Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace unilatera
Teoria
Definizione
+∞
L[f(t)] = ¶ 0 − f(t) $ e −(s$t) dt = F(s)
Dove: f(t) = funzione reale trasformabile. E’ nulla per t<0.
t = variabile indipendente reale della funzione reale f(t)
F(s) = trasformata di Laplace della funzione f(t)
s = variabile indipendente complessa della trasformata di Laplace
Di fatto, la trasformata di Laplace è un operatore che trasforma una funzione reale di t (ad esempio
l’equazione di un’onda) in una funzione complessa di s (ad esempio l’equazione di una risposta in
frequenza).
f(t) c ‘ t F(s) c Š
Esistenza e dominio della trasformata
La trasformata è definita attraverso un integrale improprio. La sua La condizione di esistenza è
quindi:
Integrale improprio converge u Trasformata di Laplace esiste
Integrale improprio diverge u Trasformata di Laplace non esiste
Siccome l’integrale improprio ha un parametro complesso s, ogni volta che si calcola la trasformata
di Laplace bisogna discutere per quali valori di s l’integrale converge, e per quali valori diverge. Si
dimostra che (il paragrafo “Convergenza di e −st ” ne da una prova) ciò che conta per la convergenza
dell’integrale di Laplace è la parte reale di s. In particolare, si
troverà sempre che
Re(s) > a 0 u Integrale di Laplace converge
Questa condizione crea di fatto un “semipiano di convergenza”, nel
quale la trasformata di Laplace esiste. Bisognerebbe sempre
discutere l’esistenza di questo semipiano, che invece spesso è
data, per semplicità, valida.
Esistono anche funzioni che hanno , cioè per le quali non esiste
trasformata di Laplace. Un esempio è la funzione:
f(x) = e t
2
Verifica della convergenza
Esistono tre modi per verificare che una funzione sia trasformabile secondo Laplace:
1) Calcolare direttamente la trasformata con l’integrale di definizione, e discutere il parametro s.
2) Dimostrare che l’integrale improprio non converge, senza calcolarlo. A questo scopo, è utile
questa scomposizione:
e − s$ t $ f(x) t e −(a + j $ b) $ f(x) t e −a $ f(x) $ [e − b $ j ] t e −a $ f(x) $ [cos(b) + j $ sen(b) ]
Quindi:
+∞
¶ f(t) $ e −(s$t) dt
0−
=
+∞
+∞
0−
0−
¶ e −a $ f(x) $ cos(b) + j $ ¶ e −a $ f(x) $ sen(b)
Mediante questa scomposizione, abbiamo ottenuto due integrali a valori reali. Se si prova che questi
integrali convergono, si dimostra che la trasformata di f(x) esiste.
NOTA: anche in questo caso, si evidenzia come Re(s), cioè a, sia il valore che determina la
convergenza o meno dell’integrale. Im(s), cioè b, compare solo nel seno e nel coseno, e determina
solo un oscillamento dell’integrale tra 1 e -1.
3) Verificare che:
F(x) [ M $ e n$ t con ≤ t > 0, n e m reali e positivi
Convergenza di e −st
Vogliamo determinare il comportamento della funzione:
e −st con s c Š
quando t tende a . Bisogna quindi studiare il comportamento della funzione in base al variare del
parametro s. Siccome s è un numero complesso, la funzione può essere riscritta sotto forma di un
numero complesso:
e .st = e − (a + jb)$ t = e −a t $ e j $ (b t)
Modulo: e −at
/
e
−a t
$e
j $ (−b t)
\
Fase: e j$ (−b t)
Studio ora il comportamento di s al variare del suo modulo e della sua fase
Fase b
La fase del numero complesso è ininfluente per determinare il suo comportamento a +∞. Infatti
e j$ (−bt) t numero complesso di modulo 1 e fase (-bt).
Al tendere all’infinito dell’angolo di fase, cioè di (-bt), il numero complesso continua a ruotare sulla
circonferenza di raggio unitario.
u Il termine b è ininfluente per determinare la convergenza dell’esponenziale a +∞
Modulo a
Il modulo dell’esponenziale complesso è determinante per deciderne la convergenza. Possiamo
distinguere tre casi:
a>0u
a=0u
a<0u
lim e −a t $ e j $ (−b t) = 0 $ e j $ (−b t)
t Num. complesso di fase variabile e modulo nullo
tt+∞
lim e −a t $ e j $ (−b t) = e j $ (−b t)
tt+∞
lim e
−a t
tt+∞
$e
j $ (−b t)
=∞$e
L’esponenziale converge
t Num.complesso di fase variabile e modulo unitario
j $ (−b t)
L’esponenziale oscilla su una circonferenza unitaria
t Num. complesso di fase variabile e modulo infinito
L’esponenziale diverge
Principali trasformate
Funzione f(t)
Trasformata F(s)
(t)
1
scŠ
1
u(t) - Gradino
1
s
Re(s) > 0
tn
con n c Œ
n!
s n+1
Re(s) > 0
e a$t
acŠ
1
s−a
Re(s) > Re(a)
sen(* $ t)
*>0
*
s2 + *2
Re(s) > 0
s
s2 + *2
Re(s) > 0
Delta di Dirac
cos(* $ t)
*>0
sen(* $ t + )
cos(* $ t + )
s$sen()+*$cos()
s 2 +* 2
s$cos()−*$sen()
s 2 +* 2
Ascissa di convergenza
Proprietà della trasformata di Laplace
Proprietà
Formula
Unicità
f 1 (t) = f 2 (t)
k $ f(t)
F 1 (t) = F 2 (t)
k $ F(s)
f 1 (t) + f 2 (t)
u(t − a) $ f(t − a)
a c ‘+
e a$t $ f(t)
acŠ
f(t) (n)
F 1 (s) + F 2 (s)
e −s$a $ F(s)
Moltiplicazione
per costante
Somma
Traslazione nel
campo t
Traslazione nel
campo s
Derivazione
rispetto a t
Integrazione
Prodotto di
convoluzione
Ascissa k di
convergenza
k
k
max(k 1 , k 2 )
k
F(s − a)
s n $ F(s) −
¶ 0t f(t)dt
x
f(t) & g(t) = ¶ f(x) $ g(x − t)dt
k+Re(a)
n
s n−k $ f(0) (k−1)
max(k n , 0)
k=1
Esempio:
s 3 $ F(x) − s 2 $ f(0) − s $ f ∏ (0) − f ∏∏ (0)
F(s)
s
F(s) $ G(s)
max(k,0)
max(k 1 , k 2 )
0
x
f(t) & g(t) = ¶ f(x − t) $ g(t)dt
0
Derivata della
trasformata
Integrazione
Funzioni
periodiche
F(s) (1)
F(s) (n)
−t $ f(t) =
(−1) n $ x n $ f(x) =
f(x)
x
k
+∞
¶ F(u)du
s
F(s) periodica
F 0 (s) $
f(x)
x
k di
1
1 − e −s$T
0
F 0 = Trasformata della
funzione base periodica
T = periodo della funzione
Teorema del
valore iniziale
lim f(t)
td0+
lim f(t)
lim s $ F(s)
lim s $ F(s)
sd−∞
\
sd+∞
td0−
Il teorema del valore iniziale
vale se e solo se esiste il limite
di f(x).
Teorema del
valore finale
lim
f(t)
td∞
lim s $ F(s)
\
sd0
Il teorema del valore finale
esiste se e solo se esiste il
limite di f(x).
Scalamento
1 $ F( s )
a
a
f(a $ t)
a>0
c$k
Nota: il k specificato nella colonna delle ascisse di convergenza è il k che si avrebbe se si facesse la
trasformata della sola funzione in esame f(x).
Unità di misura
Se si applica la trasformata di Laplace nel campo dei segnali, bisogna considerare anche la
dimensione fisica delle variabili:
Funzione
primitiva f(t)
Dominio
tempo
Unità di misura
trasformata F(s)
frequenza
s t hertz
t tsecondi
AntiTrasformata di Laplace
Poichè le trasformate sono univoche, per antitrasformare è sufficiente applicare le leggi di
trasformazione al contrario. Se le funzioni sono particlarmente complesse, si puo applicare la
formula generale, che però è molto complessa, oppure ricorrere a metodi particolari, come nel caso
delle funzioni razionali fratte.
Formula generale
La formula di Riemann-Fourier permette di antitrasformare qualunque F(x), ma implica l’esecuzione
di un integrale complicato:
1 $ v.p.¶ + ∞$ j e s t $ F(s)ds
− ∞$ j
2j
Ipotesi: f(x) regolare a tratti
F(s) = L[f(x)]
k ascissa di convergenza fi F(s)
>k
Funzioni razionali fratte
Le funzioni razionali fratte sono l’unico tipo trasformata di Laplace che può comparire nei circuiti
elettronici. Per questo è necessario imparare questo il processo di antitrasformazione.
Il procedimento è questo:
1) Si scompone la funzione razionale fratta in fratti semplici
2) Si antitrasfroma, utilizzando di volta in volta il metodo più approriato:
a) Regole di trasformazione al contrario
r
b) Formule: Poli semplici: s − a t r $ e at
Poli multipli:
r
r
t
$ t k−1 $ e at
(k − 1)!
(s − a) k
Poli complessi coniugati: vedi di seguito
Antitrasformazione di poli complessi
Se antitrasformati con i metodi normali, i poli complessi danno origine a antitrasformate con
esponenziali complessi. In realtà, semplificando con le formule trigonometriche di Eulero, si
ottengono sempre antitrasformate reali. Si possono seguire due vie per avere una antitrasformata
reale:
a) Si antitrasforma con le regole normali, e poi si applicano le formule di Eulero
b) Si applica una formula, ricordando che, scomponendo in fattori il denominatore, i poli complessi
ottenuti sono sempre coniugati tra loro:
F(s) =
A $ e j$
A $ e −j$
+
s − (a + b $ j) s − (a − b $ j)
t f(t) = 2 A $ e a$t $ u(t) $ cos(b $ t + )
Nota pratica: analizzando i circuiti elettronici, la parte reale del polo deve esser positiva per aver
stabilità. In tal caso per applicare la precedente formula parte reale, parte immaginaria, fase e
modulo sono riferiti al polo che, con davanti il meno raccolto, è positivo:
2$
Modulo !
del residuo
$ e t$Re(polo) $ cos Im(polo) +
s − (a + b $ j) d
Fase del residuo
Considerato
/
s − (a ! b $ j)
\
s − (a − b $ j) d Non considetato
Esempio di applicazione delle formule di Eulero
Per chiarire come si applicano le formule di Eulero per semplificare antitrasformate complesse si
riporta la dimostrazione della formula di antitrasformazione di poli complessi semplici.
Applicando la formula dei residui, si ottiene anche al numeratore una coppia di zeri complessi
coniugati:
F(s) =
x+y$j
x−y$j
+
s − (a + b $ j) s − (a − b $ j)
Dove:x ! y $ j = coppia di zeri complessi coniugati
a ! b $ j = coppia di poli complessi coniugati
Esprimendo gli zeri complessi in forma polare, si ottiene:
F(s) =
A $ e j$
A $ e −j$
+
s − (a + b $ j) s − (a − b $ j)
Antitrasformando, il numeratore resta invariato, perchè è un coefficiente, mentre il denominatore
risulta essere una traslazione:
f(t) = [ A $ e j$ ] $ [u(t) $ e (a+b$j)$t ] + [ A $ e −j$ ] $ [u(t) $ e (a−b$j)$t ]
Raccogliendo u(t) $ e a$t , si ha che:
f(t) = A $ e a$t $ u(t) $ [e j$(b$t+ ) + e −j$(b$t+) ]
Ricordando la formula di Eulero:
Si può scrivere che:
e j$ = cos + j $ sen
A $ e a$t $ u(t) $ [cos(bt + ) + sen(bt + ) $ i + cos(−bt − ) + i $ sen(−bt − ) ]
Ricordando che:
Si può scrivere che:
sen(−x) = −sen(x)
cos(−x) = cos(x)
A $ e a$t $ u(t) $ [cos(bt + ) + sen(bt + ) $ i + cos(+bt + ) − i $ sen(bt + ) ]
E quindi alla fine si ottiene:
f(t) = 2 A $ e a$t $ u(t) $ cos(b $ t + )