6. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi

Fondamenti di Automatica
Unità 2
Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Soluzione delle equazioni di stato per sistemi
dinamici LTI a tempo continuo
Esempi di soluzione delle equazioni di stato per
sistemi dinamici LTI a tempo continuo
Analisi modale per sistemi dinamici LTI a tempo
continuo
Concetti di base sulla trasformata zeta
Soluzione delle equazioni di stato per sistemi
dinamici LTI a tempo discreto
Analisi modale per sistemi dinamici LTI a tempo
discreto
Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Soluzione delle equazioni di stato per sistemi
dinamici LTI a tempo continuo
Soluzione delle equazioni di stato per sistemi
dinamici LTI a tempo continuo
Soluzione nel dominio della frequenza “s”
(trasformata di Laplace)
Soluzione nel dominio del tempo (formula di
Lagrange)
Soluzione nel dominio della frequenza “s”
Richiami sulla trasformata di Laplace
Richiami sulla trasformata di Laplace 1/6
Definizione
Sia f(t) : R → R
La trasformata (unilatera) di Laplace è un operatore
dallo spazio delle funzioni reali di variabile reale allo
spazio delle funzioni complesse di variabile complessa
s definita (quando esiste) da:
∞
F (s ) = L { f (t )} = ∫ f (t )e − st dt
0−
Richiami sulla trasformata di Laplace 2/6
Linearità
Siano f1(t) ed f1(t) due funzioni, aventi trasformata di
Laplace F1(s) ed F2(s) rispettivamente e c1, c2 ∈ R.
Allora:
L {c 1f 1 (t ) + c 2f 2 (t )} = c 1F1 (s ) + c 2F 2 (s )
Richiami sulla trasformata di Laplace 3/6
Derivazione
Sia f(t) una funzione derivabile n volte e avente
trasformata di Laplace F(s). Allora:
{ }
L {f (t )} = s F (s ) − sf (0 ) − f (0 )
L f (t ) = sF (s ) − f (0 − )
2
−
L {f
(n )
(t )} = s F (s ) − s
n
f (0 − ) − s
n −1
−
f (0 − ) − … − f
n −2
( n −1)
(0 − )
Richiami sulla trasformata di Laplace 4/6
Integrazione
Sia f(t) una funzione integrabile e avente trasformata
di Laplace F(s). Allora :
L
{∫
t
0−
}
F (s )
f (τ )d τ =
s
Ritardo nel tempo
Sia f(t) una funzione avente trasformata di Laplace
F(s). Allora:
L {f (t − τ )} = F (s ) e −τ s
Richiami sulla trasformata di Laplace 5/6
Prodotto di convoluzione
Siano f1(t) ed f1(t) due funzioni aventi trasformata di
Laplace F1(s) ed F2(s) rispettivamente, allora il loro
prodotto di convoluzione definito come:
t
f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = ∫ f 1 (t − τ ) ⋅ f 2 (τ )d τ =
0−
∫
t
0−
f 1 (τ ) ⋅ f 2 (t − τ )d τ
ammette trasformata di Laplace
L {f 1 (t ) ∗ f 2 (t )} = F1 (s ) ⋅ F 2 (s )
Richiami sulla trasformata di Laplace 6/6
Principali trasformate
f (t ) F (s )
δ (t )
1
1
ε (t )
s
n
t
n!
1
s
n +1
f (t )
e
at
t n e at
n!
sin(ω0t )
cos(ω0t )
F (s )
1
s −a
1
(s − a )
n +1
ω0
s 2 + ω02
s
s 2 + ω02
f (t )
e
At
F (s )
( sI
− A)
−1
Soluzione nel dominio della frequenza “s”
Calcolo della soluzione nel dominio
della trasformata di Laplace
Descrizione di sistemi dinamici LTI TC
Il comportamento dinamico di un sistema LTI TC è
descritto dalle equazioni di ingresso – stato – uscita:
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
Si ricorda che:
x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rp, y(t) ∈ Rq
A ∈ Rnxn, B ∈ Rnxp, C ∈ Rqxn , D ∈ Rqxp
Il movimento di sistemi dinamici LTI TC
Utilizzando le equazioni di stato:
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
si vuole calcolare la soluzione x(t) a partire da
uno stato iniziale x(t = 0-) = x0 noto e a fronte di
un andamento dell’ingresso u(t) noto ∀t ≥ 0.
La soluzione x(t) si indica con il termine
movimento dello stato.
La soluzione nel dominio della frequenza “s” 1/5
Il calcolo di x(t) e y(t) con la trasformata di
Laplace avviene secondo lo schema:
Equazioni in
soluzione in dom(t)
dom(t)
L
Equazioni in
dom(s)
x(t), y(t)
L -1
soluzione in dom(s)
X(s), Y(s)
La soluzione nel dominio della frequenza “s” 2/5
La soluzione nel dominio della frequenza si
ottiene trasformando le equazioni di ingresso stato - uscita:
⎧x (t ) = A x (t ) + B u (t )
⎨
⎩y (t ) = C x (t ) + D u (t )
L
↓
⎧sX (s ) − x (0 − ) = AX (s ) + B U (s )
⎨
⎩Y (s ) = C X (s ) + D U (s )
e calcolando esplicitamente X(s) e Y(s).
La soluzione nel dominio della frequenza “s” 3/5
Per il movimento dello stato si ottiene:
H 0x ( s )
H fx ( s )
X (s ) = ( sI − A ) x (0 − ) + ( sI − A ) B U (s ) =
−1
MOVIMENTO LIBERO
= L ( x (t ))
−1
MOVIMENTO FORZATO
= L ( x f (t ))
= H 0x (s )x (0 − ) + H fx (s )U (s )
Antitrasformando, x(t) risulta pari alla somma di:
x (t ) = x (t ) + x f (t )
xl (t) movimento libero Æ dipende solo da x(0-)
xf (t) movimento forzato Æ dipende solo da u(t)
La soluzione nel dominio della frequenza “s” 4/5
L’andamento di y(t), detto movimento dell’uscita
o risposta del sistema, si ottiene trasformando
l’equazione statica di uscita y (t ) = C x (t ) + D u (t ) :
H ( s ) → MATRICE DI
TRASFERIMENTO
H 0 (s )
Y (s ) = C ( sI − A )
−1
−1
⎡
x (0 − ) + C ( sI − A ) B + D ⎤ U (s )
⎣
⎦
RISPOSTA LIBERA
= L ( y (t ))
RISPOSTA FORZATA
= L ( y f (t ))
= H 0 (s )x (0 − ) + H (s )U (s )
Antitrasformando, y(t) risulta pari alla somma di:
yl (t) risposta libera Æ dipende solo da x(0-)
yf (t) risposta forzata Æ dipende solo da u(t)
La soluzione nel dominio della frequenza “s” 5/5
H(s) → matrice di trasferimento del sistema
(legame ingresso uscita).
H x0(s), H xf(s) ,H0(s), H(s) sono in generale matrici
complesse i cui elementi sono funzioni razionali
fratte (rapporto di polinomi) nella variabile
complessa s.
Le matrici H x0(s), H0(s) rappresentano il legame fra
le condizioni iniziali e, rispettivamente, lo stato e
l’uscita.
Le matrici H xf(s), H(s) rappresentano il legame tra
l’ingresso e, rispettivamente, lo stato e l’uscita.
La matrice di trasferimento
La matrice H(s) è detta matrice di trasferimento e
rappresenta il legame tra l’ingresso e l’uscita, nel
dominio della trasformata di Laplace.
Per un sistema a p ingressi e q uscite la matrice
di trasferimento è costituita da una matrice a q
righe e p colonne di funzioni razionali della
variabile s.
Soluzione nel dominio della frequenza “s”
La funzione di trasferimento
La funzione di trasferimento
Se il sistema è a un ingresso (p = 1) e un’uscita (q = 1)
(SISO) allora la matrice di trasferimento si dice
funzione di trasferimento (fdt).
N H (s ) bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0
H (s ) =
=
,
n
n −1
D H (s )
s + a n −1s + + a1s + a 0
m ≤n
m < n Æ fdt strettamente propria (il sistema è proprio
bm ═ D ═ 0).
m ═ n Æ fdt non strettamente propria (bipropria) (il
sistema è improprio bm ═ D ≠ 0).
radici di NH(s) Æ zeri della fdt del sistema.
radici di DH(s) Æ poli della fdt del sistema.
Forme fattorizzate della funzione di trasferimento 1/2
Forma “zeri e poli”
s − z1 )( s − z 2 ) ( s − z m )
(
H (s ) = K ∞
( s − p1 )( s − p2 ) ( s − pn )
z1, … , zm Æ zeri della fdt
p1, … , pn Æ poli della fdt
K∞ Æ “guadagno infinito”
K ∞ = lim s n −m H (s )
s →∞
Forme fattorizzate della funzione di trasferimento 2/2
Forma fattorizzata di Bode (forma fattorizzata in
costanti di tempo)
Sarà introdotta e studiata nel modulo di Controlli
Automatici
Rappresentazione di singolarità complesse 1/4
p(s) = s2 + a1 s + a0 = (s - σ0 - jω0)(s - σ0 + jω0)
Æ polinomio di secondo grado con radici complesse
coniugate s1,2 = σ0 ± jω0.
σ0 e ω0 Æ parte reale e immaginaria Æ
rappresentazione cartesiana delle radici
jω
x
jω0
σ0
x
σ
-jω0
Radici complesse coniugate (2/4)
Pulsazione naturale (ωn ) e smorzamento (ζ ) di
una coppia di radici complesse coniugate
θ
x
ωn =√(σ02 + ω02 ) ωn
jω
ζ = sin(θ )
jω0
σ0
σ
x
- jω0
σ0 = − ζωn
ω0 = ωn √(1 − ζ 2)
ωn = √(σ02+ω02)
ζ = −σ0/√(σ02+ω02)
ωn > 0 | ζ | < 1 per una coppia di radici complesse
coniugate
Rappresentazione di singolarità complesse 3/4
Rappresentazione di un trinomio di 2° grado in funzione
di smorzamento e pulsazione naturale
s 2 + 2ζωn s + ωn2
Rappresentazione di singolarità complesse 4/4
Funzione di trasferimento nella forma “zeri e poli”
H (s ) = K ∞
mr
mc
i =1
nr
i =1
nc
i =1
i =1
2
2
s
−
z
(
s
+
2
s
+
ζ
ω
ω
(
)
∏ i∏
z ,i nz ,i
nz ,i )
2
2
s
−
p
(
s
+
2
ζ
ω
s
+
ω
(
)
∏ i∏
p ,i np ,i
np ,i )
mr Æ # zeri reali, mc Æ # coppie zeri complessi
coniugati Æ mr + 2⋅mc = m
nr Æ # poli reali, nc Æ # coppie poli complessi
coniugati Æ nr + 2⋅nc = n
K∞ Æ “guadagno infinito”
Soluzione nel dominio del tempo
La formula di Lagrange
Movimento libero
Movimento forzato
Descrizione di sistemi dinamici LTI TC
Il comportamento dinamico di un sistema LTI TC è
descritto dalle equazioni di ingresso – stato – uscita:
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
Si ricorda che:
x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rp, y(t) ∈ Rq
A ∈ Rnxn, B ∈ Rnxp, C ∈ Rqxn , D ∈ Rqxp
Il movimento di sistemi dinamici LTI TC
Utilizzando le equazioni di stato:
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
si vuole calcolare la soluzione x(t) a partire da
uno stato iniziale x(t = 0-) = x0 noto e a fronte di
un andamento dell’ingresso u(t) noto ∀t ≥ 0.
la soluzione x(t) si indica con il termine
movimento dello stato.
La formula di Lagrange per il calcolo di x(t)
L’espressione di x(t) si calcola con la formula di
Lagrange:
t
x (t ) = e At x (0 − ) + ∫ e A (t −τ )Bu (τ )d τ =
x (t )
0−
x f (t )
= x (t ) + x f (t )
Il movimento dello stato x(t) è la somma di due
contributi:
xl (t) movimento libero Æ dipende solo da x(0-)
xf (t) movimento forzato Æ dipende solo da u(t)
Calcolo del movimento dell’uscita
L’andamento di y(t), detto movimento dell’uscita,
si ottiene dalla relazione statica:
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
dopo avere sostituito per x(t) l’espressione ottenuta
dalla formula di Lagrange:
t
y (t ) = Ce At x (0 − ) + C ∫ e A (t −τ )Bu (τ )d τ + Du (t ) =
y (t )
0−
y f (t )
= y (t ) + y f (t )
Calcolo del movimento dell’uscita
Anche il movimento dell’uscita y(t) detto anche
risposta del sistema è la somma di due
contributi:
yl (t) risposta libera Æ dipende solo da x(0-)
yf (t) risposta forzata Æ dipende solo da u(t)
Utilizzo della trasformata di Laplace
L’impiego diretto della formula di Lagrange
richiede però l’utilizzo di procedimenti di calcolo
integrale
Al fine di semplificare tali procedimenti, risulta più
utile fare ricorso alla trasformata di Laplace ,
giustificando in tal modo la soluzione nel dominio
della frequenza “s”