SCHEDA 5: Paradossi

SCHEDA 5: Paradossi
Un responso azzardato
Per un’indagine criminale, viene consegnato ad un laboratorio un pelo trovato sul luogo
del delitto. Preliminarmente, bisogna appurare se appartenga ad un uomo o ad una
donna. Viene estratto da una cellula del pelo uno dei due cromosomi sessuali, e risulta
essere X. Mentre si appresta ad analizzare il secondo cromosoma, l’analista inciampa e il
contenitore con il campione si distrugge a terra, contaminandosi in modo irreversibile.
L’analista non si perde d’animo e ragiona nel modo seguente. “ Sul luogo del delitto può
esserci stato chiunque, maschi e femmine con uguali probabilità. Ogni maschio ha un
cromosoma X e uno Y, mentre ogni donna ha due X. Complessivamente, nella
popolazione ci sono 3 X per ogni Y. La probabilità che il cromosoma distrutto sia X è
3
dunque
”. Essendo di carattere avventuroso decide di riportare nel referto che il
4
secondo cromosoma è X, dunque l'indivudo è di sesso femminile.
ﾠ
E’ corretto il ragionamento dell’analista?
Qual è la probabilità che il cromosoma perduto sia X?
Fai una verifica “frequentista” con il kit che ti è stato dato. Il kit è costituito da un sacchetto
e da due coppie di tre mattoni di lego ciascuna. Ogni coppia è costituita da due mattoni
paralleli (i cromosomi) tenuti insieme da un terzo mattone. In una coppia i mattoni sono
contrassegnati entrambi con la X (cellula femminile), nell’altra uno da X e uno da Y (cellula
maschile). Estrai una cellula-lego a caso, e simula l’evento che è capitato all’analista.
Attenzione, l’analista osserva una X e solo dopo perde l’altro cromosoma….
Con quale frequenza relativa osservi X per
il cromosoma perduto?
A questo esempio sono legati vari paradossi della probabilità elementare.
Il paradosso dei due bambini
Sappiamo che una coppia di genitori ha due bambini; li incontriamo per strada con un figlio
maschio.
Quant’è la probabilità che l’altro sia femmina?
Per chiarirsi (o confondersi) le idee è il caso di considerare la seguente variante.
Sappiamo che a coppia di genitori ha due bambini, e che il più grande è maschio.
Quant’è la probabilità che l’altro sia femmina?
Il paradosso di Bertrand
Ci sono tre scatole, una contiene due monete d’oro, una contiene due monete d’argento,
una contiene una moneta d’oro ed una d’argento. Supponiamo che scegliendo una scatola
a caso e prendendo da essa una moneta a caso, essa sia d’oro.
Con quale probabilità l’altra moneta della scatola è d’oro?
Riuscite ad inventare una versione di questo paradosso da realizzare con un mazzo di
carte o con dei dadi (insomma, senza scatole)?
Il problema di Monty Hall
Supponi di partecipare ad un concorso a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro
una di esse c’è un premio in denaro, dietro le altre due, nulla. Scegli una porta (che
indichiamo con A), e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro
ciascuna porta, ne apre un’altra (che indichiamo con B) mostrando che non c'è nulla.
Quindi ti domanda: vorresti scegliere la terza porta (che chiameremo C)?
Ti conviene cambiare la tua scelta originale?
Il problema dei tre prigionieri
Questa è una variante più filosofica ed intrigante del problema precedente. Nel braccio
della morte, tre prigionieri aspettano l’alba per la fucilazione. In onore del compleanno del
re, uno a caso viene graziato e il suo nome viene comunicato al guardiano, che non lo
vuole rivelare ai prigionieri. Uno dei tre (chiamiamolo A), attanagliato dall’angoscia, gli
dice: ”Dato che uno solo dei tre è stato graziato, certamente uno degli altri due (B e C)
dovrà morire. Se mi dici il nome di uno fra B e C, destinato a morire domani all’alba, ti
regalo il mio orologio d’oro. Tu non tradisci il segreto, perché non sveli il nome del
graziato, e io avrò un po’ meno di angoscia”. Il guardiano si fa convincere e svela ”B
morirà”. A dona il suo orologio alla guardia e si sente sollevato: aveva 1/3 di probabilità di
salvarsi, ora restano solo lui e C, quindi le sue possibilità sono cresciute a 1/2.
E’ corretto il suo ragionamento?
Qual è la probabilità che A sia condannato?
Qual è la probabilità che C sia condannato?