Campi conservativi e potenziali / Esercizi proposti

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S.Rolando, 2014
Campi conservativi e potenziali / Esercizi proposti
1. Determinare 5 R a!nché il campo vettoriale
F (x, y) = log y + y 3 + 2x, 3y 2 x + ex
sia conservativo sul proprio dominio D. Calcolare poi il potenziale di F su D che vale 4 per
x = y = 1.
2. Determinare una funzione g : R $ R in modo che g (1) = 0 ed il campo
1
ex
F (x, y) = ex g (y) + ,
x 1 + y2
sia conservativo in = (x, y) 5 R2 : x > 0 . Calcolare poi:
(a) i potenziali di F in ;
(b) l’integrale di linea di F lungo un arco regolare che parte dal punto (log 2, 0) e termina
nel punto (1, 1) .
3. Sia dato il campo vettoriale
F (x, y) = 3 5x
5y
,
2
2
2
25x + y 25x + y 2
.
(a) Calcolare l’integrale di linea di F lungo la curva di equazione 25x2 + y 2 = 1 percorsa in senso
antiorario.
(b) Stabilire se il campo F è irrotazionale nel proprio dominio.
(c) Stabilire se il campo F è conservativo nel proprio dominio.
4. Si consideri il campo vettoriale
F (x, y) = (x, xy) .
(a) Calcolare l’integrale di linea di F lungo ogni circonferenza con centro nell’origine percorsa in
senso orario.
(b) Provare che F non è conservativo in alcun aperto di R2 .
5. Sia dato il campo vettoriale
F (x, y) =
1
y 5y/x
2y/x
5y/x
2y/x
+
2e
+
2e
5e
,
.
5e
x2
x
(a) Determinare il dominio D di F e stabilire se F è irrotazionale su D.
(b) Indicare un sottoinsieme non vuoto di D in cui F è conservativo e calcolare in esso i potenziali
di F.
(c) Calcolare l’integrale di linea del campo F lungo l’arco parametrizzato da (t) = t, t2 ,
1 t 2, orientato secondo il crescere del parametro t.
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6. Si consideri il campo vettoriale
F (x, y) = 2xy, x2 9 .
(a) Verificare che F è conservativo nella striscia verticale = (x, y) 5 R2 : |x| < 3
(b) Calcolare gli integrali di linea di F lungo i grafici f e g delle funzioni
+
f (x) =
2
cos ex x 1 se 0 x 1
se 1 x 9
x
,
g (x) =
cos (sin (4x)) se 0 x 1
x
se 1 x 9
percorsi nel verso delle x crescenti.
7. Dati il campo vettoriale F (x, y) = 2x2 + y 2 , axy e la circonferenza di centro l’origine e raggio
U
1, determinare i valori di a 5 R per cui F è conservativo su R2 e quelli per cui F · dP = 0.
8. Dato il campo vettoriale
F (x, y) =
y
x
y 2
4x2
,
,
+
e
e
x2 + y 2 4
x2 + y 2 4
stabilire se le seguenti aermazioni sono vere o false:
(a) F è irrotazionale sul proprio dominio
(b) F non è conservativo su 1 = (x, y) 5 R2 : x2 + y 2 < 4
(c) F è conservativo su 2 = (x, y) 5 R2 : x2 + y 2 > 4 .
9. Sia
F (x, y, z) =
1
3x2 y, x3 , .
z
(a) Stabilire se F è conservativo su = (x, y, z) 5 R3 : z > 0 e, in caso aermativo, determinarne il potenziale che si annulla in (1, 1, 1).
(b) Calcolare il lavoro di F lungo l’arco parametrizzato ed orientato da (t) = t3 , 2 + t7 , 1 + t t9 ,
0 t 1.
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Risultati
1. = 0; U (x, y) = xy 3 + x2 + y + 1
2. g (y) = arctan y 4
(a) U (x, y) = ex arctan y 4 ex + log x + c
(b)
2
log log 2
3. (a) 2
(b) sì, perché
CF2
Cx
CF1
Cy
= 0 ovunque in dom F
(c) no, per il teorema di equivalenza ed il risultato del punto (a)
4. (a) 0
(b) rot F (x, y) = y, quindi rot F = 0 solo sull’asse x, che non è un aperto
CF1
2
5. (a) D = (x, y) 5 R2 : x 9= 0 ; sì, perché CF
Cx Cy = 0 ovunque in D
(b) F è conservativo su ogni aperto semplicemente connesso contenuto in D, ad esempio D1 =
(x, y) 5 R2 : x > 0 e D2 = (x, y) 5 R2 : x < 0 ; i potenziali di F su D1 sono U (x, y) =
e5y/x e2y/x + c
(c) e10 e4 e5 + e2
6. (a) è un aperto semplicemente connesso e rot F = 0 su U
U
(b) f F · dP = g F · dP = 297
U
7. F è conservativo su R2 per a = 2; F · dP = 0 per ogni a 5 R.
8. (a) vera (risulta rot F = 0 ovunque)
(b) falsa (perché F è irrotazionale ed 1 è un aperto semplicemente connesso)
(c) falsa; infatti 2 non è semplicemente connesso, ma possiamo scrivere F = F1 + F2 con
F1 (x, y) =
1
(x, y)
2
x + y2 4
2
2
ed F2 (x, y) = ey , e4x
entrambi conservativi su 2 (F1 perché radiale, F2 perchè conservativo su R2 per il lemma
di Poincaré); di conseguenza, presi due potenziali U1 di F1 ed U2 di F2 su 2 , la somma
U = U1 + U2 soddisfa uU = uU1 + uU2 = F1 + F2 = F e quindi è un potenziale di F su 2
9. (a) F è conservativo su per il lemma di Poincaré; U (x, y, z) = x2 y log z 1
(b) 3