Esercizi sui Compressori e Ventilatori

Esercizi sui Compressori e Ventilatori
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COMPRESSORE VOLUMETRICO (Appello del 08.06.1998, esercizio N ◦ 2)
Testo
Un compressore alternativo monocilindrico di cilindrata V c = 100 cm3 e volume nocivo Vn =
5 cm3 è mosso da un motore elettrico a uno coppia polare. Comprime aria dall’ambiente
(p1 = pa = 1.013 · 105 P a) a p3 = 800 KP a. L’esponente delle politropiche (sia di compressione che di espansione) è m = 1.3. Il rendimento politropico è ηp = 0.97.
Calcolare la portata, la potenza assorbita e il rendimento isotermo.
Svolgimento
Portata
La portata di un compressore volumetrico alternativo è definita dalla seguente relazione:
ṁ = ρa Vc
n
λv
60
(89)
dove ρa è la densità dell’aria nelle condizioni di aspirazione (pa = 1.013 · 105 P a; Ta = 293 K;
ρa = 1.2 Kg/m3 ), Vc è la cilindrata, n il numero di giri e λv il coefficiente di riempimento.
Poichè il motore elettrico a cui è accoppiato il compressore ha una sola coppia polare, allora
n = 3000 g/min.
Il coefficiente di riempimento, riferito all’espansione politropica, si calcola come:
λv =
V0
Vc − V 0
=1−
= 1 − (ρ1/m
− 1)εn = 0.805
c
V0
Vc
(90)
dove εn è il grado di spazio morto:
εn =
Vn
= 0.05
Vc
(91)
ρc =
p3
= 7.89
p1
(92)
e ρc è il rapporto di compressione:
La portata quindi vale: ṁ = 4.83 g/s.
Potenza assorbita
La potenza assorbita è definita come segue:
Pass =
nLi
60 ηm
(93)
Per il rendimento meccanico ηm assumiamo 0.98, mentre il lavoro interno Li si può calcolare
dalla definizione di rendimento politropico:
ηp =
Lp
Lp
→ Li =
Li
ηp
Il lavoro politropico Lp vale:
Lp =
1
m
m
1− 1
−1
p1 V1 (ρc m − 1) −
p3 V3 (1 − ρcm ) = 21.57 J/ciclo
m−1
m−1
28
(94)
dove V3 = Vn = 5 cm3 e V1 = Vc + Vn = 105 cm3 .
Quindi il lavoro interno:
Lp
= 22.23 J/ciclo
Li =
ηp
(95)
e la potenza assorbita:
Pass =
n Li
= 1134 W
60 ηm
(96)
Rendimento isotermo
Il lavoro isotermo vale:
Lt = p1 V1 ln ρc − p3 V3 ln ρc = 13.7 J/ciclo
(97)
e quindi il rendimento isotermo:
ηt =
Lt
= 0.61
Li
(98)
Figura 16: Ciclo termodinamico nel piano p-V
COMPRESSORE ASSIALE (Appello del 29.04.99, esercizio N ◦ 2)
Testo
Uno stadio di compressore assiale (girante seguita da diffusore) riceve aria a p 1 = 1 bar e
T1 = 288 K con velocità assoluta in ingresso girante c1 = 150 m/s assiale. La velocità
periferica della girante al raggio medio è u = 250 m/s, la componente assiale della velocità rimane costante attraverso lo stadio, la deflessione della corrente nelle palette mobili è
ε = β1 − β2 = 15◦ , la velocità in uscita dal diffusore è assiale. All’uscita dal diffusore lo
spigolo delle palette ha lunghezza radiale l3 = 0.2 m e il diametro medio è d3 = 1.3 m Il
rendimento politropico dello stadio è ηp = 0.85. Determinare i triangoli di velocità al raggio
medio e la potenza assorbita dallo stadio.
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Svolgimento
Triangoli di velocità al raggio medio
Uno schema dei profili palari al raggio medio e dei corrispondenti triangoli di velocità è riportato in fig. 17.
Dai dati forniti risulta:
cassiale = c1 = ca1 = ca2 = ca3 = c3
È quindi possibile calcolare direttamente la velocità relativa e il corrispondente angolo di flusso
(e palare) in ingresso alla girante:
p
p
(99)
w1 = u2 + ca1 = u2 + c1 = 291.5 m/s
u
u
= arctan
= 59.04◦
(100)
ca 1
c1
Data la deflessione imposta al flusso dai palettaggi rotorici, ε, l’angolo di uscita dalla girante
vale:
β2 = β1 − ε = 44.04◦
(101)
β1 = arctan
La velocità relativa all’uscita della girante è data da:
w2 =
c1
c2a
=
= 208.6 m/s
cos β2
cos β2
(102)
La componente periferica della velocità assoluta è invece determinata come segue:
c2u = u − w2u = u − w2 sin β2 = 105 m/s
(103)
e quindi l’angolo del flusso assoluto vale (angolo palare di ingresso del diffusore):
α2 = arctan
cu2
cu2
= arctan
= 35◦
ca2
c1
La velocità della corrente assoluta è:
q
q
c2 = c22u + c2a2 = c22u + c21 = 183.1 m/s
(104)
(105)
In uscita dal diffusore il flusso è assiale per ipotesi e quindi si ha banalmente c3 = ca3 = c1 =
150 m/s.
Potenza assorbita dallo stadio
La potenza assorbita dallo stadio è definita come:
Pass =
ṁ · Li
ηm
(106)
dove ηm è il rendimento meccanico dello stadio che si può assumere pari a 0.98. Il lavoro
interno Li è calcolabile dall’espressione di Eulero:
Li = u · (c2u − c1u ) = u · c2u = 15.6 KJ/Kg
(107)
La portata si può invece calcolare all’uscita del diffusore dove sono note le dimensioni dei vani
palari:
ṁ = ξρ3 ca3 πd3 l3
(108)
30
dove ξ è il coefficiente di ingombro palare che qui si assume pari a 0.98. Per calcolare la densit à
dell’aria all’uscita dello stadio è necessario conoscere la corrispondente temperatura e pressione.
Il lavoro interno Li è anche pari al salto entalpico sull’intero stadio, essendo c 1 = c3 ; quindi:
T3 = T 1 +
Li
KJ
= 308.5 K con cp = 1.004
cp
Kg K
(109)
La pressione all’uscita dello stadio si calcola invece attraverso l’equazione della trasformazione
politropica di compressione nello stadio:
p3 = p 1 · (
k
T3 k−1
) ·ηp = 1.162 bar
T1
(110)
La densità risulta quindi pari a:
ρ3 =
p3
= 1.312 Kg/m3 con R = 287 J/KgK
RT3
(111)
Dall’equazione (108) la portata risulta ṁ = 116.4 Kg/s e la potenza assorbita (eq. 106)
Pass = 1.910 KW .
Figura 17: Triangoli di velocità e profili palari al diametro medio
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COMPRESSORE ASSIALE INTER-REFRIGERATO (Appello del 29.04.98, esercizio N ◦ 2)
Testo
Un compressore assiale di rendimento politropico ηp = 0.8 comprime una portata ṁ = 16000 Kg/h
di aria ambiente (pa = 1 bar, Ta = 288 K) fino alla pressione pm = 7.5 bar. Calcolare la temperatura di fine compressione e la potenza assorbita. Se la stessa compressione viene effettuata
con una inter-refrigerazione priva di perdite pneumatiche e tale da riportare il gas dopo la prima
compressione alla temperatura iniziale, nell’ipotesi che i lavori massici nei due stadi siano uguali tra loro e che il rendimento politropico valga per entrambi gli stadi η pi = 0.85, determinare la
pressione intermedia e la potenza risparmiata.
Svolgimento
Temperatura di fine compressione
Noto il rapporto di compressione pm /pa = 7.5 e il rendimento della trasformazione politropica
di compressione, la temperatura del gas all’uscita della macchina è calcolabile come:
Tm = T a · (
k−1
pm k·η
) p = 567 K
pa
(112)
con k, rapporto fra i calori specifici a pressione e volume costante k = c p /cv , che nel caso
dell’aria assume valore 1.4.
Potenza assorbita
Il lavoro massico dell’intero compressore si può valutare attraverso il salto entalpico:
Li = cp · (Tm − Ta ) = 280.12 KJ/Kg con cp = 1.004 KJ/KgK
(113)
Assumendo un rendimento meccanico ηm = 0.98, la potenza assorbita vale:
Pass =
ṁLi
= 1271 KW
ηm
(114)
Pressione intermedia
Dalle ipotesi nel testo, i lavori massici dei due stadi di compressione sono uguali (L Ii = LII
i )
I
II
cosı̀ come le temperature di inizio compressione (Ta = Ta ). Segue che i rapporti di compressione sono uguali e pari alla radice quadrata del rapporto di compressione totale:
p
β I = β II = β = 2.74
(115)
e quindi la pressione intermedia vale p = pa · β I = 2.74 bar.
Potenza risparmiata
La potenza assorbita dal compressore inter-refrigerato è pari a:
inter
Pass
=
k−1
ṁ(LIi + LII
2
2
i
i )
=
ṁLIi =
ṁcp Ta ((β I ) kηp − 1) = 1.057.6 KW
ηm
ηm
ηm
(116)
La potenza risparmiata è quindi:
inter
∆Pass = Pass − Pass
= 213.4 KW
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(117)
COMPRESSORE CENTRIFUGO (Appello del 10.04.00, esercizio N ◦ 2)
Testo
All’ingresso della girante di un compressore centrifugo l’aria ha una velocità assoluta assiale
cm1 = 100 m/s. All’uscita del rotore, l’angolo di flusso relativo misurato rispetto alla direzione radiale vale β2 = 26.6◦ , la componente radiale della velocità è cm2 = 120 m/s e la velocità
periferica delle pale è u2 = 500 m/s. Determinare la potenza assorbita dal compressore quando la portata d’aria smaltita è ṁ = 2.5 Kg/s, assumendo che il rendimento meccanico valga
ηm = 0.95.
Se il rapporto dei raggi di mozzo e di cassa all’ingresso della girante è rm1 /rc1 = 0.3, calcolare
il diametro di ingresso dc1 assumendo un’evoluzione isentropica fra ambiente esterno e ingresso
girante. Infine, determinare il rapporto di compressione della macchina sapendo che il suo rendimento isentropico vale ηis = 0.8 e assumendo trascurabile la velocità all’uscita del diffusore.
Si assumano le proprietà dell’aria R = 287 J/KgK e γ = 1.4, nonchè le condizioni ambiente
p0 = 1.013 bar, T0 = 288 K.
Svolgimento
Potenza assorbita
Dal triangolo delle velocità in uscita dalla girante si ha:
cu2 = u2 − cm2 tan β2 = 440 m/s
(118)
Il lavoro interno per unità di massa vale:
Li = u2 cu2 = 220 KJ/Kg
(119)
nell’ipotesi di ingresso puramente assiale (cu1 = 0). La potenza assorbita vale quindi:
Pass =
ṁ · Li
= 578.8 KW
ηm
(120)
Diametro di ingresso
Per il calcolo del diametro di ingresso si utilizza l’espressione della portata:
π
πd2
rm1 2
ṁ = ρ1 A1 c1 = ρ1 cm1 (d2c1 − d2m1 ) = ρ1 cm1 c1 [1 − (
) ]
4
4
rc1
(121)
La densità dell’aria all’ingresso della girante, ρ1 , si può determinare sapendo che la trasformazione fra l’ambiente esterno e l’ingresso della girante è ad entalpia totale costante (Li = Q = 0)
e isentropica. Segue:
T1 = T 0 −
γ
c2m1
= 283 K con cp =
R = 1004.5 J/KgK
2cp
γ−1
p1 = p 0 · (
Dalla legge dei gas perfetti:
ρ1 =
γ
T1 γ−1
= 95.3 KP a
)
T0
p1
= 1.173 Kg/m3
RT1
33
(122)
(123)
(124)
Dalla eq. (121), si ricava il diametro di ingresso in girante:
s
4ṁ
= 0.173 m
dc1 =
)2 ]
πρ1 cm1 [1 − ( rrm1
c1
(125)
Rapporto di compressione
L’equazione dell’energia scritta fra ambiente di aspirazione e uscita diffusore fornisce:
Li = cp · (T3 − T0 )
(126)
essendo c0 = c3 = 0. Con riferimento alla corrispondente compressione isentropica si pu ò
scrivere:
Li =
1
1
T3is
1
p3 γ
cp (T3is − T0 ) =
cp T0 (
− 1) =
cp T0 [( ) γ−1 − 1]
ηis
ηis
T0
ηis
p0
(127)
da cui si ottiene il rapporto di compressione:
γ
p3
ηis Li
=(
+ 1) γ−1 = 5.28
p0
cp T0
34
(128)