Sull`esistenza di una relazione diretta fra la costante di

NOTE TECNICHE
Sull’esistenza di una relazione
diretta fra la costante
di struttura fine e le due
costanti di Feigenbaum
EMILIO SANTORO
ENEA,
UTS Tecnologie Fisiche Avanzate
piezza che si registra nella
biforcazione precedente (segmenti wn nella figura 1). La prima costante di Feigenbaum,δ,
si ricava invece dalla successione di rapporti fra la
distanza che separa due ramificazioni successive nella biforcazione (segmenti αn nella
figura). Anche in questo caso,
tale distanza è in rapporto
costante con la distanza tra le
ramificazioni precedenti. Si ha
quindi, per questa costante:
=
4.669201609102991...
note tecniche
E
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siste una relazione semplice fra le costanti che appaiono nei fenomeni di raddoppiamento di periodo e nelle transizioni ordine-caos (costanti αδ
e δ di Feigenbaum) e la costante di struttura fine α . Il presente lavoro ne evidenzia la struttura, sottolineando la possibilità,
in base alla coincidenza numerica trovata, di determinare la
costante di struttura fine con
precisione arbitraria.
La più recente determinazione
della costante di struttura fine
raccomandata dal NIST1 (CODATA Recommended Values of
the Fundamental Physical Constants, 2002), assegna ad α il valore:
α=7.297 352 568(24) • 10-3 (1)
con una incertezza relativa
pari a:
oggetto di questa nota nascono da una coincidenza numerica. Si definiscano a questo
proposito, sottolineando la quasi identità dei valori:
5.400151334 • 10-2 (3)
5.399583137 • 10-2, (4)
avendo indicato con:
αδ=2.502907875095893... (5)
la seconda costante di
Feigenbaum, relativa alla successione di rapporti fra l’ampiezza dei rami dell’albero nei
processi di biforcazione della
mappa logistica3-6:
x(t+1) = rx(t)[1 – x(t)],
= 3.3 • 10-9. (2)
Le considerazioni che sono
con r ε[0,4] . Tale ampiezza è in
rapporto costante con l’am-
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(6)
Analoghe considerazioni valgono per il calcolo della seconda costante di Feigenbaum,
che si ottiene, in base a quanto detto, da:
=
2.502907875095893...
Una opportuna combinazione
dei termini α,δ e αδ, dà luogo
alla relazione:
100.000000025... (7)
Si può notare che se α assumesse il valore αt “teorico”:
αt
=
7.297 352 569 553 915 ... • 10-3 (8)
La (7) darebbe come risultato
esattamente 100. Rispetto al
valore della costante di struttura fine fornita da CODATA, si
trova che la deviazione relativa
di αt è:
2.13 • 10-10,
(9)
NOTE TECNICHE
cioè un ordine di grandezza
inferiore alla (2).
Modificando opportunamente
la (7) col nuovo valore di αt
così ottenuto, si ottiene facilmente la relazione:
1 (10)
La (10) potrebbe essere interpretata come una semplice
coincidenza numerica, ma
un’analisi più approfondita
mostra la presenza in essa un
certo ordinamento. Se infatti si
pone:
=
1.582047493655951..., (11)
la (10) diventa:
(12)
La (12) può essere riscritta nei
termini di una serie:
=
2.502907875095893...
di decimali conosciuti e tabulati
per le due costanti di
Feigenbaum. La (14), in base a
quanto accennato più sopra,
imporrebbe alla costante αt
una variazione di ordine ancora inferiore,α1t , rispetto alla
variazione operata sulla costante di struttura fine per ottenere
il valore utilizzato in questo
lavoro. Sarà infatti lecito supporre che:
< 10-10.
C’è un significato profondo
nascosto nella (13) o si tratta
solo di una straordinaria coincidenza di numeri in combinazione arbitraria tra di loro? Di
fatto, la (13), o magari la (14),
mette per la prima volta in relazione diretta le due costanti di
Feigenbaum, mostrando una
loro interdipendenza che si
esplica proprio tramite α; in
più, essa potrebbe fornire il
valore della costante di struttura fine con la precisione voluta,
una volta introdotto in essa un
adeguato numero di cifre significative per δ e αδ.
Se le speculazioni che si fanno
intorno alla dipendenza dal
tempo della costante α dovessero in futuro rivelarsi qualcosa in più di semplici ipotesi,
come potrebbe questo riflettersi nella relazione (13) e quindi nella struttura delle transizioni ordine-caos?
In realtà, esistono altre notevoli coincidenze, di cui questa
che è stata presentata è forse la
più straordinaria, che suggeriscono l’esistenza di un quadro
molto più ampio di correlazioni fra grandezze di natura diverse, numericamente coerente,
basato proprio sulla variazione
delle costanti fondamentali. Ad
esempio, la (4) appare ricorrente in alcune espressioni che
coinvolgono rapporti con altre
costanti di accoppiamento ed in
alcune relazioni con grandezze cosmologiche.
Ma questo potrebbe essere
oggetto di un prossimo lavoro.
Note
1
//physics.nist.gov/cuu/
Constants/index.html
2
Fonte: www.mathsoft.com –
Mathsoft Resources.
(13)
Figura 1
Diagramma di biforcazione della mappa logistica2
in perfetta identità con la (5).
La (13) esprime una relazione
funzionale fra le due costanti di
Feigenbaum e la costante di
struttura fine, al grado di precisione con cui è stato effettuato
il calcolo. Data la convergenza
della (13) (per n=3 non si hanno variazioni già sulla quindicesima cifra decimale), si
potrebbe ipotizzare la validità
della sua generalizzazione:
(14)
in considerazione del numero
ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 2/05
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