Esercizi su distribuzioni di frequenza e grafici

Istituzioni di Statistica 1
Esercizi su strumenti grafici e funzione di frequenza relativa cumulata
Esercizio 1
La seguente tabella riguarda il tempo per passare da 0
a 100 km/h di 17 automobili tedesche e 18 automobili
giapponesi.
Tempo Auto tedesche Auto giapponesi
(secondi)
6⊣7
7⊣8
8⊣9
9 ⊣ 10
10 ⊣ 11
11 ⊣ 12
12 ⊣ 13
13 ⊣ 14
14 ⊣ 15
15 ⊣ 16
1
1
5
0
5
3
1
1
0
0
0
1
1
3
1
4
1
2
3
2
ToT
17
18
1
(a) Sulla base del confronto tra le due distribuzioni di frequenza, è possibile dedurre che l’accelerazione delle auto
tedesche è migliore?
Per fare un confronto tra le due distribuzioni di frequenza,
costruiamo le funzioni di frequenza relativa cumulata per
i due gruppi di auto. Poiché il tempo è una variabile continua, le due funzioni sono rappresentate da due spezzate.
Tempo Auto tedesche Auto giapponesi
(secondi)
Fj
Fj
6⊣7
7⊣8
8⊣9
9 ⊣ 10
10 ⊣ 11
11 ⊣ 12
12 ⊣ 13
13 ⊣ 14
14 ⊣ 15
15 ⊣ 16
1/17=0,059
2/17=0,118
7/17=0,412
0,412
0,706
0,883
0,942
1
1
1
2
0
1/18=0,056
2/18=0,111
0,278
0,333
0,556
0,611
0,722
0,889
1
0.0
0.2
0.4
F(x)
0.6
0.8
1.0
Funzioni di freq. cumulata
6
8
10
12
14
16
tempo (in sec.)
---
tedesche
giapponesi
Poiché F (x) per le auto tedesche si colloca al di sopra
di F (x) per le auto giapponesi, possiamo concludere che
il tempo per raggiungere i 100 km/h delle auto tedesche è
stocasticamente minore di quello per le auto giapponesi.
Le auto tedesche hanno quindi una migliore accelerazione.
3
(b) Si calcoli la percentuale di automobili tedesche con
un tempo di accelerazione da 0 a 100 km/h compreso tra
7,5 e 10,2 secondi.
Indicata con FT (x) la funzione di frequenza cumulata
per le automobili tedesche, la percentuale richiesta può
essere ottenuta da
FT (10, 2) − FT (7, 5)
Sotto ipotesi di uniformità,
FT (10, 2) = 0, 412 +
0, 706 − 0, 412
(10, 2 − 10) = 0, 4708
11 − 10
e
FT (7, 5) = 0, 059 +
0, 118 − 0, 059
(7, 5 − 7) = 0, 0885
8−7
Allora, la percentuale richiesta è 47,08%-8,85%=38,23%
4
(c) Si determini il valore del tempo di accelerazione al di
sotto del quale troviamo il 60% delle automobili tedesche.
Guardando le frequenze relative cumulate si vede che questo valore cade nella classe 10 ⊣ 11 (FT (10) = 0, 41 e
FT (11) = 0, 706). In tale classe
FT (x) = 0, 412 +
0, 706 − 0, 412
(x − 10)
11 − 10
Ponendo FT (x) = 0, 6 e risolvendo rispetto a x si ottiene,
0, 706 − 0, 412
(x − 10)
11 − 10
0, 6 − 0, 412
x = 10 +
0, 706 − 0, 412
ossia, x=10,64 secondi.
0, 6 = 0, 412 +
5
Esercizio 2
I dati si riferiscono al numero di clienti che effettuano un
acquisto in un dato negozio dalle 9 alle 10 di ogni giorno. Supponiamo di aver osservato i seguenti numeri in
30 giorni successivi:
2, 0, 1, 4, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 4,
3, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 0, 5, 2, 0, 3
6
(a) Rappresentare graficamente le osservazioni.
La variabile osservata è data dal numero di clienti che
hanno effettuato un acquisto tra le 9 e le 10; si tratta di
una variabile discreta (con poche modalità) per la quale
uno strumento grafico adeguato è rappresentato dal diagramma a bastoncini. Costruiamo la tabella delle
frequenze a partire dai dati grezzi:
Num clienti nj
0
1
2
3
4
5
fj
4 4/30=0,133
9 9/30=0,3
8 8/30=0,267
6 6/30=0,2
2 2/30=0,067
1 1/30=0,03
30
1
0.15
0.10
0.05
freq. rel.
0.20
0.25
0.30
ToT
0
1
2
3
num clienti
7
4
5
(b) Costruire la funzione di frequenza cumulata.
Costruiamo la tabella delle frequenze relative cumulate
fj
Num clienti
0,133 0,133
0,3 0,433
0,267 0,7
0,2
0,9
0,067 0,967
0,03
1
0
0.133
0.433
F(x)
0.7
0.9
1
0
1
2
3
4
5
Fj
0
1
2
3
num clienti
8
4
5
(c) Determinare la frequenza (relativa) dei giorni con un
numero di clienti compreso tra 1 e 3.
La frequenza richiesta è
(9+8+6)/30=0,3+0,267+0,2=0,767
(d) Determinare la frequenza (relativa) dei giorni con un
numero di clienti superiore a 1.
La frequenza richiesta è
0,267+0,2+0,067+0,033=0,567
ottenibile anche da “1 - freq. relativa dei giorni con un
numero di clienti minore o uguale a 1”, ossia
1-F (1)=1-0,433=0,567
9
Esercizio 3
La distribuzione del fatturato (in milioni di euro) delle
aziende di un settore è risultata la seguente:
Fatturato Frequenze ass.
1⊢5
5 ⊢ 10
10 ⊢ 20
20 ⊢ 50
50 ⊢ 80
oltre 80
180
255
118
30
12
5
ToT
600
10
(a) Rappresentare graficamente le osservazioni.
La variabile osservata è il fatturato. Si tratta di una
variabile quantitativa continua, pertanto uno strumento grafico adeguato è l’istogramma. Poiché le classi
della variabile “Fatturato” non hanno uguale ampiezza,
l’altezza dei rettangoli è data dalla densità di frequenza.
Costruiamo la tabella con le densità di frequenza relativa
di ciascuna classe (l’ultima classe è stata chiusa a 100).
Fatturato
fj
Ampiezza (ωj ) densita’ (fj /ωj )
1⊢5
180/600=0,3
5 ⊢ 10 255/600=0,425
10 ⊢ 20 118/600=0,197
20 ⊢ 50
30/600=0,05
50 ⊢ 80
12/600=0,02
80 ⊢ 100 5/600=0,008
4
5
10
30
30
20
11
0,3/4=0,075
0,425/5=0,085
0,197/10=0,0197
0,05/30=0,0017
0,02/30=0,0007
0,008/20=0,0004
densita’
0.0017
0.0197
0.075
0.085
1 5 10
20
12
50
fatturato
80
100
(b) Costruire la funzione di frequenza cumulata.
Essendo il fatturato una variabile continua, sotto ipotesi di uniformità, la funzione di frequenza cumulata è
una spezzata che collega i punti aventi per coordinate gli
estremi delle classi e le corrispondenti frequenze relative
cumulate. Costruiamo la tabella delle frequenze relative
cumulate:
fj
Fatturato
Fj
0.3
F(x)
0.725
0.922
1
1⊢5
0,3
0,3
5 ⊢ 10 0,425 0,725
10 ⊢ 20 0,197 0,922
20 ⊢ 50 0,05 0,972
50 ⊢ 80 0,02 0,992
80 ⊢ 100 0,008
1
1
10
20
50
fatturato
13
80
100
(c) Determinare la percentuale di aziende con un fatturato tra 15 e 60 milioni di euro.
La percentuale richiesta può essere ottenuta da
F (60) − F (15)
Sotto ipotesi di uniformità,
0, 992 − 0, 972
(60 − 50) = 0, 979
80 − 50
0, 922 − 0, 725
(15 − 10) = 0, 823
F (15) = 0, 725 +
20 − 10
e quindi F (60) − F (15) = 0, 156, ossia il 15,6%.
Un altro modo di procedere è calcolare la percentuale
richiesta attraverso l’area dell’istogramma compresa tra
15 e 60, ossia
F (60) = 0, 972 +
5 · 0, 0197 + 0, 05 + 10 · 0, 0007 = 0, 1555
La differenza tra i due risultati è dovuta ad arrotondamenti.
(d) Determinare la percentuale di aziende con al più 26
milioni di fatturato.
La percentuale richiesta è
F (26) = 0, 922+
0, 972 − 0, 922
(26−20) = 0, 932 = 93, 2%
50 − 20
14