The Kiss Precise

The Kiss Precise
di Frederick Soddy
(Eastbourne, 2 settembre 1877 – Brighton, 22 settembre 1956)
For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.
Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.
To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares.
Frederick Soddy, fisico e chimico britannico, vincitore del Premio Nobel per la chimica nel
1921, discepolo di Rutherford, nel 1913 ipotizzò l’esistenza degli isotopi, cioè di elementi chimici
che pur avendo lo stesso numero atomico e le stesse proprietà chimiche, cioè pur occupando lo
stesso posto (da qui il nome isotopi) nella tavola periodica, avevano una massa e un peso atomico
differente. La conferma sperimentale delle sue idee avvenne grazie al lavoro di Joseph John
Thomson (puoi leggere l’articolo I Thomson e il dualismo onda-particella all’indirizzo di questo sito
http://studiomatematica.altervista.org/documenti/Thomson.pdf).
Frederick Soddy
Nel 1936, Soddy pubblicò sul periodico Nature la poesia The Kiss Precise, sopra riportata, in
cui si tratta del Teorema di Descartes (Cartesio); assegnate tre circonferenze tangenti tra loro,
permette di individuarne una quarta, anch’essa tangente alle prime tre. Le quattro circonferenze
sono oggi conosciute anche col nome di circonferenze di Soddy o cerchi che si baciano.
Il problema di determinare una quarta circonferenza tangente
a tre circonferenze a loro volta tangenti ammette due soluzioni, la circonferenza
interna e quella esterna
Una dimostrazione del teorema si può trovare all’indirizzo [3], mentre all’indirizzo [4] si può
utilizzare un pratico calcolatore che, inseriti i raggi delle tre circonferenze tangenti assegnate,
permette di individuare il raggio del quarto circolo tangente alle precedenti. La relazione tra i raggi
delle quattro circonferenze tangenti è data da una equazione abbastanza semplice:
Il problema dei cerchi che si baciano, ovvero tangenti, rientra in una tipologia che ha spesso
appassionato i matematici in ogni epoca. Il “Grande geometra” dell’antichità, Apollonio di Perga
(circa 262 a.C. – 190 a. C; Perga è nell’attuale Turchia), famoso soprattutto per la sua opera sulle
coniche, propose una questione oggi conosciuta come Problema di Apollonio: dati tre elementi
geometrici, ciascuno dei quali può essere un punto, una retta o un cerchio, determinare un cerchio
tangente a ciascuno degli altri; sono in tutto dieci situazioni possibili: tre punti; un punto, una linea,
un cerchio; due punti e una linea… tre cerchi. A differenza di quanto richiesto nel teorema di
Descartes, nel problema di Apollonio non si suppone che i cerchi assegnati siano essi stessi
tangenti. Le soluzioni al problema di Apollonio sono state date in epoche successive: già Euclide
negli Elementi individuò le più semplici, mentre la soluzione del caso più complesso, appunto
quello dei tre cerchi, fu determinata solo molto più tardi, negli anni a cavallo tra il XVI e il XVII
secolo, dal francese François Viète e dal belga Adriaan van Roomen. In questo caso il problema di
Apollonio ha otto soluzioni, rappresentate nella figura successiva.
Uno dei problemi di Apollonio: dati tre cerchi, determinarne
un quarto tangente ad essi
Alcuni matematici si sono impegnati a risolvere il problema di Apollonio nello spazio. Dopo
gli studi condotti nell’ottocento presso l’ Ecole Polytechnique di Parigi, dove si proposero soluzioni
costruite con riga e compasso (metodo di Gaultier) o attraverso le sezioni di un cono retto (metodo
di Hachette),
grazie al rinnovamento della geometria descrittiva e all’introduzione della
rappresentazione digitale, si perviene al livello di evidenza visiva presentato da Federico Fallavollita
dell’Università La Sapienza di Roma, nel 2008 (“In questo quadro, il disegno geometrico è da
considerarsi, prima di tutto, come uno strumento della logica e la rappresentazione non è più
soltanto un mezzo per creare immagini, ma è uno strumento di invenzione e di scoperta”, cfr. [5]).
Rappresentazione di un esempio del problema di Apollonio nello spazio ([5])
Un’altra applicazione interessante dei cerchi tangenti è l’impaccamento di Leibniz, così
descritto da lui stesso nel 1706: Immagina un cerchio; inscrivi in esso altri tre cerchi congruenti e
aventi il raggio maggiore possibile; procedi così in ognuno di questi cerchi e in ogni intervallo tra
essi e continua così all’infinito. Si ottiene un’immagine simile a quella che segue, conosciuta anche
come Apolonnian Gasket, un esempio semplice di frattale.
Apollonian Gasket
Un altro frattale semplice è il triangolo di Apollonio. Si ottiene a partire dal triangolo
curvilineo compreso tra tre circonferenze tangenti e inscrivendo in questa regione di piano un altro
cerchio, tangente ai lati curvilinei del triangolo. Si ripete il procedimento in ciascuna delle tre
regioni formate e così via, fino ad ottenere la figura che segue:
Triangolo di Apollonio ([6])
Il caso più affascinante e sorprendente che coinvolga cerchi “che si baciano” è tuttavia
quello testimoniato dai Sangaku. Nel periodo Edo (1603-1867), il Giappone si impose l’isolamento
dal resto del mondo. In questi anni, gli stessi in cui l’Haiku divenne un’attività nazionale, venne
proibita ogni forma di cultura occidentale, e di conseguenza anche l’importazione di testi di
matematica, disciplina che quindi si sviluppò in Giappone in un modo autonomo e legato alle
tradizioni. Un aspetto particolare che assunse la divulgazione della matematica fu l’usanza di
scrivere problemi interessanti su tavolette di legno, arricchite da figure geometriche colorate per
sollecitare la curiosità di coloro che le vedevano. I testi erano in lingua Kanbun, un linguaggio molto
vicino al cinese, una sorta di giapponese antico conosciuto per lo più da persone erudite. Ma sono
state trovate anche alcune tavolette incise da ragazzi, come quella che riporta il problema
sottostante, proposta da un ragazzo tredicenne, Sato Naosue, appesa nel tempio di Akahagi
Kannon nella città di Ichinoseki ([14]).
Un esempio di Sangaku ; anche in questo caso si chiede di
determinare il rapporto tra i raggi dei cerchi raffigurati
Le tavolette venivano poi attaccate come doni votivi al soffitto di templi e santuari. Il
notevole interesse mostrato per la geometria in questi anni in Giappone non trova analoga risposta
in Europa, dove i matematici si stavano dedicando soprattutto al calcolo differenziale.
Santuario di Kitano Tenmangu a Kyoto ( [23], [12])
Un Sangaku con più problemi ([11])
Molti degli esercizi incisi sulle tavolette coinvolgevano cerchi o ellissi, disposti in modo da
formare figure articolate e particolari. In uno ad esempio si chiede di determinare il rapporto tra
tutti i raggi dei cerchi rappresentati nella figura:
([7])
Il rapporto tra i raggi dei cerchi rappresentati è abbastanza frequente, così come sono frequenti le
disposizioni a ventaglio, cioè di figure inscritte in settori circolari, tipo quelle delle figure qui sotto:
Sangoku con disposizione a ventaglio; si chiede di determinare il rapporto tra i raggi dei cerchi raffigurati
Alcuni dei problemi proposti erano semplici e potevano essere risolti utilizzando passaggi
elementari di geometria euclidea. Altri invece erano abbastanza complessi e talvolta l’ideatore non
era neanche riuscito a risolverli, per cui incideva sulla tavoletta solo il testo, senza la soluzione del
problema. Sangaku difficili sono ad esempio quello in cui si richiede di determinare l’area della
parte di sfera a contatto con il cilindro rappresentato in figura
oppure il seguente: nel triangolo ABC sappiamo che AB=BC; si scelgano D su AB e J su CD tali che AJ
sia perpendicolare a CD e che i cerchi inscritti nei triangoli ACJ e ADJ abbiano lo stesso raggio r.
Allora r=AJ/4.
Concludo con la considerazione che rispolvererò alcuni di questi problemi per proporli ai miei studenti,
nella convinzione che anche coloro che non riescono a lasciarsi affascinare dalla matematica, non possano
non rimanere stupiti dalla suggestione e dall’atmosfera evocata da queste rappresentazioni artistiche e da
queste modalità di trasmissione del sapere.
Ho preso informazioni e immagini da:
[1] C. B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori
[2] Che cos’è la matematica, Courant-Robbins, Bollati Boringhieri
[3] http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su09/Floer/6690/Soddy%20Circles/Soddy%20Circles.html
[4] http://www.had2know.com/academics/descartes-theorem-soddy-circle-calculator.html
[5]http://federico.fallavollita.eu/public/Pdf/Federico_Fallavollita_L%E2%80%99estensione%20del%20probl
ema%20di%20Apollonio%20nello%20spazio%20e%20L%E2%80%99Ecole%20Polytechnique.pdf
[6] http://www.webfract.it/FRATTALI/apollonio.htm
[7] http://hermay.org/jconstant/wasan/sangaku/index.html
[8] http://www.sciencenews.org/view/generic/id/9499/description/Sacred_Geometry
[9] http://pavane.blog.so-net.ne.jp/archive/c307821-1
[10] http://biqfr.blogspot.it/2012/02/sangaku-el-algebra-japonesa.html
[11] http://www.abc.es/20120204/ciencia/abci-sangaku-algebra-japones-201202040912.html
[12] http://www.guardian.co.uk/science/alexs-adventures-in-numberland/2012/oct/15/japanese-sangakupaintings-maths http://www.guardian.co.uk/science/alexs-adventures-innumberland/2012/oct/15/japanese-sangaku-paintings-maths
[13] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml
[14] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/KidsSangaku.shtml
[15 ] http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2010/02/20/sangaku/
[16]http://www.had2know.com/academics/kissing-circles-java-applet-demonstration.html
[17] http://www.euchems.eu/publications/100-distinguished-european-chemists/20th-century/soddyfrederick.html
[18] http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su09/Floer/6690/Soddy%20Circles/Soddy%20Circles.html
[19] http://motls.blogspot.it/2010/06/descartes-theorem-on-kissing-circles.html
[20] http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/indice.htm
[21]
http://www.jstor.org/discover/10.2307/2695498?uid=3738296&uid=2129&uid=2&uid=70&uid=4&sid=2110
2177545033
[22] http://mathworld.wolfram.com/ApolloniusProblem.html
[23] http://www.kyoto.travel/photoitem/temple_kitanotenmangu.jpg