x - Matematicamente

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maturità 2016
Esame di stato di istruzione secondaria superiore
Indirizzi: Scientifico e Scientifico opzione scienze applicate
Tema di matematica
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario
Svolgimento a cura di Nicola De Rosa
PROBLEMA 2
Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua : [0, +∞) → ℝ, derivabile in
]0, +∞), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.
Figura 1
È noto che Γ è tangente all’asse in , che ed sono un punto di massimo e uno di minimo, che
è un punto di flesso con tangente di equazione 2 + − 8 = 0.
Nel punto la retta tangente ha equazione + 2 − 5 = 0 e per ≥ 8 il grafico consiste in una
semiretta passante per il punto . Si sa inoltre che l’area della regione delimitata dall’arco
,
dall’asse e dall’asse vale 11, mentre l’area della regione delimitata dall’arco
e dall’asse
vale 1.
1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni
y  f ' x 
x
F  x    f t dt
0
Quali sono i valori di ′(3) e ′(5)? Motiva la tua risposta.
2. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni:
y  f ' x 
y  f x  '
1
f x 
specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.
3. Determina i valori medi di = ( ) e di = | ( )| nell’intervallo [0,8], il valore medio di =
′( ) nell’intervallo [1,7] e il valore medio di = ( ) nell’intervallo [9,10].
4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione ( ) nei suoi punti di ascisse 0 e
8, motivando le risposte.
y
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SVOLGIMENTO
Punto 1
La funzione y  f ' x  ha le seguenti caratteristiche:
-
lim f ' x    visto che f x  è tangente all’asse delle ordinate in A(0,1);
x0
-
in quanto i punti B ed E sono massimo e minimo per f x  ;
è positiva negli intervalli (0,1) e 7,  in quanto f x  è strettamente crescente in tali
intervalli;
è negativa in (1,7) in quanto f x  è strettamente decrescente in tale intervallo;
presenta un minimo in x  3 in quanto f x  è strettamente decrescente nell’intervallo (1,7)
ed il valore in corrsipondenza dell’ascissa di minimo è -2 in quanto la tangente inflessionale
ha coefficiente angolare -2;
presenta un flesso in (3,2);
-
in x  5 assume il valore  1 ;
-
assume valore costante pari a 2 per x  8 in quanto la retta FG ha equazione y  2 x  16 ;
-
f ' 1  f ' 7   0
2
Quindi f ' 3  2, f ' 5   1 .
2
Il suo grafico potrebbe essere di questo tipo.
1
2
3
4
x
5
6
7
8
9
10
La funzione F x    f t dt ha le seguenti caratteristiche:
0
0
-
F 0   f t dt  0
0
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5
-
F 5   f t dt  11
0
-
8
5
8
0
0
5
F 8   f t dt   f t dt   f t dt  11  1  10
è positiva e crescente in [0,5] ed assume valore massimo pari a 11 per x  5 ;
è positiva e decrescente in [5,8) ed assume valore minimo 10 per x  8 ;
è positiva e crescente per x  8 .
Il suo grafico potrebbe essere di questo tipo.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
Punto 2
Il grafico di y  f ' x si ricava direttamente dal grafico di y  f ' x  ribaltando verso le ordinate
positive le parti di grafico al di sotto dell’asse delle ascisse.
Il dominio di y  f ' x è quello di y  f ' x  ovvero 0,  .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Il grafico di y  f x  ' si ricava in due passi:
-
negli intervalli in cui f  x   0 si ha y  f x  ' f ' x  pertanto il grafico di coincide con il
grafico di y  f ' x  ;
-
negli intervalli in cui f  x   0 si ha y  f x '   f ' x pertanto il grafico di y  f x  ' si
ottiene dal grafico di y  f ' x  attraverso una simmetria rispetto all’asse delle ordinate
ovvero ribaltando verso le ordinate positive\negative le parti di grafico di y  f ' x  al di
sotto\al di sopra dell’asse delle ordinate;
Anche in questo caso il dominio di y  f x  ' sarà 0,  .
1
2
La funzione y 
3
4
5
6
7
8
9
10
1
non è definita nei punti ad ascissa x  5, x  8 pertanto il dominio sarà
f x 
0,5  5,8  8,  .
In particolare:
-
x  5, x  8 sono due asintoti verticali:
1
1
 ; lim
 
o lim
x 5 f  x 
x 5 f  x 
1
1
 ; lim
 
o lim
x 8 f  x 
x 8 f  x 
-
y  0 è asintoto orizzontale destro in quanto lim
-
in 0,5  8,  la funzione è strettamente crescente;
-
x  
in 5,8 la funzione è strettamente crescente;
1
 0;
f x 
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-
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 1
1,  è un punto di minimo relativo;
 4
4

 7,  è punto di massimo relativo.
3

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Punto 3
Il valore medio di y  f  x  in [0,8] è dato da
5
VM 0,8 
VM 0,5  VM 5,8
8


8
f x dx   f x dx
0
5
8

11  1 5

8
4

11  1 3

8
2
Il valore medio di y  f x in [0,8] è dato da
5
VM 0,8 
VM 0,5  VM 5,8
8


8
f x dx   f x dx
0
5
8
Il valore medio di y  f ' x  in [1,7] è dato da
7
VM 1,7  
 f 'x dx
1
6

f 7   f 1

6

3
4
19
4

6
24
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La funzione y  F x  per x  8 ha la seguente forma analitica:
 2x  16dx  x
2
 16x  C .
Sapendo che F 8  10 si ricava C  74 , quindi y  F x  per x  8 è un arco di parabola di
equazione F  x   x 2  16 x  74 .
Il valore medio di y  F x  in [9,10] è dato da
VM 9,10  
9
10
 x3

37
 1000

x  16 x  74 dx    8 x 2  74 x   
 800  740   243  648  666 
3

3
9  3

10
2

Punto 4
La retta tangente al grafico di y  F x  in (0,0) è y  F ' 0  x ; poiché F ' 0  f 0  1 tale
tangente ha equazione y  x .
La retta tangente al grafico di y  F x  in (8,10) è y  10 in quanto (8,10) è punto di minimo per
y  F x 