urti

Questo articolo tratta la teoria classica dell’urto elastico tra due corpi
puntiformi A e B dotati di masse ma e mb , velocitá precedenti l’urto v~a e v~b
e velocitá successive all’urto v~a 0 e v~b 0 .
Ricordo a tutti che dalle leggi della meccanica classica possiamo imporre
due leggi di conservazione: quella della quantitá di moto e quella dell’energia
cinetica:
(
ma v~a + mb v~b = ma v~a 0 + mb v~b 0
1
1
2
~b |2 = 12 ma |v~a0 |2 + 12 mb |v~b0 |2
2 ma |v~a | + 2 mb |v
Osserviamo che la conservazione della quantitá di moto é una relazione
vettoriale mentre la conservazione dell’energia cinetica é scalare.
Ho deciso di scrivere questo articolo per chiarire alcuni dubbi che ho
riscontrato dopo una discussione avuta con un mio amico, dubbi che la
maggior parte delle persone che ha scelto di non trattare la fisica come
materia di studio potrebbe avere.
Parte I
Urto in una dimensione
Supponiamo che i moti dei due corpi A e B siano vincolati a rimanere su una
retta, cioé poniamo la premessa di un urto unidimensionale. Applicando le
leggi di conservazione abbiamo:
(
ma va + mb vb = ma va0 + mb vb0
1
1
1
1
2
2
02
02
2 ma va + 2 mb vb = 2 ma va + 2 mb vb
possiamo osservare che conoscendo le velocitá iniziali e le masse dei due
corpi abbiamo due equazioni in due incognite. Siccome esse sono indipendenti il sistema ammette una coppia di soluzioni va0 e vb0 .
Calcoliamo ora esplicitamente le due soluzioni spostando il nostro sistema di riferimento con l’origine nel centro di massa del sistema. Per centro
di massa del sistema si intende il punto in cui si puó supporre concentrata
tutta la massa M = ma + mb ; per rendere meglio l’idea diremo che esso é la
generalizzazione del baricentro di un insieme di punti. É comodo cambiare riferimento perche’ la quantita’ di moto del sistema, se si é solidali con
il centro di massa é nulla. Denotiamo con un asterisco tutte le grandezze
per ricordarci che siamo in un altro sistema di riferimento e risolviamo le
condizioni:
(
ma va∗ + mb vb∗ = ma va∗ 0 + mb vb∗ 0 = 0
1
1
1
1
∗2
∗2
∗02
∗02
2 ma va + 2 mb vb = 2 ma va + 2 mb vb
dalla prima equazione del sistema si ricavano due relazioni:
1
(
ma va∗ = −mb vb∗
ma va∗ 0 = −mb vb∗ 0
e inserendole nel sistema si ottengono facilmente le soluzioni:
(
va∗ 0 = −va∗
vb∗ 0 = −vb∗
per finire occorre riportare le soluzioni nel sistema di riferimento iniziale.
Sapendo che per definizione la velocita’ del centro di massa é
ma va + mb vb
M
e che dalla relativita’ di Galileo risulta
vcm =


va = va∗ + vcm



∗
vb = vb + vcm

va0 = va∗ 0 + vcm


 0
∗0
vb = vb + vcm
si ottiene la soluzione del sistema come:
(
va0 =
vb0 =
(ma −mb )va +2mb vb
M
(mb −ma )vb +2ma va
M
Parte II
Urto in due dimensioni
Supponiamo che i moti dei due corpi A e B siano vincolati a rimanere su un
piano, cioé poniamo la premessa di un urto bidimensionale. Applicando le
leggi di conservazione abbiamo:
(
ma v~a + mb v~b = ma v~a 0 + mb v~b 0
1
1
2
~b |2 = 12 ma |v~a0 |2 + 12 mb |v~b0 |2
2 ma |v~a | + 2 mb |v
dove la prima equazione, essendo vettoriale, é in realtá un sistema di due
equazioni del tipo:
(
0 + m v0
ma vxa + mb vxb = ma vxa
b xb
0
0
ma vya + mb vyb = ma vya + mb vyb
e dunque per risolvere il moto occorre risolvere il sistema:
2

0
0

 ma vxa + mb vxb = ma vxa + mb vxb


0 + m v0
ma vya + mb vyb = ma vya
b yb
1
1
2
2
2 + v 2 ) = 1 m (v 02 + v 02 ) + 1 m (v 02 + v 02 )
m
(v
+
v
)
+
m
(v
ya
ya
yb
yb
2 a xa
2 b xb
2 a xa
2 b xb
Osserviamo subito che pur conoscendo le masse e le velocitá vettoriali
iniziali non é possibile ottenere un’unica coppia di soluzioni per le velocitá
vettoriali finali poiché abbiamo tre equazioni in quattro incognite (teorema di Rouché-Capelli). Fisicamente dunque non é prevedibile ricavare le
grandezze di moto successive ad un urto in due dimensioni.
Parte III
Urto in n-dimensioni
Sulla base del discorso fatto per gli urti bidimensionali é facile intuire che
ogni volta che si aggiunge una dimensione allo spazio in cui avviene l’urto
si introducono due nuove incognite: queste sono le componenti delle velocitá finali dei due corpi A e B dopo l’urto lungo la nuova dimensione.
Sfortunatamente peró aggiungiamo al sistema una sola nuova equazione che
rappresenta la conservazione della quantitá di moto lungo la nuova dimensione. Abbiamo quindi per un urto in dimensione n n + 1 equazioni e 2n
incognite; il sistema permette quindi un’unica soluzione solo per n = 1.
Parte IV
Il biliardo n-dimensionale
Consideriamo per prima ipotesi il gioco del biliardo nel mondo reale: le
palline sono vincolate a muoversi sul piano da gioco e gli urti, in prima
approssimazione, sono elastici. Tutti sappiamo che questo é un gioco di
precisione, dove ogni mossa deve essere accuratamente calcolata. Possiamo
quindi affermare che questo gioco ha una bassa componente stocastica.
Riconsideriamo il discorso fatto in precedenza per gli urti in due dimensioni: matematicamente abbiamo dimostrato che non é possibile predire
come si muoveranno due palline dopo l’urto.
Sembrerebbe che la realtá smentisca le conclusioni matematiche a cui
siamo arrivati: siamo forse di fronte ad un paradosso?
Il migliore modo per rispondere alla domanda é certamente quello di
riconsiderare tutte le ipotesi fatte e verifarne la validitá. Sebbene il gioco
del biliardo esista nella realtá tridimensionale é corretto considerare solo l’aspetto bidimensionale del gioco perché le palle sono effettivamente costrette
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dalla gravitá a rimanere sul tappeto verde. Ogni palla é in buona approssimazione sferica e di densitá omogenea e un eventuale errore di fabbricazione
comporta un cattivo rotolamento della sfera, come ben sanno i giocatori piú
esperti. Inoltre le palle sono abbastanza dure da poter considerare l’urto
elastico. L’unica obiezione possibile é che, diversamente da come si suppone
nella teoria degli urti, la palla non é approssimabile ad un punto perché le
dimensioni del suo raggio sono paragonabili a quelle del tavolo da biliardo.
Il paradosso nasce probabilmente dall’approssimare la palla, che é un oggetto estensivo caratterizzato da dimensioni spaziali, con un corpo massivo
di dimensione nulla, cioé puntiforme. Quando due corpi estesi si urtano,
infatti, la geometria che li caratterizza fá si che l’urto sia unidimensionale
perché vincolato a rimare su una retta e quindi facilmente prevedibile.
Questo discorso puó essere allargato ad uno spazio n-dimensionale proprio perché la geometria dei corpi presenti in quello spazio ha le stesse dimensioni dello spazio stesso; ogni urto tra corpi estesi é quindi riconducibile
ad un urto unidimensionale. Il biliardo n-dimensionale é dunque una realtá
concreta, un gioco predicibile dove chi é piú preciso vince.
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