Approfondimenti sulla v.a. esponenziale

LA VARIABILE ESPONENZIALE
E. DI NARDO
1. Analogia con la v.a. geometria
In una successione di prove ripetute di Bernoulli, la v.a. geometrica restituisce
il numero di prove necessarie per avere il primo successo. La v.a. esponenziale
ha analogo significato, cioè rappresenta un tempo di attesa, ma nel continuo, ossia
quando l’evento etichettato come successo può verificarsi in un qualsiasi istante
temporale t > 0.
Consideriamo il seguente esempio. Sia Nt il numero di telefonate che arriva ad un
centralino telefonico nell’intervallo [0, t). Assumiamo che Nt sia una v.a. di Poisson
di parametro λt, con λ ∈ R+ . Sia T la variabile aleatoria che descrive l’istante in
cui arriva la prima telefonata. E’ lecito assumere P (T ≤ t) = 0 per t < 0. Invece
per t ≥ 0 si ha
P (T > t) = P (Nt = 0) = exp(−λ t).
Di conseguenza si ha
(1.1)
P (T ≤ t) =
0,
1 − exp(−λ t),
per t < 0,
per t ≥ 0.
La funzione FT (t) = P (T ≤ t) gode di tutte le proprietà di una funzione di ripartizione, ossia
lim FT (t) = 1, lim FT (t) = 0
t→∞
t→−∞
e inoltre è non decrescente (in particolare è strettamente crescente per 0 ≤ t1 < t2 .)
Ammette derivata prima1 FT′ (t) per ogni t ∈ R − {0}. In particolare FT′ (t) = f (t)
(quasi ovunque) con
0,
per t < 0,
(1.2)
f (t) =
λ exp(−λ t), per t ≥ 0,
funzione non-negativa, continua eccetto che in 0 e integrabile (vedi Appendice.1).
Pertanto FT (t) è la funzione di ripartizione di una v.a. assolutamente continua
(vedi Appendice.2), che viene denominata v.a. esponenziale 2.
Poichè la v.a. esponenziale ha significato di tempo di attesa di un evento, questo
evento potrebbe essere il guasto (o la rottura) di un sistema soggetto a stress casuali.
1In t = 0 ha una discontinuità di I specie, poichè limite destro e sinistro del rapporto incrementale sono diversi.
2In alcuni testi si parla di v.a. esponenziale negativa, poichè per λ = 1 la funzione f (t) coincide
con l’esponenziale exp(−x).
1
2
E. DI NARDO
2. La v.a. esponenziale
La v.a. esponenziale è un modello stocastico impiegato per descrivere l’affidabilità
di sistemi.
Funzione di affidabilità. Nello studio dell’affidabilità, la funzione di ripartizione
FT (t) è detta funzione di guasto, poichè rappresenta la probabilità che il guasto si
verifichi prima dell’istante t. Il complementare a 1 di FT (t), ossia
R(t) = 1 − FT (t) = P (T > t),
t≥0
rappresenta la probabilità che il guasto si verifichi dopo l’istante t, ossia che all’istante
t il sistema sia ancora funzionante. Viene pertanto denominata funzione di affidabilità. La funzione di affidabilità gode di proprietà speculari alla funzione di
guasto:
(1) R(0) = 1 ossia nell’istante in cui l’osservatore inizia a monitorare il sistema
(istante 0), questo si suppone funzionante;
(2) limt→∞ R(t) = 0, ossia al trascorrere del tempo, l’affidabilità del sistema
diminuisce;
(3) R(t) è funzione non crescente, ossia comunque scelti 0 ≤ t1 < t2 risulta
R(t1 ) ≥ R(t2 ).
Nel caso esponenziale la funzione di affidabilità è strettamente decrescente poichè
R(t) = exp(−λt).
Esempio. Sia T il tempo di guasto di un componente elettronico in un aereo,
descritto da una v.a. esponenziale di parametro 1/1000 giorni. Determinare la
probabilità di guasto dopo un anno.
Si tratta di calcolare FT (365) che risulta essere all’incirca del 30%.
Determinare il numero massimo di giorni tale che la probabilità di guasto è al più
0.05.
Si tratta di calcolare t̄ = maxt≥0 {t : FT (t) ≤ 0.05}. Trattandosi di funzione strettamente crescente per t ≥ 0, bisogna determinare quel valore t̄ tale che FT (t̄) = 0.05
ossia t̄ ≈ 22 giorni.
Si assuma che, da valutazioni di natura statistica, si conosca l’affidabilità dopo 5
anni dello stesso componente fornito da un’altra azienda. Ad esempio si sa che
questa affidabilità vale 60%. Quanto vale il parametro λ?
Si tratta di determinare quel valore di λ̃ tale che R(5 × 365) = 0.60. In tal caso
risulta λ̃ ≈ 1/22 anni.
Il significato del parametro λ. Nell’esempio precedente, l’affidabilità del 60%
veniva raggiunta dal primo componente dopo 1.5 anni. Pertanto è evidente che
il componente prodotto dalla seconda azienda ha una maggiore durata di vita.
Poichè per la seconda azienda il valore del parametro è inferiore a quello della
prima azienda, si intuisce che tempi di vita maggiori corrispondono a valori del
parametro λ più piccoli. Infatti, la funzione densità, al diminuire di λ, si schiaccia
sull’asse delle ascisse. Di conseguenza la media si sposta verso valori più elevati e
il sistema si guasta mediamente più tardi. Pertanto λ risulta essere inversamente
proporzionale al tempo di vita medio del sistema, come infatti risulta calcolando
E[T ] :
Z ∞
1
λt exp(−λt) dt = .
E[T ] =
λ
0
LA VARIABILE ESPONENZIALE
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3. Proprietà della v.a. esponenziale
Il parametro λ ha anche un altro significato riconducibile al tasso di guasto del
sistema.
Tasso di guasto. Si definisce tasso di guasto, la funzione
H(t) =
f (t)
,
R(t)
per t ≥ 0.
Per comprendere il significato di H(t) si osservi che
R t+∆t
f (s) ds
f (t)∆t
P (t < T ≤ t + ∆t)
H(t) ∆t =
≈ t
=
= P (t < T ≤ t+∆t|T > t).
R(t)
R(t)
P (T > t)
La funzione H(t) rappresenta un tasso perchè moltiplicata per ∆t restituisce la
probabilità che il sistema si guasti in un intervallo di tempo ∆t successivo all’istante
t, essendo giunto il sistema funzionante all’istante t (si veda Appendice.3). Nel caso
della v.a. esponenziale questo tasso è costante e pari a λ. L’ipotesi che il tasso
di guasto di un sistema si mantenga costante nel tempo appare inverosimile per
sistemi reali, soggetti a usura. Come se il sistema dimenticasse il tempo trascorso.
Questa proprietà è detta assenza di memoria e caratterizza la v.a. esponenziale
come vedremo tra breve. Qui è utile ricordare che si può assumere costante un
tasso di guasto relativo ad un sistema/soggetto quando lo si considera nella fase
adulta, ossia quando solo fattori accidentali possono provocarne un guasto. Più
in generale per descrivere il tasso di guasto di un sistema reale, si usano le curve
cosidette a vasca da bagno, come quella di figura 1.
Fig.1: Curva a vasca da bagno
In questa figura, la prima parte del grafico descrive il tasso di guasto di un sistema
durante la sua infanzia, ossia quando viene messo in funzione e si possono verificare
guasti di rodaggio o di errata progettazione. Il tasso decresce al crescere del tempo,
a testimonianza del buon funzionamento del sistema. Segue la fase adulta, dove si
immagina un sistema stabile rispetto a stress casuali, se questi si mantegono al di
sotto di una certa soglia. Infine la parte finale del grafico è una curva crescente. In
tal caso la probabilità che si verifichino guasti da usura aumenta al trascorrere del
tempo, favorendo la rottura del sistema. Un tasso di guasto che può tornare utile
per la modellizzazione matematica di una curva a vasca è il seguente
H(t) = λ β tβ−1 ,
t > 0, β ∈ R+ .
Infatti per β < 1 il tasso H(t) decresce, per β = 1 il tasso è costantemente uguale a
λ (caso esponenziale), per β > 1 il tasso cresce. Il tempo di vita associato a questo
tasso di guasto è descritto da una v.a. detta di Weibull che verrà introdotta in
seguito.
Proprietà di assenza di memoria. Vale il seguente teorema.
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E. DI NARDO
Teorema 3.1. Se T è una v.a. esponenziale allora
(3.1)
P (T > t + s|T > s) = P (T > t)
∀t, s ≥ 0.
Il significato dell’equazione (3.1) si può cosı̀ riassumere: se il sistema non si è
guastato fino all’istante s, evento (T > s), la probabilità che non si guasti in un
successivo intervallo temporale di ampiezza s, evento (T > t + s), dipende solo da
t e non dalla vita trascorsa s.
Proof.
P (T > t+s|T > s) =
P [(T > t + s)]
R(t + s)
P [(T > t + s) ∩ (T > s)]
=
=
= R(t).
P (T > s)
P (T > s)
R(s)
Dalla dimostrazione si evince che
(3.2)
R(t + s) = R(t)R(s),
s, t ≥ 0,
anche nota come equazione di Cauchy, ulteriore proprietà della funzione di affidabilità delle v.a. esponenziali. Inoltre posto Ts = T − s, tempo di vita residua
del sistema, la proprietà di assenza di memoria equivale a richiedere che la durata
di vita residua ha la stessa distribuzione della durata di vita iniziale, come se il
sistema non si fosse usurato.
Corollario 3.2. Se T è una v.a. esponenziale allora P (Ts > t|T > s) = P (T > t)
per ogni s, t ≥ 0.
La proprietà di assenza di memoria era già stata data per la v.a. geometrica,
sicchè la analogia come tempo di attesa è ancora più evidente. Più precisamente,
una v.a. X si dice senza memoria se ∀a, b ∈ I (dove I indica il range di X) tali che
a + b ∈ I, si ha
P (X > a + b|X > a) = P (X > b).
In realtà si dimostra che se X è una v.a. senza memoria per s, t ≥ 0 allora X è una
v.a. esponenziale (per la dimostrazione si veda Appendice.4). Se s, t ∈ N allora X
è una v.a. geometrica.
4. Generalizzazioni
Relazione tra tempo medio e affidabilità. Nell’esempio, abbiamo visto che
più l’affidabilità di un sistema decrementa lentamente a zero, maggiore è il tempo
medio di vita. Per una v.a. esponenziale, vale ovviamente
Z ∞
R(t) dt
(4.1)
E[T ] =
0
per verifica diretta. In realtà questo è un risultato che in teoria dell’affidabilità vale
qualunque sia la legge della v.a. assolutamente continua che descrive il tempo di
vita del sistema.
Proposizione 4.1. Se T è v.a. assolutamente continua e non-negativa allora vale
l’equazione (4.1).
LA VARIABILE ESPONENZIALE
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Proof. Si ha
E[T ] =
Z
∞
tf (t) dt =
Z
0
0
2
∞
Z
0
t
dx f (t) dt.
Il dominio D = {(x, t) ∈ R : 0 ≤ x ≤ t}, normale rispetto all’asse x, risulta
normale anche rispetto all’asse y ossia D = {(x, t) ∈ (R+ )2 : x ≤ t < ∞}. Di
conseguenza
Z ∞ Z ∞
Z ∞
f (t) dt dx
tf (t) dt =
E[T ] =
0
0
x
da cui segue la (4.1).
Ci si può chiedere se la relazione tra tempo medio di vita e affidabilità consente
un confronto tra tempi di vita di due sistemi. Nel caso di v.a. esponenziale vale la
seguente proposizione.
Proposizione 4.2. Se T1 e T2 sono v.a.esponenziali di parametri rispettivamente
λ1 e λ2 , risulta
E[T1 ] > E[T2 ] ⇔ λ1 < λ2 ⇔ R1 (t) > R2 (t).
Valgono le medesime implicazioni quando i tempi di vita hanno legge diversa da
quella esponenziale?
Proposizione 4.3. Siano R1 (t) e R2 (t) funzioni di affidabilità di T1 e T2 v.a.
assolutamente continue (tempi di vita). Se R1 (t) > R2 (t) per ogni t > 0, allora
E[T1 ] > E[T2 ].
Il viceversa non vale. Un semplice controesempio è il seguente: si consideri la
v.a. esponenziale T1 di parametro 0.25, avente tempo medio di vita pari a 4, e la
v.a. uniforme T2 sull’intervallo (4, 6), avente tempo medio di vita pari a 5. Sebbene
E[T2 ] > E[T1 ], si ha R2 (t) > R1 (t) solo per 0 < t < t̄ < 6 dove t̄ è quel valore per
cui R2 (t̄) = R1 (t̄) (all’incirca t̄ ≈ 5.5).
Per una v.a. esponenziale sussiste la seguente
n relazione
o tra funzione di affidabilità
Rt
e tasso di guasto: R(t) = exp{−λ t} = exp − 0 λ ds . Come nel caso del tempo
medio, questa relazione vale più in generale.
Proposizione 4.4. Se T è v.a. assolutamente continua (tempo di vita) allora
Z t
Z(s) ds
t ≥ 0.
R(t) = exp −
0
′
(t)
− RR(t)
′
Proof. Dall’essere H(t) =
segue che R(t) è soluzione dell’equazione differenziale lineare del primo ordine y + yH(t) = 0 con la condizione iniziale y(0) = 1.
Questa equazione è a variabili separabili, con y(t) 6= 0 per t ≥ 0. Integrando ambo
i membri si ha
Z t
Z t ′
y (s)
Z(s) ds
ds = −
0
0 y(s)
da cui segue il risultato poichè
Z t ′
y (s)
ds = log y(t).
0 y(s)
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E. DI NARDO
Anche in questo caso, un confronto tra le affidabilità di due sistemi è possibile
per tassi di guasto di cui uno superiore all’altro.
Proposizione 4.5. Siano R1 (t) e R2 (t) funzioni di affidabilità di T1 e T2 v.a.
assolutamente continue (tempi di vita). Se Z1 (t) > Z2 (t) per ogni t ≥ 0 allora
R1 (t) < R2 (t).
Non vale il viceversa. Ad esempio per Z1 (t) = 10t e Z2 (t) = (t − 3)2 , tassi di
guasto per i quali non si ha Z1 (t) > Z2 (t) (l’inversione del segno di diseguaglianza
si ha in t̃ ≈ 0.58), si può comunque provare che R1 (t) < R2 (t) per ogni t > 0.
E’ sicuramente più significativo stabilire tra due sistemi quale si guasterà prima,
ossia indicato con T1 il tempo di vita del primo sistema e con T2 il tempo di vita
del secondo sistema, determinare P (T1 > T2 ). Per v.a. esponenziali di parametri
λ1 e λ2 si dimostra che
λ2
P (T1 > T2 ) =
λ1 + λ2
ossia questa probabilità decrementa al crescere del tempo medio di vita del secondo
sistema. Tuttavia per la dimostrazione di questo risultato si rimanda al capitolo sui
vettori di v.a. poichè è necessario aver introdotto la nozione di densità di probabilità
congiunta. Estenderemo cosı̀ questo risultato al caso di n sistemi.
Sistemi complessi. La v.a. esponenziale ben si presta a studiare l’affidabilità dei
sistemi complessi, che si ottengono da sottosistemi composti in serie e/o in parallelo.
Si consideri il sistema di Figura 2.
Fig.2: Sottosistemi in serie
Esso è costituito da n sottosistemi in serie, ciascuno con tempi di vita esponenziali
di parametro λi . Assumendo che il guasto di un sottosistema non induca guasti
negli altri e indicato con T il tempo di vita di tutto il sistema risulta
)
(
n
n
X
Y
λi .
P (Ti > t) = exp −t
P (T > t) = P [∩ni=1 (Ti > t)] =
i=1
i=1
Pertanto il tempo di vita del sistema è descritto da una v.a. esponenziale di
parametro
Qn λ1 + · · · + λn . Più in generale usando le medesime argomentazioni
R(t) = i=1 Ri (t) e dunque l’affidabilità di un sistema in serie è sempre minore o
uguale alla affidabilità dei sottosistemi, R(t) ≤ min{R1 (t), . . . , Rn (t)}.
Questi modelli matematici possono essere utili anche in altri contesti, non necessariamente legati al tempo di vita di un sistema. Ad esempio, se i sottosistemi
rappresentano sportelli postali con tempi di espletamento del servizio descritti da
leggi esponenziali, il tempo T rappresenta l’attesa di un cliente che giunge all’ufficio
e trova tutti gli sportelli occupati ma nessun cliente in coda. E’ il primo esempio di
modello di file di attesa, che ovviamente può essere generalizzato variando le ipotesi
sulle code e sui tempi di espletamento del servizio.
Per sottosistemi in parallelo, invece, il tempo di vita T del sistema non è esponenziale.
LA VARIABILE ESPONENZIALE
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Fig.3: Sottosistemi in parallelo
Infatti il sistema di Figura 3 resta in vita fino a quando almeno uno dei suoi sottosistemi non si è guastato, e si guasta se e solo se tutti i sottosistemi si sono guastati.
Pertanto si ha
n
n
Y
Y
(1 − exp {−λi t}).
P (Ti ≤ t) =
P (T ≤ t) = P [∩ni=1 (Ti ≤ t)] =
i=1
i=1
Più in generale il tempo
Qndi vita di un sistema in parallelo è caratterizzato da funzione
di guasto FT (t) = i=1 Fi (t) e la sua affidabilità è sempre maggiore o uguale
alle affidabilità dei sottosistemi, R(t) ≥ max{R1 (t), . . . , Rn (t)}. Con le medesime
tecniche è possibile studiare affidabilità di sistemi ottenuti componendo sistemi in
parallelo e sistemi in serie, quali ad esempio quelli di Figura 4.
Fig.4: Sistemi complessi
Drenick nel 1960 ha comunque provato una sorta di teorema del limite centrale
per il tempo di vita di un sistema complesso. Infatti la funzione di affidabilità del
sistema decresce a 0 secondo un esponenziale negativa, ossia pur di attendere un
tempo sufficientemente lungo, il tempo di vita del sistema diventa esponenziale.
Tempo di attesa per il k-esimo guasto. Come nel caso delle prove di Bernoulli,
la v.a. di Pascal restituisce il numero di prove per avere il k-esimo successo (e quella
binomiale negativa si ottiene da quella di Pascal sottraendo k), anche nel caso di
eventi che occorrono nel tempo continuo, vi è un analogo della v.a. binomiale negativa. Si tratta della v.a. gamma (o di Erlang), che contiene come caso particolare
la v.a. esponenziale.
Sia Nt il numero di telefonate che arriva ad un centralino telefonico nell’intervallo
[0, t). Assumiamo che Nt sia una v.a. di Poisson di parametro λt, con λ > 0. Sia
Aj l’evento Aj = {in [0, t) arriva la j-esima telefonata}, j ∈ N, per il quale si ha
P (Aj ) = P (Nt = j) =
(λt)j
exp(−λt).
j!
Gli eventi {Aj } sono a due a due disgiunti. Sia T la variabile aleatoria che descrive
l’istante in cui arriva la k-esima telefonata. E’ lecito assumere P (T ≤ t) = 0 per
t < 0. Invece per t ≥ 0 si ha
X (λt)j
k−1
k−1
P (T > t) = P ∪j=1
Aj =
exp(−λt).
j!
j=1
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E. DI NARDO
Si dimostra (per induzione) che
k−1
X
j=1
(λt)j
exp(−λt) =
j!
Z
∞
λk
exp(−λx)xk−1 dx
(k − 1)!
t
complementare a 1 della funzione di ripartizione di una v.a. gamma di parametri
λ e k (che verrà trattata nei prossimi capitoli). In particolare faremo vedere che
una v.a. gamma di parametri λ e k è somma di k v.a. esponenziali indipendenti di
parametro λ. Ossia la v.a. gamma descrive tempi di vita di sistemi per i quali si
prevede la sostituzione (istantanea) con un sistema analogo, in caso di rottura. E’ il
caso del tempo di funzionamento di un lampadario, quando si hanno a disposizione
k lampadine, ciascuna con tempo di vita esponenziale di parametro λ.
5. Appendice
1. Una funzione f (x) limitata su [a, b] è Riemann-integrabile, ossia esiste finito
l’integrale di Riemann su [a, b]. Se f (x) : (a, b] → R è integrabile su ogni intervallo
[a + ǫ, b] con ǫ ∈ (0, b − a) ed esiste finito
Z b
lim
f (x) dx
ǫ↓0
a+ǫ
allora è integrabile (in senso generalizzato) su [a, b]. Allo stesso modo si definisce
l’integrale generalizzato di f su [a, b] quando f (x) : [a, b) → R. E’ possibile definire
l’integrale di f su [a, b] quando f : [a, b] − {c} → R ponendo
Z b
Z c
Z b
f (x) dx
f (x) dx +
f (x) dx =
c
a
a
con i due integrali a destra della precedente uguaglianza, integrali generalizzati.
Sia ora f : [a, ∞) → R una funzione che assumiamo integrabile (anche nel senso
generalizzato) su ogni intervallo [a, c] per il quale esiste finito
Z c
f (x) dx.
lim
c→∞
a
Allora f è integrabile su [a, ∞). In modo analogo si definisce l’integrabilità su
(−∞, a]. Infine f è integrabile su (−∞, ∞) se è integrabile su (−∞, a] e [a, ∞) per
a ∈ R. E’ il caso della densità esponenziale. Osserviamo che potrebbe essere densità
di probabilità di X ogni altra funzione g non-negativa e integrabile su (−∞, ∞) il
cui limite destro (e/o sinistro in 0) assume un valore diverso da f (x). Infatti vale
comunque
Z
Z
x
x
f (t) dt.
g(t) dt =
−∞
−∞
2. Def. 1 Assegnato uno spazio di probabilità (Ω, F, P ) e una v.a. X con funzione
di ripartizione FX (x), essa si dice assolutamente continua se esiste una funzione
f (x) : R → [0, ∞) (nonnegativa) e integrabile su R (in senso generalizzato) tale che
Z x
f (t) dt.
(5.1)
FX (x) =
−∞
La funzione di ripartizione FT (t) in (5.1) risulta continua, ma si può dimostrare
che è anche assolutamente continua (da cui la terminologia).
LA VARIABILE ESPONENZIALE
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Def. 2 Una funzione g : [a, b] → R si dice assolutamente continua su [a, b] se
per ogni ǫ > 0 esiste un δ > 0 tale che qualsiasi sia k ∈ N e comunque scelti k
sottointervalli [ai , bi ] ⊂ [a, b], che non si sovrappongono (ossia con interni disgiunti),
risulta
k
k
X
X
(bi − ai ) < δ.
|g(bi ) − g(ai )| < ǫ purchè sia
i=1
i=1
In sostanza una funzione assolutamente continua non ha grosse variazioni su insiemi
di misura nulla (ossia mappa insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla).
Ed è quello che accade a FT (t). Infatti comunque scelti k sottointervalli [ai , bi ] ⊂ R,
per ogni sottointervallo è possibile determinare una costante Ki > 0 tale che
|FT (bi ) − FT (ai )| < Ki |bi − ai |.
Scelto dunque K = maxi Ki si ha
k
X
|FT (bi ) − FT (ai )| < K
k
X
|bi − ai | ⇒
|FT (bi ) − FT (ai )| < ǫ
i=1
i=1
i=1
k
X
se δ = ǫ/K. La dimostrazione che FT (t) è funzione assolutamente continua segue
anche dall’essere
Z b
f (t) dt
(5.2)
FT (b) − FT (a) =
a
dove f (t) è assegnata in (1.2), poichè tutte e sole le funzioni di tipo (5.2) sono
primitive di f (t) quasi ovunque e sono assolutamente continue.
3. Proprietà del tasso di guasto. Trattandosi di rapporto tra funzioni nonnegative,
risulta H(t) ≥ 0 per t ≥ 0. Inoltre dall’essere R(t) ≥ 1 segue che H(t) ≥ f (t).
Inoltre poichè
Z t
Z t
−R′ (s)
−R′ (t)
t
H(s) ds =
⇒
ds = − log[R(a)]|0 = log[R(t)],
H(t) =
R(t)
R(s)
0
0
l’integrale del tasso di guasto è finito su ogni intervallo limitato [0, t) ma infinito
per t → ∞, a ulteriore testimonianza che non si tratta di probabilità.
4. Assenza di memoria. Osserviamo che dalla proprietà di assenza di memoria
(3.1), segue R(s) > 0 per ogni s ≥ 0. Infatti dall’equazione di Cauchy (3.2)
s s h s i2
= R
>0
+
R(s) = R
2 2
2
a meno che R(s) = 0 per ogni s ≥ 0 oppure R(s) = 1. In entrambi i casi la
proprietà di assenza di memoria non avrebbe senso (quindi non verranno presi in
considerazione). Per induzione risulta
m
1
= Rm
m, n = 1, 2, . . . .
R
n
n
In particolare, per m = n si ha
1
R
= R1/n (1)
n
da cui risulta
R
m
n
= Rm/n (1)
n = 1, 2, . . .
n = 1, 2, . . . .
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E. DI NARDO
Poichè Q è denso in R, si possono caratterizzare due successioni {qn } e {rn } tali
che, comunque fissato x ∈ R, si abbia qn < x < rn , per ogni n e
lim qn = x = lim rn .
n
n
Essendo R(x) non crescente, risulta
[R(1)]qn = R(qn ) ≥ R(x) ≥ R(rn ) = [R(1)]rn
e passando al limite segue che R(x) = [R(1)]x . Osserviamo che R(1) < 1 poichè se
fosse R(1) = 1 allora R(x) = 1 per ogni x, ed abbiamo già osservato che questa
condizione non è compatibile con l’essere R(x) il complementare di una funzione di
ripartizione. Posto λ = − log R(1) l’asserto segue.
5. Spazio campione. Visto che per la v.a. geometrica lo spazio campione è quello
di Bernoulli, ci si può chiedere quale sia lo spazio campione associato alla v.a. esponenziale. L’argomento attiene a corsi avanzati, tuttavia in questa sede è possibile
dare un’idea di quale siano i punti campionari dello spazio campione. Lo spazio
campione è l’insieme delle successioni rade. Le successioni rade sono successioni numeriche {xn } che non si addensano, ossia per le quali, comunque scelti s, t ∈ R+ , gli
elementi della successione {xn } in [s, t) sono in numero finito. Questi punti campionari corrispondono all’occorrenza rara degli eventi nel tempo, ipotesi che consente
di modellare il relativo processo di conteggio con una v.a. di Poisson. La σ-algebra
associata a questo spazio campione è quella generata dagli eventi elementari (o
generatori) del tipo
s, t
= {successioni rade che hanno k punti in [s, t)}.
k
Ricordiamo che gli eventi elementari sono quegli eventi la cui composizione mediante
unione (numerabile) o intersezione (numerabile) - di essi o dei loro complementari
- restituiscono gli elementi della σ-algebra.