Informazioni di base sulla topologia

——————————————————Informazioni di base sulla topologia di Rd
——————————————————Corso di laurea in Fisica, canale Pm-Z, aa. 2014-15
Maria Assunta Pozio
9 Gennaio 2015
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Intorni, punti interni, esterni, di frontiera,
insiemi aperti, insiemi chiusi
Definizione 1.1. Sia P0 ∈ R2 , r > 0. Definiamo intorno (circolare
aperto) di P0 , di raggio r, l’insieme
Ir (P0 ) := {P ∈ R2 : |P − P0 | < r} .
Definiamo intorno (circolare) chiuso di P0 , di raggio r, l’insieme
I r (P0 ) := {P ∈ R2 : |P − P0 | ≤ r} .
Definizione 1.2. Sia D ⊆ R2 . Per definizione un punto P0 si dice:
• interno a D ⇔ ∃r > 0 tale che Ir (P0 ) ⊆ D;
• esterno a D ⇔ P0 è interno a CD (complementare di D);
• di frontiera per D ⇔ P0 non è né interno né esterno a D.
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Definizione 1.3. Sia D ⊆ R2 :
• D si dice aperto ⇔ tutti i punti di D sono interni;
• D si dice chiuso ⇔ CD è aperto.
Proposizione 1.1. Sia D ⊆ R2 . Allora D è chiuso se e solo se è chiuso per
successioni, cioé per ogni successione convergente {Pn } ⊆ D ⇒ limn→∞ Pn =
P ∈D
(non diamo la dimostrazione di questo risultato).
Proposizione 1.2. Sia D ⊆ R2 . Allora D è chiuso se e solo se D contiene
tutti i suoi punti di frontiera.
(non diamo la dimostrazione di questo risultato).
Esercizio 1.1. Dati a, b, c, d ∈ R con a < b e c < d, l’insieme A = (a, b) ×
(c, d) ⊆ R2 , quindi l’insieme A = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d} è
un insieme aperto, B = [a, b] × [c, d] ⊆ R2 è un insieme chiuso, E = (a, b] ×
(c, d] ⊆ R2 non è un insieme né aperto né chiuso, cosı́ come D = (a, b)×(c, d],
ecc.. Si osservi che i punti interni degli insiemi A, B, E sono i punti di A
che quindi è aperto, i punti esterni di A, B, E sono i punti di CB, i punti
di frontiera di A, B, E sono i punti di B \ A. A è aperto perché contiene
solo i suoi punti interni, B è chiuso perché contiene i suoi punti interni e
tutti i suoi punti di frontiera, E non è un insieme né aperto né chiuso perché
contiene alcuni punti della sua frontiera ma non tutti.
Esercizio 1.2. Dati P0 ∈ R2 e r > 0, l’insieme Ir (P0 ) ⊂ R2 è un aperto,
l’insieme I r (P0 ) ⊂ R2 è un chiuso, per questo parliamo di intorno aperto nel
primo caso, chiuso nel secondo.
Osservazione 1.1. R2 è un insieme aperto, in quanto ogni suo punto è
interno. Esso è anche chiuso perché è chiuso per successioni. Quindi anche l’insieme vuoto è sia chiuso che aperto, essendo il complementare di R2 .
Questi sono i soli insiemi che possono essere contemporaneamente chiusi e
aperti. Un altro modo per vedere che l’insieme vuoto è aperto, è di osservare
che la proprietà che ogni suo punto è interno è da considerarsi verificata
perché, non possedendo nessun punto, non c’è nulla da verificare per controllare che sia vera.
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Osservazione 1.2. Quando parleremo di intorno senza ulteriori aggettivi,
sottintenderemo di considerare quello aperto. Consideremo solo intorni circolari, come dalla definizione data, sebbene si potrebbero definire intorni piú
generali.
Definizione 1.4. Sia D ⊆ R2 . Diremo chiusura di D l’insieme
D := D ∪ ∂D ,
dove con ∂D abbiamo indicato l’insieme dei punti di frontiera di D. Allora
D è il piú piccolo insieme chiuso che contiene D.
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