Presentazione del 29 settembre 2010

MATEMATICA
nella
REALTA’
Lucia Della Croce – Giulia Maggi
Ada Pulvirenti - Giuseppe Toscani
Dipartimento di Matematica Università di Pavia
Piano Lauree Scientifiche
Pavia - 29 Settembre 2010
Attività proposte
A. S. 2010-2011
Approccio
alla
modellizzazione matematica
Processo interdisciplinare con cui
si intende interpretare, simulare,
predire i fenomeni reali
( Attività 1 )
Le attività 1 e 2 sono da intendersi
alternative e a scelta
Matematica nella realtà
( Attività 2 )
Elaborazione e
manipolazione di immagini
TEMI E CONTENUTI
Attività 1

Dinamica delle popolazioni

Modelli discreti lineari

Modelli discreti non lineari
MODELLI
DINAMICI
Il sistema
evolve nel tempo
DISCRETI
L’intervallo
temporale è
discretizzato
LINEARI
La legge che
determina
l’evoluzione è
lineare
DISCRETIZZAZIONE
TEMPORALE
t0
t1
ti
T = tN
y0
y1
yi
yN
y = y (t )
{ y0 , y1,..., yn }
è una funzione che misura la quantità
che varia nel tempo
sono i valori in corrispondenza ai tempi
La legge è lineare
{ y0 , y1 ,..., yn }
sono definiti per ricorrenza
yn +1 = f( yn)
yn+1
yn
f funzione lineare
COSTRUZIONE DEL MODELLO
Ipotesi del modello lineare (di Malthus)
1.
2.
3.
4.
Nascita di nuovi individui
Morte di alcuni individui
Il numero di nati è proporzionale al numero di individui
presenti
Il numero di morti è proporzionale al numero di individui
presenti
Equazione di bilancio :
yn+1 = yn + α yn − β yn
Equazione alle differenze
STRUMENTI MATEMATICI
n +1
n
y n = λ y0
n
yn + 1 = λ yn + b
con immigrazione
1−λ
= λ y0 +
b
1−λ
n
yn+1
n
3
2
.5
popolazione
y =λy
Y
n
=
0
.8
*Y
n
-1
+
0
.2
2
1
.5
1
b
1 −λ
0
.5
0
0
2
4
6
8
1
0
te
m
p
o
1
2
1
4
1
6
1
8
2
0
Attività di laboratorio proposte



Esempi di costruzione di modelli
Generalizzazione a contesti diversi
Identificazione dei parametri
(minimi quadrati)

Studio dei punti di equilibrio

Estensione al caso non lineare ( logistica)
TEMI E CONTENUTI
Attività 2



Digitalizzazione di un’immagine
Trasformazioni di immagini
Manipolazione e filtraggio
DIGITALIZZAZIONE DI
IMMAGINI
f ( x, y )
Immagine in ﾡ 2
( x, y ) �Ω � ﾡ 2
Luminosità, colore
Immagine digitalizzata
spaziale
Discretizzazione
quantitativa
Discretizzazione spaziale
1
1
j
Q
i
(i,j)
P
Matrice
PxQ
Fij = f ( xi , y j )
Ogni elemento della matrice F
è detto pixel
Discretizzazione quantitativa
85
64
42 …
…
115
…
201
83
37
…
I valori
f ( x, y )
vengono scelti in un insieme discreto di
dimensione N (diadica, potenze del 2),
che definisce il numero di livelli di grigi
DIGITALIZZAZIONE
DI IMMAGINI
Effetti della discretizzazione
Campionamento
Variazione della griglia
di discretizzazione spaziale
Quantizzazione
Uniforme
F’=(F*K)/N.
N range dei grigi di ingresso,
K range dei grigi di uscita
Non-uniforme
F’ =log(F)*K/log(N),
C
A
M
P
I
O
N
A
M
E
N
T
O
Q
U
A
N
T
I
Z
Z
A
Z
I
U
O
N
N I
E F
O
R
M
E
Q
U
A
N
T
I
Z
Z
A
Z
I
O
N
E
N
O
N
U
N
I
F
O
R
M
E
TRASFORMAZIONI
DI IMMAGINI
Trasformazioni
geometriche
Istogramma
H = { freq( a, b) : F ( a, b) = n, 0 ﾡ n 255}

Frequenze
dei pixel




livelli di grigi
0 ≤ n ≤ N-1
simmetrie
traslazioni
rotazioni
trasformazioni di potenza
complementare
Immagini diverse possono avere uguale istogramma.
MANIPOLAZIONE E FILTRAGGIO
DI IMMAGINI
Rumore : errori per esempio introdotti nella fase di acquisizione
dell’immagine, nei valori dei pixel che differiscono dai
valori ideali
Modelli di rumore
•
•
Rimozione del rumore (tecniche di filtraggio)
Modalità di lavoro con gli insegnanti
A. S. 2010-2011



Alcuni incontri preliminari di formazione
Alcuni incontri di collaborazione per la scelta e
costruzione di modelli adeguati
Incontro finale di relazione e valutazione delle attività
svolte, con modalità da definirsi.
Modalità di lavoro con gli studenti
A. S. 2010-2011

Eventualmente, a discrezione degli insegnanti interessati, si
può prevedere un intervento in classe di alcuni dei docenti
universitari con lo scopo di presentare un’introduzione alla
modellistica matematica e/o all’analisi delle immagini.

Interventi da parte di alcuni docenti universitari durante le
attività di laboratorio (indispensabili!), per coadiuvare gli
insegnanti nell’applicazione di software (octave).

Incontro finale di relazione e valutazione delle attività
svolte, con modalità da definirsi.