La similitudine

Capitolo
9
La similitudine
Similitudine
Verifica per la classe seconda
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Criteri di 1.a Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
Due triangoli sono simili se
similitudine
a hanno due coppie di lati omologhi uguali.
b hanno i tre lati omologhi uguali.
c hanno tre coppie di lati omologhi in proporzione.
d hanno i tre angoli omologhi uguali.
ˆD AB
ˆC, riconoscere
1.b Sapendo che CA
Punti
.../...
.../...
in figura i triangoli simili:
a
b
ABC e ACD
ABC e ABD
c
d
ABD e ACD
non ci sono triangoli simili.
.../...
1.c Vero o falso?
1. AB : AC AD : BD
2. AB : BC AC : AD
3. AB : AC AD : CD
4. AC : CD BC : AC
V
F
V
F
V
F
V
F
.../...
1.d I due triangoli ABC e A¿B¿C¿ sono
simili secondo il rapporto AB/A¿B¿k.
Vero o falso?
1. CH/C¿H¿ k
V
3. ABC>A¿B¿C¿ k
ˆ B¿ k
4. CÂB>C¿A¿
F
V F
2. ABC>A¿B¿C¿ k
Teoremi 2.a Completare:
di Euclide
Nel triangolo rettangolo ABC l’altezza
CH è ....................... proporzionale tra le
............... dei ............. sull’ipotenusa.
V
F
V
F
.../...
.../...
2.b Dopo aver riconosciuto ipotesi e tesi,
identificare i triangoli simili e dimostrare il teorema.
Teorema 3.a Date le corde AB e CD che si intersecano nel punto P, identificare i
triangoli simili in figura.
delle corde
3.b Vero o falso?
1. AP : AC PD : DB
2. AP : PC PD : PB
3. AP : PD PD : PB
4. AD : AP PC : BC
228
.../...
.../...
V
F
V
F
V
F
V
F
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Capitolo
La similitudine
9
Triangoli simili
Verifica per la classe seconda
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Dato il punto P, intersezione delle tangenti nei punti B e C della circonferenza di
centro O e raggio AB, e considerato il triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, la congiungente AP taglia l’altezza CH relativa all’ipotenusa AB nel punto medio M di CH.
Punti
Criteri di 1. Si consideri il triangolo rettangolo
similitudine
ABC, rettangolo in C, inscritto
nella semicirconferenza di centro
O e diametro AB. Sia CH l’altezza
relativa all’ipotenusa.
.../...
Dimostrare che i triangoli ABC,
ACH, CBH sono simili tra loro.
.../...
2. Vero o falso?
1. AĈH HĈB
V
F
4. AH : AC AC : AB
V
F
2. AH : HC AB : AC
V
F
5. AĤC AĈB
V
F
3. Â B̂
V
F
6. AH : AC CH : CB
V
F
3. Tracciare le tangenti alla semicirconferenza in B e C e chiamare P il
loro punto d’intersezione.
4. Considerati i segmenti PB e PC, quale delle seguenti relazioni è corretta?
a
PC PB
b
PC PB
c
.../...
PC PB
.../...
Teorema 5. Dimostrare che gli angoli AB̂C e OP̂B sono uguali.
delle tangenti
.../...
Criterio di 6. Dimostrare che il cateto AC è parallelo al segmento OP.
parallelismo
7. Le seguenti coppie di triangoli sono simili. Vero o falso?
.../...
1. HCB e HOC
V
F
3. ACB e OBP
V
F
2. HCB e OBP
V
F
4. ACO e PBC
V
F
Similitudine 8. Dimostrare che i triangoli AHC e OBP sono simili.
dei triangoli
rettangoli 9. Completare la seguente proporzione: AH : HC OB: .....
10. Dimostrare che i triangoli AHM e ABP sono simili.
.../...
11. Completare la seguente proporzione: AH : ..... AB : PB
.../...
12. Facoltativo. Prolungare la retta PC fino a incontrare in D il prolungamento di AB a formare il triangolo DCH. A quali altri triangoli risulta simile il triangolo DCH? Dimostrare tale similitudine.
.../...
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.../...
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Capitolo
9
La similitudine
Teorema delle secanti Costruzione del medio proporzionale
Verifica per la classe seconda
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Costruire una circonferenza passante per due punti A e B e tangente a una circonferenza data .
1. Disegnare una Circonferenza
Punti
di centro O e raggio r.
2. Disegnare esternamente alla circonferenza il Segmento
.../...
AB.
3. Teoria
3.a La circonferenza da costruire deve passare per i punti A e B. Quindi il segmento
AB è una .................. della . Il centro della circonferenza appartiene .............
del segmento AB.
4. Disegnare l’Asse
.../...
n del segmento AB.
5. Con il pulsante Punto su un oggetto
fissare un punto O¿ sulla retta n dalla parte di .
6. Con centro in O¿ disegnare la Circonferenza
di raggio O¿A.
7. Verifica della costruzione
7.a Per quale altro punto già nominato del disegno passa la circonferenza? Perché?
7.b Come variano le intersezioni delle due circonferenze e spostando con il mouse il punto O¿ sulla retta n? Come vengono denominate le due circonferenze nelle varie posizioni assunte?
.../...
.../...
8. Muovendo il punto O¿ in modo tale che le due circonferenze risultino secanti, determinare le due intersezioni tra le circonferenze e chiamarle C e D.
9. Tracciare la retta che passa per C e D.
10. Chiamare P il punto d’intersezione tra la retta CD e la retta prolungamento di AB.
11. Teoria
11.a Che tipo di rette sono CD e AB per la circonferenza ?
11.b Scrivere la relazione che lega i segmenti PC, PD, PA e PB.
11.c Muovendo il punto O¿ sulla retta n, la circonferenza può arrivare a essere tangente alla nel punto che verrà indicato con X. Quale relazione sussiste tra il
segmento PX e i segmenti PA e PB?
a PX 2 PA # PB
b PX 2 PA>PB
c PX # PA PX # PB
11.d Il segmento PX è quindi ......... proporzionale tra i segmenti PA e PB.
.../...
.../...
.../...
.../...
12. Costruire un segmento di misura pari a PX. (Sfruttare il secondo teorema di Euclide .../...
costruendo un triangolo rettangolo in cui le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono
pari...)
13. Tracciare una Circonferenza
punto X.
230
di centro P e raggio pari a PX che incontra la nel
14. La circonferenza cercata passa per A, B e X. Costruire la circonferenza richiesta.
.../...
15. Teoria
15.a Descrivere il procedimento per costruire la circonferenza passante per tre punti.
15.b Quale relazione lega le rette PX e OX? E le rette PX e O¿ X?
.../...
.../...
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La similitudine
Capitolo
9
Similitudine: verifica e laboratorio di Cabri
Obiettivi
●
●
●
●
Individuare triangoli simili
Applicare i criteri di similitudine
Applicare le proprietà su aree, perimetri e altezze dei triangoli simili
Dimostrare/Applicare i teoremi di Euclide
Dimostrare/Applicare i teoremi delle corde e secanti/tangenti
Costruire il medio proporzionale tra due segmenti
Verifica
Lab.
Cabri
1.a; 1.b; 1.c
1.b; 1.c
1.d
2.a; 2.b
3.a; 3.b
★
★
★
★
★
★
Soluzioni degli esercizi
Teoria al
paragrafo
§ 1, 2
§3
§4
§5
§6
lab.
tempo previsto: 60 min
1.a
1.b
1.c
1.d
2.a
3.b
a
a
1. F;
2. F;
3. V;
4. V
1. V; medio;
2. V; proiezioni;
3. F; cateti
4. F
1. V;
2. V;
3. F;
4. F
Soluzione laboratorio di Cabri
Triangoli simili: verifica
Obiettivi
●
●
●
●
Individuare triangoli simili
Applicare i criteri di similitudine
Dimostrare/Applicare il teorema delle tangenti
Applicare il criterio di parallelismo tra rette
Verifica
Teoria al
paragrafo
1; 2; 7; 12
1; 2; 7; 8; 9; 10; 11; 12
5
6
§ 1, 2
§3
cap 5, § 7
cap 2, § 4
Soluzioni degli esercizi
2
tempo previsto: 60 min
4
1. F; 2. F; 3. F; 4. V; 5. V; 6. V c
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7
9
1. F; 2. V; 3. V; 4. V PB
11
12
MH DBP oppure HOC
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