Topologia Algebrica

Topologia Algebrica
Appunti ed esercizi - Natale 2007
Kieran O’Grady
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Fibrati vettoriali
Sia X uno spazio topologico. Sia k il campo dei reali o dei complessi. Un fibrato
localmente banale π : V → X è un k r -fibrato ovvero un k-fibrato vettoriale di
rango k se la fibra di π è omeomorfa a k r e il gruppo strutturale è GLr (k). Se
r = 1 si dice che V è un k-fibrato lineare. Sia {Uα }α∈I un ricoprimento aperto
di X tale che π −1 Uα → Uα sia banalizzato da
∼
ψα : π −1 Uα −→ Uα × k r
(1.1)
e con funzioni di transizione
φαβ : Uα ∩ Uβ −→ GLr (k)
(1.2)
per ogni α, β ∈ I. Sia p ∈ Uα ∩ Uβ ; dato ξβ ∈ k r sia ξα ∈ k r definito da
ξα := ψα (ψβ−1 (p, ξα ))
(1.3)
(abbiamo identificato {p} × k r con k r ); allora
ξα = φαβ · ξβ .
(1.4)
Osservazione. Dato p ∈ X possiamo dare a π −1 (p) una struttura di k-spazio vettoriale identificando π −1 (p) con k r per mezzo di ψα , dove p ∈ Uα . L’equazione (1.4)
dimostra che la struttura di spazio vettoriale data a π −1 (p) non dipende dalla
scelta dell’aperto contenente p, perché φαβ (p) ∈ GLr (k).
Esempi.
(1) Il fibrato tautologico π : L −→ Pnk definito come il sottoinsieme L ⊂ k r ×Pnk
dato da
L := {(v, [w])| v è un multiplo di w}.
(1.5)
La mappa π è la restrizione a L della proiezione k r × Pnk → Pnk : verificate
che π : L −→ Pnk è un k-fibrato lineare.
(2) Sia X una varietà C ∞ di dimensione n. Il fibrato tangente di X è l’insieme
a
TX :=
Tp X.
(1.6)
p∈X
1
Consultate un testo per capire come dare a TX una struttura di varietà
C ∞ in modo tale che l’ovvia mappa π : TX → X sia un Rn -fibrato (o
meglio: capite come dare a TX la struttura in questione senza consultare
testi). Si definisce in modo simile il fibrato cotangente ΩX , con fibra Ωp X
su p.
Esercizio 1.
Sia n > 0; dimostrate che il fibrato tautologico su Pnk non è banale.
Esercizio 2.
Sia X una varietà C ∞ e {Uα , ρα }α∈I un atlante di X. Verificate che TX e ΩX
si banalizzano su Uα ; quali sono le funzioni di transizione di TX e di ΩX ?
Esercizio 3.
Sia π : V → X un k r -fibrato. Una sezione di V è una mappa continua σ : X → V
tale che π ◦ σ = IdX . L’insieme delle sezioni di V si denota Γ(V ).
(1) Date a Γ(V ) una struttura naturale di k-spazio vettoriale.
(2) Dimostrate che V è banale se e solo se esistono r sezione σ1 , . . . , σr tali
che σ1 (p), . . . , σr (p) siano una base di π −1 (p) per ogni p ∈ X.
2
1-cocicli.
Riprendiamo la notazione introdotta all’inizio della sezione (1). Siano α, β, γ ∈
I: notate che su Uα ∩ Uβ ∩ Uγ vale
φαβ · φβγ = φαγ .
(2.7)
Una collezione di funzioni continue {φαβ }(α,β)∈I 2 è un 1-cociclo a valori in
GLr (k) se vale (2.7) per ogni α, β, γ ∈ I. Sia dato un arbitrario 1-cociclo a
valori in GLr (k) con φαβ continuo per ogni α, β ∈ I. Allora esiste un k r -fibrato
V → X e banalizzaioni di π −1 Uα tali che l’1-cociclo associato sia proprio il dato
1-cociclo; basta porre
a
V :=
Uα × k r / ∼
(2.8)
α∈I
dove ∼ è la relazione di equivalenza generata ponendo per p ∈ Uα ∩ Uβ e
ξα , ξ β ∈ k r
Uα × k r 3 (p, ξα ) ∼ (p, ξβ ) ∈ Uβ × k r
se vale (1.4).
(2.9)
Le considerazioni precedenti permettono di definire, a partire da un k-fibrato
vettoriale V → X fibrati vettoriali ⊗k V , Symk V , ∧k V etc. Per esempio
sia V un k r -fibrato su X e {φαβ }(α,β)∈I 2 un 1-cociclo associato a V . Allora
{det φαβ }(α,β)∈I 2 è un 1-cociclo a valori in K × := GL1 (k); il k-fibrato lineare
associato a questo cociclo è il fibrato determinante det V = ∧r V di V . Notate
che una varietà C ∞ X è orientabile se e solo se det ΩX è banale.
2
Esercizio 4.
Sia V → X un k-fibrato vettoriale: definite il duale V ∨ .
Esercizio 5.
Sia X uno spazio topologico. Definiamo
P ick (X) := {L → X k-fibrato lineare}/equivalenza.
(2.10)
Siano L1 , L2 k-fibrati lineari: definite L1 ⊗L2 . Notate che L1 ⊗L2 è un k-fibrato
lineare la cui classe di isomorfismno dipende solo dalle classi di isomorfismo di
L1 , L2 e quindi abbiamo una operazione
P ick (X) × P ick (X) −→ P ick (X)
([L1 ], [L2 ])
7→ [L1 ⊗ L2 ]
(2.11)
Dimostrate che questa operazione dà a P ick (X) una struttura di gruppo abeliano.
(L’unità è il fibrato banale che denoteremo kX .)
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Gruppo strutturale.
Sia G < GLr (k) un sottogruppo. Un G-fibrato vettoriale è un k r -fibrato vettoriale con 1-cociclo che ha funzioni di transizione in G - l’equivalenza di G-fibrati
vettoriali si definisce in modo “ovvio”. Un k r -fibrato ha una struttura di Gfibrato vettoriale se ammette un 1-cociclo a valori in G - si dice che si è ridotto
il gruppo strutturale a G.
Esempio Un Cm -fibrato vettoriale è un R2m -fibrato vettoriale il cui gruppo
strutturale è stato ridotto a GLm (C) < GL2m (R).
Esercizio 6.
Sia V → X un Rm -fibrato vettoriale. Dimostrate che il gruppo strutturale può
essere ridotto a O(m).
Esercizio 7.
Sia X semplicemente connesso: dimostrate che ogni R-fibrato su X è banale.
Esercizio 8.
Dimostrate che se [L] ∈ P icR (X) allora [L ⊗ L] = [RX ].
Esercizio 9.
Sia n > 0 e sia L → PnC il fibrato tautologico. Dimostrate che [L⊗s ] = [CX ] solo
se s = 0 e quindi P icC (PnC ) contiene una copia di Z (se n > 0 !).
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