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ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO
Sessione 2005 suppletiva
Tema di: MATEMATICA
PROBLEMA 1
Sono dati una piramide regolare triangolare e il prisma retto inscritto in essa in modo che una
base sia la sezione della piramide con il piano equidistante dal suo vertice e dalla sua base.
A)
Ammesso di conoscere il volume della piramide, dire se è possibile calcolare il
volume del prisma e fornire una esauriente spiegazione della risposta.
 Noto il volume
sia il volume
che il
, è possibile trovare
.
Se si seziona una piramide regolare triangolare con un piano parallelo alla base
si ottiene una piramide
, la cui base è il triangolo
della piramide
Infatti i triangoli
e
Il volume della piramide
è
.
e
hanno i lati paralleli, quindi sono simili tra loro.
B)
1)
Posto che lo spigolo della base ABC della piramide sia lungo 4cm:
Calcolare la misura dello spigolo della base MNP del prisma , complanare ad ABC.
I triangoli
e ABC sono simili
poiché
e ABC sono simili
2) Supposto che gli spigoli
e
siano paralleli, riferire il piano dei triangoli
e
ad un sistema di assi cartesiani avente l’origine in A e l’asse delle ascisse coincidente con la retta AB
e trovate le coordinate dei vertici di tali triangoli.
ABC è un triangolo equilatero di lato
I punti
, la sua altezza CH è
si sono i punti medi delle mediane
condotte dai vertici al baricentro
3) Determinare quindi l’equazione della parabola avente l’asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti
A, B, M e verificare che passa pure per N.
Equazione della parabola per l’Origine O, per B e M :
. La parabola passa anche per
.
4)
Calcolare le aree delle parti in cui la parabola trovata
divide i triangoli ABC e MNP.
Nel triangolo ABC
l’area del segmento parabolico è
L’area del triangolo ABC è
Nel triangolo MNP
l’area del segmento parabolico è
L’area del triangolo MNP è
.
5) Spiegare esaurientemente, con oil metodo preferito, com’è posizionata la circonferenza circoscritta al triangolo MNP rispetto al triangolo ABC.
La circonferenza circoscritta al triangolo equilatero MNP ha centro nel punto H = circocentro, intersezione degli assi di MNP.
H = G è anche BARICENTRO, ORTOCENTRO e INCENTRO del triangolo MNP e del triangolo ABC .
La circonferenza di equazione
è inscritta nel triangolo ABC e circoscritta al triangolo MNP.