NOTE

Esercizi di Geometria 2, svolti dalla Prof. Fioresi in piazza Puntoni
martedi’ 30/11
1. Si consideri il sottospazio X di R2 costituito dalle circonferenze Cn di
centro (0, 0) e raggio 1/n con n numero naturale (sono circonferenze concentriche di centro l’origine).
a) E’ connesso? No perche’ C1 e’ aperto e chiuso in X (e non e’ ∅ e X). C1
chiuso perche’ C1 = S 1 ∩ X, S 1 chiuso in R2 in quanto preimmagine di 1
(chiuso) tramite (x, y) −→ x2 + y 2 mappa continua da R2 a R. C1 aperto
perche’ C1 = C ∩ X ove C e’ la corona circolare aperta di raggi 1/2 e 3/2.
b) E’ connesso per archi? No perche’ non e’ connesso.
c) E’ compatto? No perche’ non e’ chiuso 0 6∈ X, 0 ∈ X̄. Infatti ogni palla
aperta centrata in 0 interseca X. Bǫ (0) ∩ X contiene elementi di Cn con
n > 1/ǫ.
d) Si risponda alle domande (a) e (b) e (c) per X ′ = (0, 1) ∪ X. E’ connesso
per archi? Si’, perche’ X = ∪Yj , Yj = [0, 1] ∪ Cj e ∩Yj = [0, 1] 6= ∅. E’
connesso? Si’, perche’ connesso per archi. E’ compatto? Si’ perche’ chiuso
e limitato. Il fatto che e’ limitato e’ chiaro in quanto compreso in B2 (0),
mentre il fatto che e’ chiuso viene dalla considerazione che se z ∈ C(X ′ ),
complementare di X ′ allora c’e’ una palla aperta di raggio opportuno interamente contenuta in C(X ′ ).
e) Lo spazio X ′′ = X ′ / ∼[0,1] e’ compatto? Si’ perche’ e’ immagine tramite la
mappa quoziente (che e’ continua) di un compatto. Nello stesso modo vediamo subito che e’ connesso e connesso per archi. E’ di Hausdorff? Si’ perche’
per un teorema visto, se quozientiamo uno spazio compatto di Hausdorff per
un chiuso otteniamo uno spazio di Hausdorff.
3. Sia Cn la circonferenza di centro (1/n, 0) e raggio 1/n (tutte le circonferenze Cn passano per l’origine). Si mostri che X = ∪n Cn e’ connesso
(questo spazio si chiama orecchino hawaiano). E’ anche connesso per archi?
Si motivi la risposta.
X e’ sia connesso che connesso per archi. Cio’ viene dal fatto che X = ∪n Cn ,
ciascuna Cn e’ connessa e connessa per archi e ∩n Cn = (0, 0) 6= ∅.
4. Si mostri che un disco aperto centrato nell’origine e privato dell’origine e’
omotopo ad una circonferenza. E’ anche omeomorfo ad una circonferenza?
Si motivi chiaramente la risposta.
Sia X = B1 (0) \ {0}. Sia S la circonferenza di raggio 1/2. Vogliamo di-
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mostrare che date le due mappe continue:
f : X −→
x
7→
S
g : S −→ X
x
7→ x
x
2|x|
f ◦ g ∼ idS , g ◦ f ∼ idX . Chiaramente f ◦ g = ids quindi dobbiamo solo
mostrare la seconda. L’omotopia cercata e’:
F : I × X −→ X,
F (t, x) = tx + (1 − t)
x
2|x|
S e X non sono omeomorfi in quanto S e’ compatto (chiuso e limitato in R2 )
e X non lo e’ in quanto non chiuso, X̄ = B1 (0).
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