Compito di Geometria COMPITI DI PROVA Ingegneria

Compito di Geometria
COMPITI DI PROVA
Ingegneria Gestionale e Industriale – esercizi in comune
1. Determinare una base per il nucleo ed una base per l’immmagine della
applicazione lineare L : R3 → R3 tale che:
L(e1 ) = (0, 5, −2),
L(e2 ) = (3, −3, 1),
1
3
L(e3 ) = ( , 1, − )
2
2
dove {e1 , e2 , e3 } indica la base canonica di R3 .
2. Determinare gli autovalori ed una base per gli autospazi della matrice:


2 −1 1
 0 1 0 
3 0 0
3. Discutere, al variare del parametro reale
sistema di equazioni lineari:

 (h − 1)x + 2y − z
3x + (h − 1)y + 3z

2hx + 2y + hz
h, le soluzioni del seguente
= −1
= 0
= h
4. Determinare una equazione cartesiana per la retta dello spazio passante
per P (3, −1, 1) e parallela ai piani: π1 x − y + z = 1, π2 : x + y − z = 2.
1
Solo per Ingegneria Gestionale e della Informazione
1. Si risolva il seguente sistema lineare a coefficienti in Z3 :

 [1]x1 + [2]x2 + [1]x3 + [1]x4 = [0]
[2]x1 + [2]x2 + [2]x3 + [2]x4 = [1]

[1]x1 + [2]x4
= [2]
2. Si determini un vettore v di R3 tale che {(1, 0, 0), (
una base ortonormale. Tale vettore è unico?
2
√
2
2
,
0,
−
), v}
2
2
√
sia
Solo per Industriale
1. E’ possibile costruire una applicazione lineare iniettiva L : R3 → R2 ?
Motivare la risposta.
2. Cosa si può dire delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo? Dimostrare le affermazioni che si fanno.
3. Sia A ∈ M3×4 (C) una matrice 3x4 ad elementi complessi e supponiamo
che il minore 3x3 ottenuto cancellando la seconda colonna sia diverso
da zero, mentre il minore 2x2 ottenuto cancellando l’ultima riga e le
ultime due colonne di A sia nullo. Cosa possiamo concludere sul rango
di A? Se A rappresenta nelle basi canoniche una applicazione lineare
LA : C4 → C3 cosa possiamo concludere su LA ?
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