) = 1 P 5 ∆Q/Q = ∆P/P ∆P/P > 0 4 PD(Q) ∆Q/Q > 0 80 0 100 Q Domanda elastica ⇔ εD(P) > 1 Domanda perfettamente elastica Domanda elastica εD(P) = infinito (∝) εD(P) > 1 P P ∆P/P = 0 5 PD(Q) 4 ∆Q/Q > ∆P/P ∆P/P > 0 ∆Q/Q > 0 0 PD(Q) 4 70 100 ∆Q/Q > 0 0 Q 50 100 Q Si noti che per de…nire l’elesticità di una curva di domanda è necessario indicare dei valori di prezzo e quantità iniziali e …nali. Si noti inoltre che l’elasticità di una curva di domanda del tipo QD = 100 P , che pure ha una pendenza costante, NON è costante. P Domanda elastica εD(P) > 1 Domanda ad elasticità unitaria εD(P) = 1 Domanda anelastica εD(P) < 1 45° PD(Q) 0 Q ESERCIZIO 2. Supponiamo che gli uomini d’a¤ari e i turisti mostrino la seguente domanda di biglietti aerei sulla tratta New York –Boston: P 150 200 250 300 QD AFFARI QD TURISMO 2100 2000 1900 1800 1000 800 600 400 (A) Si calcoli l’elasticità della domanda al prezzo per (i) chi viaggia per lavoro e (ii) chi viaggia per turismo. (Per il calcolo dell’elasticità si usi il metodo del punto medio). (B) Quale delle due categorie si caratterizza per una domanda meno elastica? Perché? 3 ESERCIZIO 2. Svolgimento. (A) Siano P, QA e QT rispettivamente il prezzo dei biglietti aerei, la quantità di biglietti aerei domandata, rispettivamente, per a¤ari e per turismo. Tenuto conto della regola del punto medio, l’elasticità nella sua formulazione per intervalli è Q=QM P=P M "D (P ) = Q=QM P=P M = : Dobbiamo quindi calcolare punti medi e variazioni. Siano (P M ; P ), (QAM ; QA ), (QT M ; QT ) i valori medi e le variazioni di prezzo e quantità domandata, rispettivamente, per a¤ari e turismo. I valori sono riportati nelle tabelle sottostanti. P QA QT PM 150 200 250 300 2100 2000 1900 1800 1000 800 600 400 175 225 275 QAM QT M - 900 700 500 2050 1950 1850 QA - P 200-150 250-200 300-250 2000-2100 1900-2000 1800-1900 QT 800-1000 600-800 400-600 Da cui P=P M 200 150 2 175 = 7 250 200 2 225 = 9 300 250 2 275 = 11 AM TM QA =Q QT =Q - - 2000 2100 = 2050 1900 2000 = 1950 1800 1900 = 1850 2 41 2 39 2 37 800 1000 = 900 600 800 = 700 400 600 500 = 2 9 2 7 2 5 "DA (P ) "DT (P ) - - 7 41 9 39 11 37 7 9 9 7 11 5 (B) Confrontando le ultime due colonne della tabella precedentemente calcolata si evince che la domanda per a¤ari è meno elastica di quella per turismo "DA (P ) < "DT (P ). Spiegazione. Mentre i turisti hanno tempo su¢ ciente per reagire alla variazione di prezzo e scegliere quindi il mezzo di trasporto più economico, gli uomini d’a¤ari non ritengono i viaggi aerei facilmente sostituibili. ESERCIZIO 3. Si consideri il caso di un museo che sta valutando l’ipotesi di aumentare il prezzo del proprio biglietto d’entrata. (A) Si speci…chi il ricavo totale del museo in funzione del prezzo di vendita dei biglietti d’entrata e se ne fornisa una rappresentazione gra…ca. (B) Si calcoli come varia il ricavo totale al punto (A) per e¤etto di una variazione del prezzo di vendita. (C) Si illustri sotto quale condizione (e perchè) l’aumento del prezzo aumenterà i ricavi del museo? ESERCIZIO 3. Svolgimento. (A) De…niamo QD (P ) la curva di domanda di biglietti d’ingresso del museo. Per ogni livello di prezzo, P, i ricavi totali, R, del museo sono pari a R(P ) = Q(P ) P dove R(P ) e Q(P ) ci ricordano che i ricavi totali ed il numero di biglietti d’ingresso venduti dipendono dal prezzo di vendita. Gra…camente, ipotizzando che prezzo e quantità di equilibrio siano P e Q , il ricavo totale del museo risulta P P* PD(Q) R 0 Q* 4 Q (B) Per capire sotto quale condizione (e perché) un aumento del prezzo dei biglietti d’ingresso accresce i ricavi del museo è necessario considerare come variano i ricavi al variare del prezzo d’ingresso. Dobbiamo quindi calcolare la derivata del ricavo totale rispetto a prezzo. Formalmente dR(P ) dP = d[Q P ] dP dQ dP = dP dP P +Q = dQ dP P +Q raccogliendo Q si ottiene dR(P ) dP h =Q Ricordando inoltre che "D (P ) = dQ dP dQ P dP Q P Q = i +1 : dQ P dP Q e sostituendo nella precedente si ottiene dR(P ) dP =Q [1 "D (P )] : (C) Un aumento del prezzo di vendita (P ") può portare ad un aumento dei ricavi del museo (R ") se siamo lungo un tratto anelastico della curva di domanda ("D (P ) < 1). Infatti i ricavi marginali del museo sono crescenti nel prezzo (formal) mente dR(P > 0) se dP Q [1 "D (P )] > 0 ovvero, essendo Q > 0, 1 "D (P ) > 0 ! "D (P ) < 1: Gra…camente. Supponiamo che l’equilibrio iniziale sia P ; Q e quello …nale sia P ; Q , con P < P e Q > Q (aumento il prezzo, si riduce il numero di biglietti venduto). I ricavi del museo inizialmente sono P Q (area A + area C nel gra…co sottostante), mentre dopo l’aumento di prezzo diventano P Q (area B + area C nel gra…co sottostante). Notate che aumentando il prezzo il museo ottiene un ricavo maggiore per ogni biglietto d’ingresso venduto ma riesce a vendere un minor numero di biglietti d’ingresso. P P** B P* PD(Q) C A Q** Q* 0 Q Confrontando i ricavi nelle due situazioni (Rf inale = P Q = areaB + areaC e Riniziale = P Q = areaA + areaC), ho un aumento del ricavo al crescere del prezzo se Rf inale Riniziale > 0 confrontando le aree B + C (A + C) > 0 ! B A>0 e quanto sopra è veri…cato in presenza di una curva di domanda anelastica. Infatti, dal confronto analitico delle due aree avremmo area A = Q P ; areaB = 5 P Q dove Q = Q traduce in Q <0e P =P P Q dividendo ambedue i membri per P P Q Q P > 0; quindi la condizione B + P Q Q P P Q + Q A > 0 si P >0 si ottiene Q=Q P=P > 0)1+ >0 ricordando che Q=Q P=P "D = Q=Q P=P = e sostituendo 1 "D > 0 da cui "D < 1: ESERCIZIO 4. Antonio riceve in eredità la pizzeria di famiglia e decide di continuare a vendere pizze al prezzo di 10 C = l’una. Sapendo che la curva di domanda di pizza è QD (P ) = 200 4P , Anita, che ha studiato economia, suggerisce al padre di aumentare il prezzo della pizza al …ne di incrementare i ricavi della pizzeria. (A) Si fornisca una rappresentazione della curva di domanda di pizza speci…cando intercette e pendenza. (B) Si calcoli l’elasticità della domanda di pizza in corrispondenza dell’equilibrio iniziale. (C) Si esprima il ricavo totale della pizzeria come funzione del prezzo di vendita delle pizze. (D) Si discuta analiticamente la proposta di Anita (Si illustri come varia il ricavo totale al variare del prezzo di vendita delle pizze). (E) Si speci…chi qual è il prezzo che massimizza i ricavi di Antonio. ESERCIZIO 4. Svolgimento. (A) La curva di domanda di pizza inversa è P D (Q) = 50 14 Q, gra…camente P pendenza: -1/4 50 PD(Q) 200 Q (B) In corrispondenza di un prezzo pari a 10 C = (e quindi di una quantità venduta pari a 160), l’elasticità della domanda al prezzo è "D (10) = dQ P dP Q = 10 ( 4) 160 = 1 4 <1 (C) Il ricavo totale della pizzeria, espresso in funzione del prezzo di vendita è R(P ) = Q(P ) P = [200 4P ] P (D) Dal momento che la domanda di pizza in corrispondenza dell’equilibrio iniziale è anelastica (ovvero il ricavo marginale della pizzera è positivo), un aumento del prezzo della pizza si tradurrà in maggiori ricavi per Antonio. Infatti il ricavo marginale in corrispondenza dell’equilibrio iniziale è dR(10) dP = 160 1 1 4 = 160 3 4 = 120 > 0 (E) In corrispondenza di tratti anelastici della curva di domanda, "D (P ) < 1, i ricavi risultano crescenti nel prezzo di vendita del bene mentre in corrispondenza di tratti elastici della curva di domanda, "D (P ) > 1, i ricavi risultano decrescenti nel 6 prezzo di vendita del bene. Il prezzo che massimizza i ricavi è quello in corrispondenza del quale la domanda ha elasticità unitaria o, in maniera equivalente, i ricavi marginali sono nulli. Dobbiamo quindi calcolare il prezzo in corrispondenza del quale "D (P ) = 1: Data la funzione di domanda (Q(P ) = 200 4P ), l’elasticità della domanda al prezzo è P ( 4) 200P 4P = 2004P4P ; "D (P ) = dQ dP Q = quindi sostituendo "D (P ) = 1 ! 4P 200 4P = 1 ! 4P = 200 4P ! 8P = 200 ! P = 200 8 = 25: ESERCIZIO 5. Luca riceve in eredità la pasticceria di famiglia e decide di continuare a vendere torte al prezzo di 20 C = l’una. Sapendo che la curva di domanda di torte è QD (P ) = 50 2P , Chiara suggerisce all’amico Luca di ridurre il prezzo delle torte al …ne di incrementare i ricavi della pasticceria. (A) Si fornisca una rappresentazione gra…ca della curva di domanda di torte speci…cando intercette e pendenza. (B) Si calcoli l’elasticità della domanda di torte in corrispondenza dell’equilibrio iniziale. (C) Si esprima il ricavo totale della pasticceria come funzione del prezzo di vendita delle torte. (D) Si discuta analiticamente e gra…camente la proposta di Chiara (Si illustri come varia il ricavo totale al variare del prezzo di vendita delle torte). (E) Qual è il prezzo che massimizza i ricavi di Luca? (A) La curva di domanda di torte inversa è ESERCIZIO 5. Svolgimento. P D (Q) = 25 21 Q, gra…camente P 25 pendenza -1/2 PD(Q) 50 Q (B) In corrispondenza di un prezzo pari a 20 C = (e quindi di una quantità venduta pari a 10), l’elasticità della domanda al prezzo è "D (20) = dQ P dP Q = ( 2) 20 10 = 4 > 1 (C) Il ricavo totale della pasticceria, espresso in funzione del prezzo è R(P ) = Q(P ) P = [50 2P ] P (D) Dal momento che la domanda di torte in corrispondenza dell’equilibrio iniziale è elastica (ovvero il ricavo marginale della pizzera è negativo), una contrazione del prezzo delle torte si tradurrà in maggiori ricavi per Luca. Infatti il ricavo marginale in corrispondenza dell’equilibrio iniziale è dR(20) dP = 20 (1 4) = 20 ( 3) = 60 < 0 (E) Il prezzo che massimizza i ricavi di Luca è quello in corrispondenza del quale la domanda ha elasticità unitaria o, in maniera equivalente, i ricavi marginali sono nulli. Dobbiamo quindi calcolare il prezzo in corrispondenza del quale "D (P ) = 1: 7 Data la funzione di domanda (QD (P ) = 50 2P ), l’elasticità della domanda al prezzo è P "D (P ) = dQ ( 2) 50 P2P = 502P2P = 25P P ; dP Q = quindi sostituendo "D (P ) = 1 ! P 25 P = 1 ! P = 25 P ! 2P = 25 ! P = 25 2 = 12:5: ESERCIZIO 6. Si supponga che Paolo trovi ottimale spendere sempre 1/4 del proprio reddito in pizza. (A) Supponendo che il reddito di Paolo sia I e che il prezzo di vendita delle pizze sia P, si disegni la curva di domanda di pizza. (B) A quanto ammonta l’elasticità rispetto al reddito della sua domanda di pizza? (C) Come varia la sua spesa totale in pizza rispetto al prezzo? (D) Si illustri gra…camente cosa accadrebbe alla suddetta curva se Paolo decidesse ora di spendere in pizza 1/2 del suo reddito? ESERCIZIO 6. Svolgimento. (A) Siano I, P e Q il reddito, il prezzo e la quantità di pizza acquistata da Paolo. Sapendo che il consumatore spende 1/4 del proprio reddito in pizza ( 14 I) ed essendo la spesa totale in pizza pari a (P Q), abbiamo che 1 Q 4I = P da cui la seguente domanda di pizza QD = 1 I 4P Gra…camente, per dato livello di reddito, P PD(Q) Q (B) In maniera analoga all’elasticità della domanda al prezzo, l’elasticità della domanda al reddito misura la variazione della quantità domandata al variare del reddito I "D (I) = dQ dI Q : Tenuto conto della domanda di pizza trovata sopra, in corrispondenza di un reddito I abbiamo che I 1 1 I "D (I) = dQ dI Q = 4 P 1 I = 1 4P (C) Per capire come varia la spesa totale in pizza al variare del prezzo del bene, è necessario calcolare l’elasticità della domanda al prezzo. Data la funzione al punto (A), abbiamo che "D (P ) = dQ dP P Q 1 I 4 P2 = P 1 I 4P = 1 I 4P 2 4 P2 I =1 Essendo la domanda ad elasticità unitaria, la spesa totale non cambia al variare del prezzo del bene. 8 (D) Sapendo che il consumatore spende 1/2 del proprio reddito in pizza ( 21 I) ed essendo la spesa in pizza pari a (P Q), abbiamo che 1 2I =P Q da cui la seguente domanda di pizza QD0 = 1 I 2P > QD Gra…camente, per dato livello di reddito, P PD(Q) PD’(Q) Q 9