Tacoma
Transcript
Tacoma
Biforcazioni rivisitate 1 La struttura qualitativa del flusso cambia al variare dei parametri. I punti fissi possono essere creati o distrutti e la loro stabilità può cambiare. Lo stesso vale per le orbite chiuse. Le biforcazioni di punti fissi viste per i sistemi monodimensionali hanno l’analogo per i sistemi bidimensionali e di dimensione n>2. L’azione è confinata in un sottospazio monodimensionale nel quale si ha la biforcazione, mentre nelle altre dimensioni il flusso è semplice attrazione/repulsione da quel sottospazio. 2 Biforcazione nodo - sella E’ il meccanismo base con cui i punti fissi sono creati e distrutti. x& = µ − x 2 L’esempio tipico: y y& = − y x x x fantasma µ >0 2 punti fissi Sella Nodo stabile (± µ ,0 ) µ =0 Collisione µ <0 scomparsa 3 Biforcazione transcritica e Pitchfork Forme normali x& = µx − x 2 x& = µx − x 3 x& = µx + x 3 y& = -y transcritica y& = -y Pitchfork supercritica y& = -y Pitchfork subcritica 4 Biforcazione Pitchfork supercritica x& = µx − x 3 forma normale y& = − y L’eqne della forma normale è invariante sotto il cambiamento di variabili x Æ -x y Æ -y (equivale alla simmetria). y y y − µ x x& x µ<0 µ=0 µ>0 x*=0 x*=0 x*=0 stabile µ debolmente stabile instabile 5 Le biforcazioni viste si hanno per ∆=0, o equivalentemente quando un autovalore reale diviene uguale a zero. Nodo-sella, transcritica e pitchfork •sono biforcazioni ad autovalore reale zero •coinvolgono la collisione di 2 o più punti fissi 6 x& = f ( x, y, µ ) y& = g ( x, y, µ ) (x*,y*) punto fisso In quali condizioni il punto fisso può perdere la sua stabilità al variare di µ? La chiave sta negli autovalori dello Jacobiano punto fisso stabile ⇒ ℜ{λ1, 2 } < 0 Im{λ} Im{λ} N-s Transcritica pitchfork ℜ{λ} Hopf ℜ{λ} Per destabilizzare il punto fisso, uno o entrambi gli autovalori devono incrociare il semipiano destro. 7 Biforcazioni di Hopf Un sistema raggiunge l’equilibrio attraverso oscillazioni esponenzialmente smorzate. Il tasso di smorzamento dipende da un parametro µ. Biforcazione di Hopf supercritica Al variare di µ il decadimento diviene sempre più lento fino a che diviene un’amplificazione per µ = µc ÆIl punto di equilibrio perde la stabilità. ÆIn molti casi il moto risultante è è un ciclo limite di piccola ampiezza intorno al precedente equilibrio. µ < µc Spirale stabile µ > µc 8 Spirale instabile circondata da ciclo limite Esempio r& = µr − r ϑ& = ω + br 2 3 µ controlla la stabilità del punto fisso (0,0) ω controlla la frequenza di oscillazioni infinitesime b controlla la dipendenza della frequenza dall’ampiezza per oscillazioni di ampiezza maggiore r y ϑ x µc=0 µ< 0 (0,0) spirale stabile µ>0 (0,0) spirale instabile Ciclo limite stabile r = µ 9 Passando alle coordinate cartesiane x& = r& cos ϑ − rϑ& sin ϑ = (µr − r 3 )cos ϑ − r (ω + br 2 ) sin ϑ = [ ] [ ] = µ − ( x 2 + y 2 ) x − ω + b( x 2 + y 2 ) y = = µx − ωy + termini cubici y& = µx + ωy + termini cubici J ( 0,0 ) µ = ω −ω µ λ = µ ± jω Im{λ} ℜ{λ} µ<0 µ>0 10 Due regole che valgono genericamente per Hopf supercritiche: µ − µc La frequenza del cilo limite è circa ω = Im{λ } per µ = µ c . La taglia del ciclo limite vicino a µc cresce come La formula è esatta alla nascita del ciclo e corretta a meno di O( µ = µc ) per calcolati per µ ≅ µ c . 2π + O ( µ = µc ) Il periodo è allora T = Im{λ} Nella pratica Il ciclo limite è ellittico Anche la parte immaginaria degli autovalori varia con µ Im{λ} ℜ{λ} 11 Biforcazione di Hopf subcritica Il caso subcritico è sempre il più drammatico e potenzialmente pericoloso per le applicazioni ingegneristiche. Dopo la biforcazione la traiettoria salta in un attrattore distante che può essere •un punto fisso •un ciclo limite •l’infinito •un attrattore caotico (n>2, ex. attrattore di Lorenz) r& = µr + r 3 − r 5 ϑ& = ω + br 2 Il termine cubico è ora destabilizzante; Aiuta ad allontanare le traiettorie dall’origine. 12 µ<0 (0,0) spirale stabile Ciclo limite instabile Ciclo limite stabile µ> 0 (0,0) spirale instabile Ciclo limite stabile (unico attrattore) Le soluzioni che stavano nelle vicinanze dell’origine sono ora forzate in oscillazione di grande ampiezza. Il sistema mostra isteresi: le oscillazioni di larga ampiezza non spariscono riportando µ a zero, ma rimangono finché µ =-1/4 13 quando i cicli stabile e instabile collidono. Sapendo che si verifica una biforcazione di Hopf, Come distinguere tra subcritica e supercritica? La linearizzazione non fornisce distinzione Gli approcci analitici sono difficili da usare Conviene usare il computer •Il punto fisso diviene instabile •Appare un piccolo ciclo limite attrattore supercritica •Se inverto la variazione del parametro il ciclo scompare 14 Biforcazione globale di cicli Nei sistemi bidimensionali, esistono 4 modi nei quali i cicli limite sono creati e distrutti: Biforcazione Hopf Biforcazione di cicli nodo - sella Biforcazione di periodo infinito Biforcazioni globali di cicli Biforcazione omoclina Le biforcazioni globali di cicli sono difficili da individuare perché coinvolgono grandi regioni nel piano delle fasi e non nel vicinato di un singolo punto fisso. 15 Biforcazione nodo-sella di cicli (piega) Due cicli limite collidono e scompaiono. r& = µr + r 3 − r 5 ϑ& = ω + br 2 stesso esempio di Hopf subcritica ma in un intorno di µ=0 µ<0 Sistema monodimensionale r& = µr + r 3 − r 5 → bif. nodo − sella per µ c = 1 / 4 µ < µc µ = µc µ > µc 16 Sistema bidimensionaleÆ i punti fissi corrispondono a cicli limite µ < µc µ = µc 0>µ > µc Ciclo semistabile Ciclo stabile Ciclo instabile L’origine rimane stabile: non partecipa alla biforcazione 17 Il ponte di Tacoma Il primo ponte sospeso sul Narrows. Quattro mesi dopo la sua apertura, il 7 Novembre 1940, con un vento di circa 68 km/h il tronco centrale (853m) cominciò una serie di oscillazioni torsionali, di ampiezza crescente finché i supporti si ruppero. Il ponte era stato progettato per avere un certo spostamento orizzontale sotto la pressione statica di venti molto maggiori, ma non era stato progettato per sopportare instabilità dinamiche causate dall’interazione del vento e dell’alto grado di flessibilità del ponte. La modellizzazione di questo tipo di interazione rientrava nelle competenze ingegneristiche del tempo, ma non fu considerata. Un’analisi moderna affronterebbe il problema come un problema di biforcazione e analizzerebbe la natura della biforcazione al crescere della velocità del vento. 18 A A A C B vvento<vc vvento= vc vvento> vc 19 Biforcazione di periodo infinito Un ciclo limite scompare (o nasce). r& = r (1 − r 2 ) ϑ& = µ − senϑ 2 sistemi monodimensionali µ≥0 Direzione radiale Tutte le traiettorie, eccetto r*=0 tendono al cerchio unitario Direzione angolare µ > 1 Moto antiorario µ< 1 sinθ = µ lento veloce µ>1 µ<1 20 Al decrescere di µ il ciclo limite sviluppa un collo di bottiglia in θ=π/2, che come µÆ1+. Il periodo dell’oscillazione aumenta e diviene infinito in µcÆ1 quando appare un punto fisso nel ciclo. Da qui il nome di biforcazione di periodo infinito. Per µ < 1 il punto fisso si splitta in una sella ed un nodo. 21 Biforcazione omoclina Parte di un ciclo limite si muove verso un punto sella. Alla biforcazione il ciclo tocca il punto sella e diviene un’orbita omoclina (è un altro tipo di biforcazione di periodo infinito). E’ difficile trovare un esempio analiticamente trasparente. x& = y y& = µy + x − x 2 + xy µ c = −0.8645 22 Ciclo limite vicino alla sella nell’origine Il ciclo impatta sulla sella creando un’omoclina Il ciclo limite si muove 23 La sella si rompe ed il ciclo è distrutto µ<<1 BIFORCAZIONI DI CICLI Hopf supercritica Periodo del Ampiezza del ciclo limite stabile ciclo O(µ1/2) O(1) Nodo-sella di cicli O(1) O(1) Periodo infinito O(1) O(µ-1/2) Omoclina O(1) O(lnµ) 24 Mappe di Poincaré . x = f (x), x ∈ ℜ n zF Σ superficie n-1 dimensionale, trasversa rispetto al flusso. z3 La sequenza dei punti z1 z2 {z1 , z 2 ,...} , intersezione fra le orbite e la superficie definisce una mappa P: ΣÆΣ sulla superficie z(t+1)ÆP(z(t)) z1Æz2Æz3Æ… zi∈P zi+1ÆP(zi) Riduce il sistema ad un sistema a tempo discreto di ordine n-1. 25 Se Σ interseca un'orbita periodica, P ha un punto fisso z*: P(z* )= z* . La stabilità di un'orbita periodica di un sistema dinamico continuo si riconduce alla stabilità di un punto fisso della sua mappa di Poincaré. x2 z* x3 P x1 x1 z* P x2 Il ciclo è asintoticamente stabile se e solo se zP è un equilibrio asintoticamente stabile della mappa di Poincaré. 26 Nella pratica, scrivere una espressione esplicita per la mappa richiede, in genere, di risolvere analiticamente il sistema dinamico di partenza, il che, ovviamente, rende le cose meno semplici di quanto non sembrassero. Tuttavia, è sempre possibile integrare numericamente un sistema dinamico a tempo continuo e lasciare ad un programma per computer il compito di trovare i punti di intersezione fra l'orbita calcolata numericamente ed una superficie opportunamente specificata. Spesso il semplice fatto di osservare l'evoluzione del sistema in N-1 dimensioni, anziché in N, è sufficiente a giustificare l'uso della mappa di Poincaré. 27 Linearizzazione della mappa di Poincaré z(t+1)ÆP(z(t)) con P(z* )= z*. Posso studiare la stabilità di z col metodo della linearizzazione. ∂z = z (t ) − z * ∂P ∂z (t + 1) = ∂z (t ) ∂z z* ∂P J= ∂z Matrice Jacobiana della mappa di Poincaré; ha n-1 autovalori 28 Teorema Siano µi i=1,2,…,n-1 gli autovalori di J in z*. Se | µi | <1, ∀i, il ciclo è asintoticamente stabile. Gli autovalori µi sono spesso chiamati moltiplicatori o cofficienti di Floquet. Teorema Se uno (o più) autovalori µi è tale che | µi | > 1, il ciclo è instabile. Se | µi | ≤ 1, ∀i, e almeno un autovalore ha modulo unitario, non si può dire niente sulla stabilità del ciclo. 29